跳扩散模型标定的分裂策略

应用xδα，α- x+在上述等式的两侧，我们有：αhγ，w+- wδα，αi+αhβ，z+- zδα，αi=hJ（F（xδα，α）- yδ），F（xδα，α）（xδα，α- x+）i.注意，hJ（F（xδα，α）- yδ），F（xδα，α）（xδα，α- x+）i=kF（xδα，α）- yδkp- hJ（yδ- F（xδα，α）），yδ- F（xδα，α）- F（xδα，α）（x+- xδα，α）i≥kF（xδα，α）- yδkp- kF（xδα，α）- yδkp-1kyδ- F（xδα，α）- F（xδα，α）（x+- xδα，α）k≥kF（xδα，α）- yδkp+- kF（xδα，α）- yδ）kp-1.δ+kF（x+）- F（xδα，α）- F（xδα，α）（x+- xδα，α）k≥kF（xδα，α）- yδkp- kF（xδα，α）- yδkp-1.δ+ηkF（x+）- F（xδα，α）k≥kF（xδα，α）- yδkp- kF（xδα，α）- yδkp-1.（1+η）δ+ηkyδ- F（xδα，α）k.通过矛盾，我们假设不存在α，α>0，使得φ（wδα，α，zδα，α）<λpδp.So，通过上述估计，并假设λ>（1+η）/（1- η） ，它遵循αhγ，w+- wδα，αi+αhβ，z+- zδα，αi≥kF（xδα，α）- yδkp- kF（xδα，α）- yδ）kp-1.（1+η）δ+ηkyδ- F（xδα，α）k≥kF（xδα，α）- yδkp1.- η -1 + ηλ≥ （λδ）p1.- η -1 + ηλ.由于gwand hzare凸，α（gw（w+）-gw（wδα，α））+α（hz（z+）-hz（zδα，α））≥ αhγ，w+-wδα，αi+αhβ，z+-zδα，αi.总结，α（gw（w+）- gw（wδα，α））+α（hz（z+）- hz（zδα，α））≥ （λδ）p1.- η -1 + ηλ, （27）不等式（27）的右侧为正。由于α，α>0，根据上述估计，gw（w+）-gw（wδα，α）≥ 0和hz（z+）-hz（zδα，α）≥ 如果K=max{gw（w+），hz（z+）}，那么，2（α+α）K≥ α（gw（w+）- gw（wδα，α））+α（hz（z+）- hz（zδα，α））。因此，我们可以发现α，α>0，使得（27）的左侧小于右侧，这是一个矛盾。因此，必须存在α+，α+>0，使得φ（wδα+，α+，zδα+，α+<（λδ）p，对于每个固定的λ>（1+η）/（1- η).

通过φ（·，··）相对于X的正规拓扑和拓扑tx的连续性，某些有限迭代数n的存在性成立。要知道这也适用于任何非常小的正则化参数α，α，只需注意，通过上面相同的参数，不存在序列{αn，αn}n∈N、 αN，αN&0的正则化参数，使得φ（wδαN，αN，zδαN，αN）≥ λpδpfor每n∈ N、 因此，必须有α+，α+>0，这样，对于任何α∈ （0，α+）和α∈ (0, α+). 由此得出φ（wδα，α，zδα，α）<λpδp。作为上述证明的推论，我们有以下估计：（1）- η） kF（wδα，α，zδα，α）- yδkp- （1+η）δkF（wδα，α，zδα，α）- yδkp-1.≤ αhgw（w+）- gw（wδα，α）i+αhhz（z+）- hz（wδα，α）i.（28）以下命题表明，方程（25）的算法产生了（18）中反问题解的稳定近似。提案8。如果假设2和3成立，且正则化参数满足ylimδ→0αj（δ）=δ和limδ→0δpαj（δ）=0，j=1，2，（29）然后，通过方程（25）的算法获得的满足差分（26）的每个解序列，当δ和0时，有一个TX收敛子序列，收敛到反问题（18）的某个fx最小化解，fx在方程（23）中。证据考虑{δk}k∈N、 对于每个k，δk和0∈ N、 选择α=α（δk）和α=α（δk）>0，以使方程（26）中的偏差原则和方程（29）中的估计值与数据yδ和噪声级δk保持一致。同时考虑序列{（wδkα，α，zδkα，α）}k∈Nof由方程（25）的算法生成的相应固定点。我们需要证明这个序列有一个TX收敛的子序列。假设方程（25）中的算法总是使用同一对（w，z）进行初始化。

