跳扩散模型标定的分裂策略

定义：=F（￠a，Д）-,n、 ^1+，n）- F（￠a，Д）-, ^1+=u（an，Дn）- u（a，Д）。根据PIDE问题（5）-（6）的线性，Wn是PIDE问题（11）的解，其中a和Д分别被anandДn、齐次边界条件和Fn=（an- a） （u（a，Д）yy- u（a，Д）y）- I^1n-^1（u（a，Д）yy- u（a，~n）y）。根据卷积的估计（12）和杨氏不等式，kwnkW1,2（D）≤C1类- Kk（an- a） （u（a，Д）yy- u（a，Д）y）- I^1n-^1（u（a，Д）yy- u（a，Д）y）kL（D）≤C1类- Kk（an）- a） （u（a，Д）yy- u（a，Д）y）kL（D）+kДn- ^1kL（R）ku（a，Д）yy- u（a，Д）y）kL（D）通过Sobolev嵌入（参见Iorio和Iorio（2001）中的定理7.75），它遵循了thatk（a- a） （u（a，Д）yy- u（a，Д）y）kL（D）≤ 堪萨斯州- akL公司∞（D） ku（a，Д）yy- u（a，Д）ykL（D）≤ ckan公司- akH1+ε（D）ku（a，Д）yy- u（a，Д）ykL（D）上述估计值和方程式（13）意味着k（an- a） （uyy）- uy）kL（D）+kДn- ^1kL（R）kuyy- uykL（D）≤C1- K堪萨斯州- akH1+ε（D）+kДn- ^1kL（R）总结，kwnkW1,2（D）≤C1- K堪萨斯州- akH1+ε（D）+kДn- ^1kL（R）,下面是断言。提案3。地图F:D（F）→ W1,2（D）是弱连续紧的。证据让序列{（▄an，ν）-,n、 ^1+，n）}n∈Nin D（F）弱收敛于（￠a，ν）-, φ+). 按照命题2定义的证明进行：=F（￠an，Д）-,n、 ^1+，n）- F（￠a，Д）-, ^1+=u（an，Дn）- u（a，Д）。因此，它满足了PIDE（11），a和Д分别被anandДn替换，并且满足齐次边界条件。此外，它满足KWNKW1,2（D）≤C1类- Kk（an）- a） （u（a，Д）yy- u（a，Д）y）kL（D）+kIДn-^1（u（a，Д）yy- u（a，Д）y）kL（D）. （14） 我们将证明方程（14）的RHS上的两项中的每一项作为n都为零→ ∞.在任何一种情况下，我们都将集合D分解为不相交的并集D=DM∪ DcM，其中dm=[0，T]×[-M、 M]，M>0。

关于方程（14）RHS的第一项，我们有Sobolev\'sembedding thatk（一个- a） （uyy）- uy）kL（D）=k（an- a） （uyy）- uy）kL（DM）+k（an- a） （uyy）- uy）kL（DcM）≤ 堪萨斯州- akH1+ε/2（DM）kuyy- uykL（DM）+kan- akH1+ε/2（DcM）kuyy- uykL（DcM）（15）通过将H1+ε（DM）紧密浸入H1+ε/2（DM）中，我们得到H1+ε（DM）的弱收敛序列被发送到H1+ε/2（DM）中的范数收敛序列（命题IV.4.4in Taylor（2011））。因此，kan-akH1+ε/2（DM）→ 现在我们回想一下kuyy-uykL（DcM）→ 0as M→ +∞. 要看到不等式（15）的RHS变为零，请注意，给定η>0，对于足够大的M，kan-akH1+ε/2（DcM）kuyy-uykL（DcM）<η/2，自kan起-akH1+ε/2（DcM）由kan主导-akH1+ε/2（D），一致有界。此外，kuyy-uykL（DM）以kuyy为界-uykL（D），它是有限的。因此，对于所有足够大的n∈ N、 与之前的估计值相同，kan- akH1+ε/2（DM）kuyy- uykL（DM）<η/2。关于方程（14）中第二项的收敛性，通过Jensen不等式，我们得到了thatkIаn-^1（u（a，Д）yy- u（a，Д）y）kL（D）≤ k^1n- ^1kL（R）ZDZR |Дn（x- y）- ^1（x- y） |（uyy（τ，y））- uy（τ，y））dydτdx。因此，将其分解为以下两个积分，我们得到zdzr |νn（x- y）- ^1（x- y） |（uyy（τ，y））- uy（τ，y））dydτdx=ZDcMZR |Дn（y）- Д（y）|（uyy（τ，x- y）- uy（τ，x- y） ）dydτdx+ZDMZR |Дn（x- y）- ^1（x- y） |（uyy（τ，y））- uy（τ，y））dydτdx=：I+I。通过支配收敛定理，积分Igoes为零，如M→ ∞ （Adams和Fournier（2003）中的定理1.50）。根据Fubini定理，i=ZD（uyy（τ，y）- uy（τ，y））Z | x|≤M |Иn（x- y）- ^1（x- y） 几乎每个y的dxdτdy∈ R、 Rellich-Kondrachov定理（Adamsand Fournier（2003）定理6.3第二部分）暗示R | x|≤M |Иn（x- y）- ^1（x- y） | dx归零。只需重新调用|(-∞,0)∈ W2,1(-∞, 0）和Д|（0+∞)∈ W2,1（0+∞).

