利用信号进行最优交易

例如，“Q'p'tq'Q'Q'Q，VN：'BtVN“maxpPr0,1s^gppq'pBQVN'2Npp1'pqBQVN'。（2.9）我们使用N“1这一事实来解HJB方程。命题2.4.在确定性极限N”8中，函数vpt，Qq：“p'tqg'QQ1't'（2.9）'Qp'tqq'Q'Q'pdetpt，Qq：“\'\'Q'Q1't.Proof。约束可以包含在拉格朗日函数中。分辨率为λmaxpspsqtdsd1Ar0,1sztgppsqds'λ710ztpsds'Q729;。通过对tops进行形式化推导，我们得到了gppsq'λ，这意味着通过严格的凹凸常数。因此，唯一保证\'Q'Qisps的值“\'Q'Q1't，结果从何而来。l3近似解3.1性能比我们在本节中的目标是找到最佳阈值策略的闭合近似公式。为了确定近似值是否满足要求，我们将引入性能基准。借助离散动态规划，我们可以计算最佳策略及其预期回报性能最优。类似，我们可以计算阈值策略的预期回报perfDeterministicPt“pdeto Pt将是从确定性策略获得的预期回报与最佳策略的比率：绩效比率“perf'perfdeterministicperfoptimal'perfdeterministic，其中我们用perf表示pt下的预期收益。我们实施一个数值方案以获得最优解，并将其作为基准，参见附录B.3.2近似问题我们可以利用2n！1的事实来获得（2.9）的近似解. 我们在方程中使用近似值Bqvn<<BQVin。请注意BQVPT，Qq“p1'tq'1g'Q'Q1't'p1'tq'1gpptq。然后要解决的问题变成了SV pt，Qq：“maxppsqtdsd1Ar0,1s，stpsds”'Q'QE'Ntgppsq'gppsqNp1'TQPS1'psqds eff。（3.10）请注意，如果积分的最终界限为p1'，问题（3.10）将不适定tqt'Y~n问题的值在时间1'N为零。

然后积分可以在此时停止，从而解决不适定性问题。提案3.1。在特定情况下Pn\'1 | Sns“asfor someaa0，sn遵循一个统一的定律，我们有gppq“Gpp1'pq for someaa0.Proof。这是根据留给读者作为练习的基本计算得出的。在PPQ的情况下，我们会解决问题（3.10）：“Gpp'pqfor someGa0。问题变成了SRV pt，Qq：“maxppsqtdsd1Ar0,1s，tpsds”'Q'QGz1'NTPSQ'1'γpsqds，（3.11），γpsq：“Np1'tq.3.3无约束近似解我们可以在没有约束的情况下，假设解是相同的情况下解决问题。然后，当我们假设问题是确定性的，weminλmaxpssq'r'tpsp'psq'γpsq'ds'λ'tpsds'p'Q'Qq'。通过对tops进行形式化推导，我们得到了pt”'λ'1'γptq''''''''''''''''''''''''''''''''.我们通过以下方式获得λ“将其注入约束”，即，在数量上积分：\'QQ“p'tq'λ'1'Ntds1'γpsq。它给出了spt：“`1't'1'Nt1'γptq1'γpsqds'1'Q'Q1't'。计算积分，我们最终得到：pt”`pdetpt，Qq'1'ln“Np1'tq1‰Np1'tq''t 1'Np1'tq'。回想一下pdetpt，Qq：“rQQ1't.3.4约束下的近似解之前的控制选择有一个限制，因为拉格朗日分辨率没有考虑约束0dptd1。为了考虑这一特征，我们求解以下拉格朗日系统：minut，utě0，λmaxpssqAR'tpsp1'psq'1'γpsq'ds'λ710'tpsds'p'QQq'729; t'uspt'”usp1'ptqds.推导此拉格朗日ian关于toptg推导出方程p'ptq'γptq'''λ'ut'ut为零。

