跳扩散模型标定的分裂策略

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英文标题：
《A Splitting Strategy for the Calibration of Jump-Diffusion Models》
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作者：
Vinicius Albani and Jorge Zubelli
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We present a detailed analysis and implementation of a splitting strategy to identify simultaneously the local-volatility surface and the jump-size distribution from quoted European prices. The underlying model consists of a jump-diffusion driven asset with time and price dependent volatility. Our approach uses a forward Dupire-type partial-integro-differential equations for the option prices to produce a parameter-to-solution map. The ill-posed inverse problem for such map is then solved by means of a Tikhonov-type convex regularization. The proofs of convergence and stability of the algorithm are provided together with numerical examples that substantiate the robustness of the method both for synthetic and real data.
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中文摘要：
我们对分割策略进行了详细的分析和实施，以从欧洲报价中同时确定局部波动面和跳跃大小分布。基础模型由跳跃扩散驱动的资产组成，其波动率与时间和价格相关。我们的方法使用期权价格的前向Dupire型偏积分微分方程来生成参数到解的映射。然后利用Tikhonov型凸正则化方法求解该映射的不适定反问题。文中给出了算法的收敛性和稳定性证明，并通过数值算例验证了该方法对合成数据和真实数据的鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Splitting_Strategy_for_the_Calibration_of_Jump-Diffusion_Models.pdf (1.4 MB)

2022-6-11 02:53:19 上传

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关键词：扩散模型 Differential distribution SIMULTANEOUS Quantitative

跳变扩散模型标定的分裂策略*Jorge P.Zubelli+2018年11月7日摘要我们提出了一种拆分策略的详细分析和实施，以从欧洲报价中同时识别局部波动面和跳跃大小分布。基本模型由跳跃式差异驱动的资产组成，其波动性与时间和价格有关。我们的方法使用期权价格的前向Dupire型部分积分微分方程来生成参数到解的映射。然后，利用Tikhonov型凸正则化方法求解此类映射的自定反问题。文中给出了算法的收敛性和稳定性证明，并通过数值算例验证了该方法对合成数据和真实数据的鲁棒性。关键词：跳跃扩散模拟、部分积分微分方程、有限差分格式、反问题、Tikhonov型正则化。1引言模型的选择和校准仍然是衍生品交易和套期保值中的关键问题之一。从数学角度来看，应通过适当的正则化将其视为不适定逆问题，如Engl et al.（1996）和Scherzer et al.（2008）的工作所述。该主题与萨默萨洛和卡皮奥（2004）所描述的非参数统计有着密切的联系。因此，模型选择和校准问题引起了众多作者的注意，这可以在《康特和坦科夫书》（2003）及其参考文献中看到。在最成功的非参数方法中，Dupire的局部波动率模型（1994）已成为市场标准之一。

它包括假设基础价格满足形式DST=rStdt+σ（t，St）dWt的随机动态，其中WT是风险中性度量下的维纳过程，σ是所谓的局部波动率。除了其内在的优雅和简单之外，Dupire模型的成功至少归功于两个因素：首先，当作为履约价格K和*圣卡塔里纳联邦大学，88.040-900 Florianopolis，巴西，v。albani@ufsc.br+巴西里约热内卢IMPA，RJ 22460-320，zubelli@impa.brthe到期时间τ。其次，有一个反向定价的PDE来计算其他（可能是奇异的）衍生品的重要性。然而，本地波动率模型的主要缺点之一是，此类模型仍然是不同的。因此，众所周知的程式化事实，如厚尾和对数回报的跳跃，变得难以确定和证明（Cont和Tankov（2003））。本文关注具有局部波动性的跳跃扩散模型的校准。我们利用了最近对文献的贡献，即Bentata和Cont（2015）中存在的此类模型的Dupire型正向方程。远期方程式的可用性使我们能够针对每个固定时间和基础价格，将期权价格视为到期时间和履约价格的函数。此外，通过考虑从过去基础和衍生产品价格收集的数据，我们可以丰富我们的观察数据，并努力获得更好的校准价格。许多作者从参数和非参数的角度对期权价格的跳跃差异模型进行了校准。见Andersenand Andreasen（2000）、Cont和Tankov（2003）和Gathereal（2006）。