据估计≤ k^1n- ^1kL（R）kuyy- uykL（D）≤2KC（1- K） ，我们可以应用支配收敛定理得到Igoes为零的n→ ∞, 因此，对于每个固定M，kwnkW1,2（D）→ 0，断言如下。我们正式定义了F的导数，然后证明它实际上是F的Frech'etderivative。定义2。F在（a，ν）方向h=（h，h）上的导数∈ 十、 使（a+h，Д+h）∈ D（F），是具有齐次边界条件的PIDE问题（11）的解，F=h（u（a，ν）yy- u（a，Д）y）- Ih（u（a，Д）yy- u（a，Д）y），其中u（a，Д）表示PIDE问题（5）-（6）的解。该导数用F（a，Д）h或u（a，Д）h表示，并用W1,2（D）表示。备注3。通过命题1的证明，对于任何h∈ H1+ε（D）和任何h∈ L（R）上述定义的边问题在W1,2（D）中仍然有一个解。此外，这种PIDEproblem对于h=（h，h）是线性的∈ 十、 因此，对于每个（a，Д）∈ D（F），h 7→ F（a，Д）是从X到W1,2（D）的线性有界映射，满足kf（a，Д）hk≤C1类- KkhkX。（16） 提案4。地图F:D（F）→ W1,2（D）是Frech’et differentiable and satifieskf（a+h，Д+h）- F（a，Д）- F（a，Д）hkW1,2（D）≤C1类- KkhkXkF（a+h，Д+h）- F（a，Д）kW1,2（D），（17）表示任何（a，Д）∈ D（F）和任何h=（h，h）∈ 十、 使（a+h，Д+h）∈ D（F）。证据Let（a，Д）∈ D（F）固定，h=（h，h）∈ X应为（a+h，Д+h）∈ D（F）。定义新=F（a+h，Д+h）- F（a，Д）- F（a，Д）h和v=F（a+h，Д+h）-F（a，Д）。

根据PIDE问题（5）-（6）和（11）的线性，w是PIDE问题（11）的解，具有齐次边界条件，F=-h（vyy- vy）+Ih（vyy- vy）。因此，w满足估计值KWKW1,2（D）≤C1类- Kk公司- h（vyy- vy）+Ih（vyy- vy）kL（D）。通过三角不等式、卷积的杨氏不等式和索博列夫的嵌入定理，得出以下结论- h（vyy- vy）+Ih（vyy- vy）kL（D）≤ kvyy- vykL（D）khkH1+ε（D）+khkL（R）≤ kvkW1,2（D）khkX，并且断言的估计值成立。集合D（F）有一个非空的内部h 7→ F（a，Д）h是从X到1,2（D）的有界线性映射，估计（17）意味着limkhx→0kF（a+h，Д+h）- F（a，Д）- F（a，Д）hkW1,2（D）khkX=0。因此，F是可区分的。4分裂策略和正则化在本节中，在一个抽象的设置下，我们考虑一个Tikhonov型正则化，即同时校准一组观测值中的两个参数。分裂策略用于解决由此产生的最小化问题。给出了该方法收敛于反问题近似解的结果。它们依赖于某些假设，这些假设将被证明适用于跳变-扩散局部波动率模型所面临的校准问题。4.1 Tikhonov型正则化首先，让我们介绍Tikhonov型正则化的一些基本概念。这种方法已被广泛用于求解不适定反问题。更多详情请参见Scherzeret al.（2008）和Engl et al.（1996）。考虑映射F:D（F） 十、→ 两个Banach空间X和Y之间的Y。给定F、R（F）范围内的y，找到一些x∈ D（F）方程的解：~y=F（x）。（18） 由于在D（F）解（18）中可能有多个元素，因此通常会搜索一个使某些凸函数fx最小化的解x+：D（fx） 十、→ R+，这与一些先验信息有关。