因此，对于每个k，F（wδkα，α，zδkα，α；yδk）≤ λpδp。此外，根据方程（23）中的关系和（28）中的估计，lim supk→∞hβgw（wδkα，α）+βhw（zδkα，α）i≤ βgw（w+）+βhz（z+）。（30）因此，取α+=maxk∈Nmax{α（δk），α（δk）}，和sincekF（wδkα，α，zδkα，α）- yk≤ kF（wδkα，α，zδkα，α）- yδkk+δk≤ （λ+1）δk，由此得出，lim supk→∞hkF（wδkα，α，zδkα，α）- ykp+α+gw（wδkα，α）+α+hz（zδkα，α）i≤ α+gw（w+）+α+hz（z+），即存在一个常数K>0，使得序列{（wδKα，α，zδKα，α）}K∈Nis在水平集Mα+（K）中，它是预紧的w.r.t.TX。因此，它有一个TX收敛的子序列，该子序列再次用{（wδKα，α，zδKα，α）}K表示∈N、 对于每个k，收敛到（▄w，▄z），w.r.t.TX∈ N、 kF（wδkα，α，zδkα，α）- yδkkY≤ λδk，由φ的弱下半连续性，kF（~w，~z）- ykp≤ lim信息→0kF（wδkα，α，zδkα，α）- yδkkp≤ 利姆→0λδk=0。这意味着（▄w，▄z）是反问题（18）的解。注意，根据方程式（30）的估计，βgw（~w）+βhz（~z）≤ βgw（w+）+βhz（z+）。所以，（▄w，▄z）是一个外汇最小化解决方案。下面的命题说明了方程（18）中反问题的某些解的不精确解的收敛性。不精确解是指满足方程（26）中差异的迭代（wn+1，zn+1）。提案9。让命题7的假设得到满足。进一步假设函数gw（w）和hz（z）一致有界于（w，z）∈ D、 然后，当δ&0时，满足方程（26）中差异的每个不精确解序列都有一个TXconvergent子序列，收敛到方程（18）中反问题的解。证据在命题（8）的证明中，让我们考虑{δk}k∈N、 使得δk和0，foreach k∈ N、 选择α=α（δk）和α=α（δk）>0，以满足差分原理不等式（26），并假设max{α（δk），α（δk）}≤ α+对于某些有限常数α+。

还考虑对应于α，α的迭代（wn+1，δk，zn+1，δk），并满足方程（26）中的离散性。自kF（wn+1，δk，zn+1，δk）- yδkk≤ λδkand由Scherzer et al.（2008）中的引理3.21得出，F（wn+1，δk，zn+1，δk；￠y，α+）≤ 2p级-1F（wn+1，δk，zn+1，δk；yδk，α++2p-1δpk≤ 2p级-1（λp+1）δpk+α+gw（wn+1，δk）+α+hz（zn+1，δk）。因为gw（w）和hz（z）一致有界于（w，z）∈ D、 存在一些常数K>0，使得（wn+1，δK，zn+1，δK）∈ Mα+（K），其中，在蒂霍诺夫型泛函中，yδ替换为▄y。由于Mα+（K）是预紧的w.r.t.TX，因此迭代序列{（wn+1，δK，zn+1，δK）}K∈Nhas是一个TX收敛子序列，也用{（wn+1，δk，zn+1，δk）}k表示∈Nand收敛到（~w，~z）w.r.t.TX。因此，通过F的TX连续性和Y的范数，它遵循kf（~w，~z）- yk≤ lim信息→∞kF（wn+1，δk，zn+1，δk）- yδkk≤ 利姆→∞λδk=0，断言如下。备注5。不难证明，在命题8的假设下，存在一系列有限迭代或不精确解，当δ和0时，这些解收敛于方程（18）中反问题的某个fx最小化解。让我们考虑{δk}k∈N、 使得δk和0，并假设对于每个k∈ N、 算法25提供的解（wδkα，α，zδkα，α）满足方程（26）中的差异。此外，对于每个k∈ N、 找到收敛于w.r.t.TXto（wδkα，α，zδkα，α）的迭代子序列，并选择一个也满足差异且接近（wδkα，α，zδkα，α）w.r.t.TX的迭代，并随着k的增加得到任意环化器。根据命题8，序列{（wδkα，α，zδkα，α）}有一个TX收敛子序列，收敛到方程（18）中反问题的fx最小化解（~w，z）。很容易看出，相应的迭代子序列也收敛到（~w，~z）w.r.t。

