利用信号进行最优交易

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英文标题：
《Optimal trading using signals》
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作者：
Hadrien De March and Charles-Albert Lehalle
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we propose a mathematical framework to address the uncertainty emergingwhen the designer of a trading algorithm uses a threshold on a signal as a control. We rely ona theorem by Benveniste and Priouret to deduce our Inventory Asymptotic Behaviour (IAB)Theorem giving the full distribution of the inventory at any point in time for a well formulatedtime continuous version of the trading algorithm.Since this is the first time a paper proposes to address the uncertainty linked to the use of athreshold on a signal for trading, we give some structural elements about the kind of signals thatare using in execution. Then we show how to control this uncertainty for a given cost function.There is no closed form solution to this control, hence we propose several approximation schemesand compare their performances.Moreover, we explain how to apply the IAB Theorem to any trading algorithm drivenby a trading speed. It is not needed to control the uncertainty due to the thresholding of asignal to exploit the IAB Theorem; it can be applied ex-post to any traditional trading algorithm.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一个数学框架来解决交易算法设计者使用信号阈值作为控制时出现的不确定性。我们依靠Benveniste和Priouret的一个定理来推导我们的库存渐近行为（IAB）定理，该定理给出了交易算法的一个公式化的时间连续版本在任何时间点的库存的完整分布。由于这是第一次有论文提出解决与在交易信号上使用athreshold相关的不确定性，我们给出了执行中使用的信号类型的一些结构要素。然后，我们展示了如何控制给定成本函数的这种不确定性。该控制没有封闭形式的解，因此我们提出了几种近似方案并比较了它们的性能。此外，我们还解释了如何将IAB定理应用于任何由交易速度驱动的交易算法。利用IAB定理，不需要控制信号阈值的不确定性；它可以事后应用于任何传统的交易算法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_trading_using_signals.pdf (851.91 KB)

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关键词：Mathematical distribution Quantitative uncertainty mathematica

使用signalsHadrien De March优化交易*Charles Albert Lehalle+2018年11月12日Abstractwhen the designer of a trading algorithm uses a threshold on a signal as a control当交易算法的设计者使用信号阈值作为控制时。我们依靠Benveniste和Priouret的一个定理来推导我们的库存渐近行为（IAB）定理，该定理给出了交易算法的一个公式化的时间连续版本在任何时间点的库存的完整分布。由于这是第一次有论文提出解决与在交易信号上使用athreshold相关的不确定性，我们给出了执行中使用的信号类型的一些结构要素。然后，我们展示了如何控制给定成本函数的这种不确定性。该控制没有封闭形式的解，因此我们提出了几种近似方案并比较了它们的性能。此外，我们还解释了如何将IAB定理应用于任何由交易速度驱动的交易算法。利用IAB定理，不需要控制信号阈值的不确定性；它可以事后应用于任何传统的交易算法。关键词。

最优交易，短期信号，随机控制。确认。作者感谢Mihail Vladkov、Robert Almgren、Reza Gholizadeh、Isaac Carruthers和Shankar Narayanan对使用信号阈值的atrading算法建模进行了卓有成效的讨论。1简介随着市场的分散和电子化，交易过程需要自动化。交易算法可用于购买或出售大量股票，通过不同的交易场所进行交易，以获得最具流动性的交易场所的利益，或创建市场（更多信息，请参见[]）*哈德里安埃科尔理工学院CMAP。de公司-march@polytechnique.org.+资本基金管理（巴黎）和帝国理工学院（伦敦）。arXiv:1811.03718v1【q-fin.TR】2018年11月8日，但很少关注交易过程中“信号”的使用。由于风险管理是数学金融的常见风险之一，因此我们将重点放在了风险管理上。90年代末，最优交易（或最优清算）文献围绕着两篇开创性的论文展开：执行成本的最优控制[]，重点关注如何在投资组合层面将潜在的市场影响降至最低，同时考虑到各组成部分之间的相关性；以及投资组合交易的最佳执行[]，重点是在接近马科维茨一号[]的均值-方差框架内，在交易缓慢（以尽量减少市场影响）和交易快速（以获得接近决策发起价格）之间的平衡。速度是一种充分的控制。随后，文献朝着对相同组件更复杂的控制方向发展，采用了更复杂的方式。市场影响[]和清算期间的价格变化[1]保持着首要地位。一个显著的例外是将最优交易扩展到做市。

在[]通过[]适应现代随机控制之后，[]和[]同时提出了不同标准的解决方案，即将消耗流动性的市场订单强度作为状态变量，并使用“过账价格”而不是交易速度作为控制。在最优做市文献中，目标不是平仓（即“元指令”），而是在市场的双方（买卖双方）提供流动性，以期获得买卖价差，并且不因逆向选择（通常由aprice trend建模）或中间价的意外变化过大而承受损失。回归最优交易：有人提出了具有不同控制的统计学习方法，如元指令的碎片化，以解决更快的时间尺度问题，如[]或[17]。2015年前最优交易的现有论文之间的共同点是，它们没有对最优交易者对未来价格走势的知识做出假设。在实践中，众所周知，短期交易者利用信号预测几分钟内的价格价值。最近的学术论文开始引入这样的信号，比如[]和自然而优雅的方式将其信号与永久的市场影响联系起来。尽管如此，订单流量还是一个非常特殊的信号。他们没有提供一种通用的方法来使用任何预测来调整交易速度。值得强调的是，Bertimas和Lo[]的初始文件包含了anAR（1）信号，产生了线性市场影响。对于非常简单的实用程序函数，Cartea和Jaimungal框架的特殊情况。此外，当你使用这样一个阈值时，会出现一种新的不确定性，因为它不能保证交易。