因此，x+∈ argmin{fx（x）：x∈ D（F）和F（x）=y}，这就是所谓的fx最小化解决方案。通常，不可能访问R（F）中的数据y，但只能访问一些不完善的近似yδ∈ Y满足KPY- yδkY≤ δ、 （19）其中δ>0是噪声级，P:Y→ Y是Y的某个子空间上的投影，其中定义了Yδ。例如，P可以在一些离散网格中定义y的观测值。由于反问题（18）可能是不适定的，因此应用了Tikhonov型正则化，即我们必须找到一个使（Tikhonov型）泛函最小化的D（F）元素：F（x）=φ（x）+αfx（x），（20），其中φ（x）=kF（x）- yδkpY（21）是数据拟合或价值函数，α>0是一个常数，即所谓的正则化参数。惩罚fx称为正则化泛函。D中（20）的极小值：=D（F）∩ D（fx）被称为Tikhonov极小值或重构，用xδα表示。现在将使用凸正则化的框架。更多信息请参见Scherzer等人（2008）。在下文中，我们需要：假设2（Scherzer et al.（2008）中的假设3.13）。让我们假设1。分别与X和Y关联的拓扑TX和TY弱于相应的norm拓扑。方程（21）中的指数满足p≥ 1.3. Y的范数是关于TY的顺序下半连续的。fx相对于TX.5是凸的和连续的。目标集满足6=, D有一个非空的内部。对于每个α>0和M>0，水平集Mα（M）：={x∈ D:F（x）≤ M} 按顺序对TX.7进行预压缩。对于每一个α>0和M>0，水平集Mα（M）是顺序闭合的w.r.t.tx，F对Mα（M）的限制是顺序连续的w.r.t.tx和TY。通过假设2，Scherzer等人（2008）的定理3.22和3.23保证了稳定Tikhonov极小值的存在。

如果（18）中的反问题有解，那么，同样基于假设2，Scherzer et al.（2008）中的定理3.25表示存在（18）的fx最小化解，并且定理3.26说明每当δ→ 0和α=α（δ）满足限值：limδ→0α（δ）=0和limδ→0δpα（δ）=0。（22）4.2分割策略算法跳跃和不同部分的存在促使将正则化分为两部分。在本节中，我们将在凸正则化的一般框架中描述这种方法。设X由X给出：=W×Z，其中W和Z是Banach空间。考虑twandtzw和Z的两种拓扑，它们被假定为弱于每个相应空间的normtopology。因此，X将被赋予两种自然拓扑：范数k（w，z）kX=kwkW+kzkzan和乘积拓扑TX：=TW×tz，其弱于范数拓扑。再次考虑操作符F:D（F） 十、→ Y，其中F（x）=F（w，z）。（20）中的惩罚项可以重写为αfx（x）=αfx（w，z）=αβgw（w）+αβhz（z）=αgw（w）+αhz（z），（23），其中αj=α·βjwithβj≥ 0，j=1，2，泛函gw和hzare分别是凸的和连续的w.r.t.TWand TZ。因此，Tikhonov型泛函现在显示：F（w，z）=φ（w，z）+αgw（w）+αhz（z）。（24）假设假设2成立。因此，如果α，α>0，F（w，z）具有极小值inD。由于X和txa的范数拓扑分别由w和z的范数拓扑以及TWand TZ的乘积定义，因此投影算子PW：（w，z）7→ w和PZ：（w，z）7→ z相对于X、W和z以及toTX、TWand TZ的范数拓扑是连续的。对于每个z∈ Z、 确定操作员Fz：PW（D） W→ Y为Fz（w）=F（w，z），提霍诺夫型泛函Fz（w）=F（w，z），集Dz=PW（D）×{z}。

