管理型期货投资组合的随机控制方法

接下来，我们定义投资者投资组合优化问题的价值函数u（t，w，F，F）。投资者寻求一种可接受的策略（π，π），该策略可最大化T时财富的预期效用，即u（T，w，F，F）=sup（π，π）∈吃了U（WT）| WT=w，F（1）t=F，F（2）t=F. （32）3.2.1 HJB方程和闭式解为了便于表述，我们定义了以下偏导数=ut、 华盛顿大学=uw、 uww公司=uw、 u型=uF、 u型=uF、 u型=uF、 u型=uF、 uw1=uwF、 uw2型=uwF、 u型=uFF、 我们通过解HJB方程UT+supπ，π来确定值函数u（t，w，F，F）（πu（t）F+πu（t）F）uw+（πσ（t）F+πρ（t）σ（t）σ（t）FF）uw1+（πσ（t）F+πρ（t）σ（t）FF）uw2+（πσ（t）F+πσ（t）F+ρ（t）πσ（t）σ（t）FF）uww+ u（t）Fu+u（t）Fu+σ（t）Fu+σ（t）Fu+ρ（t）σ（t）σ（t）σ（t）FFu=0，（33）对于（t，w，F，F）∈ [0，T）×R×R+×R+，以及终端条件u（T，w，F，F）=-e-γw，对于（w，F，F）∈ R×R+×R+。接下来，我们将变换应用于ma t ionu（t，w，F，F）=-e-γw-Φ（t，f，f），（34），f=log Fand，f=log f。将（34）代入（33），我们得到Φ的线性偏微分方程：0=Φt+u(1 - ρ)σ+u(1 - ρ)σ-ρuu(1 - ρ)σσ+σ(Φ- Φ) +σ(Φ- Φ）+ρσσΦ，（35），Φ（T，f，f）=0。我们定义了偏导数Φt=Φt、 Φ=Φf、 Φ=Φf、 Φ=Φf、 Φ=Φf、 Φ=Φff、 并抑制对t、inui、σi和ρ的依赖性，以简化表示法。我们可以通过使用ansatzΦ（t，f，f）=a（t）f+a（t）f+a（t）f+a（t）f+a（t）f+a（t）ff+a（t）f来求解Φ的线性偏微分方程，从而推导出a′（t）=a′（t）=a′（t）=0，a（t）=a（t）=a（t）=0，a′（t）=a（t）=0。由此，我们推断Φ实际上只是t的一个函数，与fand f无关，并满足一阶微分方程dΦdt=-u（t）σ（t）+u（t）σ（t）- 2ρ（t）u（t）u（t）σ（t）σ（t）2（1- ρ（t））σ（t）σ（t）。解决这个问题并应用（14）、（15）和（17），我们得到Φ的一个闭式表达式。精确地说，Φ（t）=（t- t）（r）- u）(R)η+2λ（r- u) ρηη + λη2 (1 - ρ) ηη.

（36）应用（36）到（34），值函数由u（t，w）=-e-γw-Φ（t）。（37）有趣的是，与单一期货的情况一样，价值函数与便利收益率过程的平均反转速度κ和均衡水平α无关。直觉上，这表明最优策略有效地消除了投资者最大预期效用中便利领域的随机性。这一特征在后来对最优财富过程的描述中再次明显。此外，价值函数不依赖于当前期货价格（F，F）。价值函数的简单性出乎意料，特别是因为交易问题中有两个随机因素和两个期货。然而，这并不意味着相应的交易策略是微不足道的。事实上，这些策略不仅取决于其他模型参数，还取决于期货价格，我们将在下面讨论。通过将（34）和（36）应用于（33），我们得到了最优交易策略π*（t，F，F）=γ（1- ρ（t））σ（t）Fu（t）σ（t）- ρ（t）u（t）σ（t）, (38)π*（t，F，F）=γ（1- ρ（t））σ（t）Fu（t）σ（t）- ρ（t）u（t）σ（t）. （39）在有两个期货的情况下，对于i=1，2，相应的最优策略π*iis是Fi的函数，但不取决于其他期货Fj的价格，因为i 6=j。还需要注意的是，如果ρ（t）为零，则两个期货策略将简化为单一期货策略asin（28），由（29）明确给出。我们重述了所有（14）、（15）和（17），并用模型参数显式表示最优策略。精确地说，π*= -eκ（T-t）etκ- eκT（r）- u) η+etκλ+eκT（rκ- λ - κu)ρ′ηη+eκTκληF（eκT- eκT）γ（1- ρ) ηη, (40)π*=eκ（T-t）etκ- eκT（r）- u) η+etκλ+eκT（rκ- λ - κu )ρ′ηη+eκTκληF（eκT- eκT）γ（1- ρ) ηη.

