足球比赛中赌注的风险中性定价与套期保值

等式29告诉我们，如果任何一支球队都进球，复制投资组合中的变化必须与赌注值X的变化相匹配。这种方法类似于Black-Scholes框架中的Deltahedgeng。我们用作复制工具的两个赌注是下一个主场和下一个客场。这些赌注在比赛期间以2018年11月12日的方式结算。足球˙头球当主队攻入一球时，下一个主队入球赌注的价格跳到1，下一个客场入球赌注的价格跳到零，反之亦然。进球后，赌注重置，并以正常市场价格再次交易。下注值为：ZNGt=λλ+λh1- e-（λ+λ）（T-t） i（30）ZNGt=λλ+λh1- e-（λ+λ）（T-t） i.（31）Delta矩阵，即在3.18中定义的目标情况下合同价值的变化是：δZNGtδZNGtδZNGtδZNGt=1.- ZNGt公司-ZNGt公司-ZNGt1- ZNGt公司（32）选择下一个目标下注作为对冲工具的原因是，这些下注是线性独立的（见定义3.11），即即使两个团队之间存在较大的目标差异，delta矩阵也是非奇异的。请注意，与使用比赛赔率下注作为对冲工具相比，这是一个优势：如果一个团队领先多个目标，几乎可以肯定该团队将获胜。在这种情况下，给定团队的比赛赔率赌注值接近1，而另一团队的比赛赔率赌注值接近0。另一个目标不会显著改变值，因此delta矩阵变得奇异，并且由于投资组合权重趋于一致，因此下注不适合进行混合。下一个目标永远不会是这种情况，因此可以用作自然对冲工具。我们用的是葡萄牙队对。

第2.1节中的荷兰游戏复制三个比赛赔率赌注的价值，使用下一个目标赌注作为对冲工具。图7显示了原始匹配赔率赌注的值以及复制投资组合的值（左列）和复制投资组合权重（右列）。图8显示了在进球时合同价值相对于复制投资组合价值的跳跃。此图包含几种不同类型的下注，即不仅匹配赔率下注，还包括高/低和正确分数下注。该图还包含了葡萄牙队对荷兰队比赛中的所有3个进球。可以看出，原始合同价值的跳跃与复制投资组合价值的跳跃一致，相关性为89%。表3显示了2012年欧洲足球锦标赛多场比赛的相关性。可以看出，所有游戏的相关性都相当高，平均为80%，标准偏差为19%。6、结论在本文中，我们已经证明了资产定价的基本定理适用于足球比赛中的赌注市场，前提是假定分数遵循恒定强度的独立泊松过程。我们开发了定价和复制的通用公式。我们已经证明，只有2个参数的模型校准于2018年11月12日。足球˙头像8。在葡萄牙对荷兰的比赛中进球时，实际合同价值（横轴）与复制投资组合价值（纵轴）的跳跃。对于所有目标，在目标之前的最后一个交易价格和目标之后的第一个交易价格之间计算变化。该图包含比赛赔率、高于/低于和正确分数下注。下一个目标主场和客场赌注被用作对冲工具，以构建复制投资组合。

请注意，复制投资组合的价值变化与原始合同的价值变化相对应，相关性为89%。游戏相关性丹麦vs.德国79%葡萄牙vs.荷兰89%西班牙vs.意大利97%意大利vs.克罗地亚47%西班牙vs.法国86%德国vs.意大利99%德国vs.希腊60%荷兰vs.德国93%西班牙vs.爱尔兰代表98%瑞典vs.英国50%平均80%标准差19%表3。对于一场游戏的所有赌注，在进球时赌注值跳跃与复制投资组合跳跃之间的相关性。到31个不同的赌注，误差小于2个买卖价差。此外，我们还表明，该模型也可用于复制和对冲。总的来说，我们在实际合同价值和相应复制投资组合的价值之间取得了良好的一致性，但我们指出，由于隐含强度实际上不是常数，对冲误差有时可能是显著的。2018年11月12日。Football˙HEADFundingPD和TA感谢经济和社会研究理事会（ESRC）对系统性风险中心的资助（ES/K002309/1）。ReferencesBack、Kerry和Stanley R Pliska。1991年，《关于有限状态空间资产定价的基本定理》数学经济学杂志20（1）：1-18。皮埃尔·布勒·马德。点进程和队列。第30卷。斯普林格，纽约。合规、赌博。2013年，“游戏中的追踪器-2013年夏季”。考克斯、约翰·C和斯蒂芬·A·罗斯。1976年，“替代随机过程的期权估价”金融经济学杂志3（1）：145–166。Delbaen、Freddy和Walter Schachermayer。资产定价基本理论的一般版本Mathematische annalen 300（1）：463–520。狄克逊、马克和迈克尔·罗宾逊。1998