同样，定义了Fw、Fw和Dware。此外，假设假设2中的第5、6和7项在D被PW（D）或PZ（D）、F被FW或FZAN替换、F被FW或Fz替换时仍然有效。在这种情况下，Scherzer et al.（2008）中的定理3.22和3.23保证了对于每个w∈ PW（D）和z∈ PZ（D）。我们的方法是分割迭代，以便在每个步骤中，跳跃和差异组件都会依次更新。更准确地说，对于任何w∈ PW（D）（或z∈ PZ（D）），setw=w（z=z），并考虑n的迭代∈ N： 锌∈ argmin{Fwn-1（z）：z∈ PZ（D）}wn∈ argmin{Fzn（w）：w∈ PW（D）}。（25）重复迭代，直到达到一些终止标准。如果算法以z而不是w开始，则必须颠倒两次迭代的顺序。定义3。泛函F的一个驻点是某个点^x=（^w，^z）∈ D、 使^w∈ argmin{F^z（w）：w∈ PW（D）}和^z∈ argmin{F^w（z）：z∈ PZ（D）}。在下面的内容中，我们将假设F相对于TX的连续性。例如，如果F和fx是TX连续的，这就成立了。在证明下列命题时，这一假设是必要的。提案5。对于每个初始化对（w，z）∈ D、 方程（25）的算法产生的任何收敛子序列都收敛到F证明的某个平稳点。考虑序列{（wn，zn）}n∈根据（25）中的迭代确定。通过构造，序列{F（wn，zn）}n∈Nis非递增且有界，因此它收敛。此外，{（wn，zn）}n∈Nis是某个水平集Mα（M）的子集，该水平集由假设2中的第6项预先压缩。对于{（wn，zn）}n的每个簇点（w，z）∈N、 F（w，z）≤ F（wn，zn）表示所有n∈ N、 给定w∈ PW（D），则F（w，z）=limk→∞F（w，znk）由TX连续性关闭，因为子序列{（wnk，znk）}k∈nConverge to（w，z）w.r.t TX.So，对于每个k∈ N、 F（w，znk）≥ F（wnk+1，znk），因为wnk+1是Fznk的极小值。

应用等式（25）算法的更多步骤，得出f（wnk+1，znk）≥ F（wnk+1，znk+1）≥ ··· ≥ F（wnk+1，znk+1）。So，F（w，znk）≥ F（wnk+1，znk+1）。此外，对于每k∈ N、 F（wnk、znk）≥ F（w，z）。因此，w是Fz的极小值。要知道z是Fw的极小值，请注意，对于anyz∈ PZ（D，F（w，z）=limk→∞F（wnk，z）。由于znkis是Fwnk的极小值，因此，F（wnk，z）≥ F（wnk，znk）。F（wnk，znk）≥ F（w，z），每k∈ N、 评估如下。用（wδα，zδα）表示通过算法（25）获得的固定点。请注意，固定点不必是Tikhonov极小值，因为原则上它可以是鞍点。然而，我们将在命题8中看到，这样的驻点确实是反问题解的近似值。备注4。回想一下凸函数f的次微分的定义：D（f） 十、→点x处的R∈ D（f），X是Banach空间，它是元素x的f（x）*在双空间X中*满意F（x）- f（x）- hx公司*, x个- xi≥ 0x个∈ D（f）。如果w 7→ φ（w，z）和z 7→ φ（w，z）是可区分的，因此，对于每个w和z，Fz（w）=wφ（w，z）+ αgw（w）和Fw（z）=zφ（w，z）+ α赫兹（z）。此外，φ也是可区分的，且F（w，z）=wφ（w，z），zφ（w，z）+ {αgw（w）}×{α赫兹（z）}。关于备注4的证明，请参见Rockafellarand Wets（2009）中练习8.8的（c）项和命题10.5。因此，如果0∈ Fw（z）和0∈ Fz（w），然后0∈ F（w，z）。设（w，z）表示通过方程（25）的算法获得的固定点，这意味着w是fzan的局部最小值，z是Fw的局部最小值。根据Rockafellar和Wets（2009）中的定理10.1，0∈ Fw（z）和0∈ Fz（w）。所以，0∈ F（w，z）。此外，如果F是凸的，那么，（w，z）是一个Tikhonov极小值。定义4。