在这项工作中，与之前的工作不同，我们专注于使用Dupire的正向方程，正如Bentata和Cont（2015）的工作中所概括的那样，并提出了一种分裂校准方法，以同时恢复局部波动率表面和跳跃大小分布。例如，对于欧洲香草期权价格的固定数据，我们校准了一些固定跳跃大小分布的波动率曲面。然后，我们找到了先前校准的波动率曲面跳跃大小分布的新重建。我们重复这些步骤，直到满足收敛的停止标准。得到的一对函数参数确实是真实局部波动率曲面和跳跃大小分布的稳定近似，无论它们是否存在。值得一提的是，用于识别这对函数参数的数据集与Dupire的局部波动率校准问题中使用的数据集相同。不需要额外的数据，因为如果我们想同时使用标准正则化技术校准两个参数，这是必要的（Engl et al.（1996））。由此产生的方法学符合Albani和Zubelli（2014）以及andAlbani等人（2018）研究的正则化技术。特别是，可以使用不同的先验分布。作为abyproduct，我们证明了在数据噪声降低的情况下，跳跃扩散模型校准的收敛估计。我们还获得了稳定和鲁棒的校准算法，无论是在真实数据还是合成数据下都表现良好。这项工作的计划如下：在第2节中，我们设置了符号并回顾了一些基本事实，包括跳跃扩散过程的基本正向方程。在第3节中，我们讨论了solutionmap参数的主要泛函分析性质。

第四节讨论了逆问题的分裂策略和正则化。特别地，我们回顾了切向锥条件，并在我们的上下文中证明了它在某些假设下的有效性。这个条件反过来又确保了Landweber类型方法的收敛性。本节中的结果并不特定于所考虑的跳跃差异模型。事实上，它们适用于更一般的反问题，尽管据我们所知，我们还没有看到这种形式的反问题。在第5节中，我们计算非线性参数到解映射的梯度，这对于操作方法至关重要。第6节涉及解决校准问题的数值方法及其验证。与Cont和Voltchkova（2005a；b）不同，我们还考虑了跳跃可能是有限的情况。第7节给出了一些数值例子，验证了理论结果并显示了我们方法的有效性。在第8节结束时，我们给出了一些最后的评论和进一步工作的建议。2准备让我们考虑概率空间(Ohm, G、 P）过滤{Ft}t≥0.用时间t的价格表示≥ 0，并假设其满足T=S+Z第一-dt+Ztσ（t，St-)StdWt+ZtZRSt-（安永- 1） N（dtdy），0≤ t型≤ T、 （1）式中，W是布朗运动，~N是[0，T]×R上泊松概率测度的补偿版本，用N表示，带补偿器ν（dy）dt。见Cont和Tankov（2003）。还假设σ为正，且从下到上以正常数为界，且补偿器νsatis fiesz | y |>1e2yν（dy）<∞.

（2） 由于σ是一致有界且非负的，那么，通过设置t=0并表示τ到期时间和K履约价格，Bentata和Cont（2015）的开创性工作表明（1）中资产的欧洲看涨期权价格由c（τ，K）=e定义-rτE[最大值{0，Sτ- K} | F]，是偏积分微分方程（PIDE）分布意义上的唯一解：Cτ（τ，K）-Kσ（τ，K）CKK（τ，K）+rKCK（τ，K）=ZRν（dz）ezC（τ，Ke-z）- C（τ，K）- （e）-z- 1） KCK（τ，K）, （3） 带τ≥ 0，K>0，初始条件c（0，K）=max{0，S- K} ，K>0。（4） 因为方程（3）中的扩散系数是无界的，并且随着K的增加而变为零→ 0，让我们执行变量y=log（K/S）和defi（τ，y）=σ（τ，Sey）和u（τ，y）=C（τ，Sey）/S的变化。因此，表示D=[0，T]×R，PIDE问题（3）-（4）变为τ（τ，y）- a（τ，y）（uyy（τ，y））- uy（τ，y））+ruy（τ，y）=ZRν（dz）ezu（τ，y- z）- u（τ，y）- （e）-z- 1） uy（τ，y）, （5） 带（τ，y）∈ D、 初始条件u（0，y）=max{0，1- y}，y∈ R、 （6）与在PIDE问题（5）-（6）中直接使用ν不同，我们认为，正如Kindermanand Mayer（2011）所述，νν（y）=ν（ν；y）的双指数尾=Ry公司-∞（安永- ex）ν（dx），y<0R∞y（ex- ey）ν（dx），y>0，（7）和卷积运算oriДf（y）：=Д* f（y）=ZRД（y- x） f（x）dx。将Bentata和Cont（2015）中的引理2.6应用于PIDE（5）的组成部分，ZRν（dz）ezu（τ，y- z）- u（τ，y）- （e）-z- 1） uy（τ，y）=ZRИ（y- z） （uyy（τ，z）- uy（τ，z））dz。（8） 在下面的内容中，我们将PIDE（5）的组成部分替换为（8）的右侧。备注1。