TX.5校准本节致力于根据当地波动率表面{a（τ，y）|（τ，y）的欧洲香草期权报价解决校准问题∈ D} 以及第4节中介绍的分裂技术得出的双指数尾。从双指数尾估计跳跃大小分布ν。5.1局部波动率曲面和双指数尾的校准反问题可以表述为：给定一组欧洲看涨期权价格u，使得u- u（a，0）在F，R（F）的范围内，D（F）中的find（a+，Д+）满足方程+u=u（a+，Д+），（31），其中u是（5）-（6）中PIDE问题的解，使用积分表示（8）。在实践中，只有在稀疏的杆网中才能观察到噪声选项数据。这些数据用uδ表示，其中ku- uδk≤ δ、 （32），δ>0是噪声级。为了在这种情况下使用第4节的结果，我们引入以下符号：w：=▄a=a- a、 z：=（Д）-, ^1+，w：=a，z：=0，~y：=~u- u（a，0），yδ：=uδ- P u（a，0），其中P将（5）-（6）的解投影到给定uδ的稀疏网格上。因为x=W×Z，W：=H1+ε（D），Z：=W2,1(-∞, 0）×W2,1（0+∞).设tx和tye分别是X和Y=W1,2（D）的弱拓扑。假设ga=gw和hД=hzare凸、真和弱下半连续泛函，命题2-4意味着假设2-3成立。

注意，假设3中的切向条件是命题4中不等式（17）的简单结果。因此，在给定数据uδ的情况下，如果反问题（31）的真解存在，则用于同时校准a和Д的分裂算法收敛于该真解的某种近似值。由于将W1,2（D）包含到L（D）中是连续的，因此在Tikhonov正则化函数（24）和（21）中，每当Y=W1,2（D）被Y=L（D）替换时，分裂算法给出的解的存在性和稳定性以及它对真解的收敛性也会降低。填补Tikhonov泛函（24）水平集弱预紧性的惩罚项的一个可能选择是ga（A）=ka-akH1+ε（D）表示变量a和变量Д，hД（Д）ishД（Д）=KL（Д+|Д+，0）+KL（Д+|Д+，0）+KL（Д+|Д+，0）+KL（Д-|φ-,0）+KL（Д）-|φ-,0）+KL（Д）-|φ-,0）其中，KL代表库尔贝克-莱布勒发散线KL（Д+|Д+，0）=Z+∞^1+lnφ+φ+,0+ (φ+,0- φ+)dx，给定的ν>0。在这种情况下，GaAs和hД是凸的、弱连续的和强制的。此外，Kullback-Leibler散度的水平集{ν∈ L（R）：KL（Д|Д）≤ C} 在L（R）中是弱预紧的。参见Resmerita和Anderssen（2007）中的引理3.4。5.2从双指数尾校准跳跃大小分布一种可能但不推荐的方法是通过对双指数尾进行一次微分来获得跳跃大小分布ν，因为，ν是这样的：Д+：=Д|（0+∞)∈ W2,1（0+∞)和Д-:= φ|(-∞,0)∈ W2,1(-∞, 0).