如果对于每个序列{yk}k，数据为yδ的平稳点（w，z）是稳定的∈NY使yk→ yδ在范数中，那么，{（wk，zk）} D、 考虑到每个k的数据yk，通过方程（25）的算法获得的解序列∈ N有一个TX convergentsubsequence。此外，每个TX收敛子序列{（wkl，zkl）}的极限是数据为yδ的Tikhonov泛函F的一个驻点。提案6。由方程（25）的算法得到的驻点是稳定的。证据考虑序列{yk}k∈N Y和{（wk，zk）} D如定义4所示。首先，有必要证明{（wk，zk）} D具有收敛子序列。Scherzer等人（2008）中的引理3.21f（wk，zk；yδ）≤ 2p级-1F（wk，zk；yk）+2p-1kyk- yδkp。序列{yk}k∈nConvergence to yδ，so kyk-yδkpi在k中一致有界。此外，如果我们进一步假设，对于每个yk，等式（25）的算法用相同的（w，z）初始化，则它遵循f（wk，zk；yk）≤ F（w，z；yk），并应用Scherzer等人（2008）中的引理3.21，再次，F（w，z；yk）≤ 2p级-1F（w，z；yδ）+2p-1kyk- yδkp。根据上述估计，F（wk，zk；yδ）≤ 4p-1F（w，z；yδ）+（4p-1+2 P-1） kyk公司- yδkp，这意味着{（wk，zk）}k∈Nis是F（·，··；yδ）的某个水平集的子集。假设2中的第6项意味着这样的水平集是TX pre-compact，断言如下。假设{（wk，zk）}收敛到（~w，~z），w.r.t.TX，Forevery，w∈ PW（D），因为argminFzk的wkis；yk（w），F（▄w，▄z；yδ）≤ lim信息→∞F（wk，zk；yk）≤ 利姆→∞F（w，zk，yk）=F（w，z；yδ）。所以，w在argminFz中；yδ（w）。类似地，可以得出▄z在argminF▄w中；yδ（z），断言如下。由于通过方程（25）中的算法获得的固定点是由w.r.tyδ和正则化参数α和α确定的，因此我们用（wδα，α，zδα，α）表示它。

让我们也用x+=（w+，z+）表示（18）中反问题的fx最小化解，并用y表示（18）中的无噪声数据。切向锥条件现在，我们证明切向锥条件是方程（25）的分裂策略算法收敛到反问题（18）的f-最小解的某种近似的充分条件。假设3。设算子F在每个变量w和z上都是Fr'echet可微的，因此它是Fr'echet可微的，并且其Fr'echet导数满足F（x）=(wF（w，z），zF（w，z））。此外，存在正常数r>0和0≤ η<1/2，这样，如果x，~x在球B（x）中*; r） ，以x为中心*半径为r时，则满足切向圆锥条件：kF（~x）- F（x）- F（x）（￠x- x） k级≤ ηkF（￠x）- 那么，我们可以陈述以下结果：命题7。假设2和3成立。如果初始化对和x+在球B（x）内*; r） λ>（1+η）/（1- η） 是固定的，那么，对于任何一对正则化参数（α，α），具有足够小的条目，存在一些有限的n=n（α，α），使得分割算法的利润满足ykf（wn，zn）- yδkY≥ λδ>kF（wn+1，zn+1）- yδkY.（26）证明。根据命题5，分裂算法收敛于（24）中泛函的一个平稳点（wδα，α，zδα，α）。由于运算符F是Fr'echet可微分的，根据备注4，零位于F的次微分处（wδα，α，zδα，α）。换句话说，存在γ∈ gw（w）和β∈ hz（z），使0=wφ（wδα，α，zδα，α），zφ（wδα，α，zδα，α）+ （αγ，αβ）=F（xδα，α）*J（F（xδα，α）- yδ）+（αγ，αβ），其中J:y→ Y*是对偶映射，xδα，α=（wδα，α，zδα，α）。有关对偶映射的更多详细信息，请参见Margotti和Rieder（2014）以及Cioranescu（1990）中的第二章。