足球比赛中赌注的风险中性定价与套期保值

游戏结束时，总赌注数为3，直到2.5以下的所有赌注都变得一文不值，而3.5以下和更高的赌注达到1。补偿器λ、λ不一定等于强度u、u，因此价格在物理度量P中不是必要的鞅。这类似于Black-Scholes模型，其中股票在物理度量中的漂移不一定等于无风险率。我们现在正密切关注Harrison和Pliska（1981）对必要概念的定义。3.2赌注的风险中性定价定义3.2（交易策略）。交易策略是一个Ft可预测向量过程φt=φt，φt，φt这令人满意φ为ds<∞ 对于i∈ {0, 1, 2}. 关联值过程用vφt=φtBt+φtSt+φtSt表示。（3） 交易策略为自筹ifVφt=Vφ+ZtφSDS+ZtφSDS。（4） 式中，rtφisdSis，i∈ {1，2}是一个Lebesgue-Stieltjes积分，根据Br'emaud（1981）第17页的命题2.3.2可以很好地定义。2018年11月12日。足球˙人头定义3.3（无套利）。如果没有自筹交易策略φtexist，则该模型是无套利的，因此PhVφt- Vφ≥ 0i=1和PHVφt- Vφ>0i>0。定义3.4（bet）。赌注（也称为未定权益或衍生品）是一个FT可测量的随机变量XT。实际上，这意味着赌注的价值将在游戏结束时显现出来。定义3.5（完整性）。如果对于每一个下注XT，存在XT=VφT的自融资交易策略φTsch，则该模型是完整的。在这种情况下，我们说，下注XT由交易策略φT复制。定理3.6（风险中性度量）。

存在一个称为风险中性等价鞅测度的概率测度Q，即：（a）资产处理Bt、St、Stare Q-鞅。（b） 目标过程Ntan和Ntin测度Q是强度分别为λ和λ的标准泊松过程（通常不同于u和u的p强度）。（c） Q是P的等价度量，即概率为零的事件集对于这两种度量都是相同的。（d） Q是唯一的。证据证明依赖于点过程的Girsanov定理（见Br'emaud（1981）第165页的定理2和第166页的定理3），该定理指出，在概率测度q下，n和n都是强度为λ和λ的泊松过程，概率测度q由Radon-Nikodym导数qdp=Lt，（5），其中Lt=Yi=1λiuiNitexp[（ui- λi）t]。（6） 然后，唯一性来自Br’emaud（1981）第64页的定理8，该定理指出，如果两个度量具有相同的强度集，那么这两个度量必须重合。Br’emaud（1981）第27页的积分定理指出，Nit-λitare Q-鞅，因此资产也是i的Q-鞅∈ {1, 2}.Tankov（2004）的命题9.5声称P和Q是等效的概率度量。债券资产Bt的过程在每个度量中都是一个平凡的鞅，因为它是一个确定性常数，因此不依赖于度量。备注3.7。更改泊松过程的度量值会更改强度并保持漂移不变。这与维纳过程的情况相反，在维纳过程中，测量值的改变改变了漂移，波动率保持不变。2018年11月12日。足球˙人头定理3.8。（无套利）该模型是无套利且完整的。证据这直接源自金融的第一和第二基本定理。

更具体地说，无套利性源自Delbaenand Schachermayer（1994）的定理1.1，该定理指出，风险中性度量的存在意味着所谓的条件“无免费午餐，风险消失”，这意味着无套利性。完整性源自Harrison和Pliska（1981）的定理3.36，该定理指出，如果风险中性度量是唯一的，则模型是完整的。或者，它也遵循定理3.35，该定理指出，如果鞅表示定理适用于所有鞅，则模型是完整的，这是根据Br’emaud（1981）第76页定理17得出的情况。推论3.9。下注的时间t值等于游戏结束时其价值的风险中性预期，形式上为：Xt=EQ[Xt | Ft]。（7） 证明。这直接源自Harrison和Pliska（1981）的3.31号提案。推论3.10。下注的时间t值也等于相关自融资交易策略φt的值，形式上为：Xt=Vφt=Vφ+ZtφsdSs+ZtφsdSs。（8） 证明。这直接源自Harrison和Pliska（1981）的3.32号提案。定义3.11（线性独立性）。如果自融资交易策略φt，则下注Zt和Zt是线性独立的=φt，φt，φt这与自筹交易策略φt几乎可以肯定是线性无关的=φt，φt，φt这复制了ZT。正式，随时t∈ [0，T]和任意常数c，c∈ Rcφt6=cφtP a.s.（9）提案3.12（复制）。通过在任意两个线性独立的下注ZT和ZT中取一个动态位置，可以复制任何下注Xt，形式为：Xt=X+ZTψsdZs+ZTψsdZs，（10），其中权重ψt，ψtar等于以下方程的解：φtφtφtφtφtψtψt=φtφt（11） 在哪里φt，φt,φt，φt和φt，φt是交易策略的组成部分，分别复制ZT、ZT和XT。积分ψSDZ于2018年12月12日到期。