通过Sobolev的嵌入（参见Adamsand Fournier（2003）中的定理4.12），Д±是连续函数，而Д（z）=ezZz公司-∞ν（dx）=ezν((-∞, z] ），z<0-埃兹+∞zν（dx）=-ezν（[z+∞)), z>0。那么，z 7→ ν((-∞, z] ）和z 7→ ν（[z+∞)) 是连续函数。根据Kindermann和Mayer（2011）中的命题5.2，ν可以表示为ν（dx）=1+xxu-（dx），x<01+xx（1+xex）u+（dx），x>0，其中u+和u-是在（0+∞) 以及(-∞, 分别为0）。这意味着，z 7→ u-((-∞, z] ）和z 7→ u+（[z+∞)) 是连续函数，这意味着它们对于Lebesgue测度是绝对连续的。参见Dunford和Schwartz（1958）中的Lemma III.4.13。因此，存在可积函数h±，这样h-（x） dx=u-（dx）和h+（x）dx=u+（dx）。定义h∈ L（R），使得h|(-∞,0）=h-和h |（0+∞)= h+。引理2。地图h∈ 左（右）7-→ φ ∈ L（R）是紧的。证据设序列{（h-,n、 h+，n）}n∈n弱收敛到某些（h-, L中的h+(-∞, 0）×L（0+∞). 定义νn（z）=Zz公司-∞（ez- ex）1+xxh-,n（x）dx，z<0Z+∞z（ex- ez）1+xx（1+xex）h+，n（x）dx，z>0，对于每个n∈ N和Д=Д（u-, u+，以同样的方式。很容易看出Д+=Д|（0+∞)∈W1,1（0+∞) 和Д-= φ|(-∞,0)∈ W1,1(-∞, 0). 还应注意，根据假设，ν+，n∈W2,1（0+∞) 和Д-,n∈ W2,1(-∞, 0). 因此，通过Sobolev的嵌入（见定理4.12 inAdams和Fournier（2003）），ν+，n，ν+∈ L（0+∞) 和Д-,n、 ^1-∈ L(-∞, 0).估算值|Д-,n（z）- φ-（z）|=Zz公司-∞（ez- ex）1+xx（h-,n- h类-)（x） dx公司→ 0，几乎适用于(-∞, 0），自（ez）-ex）1+xxis英寸∞(0, +∞). 类似地，|Д+，n（z）-Д+（z）|→ 0几乎无处不在。根据单调收敛定理，断言如下。由于将h与Д关联的映射是紧的，因此相应的逆问题是不适定的。

因此，通过分化Д获得h的过程并不稳定。从双指数尾中找出跳跃大小分布的反问题：给定分裂算法的输出∈ L（R），FIND（h-, h+）∈ 五、-×V+满足Д（h-, h+＝Д，（33），其中V-×V+是L的子集(-∞, 0）×L（0+∞).如果我们将Tikhonov型正则化应用于此类反问题，则可以将其改写为：find（h-, h+）∈ 五、-×V+最小G（h-, h+=kД（h-, h+）- ИkL（R）+αfh-,0，h+，0（h-, h+，带（h-,0，h+，0）在L中(-∞, 0）×L（0+∞) 鉴于让我们假设fν-,0，ν+，0是弱下半连续凸的。如果液位设置为G（h-, h+在V中是弱紧的-×V+（或V-那么，如第4.1条所述，存在G（h）的稳定极小值-, V中的h+-×V+。总之，Tikhonov型正则化为跳跃大小分布ν提供了一个稳定的近似值。5.3梯度评估如Albani等人（2018）所述，为了实施数值梯度下降算法，以最小化每个变量的Tikhonov型函数，有必要评估数据拟合函数φ=φ（a，Д）数值近似的方向导数。如果akandДkdenote在梯度下降算法中分别迭代a和Д，则evaluateak=ak-1+θkaF（ak-1，￠Д）（34）Дk=Дk-1+βkДF（a，Дk-1） ，（35）直到达到一定公差，并固定▄a和▄。

