足球比赛中赌注的风险中性定价与套期保值

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英文标题：
《Risk-Neutral Pricing and Hedging of In-Play Football Bets》
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作者：
Sebastian del Bano Rollin and Zsolt Bihari and Tomaso Aste
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A risk-neutral valuation framework is developed for pricing and hedging in-play football bets based on modelling scores by independent Poisson processes with constant intensities. The Fundamental Theorems of Asset Pricing are applied to this set-up which enables us to derive novel arbitrage-free valuation formul\\ae\\ for contracts currently traded in the market. We also describe how to calibrate the model to the market and how trades can be replicated and hedged.
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中文摘要：
基于具有恒定强度的独立泊松过程的建模分数，开发了一个风险中性的足球赌注定价和对冲评估框架。资产定价的基本定理应用于这一设置，这使我们能够为目前在市场上交易的合同推导出新的无套利估值公式。我们还描述了如何根据市场校准模型，以及如何复制和对冲交易。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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关键词：套期保值 Quantitative QUANTITATIV Independent Fundamental

2018年11月12日。足球˙头。2018年1月-21日足球比赛中赌注的风险中性定价和对冲Peter Divos*+, 塞巴斯蒂安·德尔巴诺·罗林（Sebastian del Bano Rollin），佐尔特·比哈里（Zsolt Bihari）§&托马索·阿斯特（Tomaso Aste）*+*英国伦敦大学学院计算机科学系，Gower Street，London W1C 6BT，+英国伦敦WC2A2AE，伦敦经济和政治科学学院系统风险中心，英国伦敦玛丽皇后大学数学科学学院，Mile EndRoad，London E1 4NS，？英国布达佩斯科尔维努斯大学金融系，1093Budapest，Fovam ter 8，匈牙利（.）摘要基于具有恒定强度的独立泊松过程的建模分数，开发了一个风险中性的足球赌注定价和套期保值框架。资产定价的基本定理被应用于这一设置，这使我们能够为目前在市场上交易的合同推导出novelarbitrage free估值公式。我们还描述了如何根据市场校准模型，以及如何复制和对冲交易。关键词：资产定价、对冲、足球、赌球1。简介在足球比赛中，足球赌注是现场交易的。这些赌注的价格是由在基础游戏中取得的进球决定的，这样一来，价格在进球之间就会平稳地移动，并在进球时跳到一个新的水平。这与金融市场类似，在金融市场中，期权的价格会随着基础工具的价格变化而变化。

我们证明了资产定价的基本理论可以应用于足球比赛中的博彩市场，并且这些博彩可以在风险中性的框架下进行定价。几位作者研究了足球比赛最终得分的分布。特别是，Maher（1982）发现，独立的泊松分布可以合理准确地描述足球得分，并通过应用双变量泊松分布实现了进一步的改进。Dixon和Coles（1997）进一步发展了这一点，他们提出了一个模型，其中两个团队的最终得分不是独立的，但每个团队得分的边际分布仍然遵循标准泊松分布。Dixon和Robinson（1998）研究了比赛中进球时间的分布，他们应用了状态相关的泊松模型，其中球队的进球强度取决于当前的得分和时间。该模型还考虑了其他因素，如主场效应和伤停时间。标准泊松模型已应用于相关地址：伦敦大学学院计算机科学系，高尔街，伦敦W1C 6BT，联合王国2018年11月12日。Football˙HEADby Fitt、Howls和Kabelka（2005）开发了足球比赛中对进球和角球的利差赌注的分析估值公式。Jottreau（2009）提出了一个随机强度模型，其中目标由泊松过程驱动，强度是随机的，特别是由Cox-Ingerson-Ross过程驱动。