将阈值设置在与信号电平分位数相对应的水平θppq上，只能保证获得交易的概率为1'p。我们认为这是至关重要的，因为这是最自然的方式来呈现ahe饱和的想法，他只有很少的交易机会，因此他可能不会在每次交易的信号上完成订单。简而言之：交易者越倾向于机会主义，他就越有选择高分位数的自由，因此他最终将获得最佳价格。本文的另一个特点是，我们在离散时间框架（时间可以视为事件时间或物理时间，没有重大变化）中对价格动态进行建模，使其尽可能真实。我们工作的关键点之一是提供连续时间内动力学的自然近似，允许以优雅的方式求解，同时控制相关的近似误差。实现交易速度的随机性。即使使用任意标准确定了策略，我们的近似值也可以在任何时间点提供交易量的不确定性边界。我们的工作在很大程度上依赖于[6]的随机近似结果。本文的第一部分描述了我们心目中的交易信号类型，并提供了数字示例。第二节从使用信号的交易算法的离散公式开始，表达了我们的库存渐近行为定理，并展示了它对交易算法的渐近动力学的含义。第三节致力于解决众所周知的Almgren-Chris最优交易问题。1.1自动市场中的最优交易建模通过信号设计最优交易策略。和事件驱动。

根据文献（如[]或[]），我们将在中间价格的“有意义距离”（定义为最佳询价和最佳出价之间的中间）采用订单的事件驱动。公开的框架不会单独处理电子订单的收集（如[]），而是在一个聚合流动性池前进行交易。本文主要研究一个大型交易者的最优行为。我们的方法适用于机构投资者。为了保持符号和解释的简单，我们将以尽可能最好的价格出售）Q股。如果是买单，交易者不允许出售，如果是卖单，他不允许购买。在我们的框架中，表达最佳交易的最简单方式如下：o交易发生在时间0和时间T之间；o在此时间间隔内，交易者将“唤醒”N次（最后一个在T）；o从不使用时间）；o在每一步中，股票的价格为0，N，s，交易者的存货为Qn，交易者积累的资金为Mn；oSnPnSSthe next weak up）；交易员在stepnis做出决定的一种自然方式是，只有当信号大于阈值时才买入，而当信号低于另一阈值时才卖出。因此，系统的动态由$\'&\'%Pn\'1“Pn`Pn\'1Qn\'1“Qn\'1SnaθnMn\'1“Mn\'1Snaθn–Pn。（1.1）其中，xn“pPn，Qn，Mnqis表示状态，θ是一个阈值，在“n，应用于a信号。我们简化了这里的符号。我们使用snaθ来表示θn阈值在1之前和之后都有交叉。请记住，唤醒时间约为几秒到几分钟；因此，在两次唤醒之间会发生多个订单事件。交易者的目标是找到θn，以优化最终资金和保留数量的效用函数城市：upMN，QNq。

他基本上是想让资金最大化，同时尽可能接近终端目标。交易者用来达到这个最优值的控制是阈值θn的序列。1.2信号这里我们将考虑短期预测信号。作为一个例子，我们将使用[]中研究的信号，即最佳出价的数量除以tick数量之和是很大的，从这个意义上说，最佳出价和ask的数量更好地描述了订单中大刻度的短期流动性。对于小刻度仪器，可能需要巧妙地聚合几个极限，以获得相同的预测能力。汇丰银行（右，使用5.9亿次观察）。顶部：20秒后的预期价格变化；底部：不平衡值的密度（在每次更新首次出价和要价或数量时取样）。我们使用资本基金管理逐笔数据集计算了本文的信号。密度呈U形。使用并汇总了可用的主要交易场所。SN价格与未来价格变化相关零件号\'1。正如我们稍后将看到的那样，解决此最优交易问题的一个重要目标是与p级分位数相关的增益：gppq“Ep请注意，数量是将阈值设置为θppq时获得交易的概率。根据PANDθp–q的定义，我们有p“PpSně977; ppqq。最后，我们将假设ngppq“E\'Pn\'1 | Sně977; ppq”gppq{p是一个递增函数。图2显示了与实际数据不平衡相关的不同函数的形状。可以从下面的图表中看出：最大阈值θppq，更好的预期价格变动，当平均买卖价差低于1.2个刻度时，工具通常被视为大刻度【16】。图2：“不平衡信号”的函数gppq和Θppqf通用电气（左）和汇丰银行（右）。但最低的。