足球头的解释如下：ZtψsdZs=ZtψsφsdSs+ZtψsφsdSs（12），与rtψsdZs类似。证据将dZt=φtdSt+φtdSt，dZt=φtdSt+φtdStand方程8替换为方程10，验证了该命题。3.3欧洲赌注定义3.13（欧洲赌注）。欧洲赌注是一种赌注，其价值仅取决于最终进球数NT，NT，即formXT=πNT，NT（13） 其中∏是已知的标量函数N×N→ R，称为Payoff函数。示例3.14。一个典型的例子是，如果主队得分高于客队（主队获胜），则赌注为1，否则不支付任何费用，即∏NT，NT= 1.NT>NT其中，如果A为真，则函数1（A）的值为1，否则为零。另一个例子是，如果总进球数严格高于2，则赌注为1，否则不支付任何费用，即∏NT，NT= 1.NT+NT>2.提案3.15（定价公式）。带有Payoff函数∏的欧洲赌注的时间t值由显式公式XT给出=∞Xn=Nt∞Xn=Nt∏（n，n）Pn- Nt，λ（T- t）Pn- Nt，λ（T- t）, （14） 其中P（N，λ）是泊松概率，即P（N，λ）=e-∧N！∧Nif N≥ 0和p（N，λ）=0，否则。证据这直接遵循提案3.9和定义3.13。正如我们所看到的，欧洲赌注的价格是时间t和进球数的函数Nt，Nt和强度（λ，λ）。因此，从现在起，我们将用Xt=Xt来表示此函数Nt，Nt或Xt=Xtt、 Nt，Nt，λ，λ, 取决于上下文是否需要对强度的显式依赖。值得注意的是，足球比赛中确实存在阿罗-德布雷下注，这被称为正确得分下注。定义3.16（Arrow Debreu赌注）。

Arrow Debreu赌注，也称为正确分数赌注，是欧洲赌注，如果最终分数为1，则支付函数∏AD（K，K）等于1NT，NT等于指定结果（K，K），否则为0：∏AD（K，K）=1NT=K，NT=K（15） 2018年11月12日。足球˙头根据以下主张，Arrow Debreu赌注可用于静态复制任何欧洲赌注：主张3.17（静态复制）。根据Arrow-Debreu赌注的时间t值，具有Payoff函数∏的欧洲赌注的时间t值由以下公式给出：Xt=∞XK=Nt∞XK=Nt∏（K，K）Xt，AD（K，K），（16），其中Xt，AD（K，K）表示如果最终得分等于（K，K），则支付的箭头Debreu赌注的时间t值。证据这直接遵循提案3.15和定义3.16。现在，让我们定义下注值相对于时间变化和进球数的偏导数。这些都是套期保值所必需的，其作用与Black-Scholes框架中的希腊人相同。定义3.18（希腊语）。希腊语是应用于bet值的以下正向差分运算符（δ，δ）和偏导数运算符的值：δXtNt，Nt= Xt公司Nt+1，Nt- Xt公司Nt，Nt（17） δXtNt，Nt= Xt公司Nt，Nt+1- Xt公司Nt，Nt(18)tXt文件Nt，Nt= limdt公司→0dtXt+dtNt，Nt- Xt公司Nt，Nt（19） 备注。前向差分算子δ、δ起着δ和偏导数算子的作用t在Black-Scholes框架中发挥Theta的作用。定理3.19（Kolmogorov正演方程）。欧洲betX的价值t、 Nt，Nt通过支付函数∏（NT，NT），满足以下费曼·卡克关于时间间隔t的陈述∈ [0，T]也称为Kolmogorovforward方程：德克萨斯州t、 Nt，Nt= -λδXt、 Nt，Nt- λδXt、 Nt，Nt（20） 带边界条件：XTT、 NT，NT= ΠNT，NT.证据该命题可以使用命题3.15中的封闭式公式轻松验证。