为了执行此任务，我们将在连续设置中呈现此类导数的评估。自从aF（a，Д）=aφ（a，Д）+αga（a）和ДF（a，Д）=Дφ（a，Д）+αhИ（Д），用于评估aφ和Дφ，回想一下F在（a，Д）方向（h，γ）上的方向导数（a+h，Д+γ）∈ D（F），用v表示，是PIDEvτ（τ，y）的唯一解- a（τ，y）（vyy（τ，y）- vy（τ，y））+rvy（τ，y）- I^1（vyy- vy）（τ，y）=h（uyy（τ，y）- uy（τ，y））+Iγ（uyy- uy）（τ，y），（36），具有齐次边界和初始条件，其中u是PIDEproblem（5）-（6）的解。请注意，aF（a，Д）h=v（h，Д+0），和aφ（a，Д）=aF（a，Д）*P*（P u（a，Д）- uδ），因此，对于每h∈ Zaφ，h=aF（a，Д）*P*（P u（a，Д）- uδ），h=P u（a，Д）- uδ，PaF（a，Д）h.自P起aF（a，Д）h=P LMuyy-uyh，Muyy在哪里-uy是uyy的乘法-UyOperator和L是映射源h（uyy）的运算符- uy）对于具有齐次边界和初始条件（γ=0）的PIDE（36）的解，如下所示P u（a，Д）- uδ，PaF（a，Д）h= hMuyy公司-uyL公司*P*（P u（a，Д）- uδ），hi=h（uyy- uy）w，hi，其中w是伴随PIDE的解：wτ（τ，y）+（aw）yy（τ，y）+（aw）y（τ，y）- rwy（τ，y）=ZRД（x）（wyy（τ，x+y）+wy（τ，x+y））dx+P*P u（a，ν）- P*uδ，（37），具有齐次边界和终端条件。以类似的方式，我们评估Дφ和findДφ（z）=[H*uw]（z）：=ZTZR（uyy（τ，y- z）- uy（τ，y- z） ）w（τ，y）dydτ，其中u是PIDE问题（5）-（6）的解。6与Cont和Voltchkova（2005a）不同的是，我们直接考虑了跳跃活动有限的情况。这是因为我们对PIDE问题（5）-（6）的积分项使用表示（8）。首先，让我们限制对数货币范围，其中PIDE问题（5）-（6）被定义为[ymin，ymax]，其中ymin<0<ymax，然后，D=[0，τmax]×[ymin，ymax]。

在[ymin，ymax]之外，数值解假设这些点的Payoff函数的值。让我，J∈ N固定。我们考虑离散化τi=iτ，i=0，1，2。。。，一、 和yj=jy、 j=-J-J+1。。。，0, 1, ..., J、 用uij表示：=u（τi，yj），aij：=a（τi，yj），β：=τ /y和η=τ /y、 也可定义：Дj=Zyjymin公司-y（eyj- ex）ν（dx），yj<0Zymax+yyj（ex- eyj）ν（dx），yj>0，其中这些积分由梯形规则近似。PIDE问题（5）-（6）的微分部分用Crank-Nicolsonscheme近似，积分算子用梯形法则近似，得出：uij-ηaij（uij+1- 2uij+uij-1） +βaij（uij+1- uij公司-1） =用户界面-1j+ηai-1j（ui-1j+1- 2ui-1j+ui-1j-1) -βai-1j（ui-1j+1- 用户界面-1j-1） +英里-1j，（38）其中MI-1j=JXk=-JДkeyk键β（ui-1j+1-k- 2ui-1j-k+ui-1j-1.-k）-τ（ui-1j+1-k- 用户界面-1j-1.-k）.在Kindermann等人（2008）中，Crank-Nicholson型算法也被用于解决所谓的直接问题。在那里，作者对localspeed函数的校准很感兴趣，这里的localspeed函数设置为常量并等于1。求解具有齐次边界和终端条件的伴随PIDE（37）的数值格式与方程（38）中的格式非常相似。根据第5.3节所述的相同之处，我们发现了数据错误函数φ梯度的离散版本。6.1数值验证本示例的目的是通过与其他技术的比较来说明（38）中方案的准确性。假设S=1，ymax=5，ymin=-5，τmax=1，τ = 0.005, y=0.025，r=0，局部波动率面为常数，a≡ 0.0113.