因此，utandutca不能同时为非零，我们可以研究三种情况：情况1：uta0，然后是pt“0，和ut”`1'γptq'λ'0。情况2：uta0，然后是pt“1，和ut”'1'γptq'λ'0。情况3：ut“ut”0，然后是0“p1'2ptq'1'γptq'λ'和'1'γptq'λ'。因此，我们看到该约束的ect仅取决于λ`'γptq'λλ“pt”{λa之间的比较有一个极限时间t：“'Np1'λqsuch thatp“0 iftět，和ut”ut”0 iftdt。它允许通过使用“QQ”ttpsds的事实，获得关于λ的以下方程式：1'2pdet'Np1'tq“λ^1'Np1'tqln'Np1'tq1'λ˙，其中我们表示pdet：“pdetpt，Qq”QQ1't。因此，我们得到pt“1{2'λ{21'Np1'tq。λ0的情况源于对称pdet，和pt'pt，请参见命题B。1。然后，对于所有λP R，我们有pt“1{2'λ{21'Np1'tq，带有1'2pdett'符号p1'2pdetqNp1'“tq”λ^1 ` Np1'tqln“Np1'tq1'''λ''''λ|˙.借助解算器，可以快速找到该值，初始猜测λ：“\'pdetpt，Qq。我们还可以在λ上迭代mapf:xTh'Y~n1'2pdet'signp1'2pdetqNp1'tq1'Np1'tqln”Np1'tq1'x'x'305;。实际上，迭代4次是不够的。3.5显著改善对称增益函数近似性能的系统方法之前策略的性能并不令人满意，见图3（我们解释说，inaccount的平均绩效为60%，考虑到第3.4节的约束，该策略在接近边界的情况下有更好的绩效，但从边界的情况来看，其绩效非常负面。我们通过观察数字发现，在剩余的小步骤中，优缺点方面的不匹配非常严重，并且在趋于一致时趋于消失。可能存在以下情况：对这种不匹配的几种解释。由于termBQVN，性能发生了很大的变化。

问题是，我们得到的公式涉及到寻找形状为1{plnpxq ` x ` 1q的函数的原语，这不会生成闭合公式。此外，请注意，在所有这些情况下，最优Pdoes不满足假设2.2，FQ't“t”在最后时刻匹配。图3:ForN“100”；在x轴上：购买（或出售）的股票（或合同）数量Q，andon they axis：通过第3.4节（约束）和第3.5节（无约束）的近似获得的最佳阈值策略近似的性能比。处理这个问题的一种方法就是移动损失函数γ。我们用一个弱化函数γτptq来代替它：“γpt`τq。简单移位的好处是，第3.3节和第3.4节中的优化方程在移位时得到相同的解，然后生成闭合公式。现在我们通过校准来确定τ。我们选择τ，以便得到n\'n的正确值“3.我们可以从离散动态规划原理中得到这个值：p1p1'3{Nq'Q1{N'”，见附录B。对于PDET“关于线ppdet”Q的对称性”就足够了。对于无约束问题，我们得到方程“'p1'2'Nτqp1'3'NτQ，它导致'1'2'Nτ'1'3'Nτ'unco'3.5723'。我们得到解决方案：pt“1{2 ` pdetpt，Qq'1{2'1'lnrNp1'tq'2.5723sNp1'tq'1'Np1'tq'3.5723'。（3.12）对于约束问题，我们得到了方程'λp1'3'Nτq，这导致λ“p3'Nτ'1q在方程λ^1'lnpp2'Nτq1'λq'729;“'1'τp1'λq，我们最终得到λNτq'1'lnp10'3Nτq''Nτ10'3Nτ。python解算器给出了τconst<<1.3445{N的近似解。