定义g（τ，y）：=最大值{0，1- ey}，因此，通过对u的定义，可以得出u（τ，y）=v（τ，y）+g（τ，y），其中▄v是PIDE的解：▄vτ=a（▄vyy- vy）- r▄vy+IД（b（▄vyy- vy））+G（9），具有齐次边界和初始条件，其中G=a（gyy- gy）- rgy+IИ（b（gyy- gy）），具有g的gyyand和gyweak导数。通过假设a∈ CB（D）带ay∈ L∞[0，T]，L（R）和a（τ，y）≥ c>0，预测（τ，y）∈ D、 ν是满足zx的L'evy度量≥1xexν（dx）<∞, 定理3.9 inKindermann和Mayer（2011）说明了v的存在性和唯一性。证明u是PIDE问题（5）-（6）的弱解的证明是对Kindermann和Mayer（2011）定理3.9证明的简单改编。要看到这一点，只需替换H（R）中的测试函数，用C中的紧凑支持替换测试函数∞（D） ，如Bentata和Cont（2015）所述，并用u代替▄v- g、 解的唯一性也可以通过Barles和Imbert（2008）中的分析方法来证明；Garroni和Menaldi（2002）或通过概率论证，如Inbenta和Cont（2015）中的定理2.8。另一种证明是考虑PIDE问题（5）-（6）的两种不同解决方案之间的差异。得到的函数是带G的边（9）的解≡ 根据Kindermann和Mayer（2011）的定理3.7，PIDE（9）的解的范数由G的范数支配，G的范数为零。因此，差异也是零，唯一性成立。因为v和g在D中是连续的，所以u也是一个连续函数。在第3节中，我们基于抛物偏微分方程的经典理论，给出了PIDE问题（5）-（6）解的存在唯一性的另一种证明。见Ladyzenskaja等人。

(1968).3解映射参数及其性质本节的目的是展示PIDE问题（5）-（6）的适定性以及解映射参数的一些正则性。我们作出以下附加假设：假设1。双指数尾对集合的限制(-∞, 0）和（0+∞) 在Sobolev空间W2,1中(-∞, 0）和W2,1（0+∞), 分别地W2,1(-∞, 0）（分别为W2,1（0+∞)) 是L的Sobolev空间(-∞, 0）（分别为l（0+∞)) 使其第一和第二弱导数在L中的函数(-∞, 0）（分别为L（0+∞)).例如，如果我们假设度量ν是函数x∈ (-∞, 0) 7→ ν((-∞, x] ）和x∈ (0, +∞) 7.→ ν（[x+∞)) 是连续的。我们记得，非负非增函数集在W2,1（0+∞) 以及W2,1中的非负非减函数集(-∞, 0).这一点特别重要，因为我们需要证明直接算子有一个Frech'et导数。为了确定Banach空间中直接算子的域x=H1+ε（D）×W2,1(-∞, 0）×W2,1（0+∞),设0<a≤ a<∞ 固定常数和a:D→ （a，a）是一个固定的连续函数，其关于τ和y的弱导数在L（D）中。D（F）={（￠a，Д）-, φ+) ∈ X：设a=~a+a，为s.t.a≤ 一≤ a、 设Д为s.t.，Д=Д-在中(-∞, 0）和Д=Д+英寸（0+∞)}很容易看出∈ L（R）。为了简单起见，我们将在下面的内容中写下（a，Д）∈ D（F），表示a和Д在D（F）的定义中给出。提案1。设（a，ν）在D（F）中，此外，假设kИkL（R）<C-1，其中常数C依赖于a、a和r。那么，在W1,22，loc（D）中存在PIDE问题（5）-（6）的唯一解。证据存在性和唯一性证明后面是一个定点论证。