（41）因此我们看到最优控制π*和π*不依赖于当前现货价格的便利收益率δt，也独立于便利场α的平衡。在实际应用中，这种独立性消除了估算或持续监控现货价格或便利收益率的负担。然而，最优控制取决于所有其他参数，即u、r、κ、η、(R)η、ρ和λ。最后，我们从（38）中注意到，当ρ（t）（参见（17））等于零时，π*在这两种情况下，与∧π相同*从单一期货案例来看（见（28））。备注1自然，人们可以考虑交易两个以上到期日的期货。然而，在这种情况下，在Schwartz双因素模型下，对应的效用最大化问题有一定数量的解决方案，并且额外的期货是冗余的，正如我们在附录a.3.2.2最优财富过程中所示，为了推导最优财富过程，我们替换了最优期货头寸π*和π*, 进入财富方程（30），getdWt=π*dF（1）t+π*dF（2）t=uWdt+（π*F（1）t+π*F（2）t）ηdZst+（π*F（1）tB（t）+π*F（2）tB（t））(R)ηdZδt≡ uWdt+σWdZWt，其中我们定义了uW=π*F（1）tu（t）+π*F（2）tu（t）=（r- u）(R)η+2λ（r- u) ρηη + ληγ ( 1 - ρ） ηη（42）和σW=（π*F（1）t+π*F（2）t）η+（π*F（1）tB（t）+π*F（2）tB（t））’η+2ρη’’η（π*F（1）t+π*F（2）t）（π*F（1）tB（t）+π*F（2）tB（t））=（r- u）(R)η+2λ（r- u) ρηη + ληγ(1 - ρ） (R)ηη=uWγ。（43）在（42）和（43）中，我们使用了（40）和（41）。注意，uWandσ都是常数。这意味着，在最优交易策略下，财富过程是一个具有常数漂移和波动性的算术布朗运动。此外，这两个常数不依赖于方便产量过程的平均回复速度κ和平衡水平α。这就是为什么值函数也与这两个参数无关。

金融直觉是，最佳策略建议以一种消除便利化过程中产生的随机性的方式进行交易。作为特例，当u=r和λ=0时，P度量与Q相同。这将导致t oπ*i=0，i=1，2，然后是恒定财富，uW=σW=0.3.3确定性当量。下一步，我们考虑与未来交易机会相关的确定性当量。确定性等价物是获得与价值函数相同效用的现金量。首先，我们考虑单一期货的情况。回想一下（21）和（26），投资者的效用函数和价值函数都是指数形式。因此，确定的等效性由▄C（i）（t，w）给出≡ U-1（▄u（t，w））=w+▄Φ（i）（t）γ。（44）这里，上标（i）指的是投资组合中到期的债券。从（44）中，我们观察到确定性等价物是投资者财富w和时间确定性分量|Μ（i）（t）/γ的总和，它与风险厌恶参数γ成正反比。在所有其他条件相同的情况下，风险厌恶程度越高的投资者，其等效不确定性越低，对期货交易机会的估值也就越低。有趣的是，确定性等价性并不取决于当前的期货价格，而是取决于期货价格动态中出现的模型参数。同样，C（t，w）给出了动态交易两个不同成熟度期货的确定性等价物≡ U-1（u（t，w））=w+Φ（t）γ，（45），其中u（t，w）是（37）中的值函数，Φ由（36）给出。由于单一期货和两种期货情况下的确定性等价物对财富w具有相同的线性依赖关系，为了简单起见，我们将在数字样本中设置w=0，以在这些情况下进行比较。