我们得到的解是：pt“1{2'λ{21'Np1'tq'1.3445，（3.13），带有1'2pdet'signp1'2pdetqNp1'tq'1'1.3445–p1'λ'q'728；“λ'1'Np1'tqln'Np1'tq'1.3445'1''λ|˙.借助解算器，可以快速计算该值，初始猜测λ：“\'pdetpt，Qq。我们还可以迭代mapf：xTh'Y~n1'2pdet'signp1'2pdetqNp1'tq'1.34451p1'x'q'1'Np1'tqln“Np1'tq1'x'''''''''x''305; onλ。在实践中，迭代4次就足够了。3.6绩效比较如果我们比较forN“100这两种策略的绩效比率。图4给出了该比率作为Q的函数。图4：forN“100；在X轴上：购买（或出售）的股份（或合同）数量Q，在X轴上：使用不同近似方案的最佳阈值策略近似的绩效比率：“受限校准”对应方程式（3.12）；“约束校准”对应于方程式（3.13）；“控制/非控制校准混合效应”对应于第3.6节混合前两种解决方案中的启发式。我们在图4中观察到，考虑到边界效应（“约束校准”）的转移策略的性能非常接近边界。此外，未考虑边界影响的转移策略（“无约束校准”）在靠近边界时表现不佳，但在靠近中心时表现良好。启发式策略包括考虑边界附近的边界效应（1{'| pdet'{| 259;.15），{'| pdet'{| 283;。“con/UN校准混合效应”曲线。0.15的选择是任意的。

这种混合效应策略至少恢复了98%的可用性能，甚至在极端的10%中恢复了99%。4投资的渐近行为在其他交易策略中的应用在本节中，我们将展示如何使用我们的框架来理解、衡量和预测由于在著名的最优清算框架中使用阈值驱动政策而产生的不确定性。交易算法的设计者面临以下困境：一方面，现在有权威文献解释如何设计最小化风险驱动成本函数的算法（参见[]、[]或[]）；另一方面，他们希望利用网络信号来推动他们的交易决策。据作者所知，只有两篇论文（[]和[]）提出了框架，以在现在的“标准”风险驱动框架中注入信号。但他们控制的是交易速度，而不是应用于信号的阈值。一旦计算出所需的交易速度，使用信号的最自然的方法是选择一个每单位时间内平均被信号交叉多次的阈值，该逆函数给出了所需的交易速度和“平均”通过所需次数阈值的阈值之间的自然关系，信号的实现并没有真正超过这个阈值的次数。为了真正控制这种不确定性，读者必须参考前面的章节。为此，本节将我们的结果，尤其是我们的库存渐近行为（IAB）定理，应用到著名的Almgren-Chris框架中。4.1 Almgren-Chriss框架的符号两个框架之间的连接：是时候清理尺寸为的位置，在ση临时部分和γ永久部分。最小化方案的风险规避为λ。

该框架中没有信号；均值-方差优化过度步骤的结果是确定的最佳交易速度ντk，第k个时间步长上的常数Rkτ，pk`qτs，注意[2]中的常数N不同于第1.1小节中引入的常数。其中，τ“T{N是离散化步骤：ντk”2sinhpκτ{2qsinhpκτqτ¨coshtκ¨pT'τkqu，其中κ代表τ1cosh'1t'prκτq{u，tilde变量是原始变量的重正化：rκ“λσrη，rη”η1'γτ2η˙。4.2从交易速度推导阈值政策优化（这里我们开发了ντk的例子，但这种方法可以用于任何其他交易速度，例如在[]或[]中获得的交易速度）只是交易算法的一个组成部分。下一步是以订单中事件的时间尺度与流动性进行交互。通常，这些相互作用的目标是以最佳价格购买timeτk和timeτpk\'1q之间的ντk¨τ股份。实际上，交易算法的设计者使用不同的方法来获得这些ντk¨τ份额。他们可以使用一种随机算法，如[]，在线学习到极限订单中点的最佳距离，或者他们可以直接控制信号高（分别低）时买入（分别卖出）下中点的距离。通常的做法是设置阈值θτkwhent“τk将其保持在一个时间τ内，等待信号穿过它。该阈值也可以实时更新，或根据停止时间τ或信号穿过的时间（如果有）。另一种常见做法是，一旦信号穿过θτk，算法发送市场指令或限价指令，或取消指令。