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“评估红卡丁足球的影响：什么时候做出贡献以换取阻止进球机会。”《体育定量分析杂志》5（1）。附录A.估值公式本节总结了足球比赛中最常见的一些赌注价值的分析公式列表。在第一小节中，我们考虑欧洲投注，而第二小节包含非欧洲投注。A、 1欧洲赌注在游戏结束时，欧洲赌注的价值仅取决于最终分数。本节的公式直接来自命题3.15。表A1总结了2018年12月12日前一些最具代表性的支付函数和估值公式。足球˙人头注式支付∏NT，NT值XtNt，Nt，λ，λ主场比赛赔率1NT>NTPk>kQi=1Pki公司- Nit，∧i客场比赛赔率1NT<NTPk<kQi=1Pki公司- Nit，∧i比赛赔率平局1NT=NTPk=kQi=1Pki公司- Nit，∧i箭头Debreu K，KNT=K，NT=KQi=1PKi公司- Nit，∧i超过K 1NT+NT>KP∞k=k+1Pk- Nt公司- Nt，（λ+λ）K 1以下NT+NT<K主键-1k=0Pk- Nt公司- Nt，（λ+λ）奇数1NT+NT=1 mod 2经验值[-（λ+λ）]cosh[（λ+λ）]偶数1NT+NT=0 mod 2经验值[-（λ+λ）]sinh[（λ+λ）]赢取利润K 1NT公司- NT=K经验值[-(Λ+ Λ)]ΛΛK-Nt+Nt·B | K-Nt+Nt|√ΛΛ表A1。一些最常见的足球比赛中赌注的估值公式。ΠNT，NT表示Payoff函数，即游戏结束时欧洲赌注的价值。P（k，λ）表示泊松分布，即P（k，λ）=k！e-∧∧kand∧i=λi（T- t） 与i∈ 主队和客队分别为{1，2}。欧洲赌博的常见类型。主场、客场和平局的赔率取决于比赛的最终结果。如果最终得分等于toK，K，则箭头Debreu K，Kbets支付。如果目标总数超过或低于K，则在K以上和K以下下注支付。

如果总进球数为奇数或偶数，则奇数和偶数赌注将获得回报。如果主场和awayscores之间的差值等于K，则获胜保证金K下注获胜。该下注的值遵循Skellam分布，Bk（z）表示第一类修正贝塞尔函数。A、 2此类非欧洲赌注在游戏结束时的价值不仅取决于最终得分，还取决于游戏结束前的得分或得分顺序。我们考虑这一类别中两种流行的赌注：下一个目标和半场/全场赌注。这些赌注的估值遵循推论3.9。A、 2.1下一个目标。如果主队取得下一个进球，则下一个进球的主场赌注获胜。该bet的值为xt=λλ+λh1- e-（λ+λ）（T-t） i.（A1）类似地，下一个客场目标赌注的值等于toXt=λλ+λh1- e-（λ+λ）（T-t） i.（A2）A.2.2半日制/全日制。如果半场和全场比赛由预测的球队获胜或是平局，则半场/全场比赛获胜。鉴于2018年12月12日之前有3个。足球˙每半场有9个赌注。例如，上半场结束前半时主场/全场抽奖赌注的值等于：Xt=Pk>kPl=lPk- Nt，λT- t型Pk- Nt，λT- t型×Pl- k、 λT- TPl- k、 λT- T.（A3）在下半场，如果上半场没有被主队赢下，该赌注将变得一文不值，或者在其他方面与平局赌注相等。