为此，我们表示▄C（i）（t）≡C（i）（t，0）和C（t）≡ C（t，0）。4数值实现我们现在通过使用模拟和经验数据的大量数值示例来检验我们的模型。对于我们的示例，我们将使用inEwald et al.（2018）得出的估计参数值。它们显示在表1中。Ewald等人（2018）没有给出现货价格的漂移参数u，因此我们将u=1%作为示例。我们使用联邦基金利率作为瞬时利率r的代理，在校准期间，瞬时利率r徘徊在0.1%左右。除非另有说明，否则风险规避系数γ的默认值为1%。uκη'ηρλr0.010 0.800 0.450 0.500 0.750 0.050 0.001表1：Ewald et al.（2018）估计的Schwartz（1997）模型参数。数据来自www.macrotrends。网0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75ηπ*γ=0.01π时*γ=0.02π时*γ=0.100.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75η-25-20-15-10-5π*γ=0.01π时*γ=0.02π时*γ=0.10时，图1：最佳位置，π*和π*, 分别在为“η”绘制的两个期货案例中的T-futures和T-futures中∈ [0.25，0.75]，在三个风险规避水平γ下。常用p参数如表1所示，F=100和F=100。在图1中，我们显示了最佳位置π的依赖关系*和π*, 分别在T-futures和Tt-futures的两个未来案例中，针对三种不同的风险规避水平，讨论了便利收益率过程的波动性参数“η”。观察π*在所有三个水平上，γ都是正的，并且在η中减少，而π*为负值，并以？η为单位增加。根据表1中给出的参数，我们做多T-期货F（1），做空T-期货SF（2）。

当我们重新排列π的公式（40）和（41）时*和π*, 分别地，和涉及η的集合项，我们看到，对于i=1，2，最优策略的形式是i+Bi/(R)η+Ci/(R)η，这意味着每个策略的绝对值π*IDECREASESA？η增加，其他变量保持不变。实际结果是，随着随机便利收益率过程δt的波动性增加，长期和短期持有的合同数量都在减少。这与风险规避者的直觉一致，即如果随机便利收益率的波动性较高，则应优先减少交易对双方的风险敞口。此外，位置大小增加（π更为正值*π更负*) 随着风险厌恶程度的降低。给出了γ和π之间的反比关系*ias见等式（38）和（39）。图2说明了最佳期货头寸π*和π*, 随成熟度的不同而变化。首先，这两个位置的标志不同，大小非常接近。随着到期日变长，相应期货头寸的规模增加，π*变得更积极和π*更消极。

然而，y轴上的变化非常小，因此可以将其解释为头寸对未来到期日不太敏感。0.08 0.09 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17T4.624.644.664.680.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25T-4.96-4.94-4.92-4.9图2：最佳位置，π*在T-期货和π中*在两个期货组合中的T期货中，分别绘制为Tand T的函数，参数如表1所示，F=100，F=100.0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9η-2π*~π*0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9η-6-4-2π*~π*图3：最佳期货头寸π*2合约投资组合中的i（虚线）和d▄π*在η上绘制的单一合约组合（含Ti期货）中的i（实心）∈[0.1, 0.9]. 参数取自表1，F=100，F=100。在图3中，我们比较了最优交易策略，π*和π*对于两个期货到最优策略▄π*交易单一期货。我们使用与表1相同的参数集，将策略绘制为η的函数，即现货价格的波动性。当交易单个合约时，相应的最优策略|π*和￠π*, 都非常小，接近于零。然而，可以看出，当η变小时，随着波动性降低，它们的大小确实略有增加。这与最优策略为π的两种契约情况相反*和π*.随着η的增加，两者在相反的方向上增加。这表明，尽管风险随着η的增加而增加，但π中的成对位置*和π*, 相反的迹象，将随着现货过程的波动性增加而增加。与双人交易案例相比，单笔交易案例中的头寸规模也很有趣。当我们被限制只交易单一合约时，也就是说，当可接受的集合被使用时，头寸要小得多。