为简单起见，我们仅在示例中处理市场订单。有一种非常简单的方法可以在计算出所需的交易速度后推断出应用于信号的阈值：1。表示单位if时间内信号的平均观测次数，表示算法在典型时间间隔τ内观察信号uτ次。2、设置阈值θτksuch，使其成为概率为τk“ντk¨τuτ的分位数值。3、将IAB定理应用于F pt，Qq”pτttτu。因此，概率为（剩余）交易时间和（剩余）交易量的函数就足够了。一个非常简单的策略是，购买元订单（假设信号越高，短期价格回报的预期就越高），如果信号很高，发送市场指令，如果信号不是太负面，在账簿中维持限价指令，如果信号太负面，取消所有订单并等待。第1.1小节中介绍的信号观测总数N由uT给出。以Almgren Chris为例，这意味着：F ptq“2sinhpκτ{2qsinhpκτqlooooooooooooapκ，τq–quτ¨cosh”κ¨T'τZtτ^729；*。由于我们的最佳交易速度是确定性的，因此Fis仅是剩余时间的函数，而不是q的函数，剩余交易量。图5：离散的Almgren Chriss结果（点）、连续版本（蓝线）和切片的“qη”γ“σλ”“3）.顶部面板：剩余数量；底部面板：交易速度。4.3 IAB TheoremFQintervalrkτ，pk\'qτs的简单应用。

对于Cartea Jaimungal或Dang Bouchard-Lehalle等其他框架，IAB定理立即给出了渐近性，F将是时间和剩余交易量的函数。uτ“rντk”rQτpk\'1q'rQτkτ在时间τk时实际购买的股票rQτk：rντk'N'ντk，vpτkq'uτ\'，rQτk'N'rQdetτk，V pτkq'uT\'，（4.14）rqdett：“Q¨sinhtκpT'tqusinhpκT Q，vptq：“apκ，τqQ'uτcos”h“κ¨T'τZtτ^729；*τ1'apκ，τqQuτcosh”κ¨T'τZtτ^729；*和V ptq“Tsts“0vpsqds.Figure 5显示了这些分布中的一些值，它们的期望值为直线。根据设计，它们的期望值是目标值，即Almgren-ChrisFramework的连续版本。

由于IAB定理，现在可以知道这些量在任何时间点的分布的渐近性，如公式（4.14）所示。附录A极限定理我们陈述了[6]中用于连续极限的定理。设pθnqně0满足ně1：θn“θn'1'γHpθn'1，Xnq'γεnpθn'1，Xnq，其中状态具有由θ控制的动态马尔可夫表示，henceP rξnp G'n'1，ξn'2，…；θn'1，θn'2，…s“Gπθn'1pξn'1，dxqXn“f pξnq，其中πθ是θ'相关马尔可夫链ξn的转移概率，fis是一个函数。我们假设存在一个局部Lipschitz hpθq：“Eθ”hpθ，Xnq‰，因此ODEθ“hpθq，θp0q”θ，（a.15）有一个唯一的最大解。假设a.1（[]，第2章，假设a.1）。存在一个直径为ηa'θptq'0dtdt的固定圆柱体（a.15）h对于所有紧集K，函数εnpθ，Xq对于pθ，Xq在K中一致有界。然后微分方程定理成立：定理A.2（[]，第2章，定理1）。设εa0和γa0足够小，然后在假设A.1下，我们得到p"maxn:tndT}θn'θptnq}εdCpγ，T q，其中，对于固定的Ta8，Cpγ，T q趋于零，因为γ趋于0。设θγtn：“γ''''''''θn''θptnq，并设θγt为通过时间tn之间的线性插值获得的轨迹。然后我们有以下定理：定理A.3（[]，第3章，定理1）。当γ'0时，差分θγtq0dtdt向随机微分方程d''θt“dhdθr”的解p'θγtq0dtdtd收敛θptqs¨θtdt\'Rrθptqs¨Wt，pWtqRpθq“n“\'8covθrHpθ，XnqHpθ，XqsB离散分辨率我们提供了求解（2.4）的离散Hamilton-Jacobi-Bellman方程。LetV pn，Qq：“maxppkqndkdN\'1，QN”QE<<N\'1"yk”ngppkq fff我们正在寻找isV p，Q的结果。我们通过向后分辨率找到它。