给定（a，Д）inD（F）和F∈ L（D），定义关联每个v的运算符G∈ W1,2（D）至w∈ W1,2（D），wτ=a（wyy）的解- wy）- 跑道+IД（vyy- vy）+f（10），具有齐次边界条件。根据杨氏不等式，IИ（vyy- vy）∈ L（D）。因此，根据爱格和英语（2005）中的命题A.1，可以得出PDE问题（10）有唯一的解决方案和kwkW1,2（D）≤ CkI^1（vyy- vy）+f kL（D）。同样，根据杨氏不等式，kIИ（vyy-vy）kL（D）≤ k^1kL（R）kvyy-vykL（D）≤ kДkL（R）kvkW1,2（D）。自kИkL（R）<C-因此，对于任何v∈ W1,2（D），v 6=0，kwkW1,2（D）<kvkW1,2（D）+CkfkL（D）。让我们看看G是一个收缩。对于任何v，v∈ W1,2（D），设置w=G（v），w=G（v）和w=w- w、 因此，w是（10）的解，f=0，kw- wkW1,2（D）<kv- vkW1,2（D）。因此，G实际上是W1,2（D）中的一个收缩，并且有一个唯一的固定点w，它是▄wτ=a（▄wyy）的唯一解- wy）- r▄wy+IИ（▄wy- wy）+f，（11），具有齐次边界条件。PIDE问题（5）-（6）的任何解u都可以写为u=~w+~u，其中▄w是PIDE问题（11）的解，f=-IИ（￠uyy）- uy）和▄u（10）的解，其中φ=0，f=0，边界和初始条件与PIDE问题（5）-（6）相同。~u的存在唯一性∈ W1,22，loc（D）由爱格·安登格尔（2005）中的推论A.1保证。因此，断言如下。备注2。由于上述证明中的w是G的固定点，它满足不等式kwkW1,2p（D）≤ CkИkL（R）kwkW1,2p（D）+kfkL（D）.进一步假设kДkL（R）≤ 常数为0<K<1的K/C，我们有KwkW1,2p（D）≤C1类- KkfkL（D）。（12） 定义1。

直接运算符F:D（F）→ W1,2（D）联营公司（￠a，Д）-, ^1++至u（a，Д）-u（a，0），其中u（a，Д）是PIDE问题（5）-（6）的解，其中（a，Д）在D（F）中。换言之，F（￠a，Д）-, ν+）是具有均匀边界条件的PIDE问题（11）的解，f=-IИ（u（a，0）yy- u（a，0）y）。引理1。对于PIDE问题（5）-（6）satis fiesku（a，Д）yy的D（F），u（a，Д）给出的任何（a，Д）解- u（a，Д）ykL（D）≤C1类- K、 （13）C和K取决于系数a和Д的界限。证据根据爱格和英语（2005）中的推论A.1，ku（A，0）yy-对于某些常数C，u（a，0）ykL（D）<C，并且自u（a，Д）- u（a，0）∈ W1,2（D）表示任何（a，Д）∈ D（F），它紧跟着thatku（a，Д）yy- u（a，Д）ykL（D）=ku（a，Д）yy- u（a，ν）y±（u（a，0）yy- u（a，0）y）kL（D）≤ k（u（a，Д）- u（a，0））yy- （u（a，Д）- u（a，0））ykL（D）+ku（a，0）yy- u（a，0）ykL（D）。根据爱格和恩格尔（2005）中的方程式（12）和推论A.1，k（u（A，Д）- u（a，0））yy- （u（a，Д）- u（a，0））ykL（D）≤ ku（a，Д）- u（a，0）kW1,2（D）≤C1类- KkИkL（R）ku（a，0）yy- u（a，0）ykL（D）。自k^1kL（R）起≤ K/C，它遵循thatku（a，Д）yy- u（a，Д）ykL（D）≤C1类- K、 对于D（F）给出的任何（a，Д）。我们现在可以陈述以下内容：提议2。地图F:D（F）→ W1,2（D）是连续的。证据让序列{（a，ν）-,n、 ^1+，n）}n∈Nin D（F）收敛到（￠a，Д）-, φ+). 我们必须证明kF（￠a，ν）-,n、 ^1+，n）- F（￠a，Д）-, ^1++钾→ 0