此外，文献中还提供了一些证明，例如Tankov（2004）中的命题12.6、Ross（2006）中的定理6.2或Feller（1940）中的等式13。备注3.20。等式20还产生了一个结果，即如果任何一支球队得分（Delta中立），任何欧洲赌注组合都不会改变价值，也不会改变目标之间的价值（Theta中立）。我们注意到，在没有证据的情况下，这通常适用于所有赌注。2018年11月12日。足球˙人头推论3.21。欧洲赌注的价值Xt、 Nt，Nt，λ，λ满足以下要求：λiXt=（T- t） δiXt（21），其中i∈ {1, 2}.证据这直接来自提案3.15。提案3.22（投资组合权重）。组件φt，φt在复制欧洲赌注的交易策略中，XT等于赌注的远期差分算子（δ，δ），形式上为：φt=δXt、 Nt，Nt（22）φt=δXt、 Nt，Nt. （23）证明。回想一下，根据命题3.10，下注的时间t值等于Xt=X+Pi=1RtφisdSis，在替换dSit=dNit后- λidt变为X=X+Ztφsλ+φsλds+NtXk=0φtk+NtXk=0φtk，（24）其中我们使用drtφisdNis=PNitk=0φitkwhere 0≤ tik公司≤ t是Nitfor i过程第k次跳跃（目标）的时间∈ {1, 2}.另一方面，使用伊藤的跳跃过程公式（命题8.15，Tankov（2004）），由于命题3.15中的闭式公式是完全可微分的，因此该公式适用，欧洲赌注的价值等于toXt=X+ZtsX公司s、 Ns，Nsds+NtXk=0δXtk，Ntk-, Ntk公司-+NtXk=0δXtk，Ntk-, Ntk公司-, （25）其中tik- 指在跳转之前获取进程值的事实。因为等式24和25之间的等式适用于所有可能的跳跃时间，所以和后面的项是相等的，这证明了这个命题。4、模型校准在本节中，我们讨论如何根据历史市场价格校准模型参数。

我们证明存在唯一的等价鞅测度Q，即存在一组强度λ，λ，其与市场上观察到的所有赌注的价格一致（见命题3.6和3.8）。2018年11月12日。足球˙Head我们采用最小二乘法，在该方法中，我们考虑一组赌注的市场价格，并确定模型强度，从而为这些赌注提供尽可能接近市场价格的模型价格。具体而言，我们使用市场买卖价差作为权重，将模型和市场中间价之间的加权差平方和最小化为模型强度的函数。选择买卖价差权重的原因是，我们希望考虑权重较高的买卖价差较低的赌注，因为这些赌注的价格被认为更确定。形式上，我们最小化以下表达式：Rλt，λt=Vuutnnxi=1Xi，MIDt- 退出λt，λt，Nt，NtXi，销售- Xi，BUYt, （26）其中n是使用的赌注总数，Xi，buy and Xi，SELLtare在时间t，Xi，MIDtis的第i种类型的赌注的最佳市场买卖报价是市场中间价，它是最佳买卖报价的平均值，XitNt，Nt，λt，λt是时间t时第i次下注的模型价格，给定当前目标数Nt，Nt和模型强度参数λt，λt，见命题3.15。此最小化程序参考as模型校准。在游戏过程中，使用1分钟的时间步长进行校准，每个时间步长都是独立的。在我们的案例中，我们使用了三组最具流动性的赌注，分别是比赛赔率、高于/低于和正确分数，这三个类别共有31种赌注类型。附录A详细描述了这些下注类型。图3和图4中的连续线显示了校准的模型价格，而虚线是市场买卖价格。