这是一种饱和机制：交易者越想利用信号，他所抓住的机会就越没有吸引力，从而逐渐扼杀其策略的效率。2信号阈值交易2.1问题的离散形式和相关的不确定性我们研究以下问题：经纪人想要购买给定数量的股票（或合同）。要做到这一点，他将没有机会在白天（或特定时间段）购买股票。对于0吨的每一次机会，我们引入以下数量：Qnis是已经购买的股票数量，Pn是股票价格，Mn是银行账户（即剩余资金）。每一次，我们都会观察到一个短期信号，它对N和N\'1之间的价格演变具有预测力。我们的控制策略将是购买snθnPn ` 1'Pn“Pn\'1Qn\'1\'Qn“1SněθnMn\'1\'Mn”\'1SněθnPn。我们添加了一些假设。假设2.1。（i）信号和价格移动向量pSn，Pn\'1q是i.i.d.（ii）映射θTh'Y~nErPn\'1 | Sněθs增大，pPtqtis鞅。（iii）映射θTh'Y~nPrSněθ是一个连续的双射映射，sforIAr。我们表示其倒数映射。由于这一假设，我们可以确定P P r的增益mapgppq：“Er1SněθppqPn\'1s。ngby（iii）和gpq“gpq”0 by（ii）。实际上，gpq：“Er1HPn\'1s“0，gpq：”ErPn\'1s“0和GPPQ'gppqp'p“E”Pn\'1Prθppq，ppqsPn\'1ip'p.Thengpppq'gppqp'pP rθppq，θppqs，因此，通过（iii）可在PandGPPQ“θppq”上区分gis。gis的凹度是由于θ正在减少的事实。θ执行Q命令时对MN的期望：maxpθnq0dndn'1，QN“QErMNs。（2.2）我们可以重新表述此问题，以表明qnandnar是唯一重要的状态变量。让我们为alln，Xn引入：“Mn\'pQ'QnqPn，并定义购买概率pn：”θ'1pθnq。我们有基本的进化方程Xn\'1'Xn“1SněθnPn\'1\'pQ'Qnq零件号\'1。

（2.3）（2.3）的期望给出了erxn\'1'Xn'Fns“gppnq”。然后我们得到了ErXNs“X\'E”N'1n“0gppnqi，因此问题（2.2）可以重写为maxpθnq0dN'N'1，QN“QErMNs”maxppnq0dN'1，QN“QErXNs”X'maxpnq0dN'N'1 QN“QE<<N'1"yN”0gppnq ff.（2.4）qn唯一重要的状态变量。我们为每个机会取一股的单位，但它可以是任意数量的股票，甚至是随机的，只要它与信号或价格无关，而不改变结果。如果股票数量与信号或价格相关（可能是这样），那么方程中将出现其他项。读者可以考虑使用信号的另一种方式：在书中保持一个限制顺序，除非信号低于阈值。一旦对变量进行了适当的更改，公式将保持不变。2.2连续极限为了得到HJB控制方程，自然要传递到连续时间极限。注意：通过最优控制的适应性和线性，我们可以在以下形状下寻找最优控制：t，…，N'u^t，…，Qu'Y~nr0，1s。

为了达到极限，我们需要另一个假设。假设2.2（执行概率的先验形状）。我们假设fnstems从宏观平滑映射F P C0,1\'r0，T s^r0，\'Qs，r0，1s：FNpn，Qq“\'F^nTN，QN˙` op1{？Nq，（2.5）当到达单位时，概率中的theois一致地出现在所有0dndn和\'Q：“Qn.A”噪声“项将出现在以下结果中，用abar表示，见等式（2.6）.请注意，在这些定义之后：o我们有一种方法可以对信号实现的不完善知识进行建模，o我们有一种方法可以在N较大时表示模型。我们现在可以提供库存的渐近动力学。定理2.3（库存渐近行为（IAB））。在假设2.2下，库存量在任何步骤n中的大小由qn“n”QnTN“op”Nq（2.6）给出，其中p'Qtq0dtd是随机微分方程$&%d'Qt“F pt，'QtqdtT'b'F p1'F qNpt，'QtqdWt？t'Q”0的解。（2.7）证明。这是微分方程定理的直接应用（见附录a第3章的定理1）。我们只是需要注意Qn\'1是有界的，它的期望值为Qn ` 1 | Fns'F'nTN，QTN'op{？Nq，其方差由vp给出Qn'1'Fnq'F p1'F q'nTN，Qn'op1q.l2.3关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程为了简化表示法，我们现在假设t“1，按时间缩放。然后通过在方程中替换得到案例t‰1。为了放松对pptq的规则约束，我们可以将最优交易问题（2.4）改写为：maxpptq0dtd1Ar0,1s，'q“QE”gppsqds, 用“Qt：”tpsds`？Nstapsp1'psqdWs。（2.8）VNpt，Qq“maxpspsqtdsd1Ar0,1s，'Qt”Q，'Q“'QE”Ttgppsqdsi从零开始：VNp，Q。pT的界限给出极限条件：VNpt，'QQVNp't，'Qtq'0，因为gpq“gpq”0。