在当前模型下，存在多个不同类型的合约显著增加了交易量，并允许交易员进行更大的对冲交易。在图4中，我们将最优策略绘制为风险规避系数γ的函数。显然，给定γ和π之间的反比关系*方程式（38）和（39）中的ias，以及γ和|π之间的ias*如式（28）所示，最佳位置的幅度预计会减小。有趣的是要注意的是∧π的不敏感性*i相对于γ，相对于π*i、 这意味着在单一期货的情况下，无论风险规避程度如何，头寸都将很小。0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1γ-2π*~π*0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1γ-6-4-2π*~π*图4：最佳期货头寸π*2合约投资组合中的i（虚线）和d▄π*在γ上绘制的单合约投资组合（含Ti期货）中的i（实心）∈[0.01, 0.1]. 参数取自表1，F=100，F=100。在详细分析了最优策略的参数依赖性之后，现在我们根据历史数据来研究它们的行为。我们考虑2014年6月和2014年7月4-04-01 2014-05-01 2014-06-014.52014-04-01 2014-05-01 2014-06-01-5-4.5-42014-04-01 2014-05-01 2014-06-01-0.4-0.2图5：最优策略π*, π*和π*+π*基于2014年3月至2014年6月期间的历史WTI原油期货数据，使用表1中显示的参数。2014年WTI原油期货。我们展示了2014年3月至2014年6月期间的经验最优头寸。选择该周期与ofEwald et al.（2018）的校准后周期相对应。应用策略的显式公式，我们计算π*, π*,和π*+ π*基于这些合同的每日结算价格以及表1中的参数。

如图5所示，最佳stra t egyπ*在整个期间都是正值，对应于前一个月合约中的多头头寸，而π则相反*.总的来说，两个位置的总和小得可以忽略，相当于一个净中性位置。总的来说，当参数η和η保持不变时，位置变化不大。唯一改变ar e F和Ti的变量- t、 其中，我们已经在图2中看到了相对灵敏度。我们现在将注意力转向确定性等价物。参考第3.3节，我们在图6中绘制了以下确定性等价物：？C（1）在交易了T期货的单一期货案例中，C（2）在交易了T期货的单一期货案例中，C在交易了T期货和T期货的两个期货案例中。表2给出了它们的数值。C（0）~C（1）（0）~C（2）（0）0.8962 0.1418 0.1782表2：确定性等值值：~C（1）在交易了T期货的单一期货情况下，C（2）在交易了T期货的单一期货情况下，C（2）在交易了T期货和T期货的两个期货情况下。确定性当量在t=0和w=0.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t0.10.20.30.40.50.60.70.80.9CC（1）C（2）图6：两个期货组合的确定性当量C，以及单个期货组合的C（1）和C（2），分别与t期货和t期货（见（44））。确定性等价物在时间t=0时进行评估，初始财富w=0。交易期限为T=1，金融机构到期日为T=13/12，到期日为T=14/12。其他常见参数见表1，以及F=100和F=100。我们从图6中观察到，同时交易两份合同的确定性等价物明显大于仅交易一份合同的确定性等价物，无论是否选择到期日。

事实上，确定性等价物C远大于两个确定性等价物▄C（1）和▄C（2）之和。这是有意义的，因为singlecontract案例可以被视为两个合同案例，但其中一个策略被限制为零。有效地，单一合同案例限制了可接受集合，从而得出了最大预期效用和确定性等价物。我们的研究结果证实了这样一种直觉，即交易工具的选择越多越好。最后，我们考察了C在不同风险厌恶水平下的行为，重点考察了其对风险λ市场价格的敏感性。在图7中，我们看到时间0时的确定等价性，C，在λ中是增加的和二次的，并且随着λ的增加趋于一致。这适用于所示的所有三个γ值，但较低的风险规避表明，在λ中，必然等价的gr更高更快。0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11λ0.51.52.53.54.5，γ=10%C，γ=5%C，γ=1%。图7：确定性等价物C，在时间t=0 w，初始财富为零w=0，作为风险λ的市场价格的函数，参数如表1.5所示。我们分析了在相同情况下动态交易两个期货合约的问题。在现货价格的双因素均值回复模型下，我们推导了futuresprice动力学，以封闭形式解决了投资组合优化问题，并给出了明确的最优交易策略。通过研究相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们显式地解决了效用最大化问题，并给出了包含形式的最优交易策略。