可以看出，校准值接近市场报价，尽管它们并不总是在买卖价差内。作为对优度的衡量，我们使用方程26中成本函数的最佳值，即标定值与以买卖价差为单位的市场中间价的平均距离，标定误差如图5所示。我们对2012年欧洲杯的多场比赛进行了校准，每场比赛校准误差的时间平均值如表1所示。整个GAME中校准误差的平均值和标准偏差为1.57±0.27，由于方程式26中误差函数的权重，因此以买卖价差为单位进行解释。这意味着，平均而言，校准值超出了买卖价差，但并不显著。考虑到只有2个参数的模型已被校准为总共31个独立市场报价，这是一个相当好的结果。最后，隐含强度以及使用买卖价差校准的估计不确定性如图6所示。与我们最初的恒定强度假设相反，实际强度随时间而变化，而且两个团队的隐含目标强度似乎也有增加的趋势。为了更好地理解隐含强度过程的性质，我们估计了对数总强度的漂移和波动性，即我们假设如下：d lnλt+λt= udt+σdWt（27）2018年11月12日。足球˙头像5。游戏期间出现校准错误。校准误差定义为所有31个校准赌注值与以买卖价差为单位的市场中间价之间的平均距离。公式26给出了正式定义。

请注意，该特定游戏的校准误差通常在1到2个bid askspreads之间，这是一个相当好的结果，因为该模型只有2个自由参数来解释所有31个下注值。其中u和σ是过程的漂移和波动性。表2显示了多个游戏的估计结果。漂移项的平均值和标准偏差为u=0.55±0.16 1/90min，而波动项的平均值和标准偏差为σ=0.51±0.19 1/√90分钟。迪克森和罗宾逊（1998）通过分析1993年至1996年之间4012场比赛的进球次数，发现得分率逐渐增加。这一事实与迪克森和罗宾逊（1998）的发现一致。利用下一个目标下注进行套期保值在本节中，我们展示了市场的完整性，并展示了下一个目标集是自然的套期保值工具，可用于动态复制和对冲其他下注。回想一下，根据命题3.12，任何欧洲赌注Xt都可以通过动态交易两个线性独立工具Zt和Zt来复制：Xt=X+ZtψsdZs+ZtψsdZs（28）2018年11月12日。足球˙头像6。校准模型参数，也称为游戏期间的隐含强度。形式上，这等于最小值λt，λtof方程26。这些带显示了从赌注市场价值的买卖价差估计的参数不确定性。请注意，强度似乎有增加的趋势，并且随着时间的推移也会发生变化。比赛校准误差丹麦对德国1.65葡萄牙对荷兰1.18西班牙对意大利2.21瑞典对英格兰1.58意大利对克罗地亚1.45德国对意大利1.50德国对希腊1.34荷兰对德国1.78西班牙对爱尔兰1.64西班牙对法国1.40平均1.57标准差0.27表1。

图5所示的以买卖价差为单位的平均校准误差是针对2012年欧洲足球锦标赛的多场比赛计算的，如下表所示。请注意，平均值的平均值仅为1.57个买卖价差，标准偏差为0.27，这表明该模型对于所分析的游戏来说相当好。其中投资组合权重ψt，ψtare等于方程的解δZtδZtδZtδZtδZtψtψt=δXtδXt, （29）其中，有限差分算子δ（定义3.18）的值可为Com2018年11月12日。足球˙头球漂移[1/90分钟]第1卷/√90分钟]丹麦对德国0.36 0.28葡萄牙对荷兰0.49 0.44西班牙对意大利0.60 0.76瑞典对英国0.58 0.59意大利对克罗地亚0.82 0.60德国对意大利0.76 0.39德国对希腊0.65 0.66荷兰对德国0.43 0.32西班牙对爱尔兰代表0.32 0.78西班牙对法国0.48 0.25平均值0.55 0.51标准差0.16 0.19表2。2012年欧洲足球锦标赛多场比赛总对数强度的平均漂移和波动性。请注意，漂移项对所有比赛都是正的，这与随着比赛的进行，进球频率不断增加的经验观察一致。图7：。使用下一个目标主场和客场合同作为对冲工具，复制主场、客场和平局合同的比赛赔率。左列显示复制性能，虚线显示原始匹配赔率合约的价值，连续线显示复制投资组合的价值。右栏显示复制投资组合的权重，虚线显示下一个目标主场合同的权重，虚线显示下一个目标客场合同的权重。使用命题3.15计算，使用校准模型强度。