Vecer、Kopriva和Ichiba（2009）已经表明，在标准泊松模型的基础上，足球比赛中的赌注可能具有额外的敏感性，例如对红牌的敏感性。资产定价的基本定理构成了金融数学和衍生品定价的风险中性框架的基础，并已由几位作者开发，包括Cox和Ross（1976）、Harrison和Kreps（1979）、Harrison和Pliska（1981）、Harrison和Pliska（1983）、Huang（1985）、Du ffe（1988）以及Back和Pliska（1991）。第一个基本定理指出，市场是无套利的，当且仅当存在一个概率测度，在该概率测度下，基础资产价格是鞅。第二个基本定理指出，当且仅当鞅测度唯一时，市场是完整的（即，基础资产的任何衍生产品都可以动态复制）。本文采用独立的标准时间齐次泊松过程对两队的得分进行建模。我们构建了一个由三种基础资产组成的市场，并证明在该模型中存在一个唯一的鞅测度，因此足球比赛中的投注市场是无套利且完全的。然后，我们使用市场数据演示校准和复制性能。本文的结构如下。第2节包含了足球比赛中博彩的一般概述和数据集的概述。第3节定义了形式模型，并包含其他证券中Arrow Debreu证券的定价公式。在第4节中，我们将模型校准为在用赌注的历史市场报价，在第5节中，我们使用相同的数据表明，下一个目标赌注是自然的边缘工具，可用于构建复制投资组合，以匹配其他赌注的价值，尤其是流动交易的比赛赔率赌注。

附录报告了一些流动性最强的交易资产的分析定价公式。2、在足球比赛中下注在传统足球博彩中，也称为赛前或固定赔率博彩，下注在比赛开始之前。在线足球博彩使投注者能够在比赛开始后对比赛结果下注。主要区别在于，在比赛中下注时，随着比赛的进行和球队进球，某些结果的几率会上升到新的水平，下注的几率也会随之上升。价格在进球之间平稳波动，一旦进球，价格就会上涨。近几年来，投注变得越来越流行。例如，合规部（2013年）最近报告称，截至2013年第二季度，一家特定的博彩公司（Unibet）的场内投注收入超过了赛前投注收入，如图1所示。有两种主要类型的场内投注：赔率投注和价差投注。在赔率投注中，所提供的事件与数字选项类似，即如果事件发生，投注者会赢一定金额，反之则会输一定金额。典型的赔率赌注是一支球队是否赢得比赛，进球总数是否高于某个数字，或者下一个进球是否由主队攻入。在价差投注中，投注者可以任意赢或输。一个典型的例子是2018年11月12日的“总目标分钟数”。足球˙头像1。一家特定博彩公司（Unibet）足球博彩收入在比赛中和赛前足球博彩之间的收入分配。它向投注者支付每个目标的分钟时间之和。

在本文中，我们关注赔率博彩，但大多数结果也可以应用于价差博彩。Fitt、Howls和Kabelka（2005年）发布了一项包含各种价差投注分析定价公式的价差投注研究。场内投注提供各种类型的事件，如总进球、主场和客场进球、个人球员进球、纸牌、角球、受伤和其他事件。本文仅关注与目标事件相关的赌注。在整篇论文中，我们将赌注的价值XT称为在时间t时赌注可以买卖的价格，假设赌注在赢的情况下支付1个单位的固定金额，否则为零。从主题的角度来看，这是一种方便的表示法，但值得注意的是，在博彩市场中，不同的惯例用于指示价格。最流行的两种惯例是分数赔率和小数赔率。这两种惯例都依赖于这样一种假设，即下注者在下注时下注一个固定的赌注，如果下注赢了，就可以获得回报，如果输了，就没有回报。分数赔率是下注获胜时的净赔率（即赔率减去赌注），除以赌注。小数点赔率是下注获胜时下注的总赔率除以赌注。因此，下注Xt的值始终等于小数点赔率的倒数，该倒数等于分数赔率加1的倒数，形式上：Xt=小数点=小数点+1，（1）其中小数点表示小数点，小数点表示分数赔率。我们使用的大多数市场数据最初表示为十进制赔率，但对于所有数据和2018年11月12日的数据，使用上述公式将其转换为赌注值。

足球˙本文的基本计算。值得注意的是，在游戏期间，赌注可以自由买卖。这包括做空，这被称为下注。从数学上讲，这意味着持有的金额可以是负数。场内赌注可以从零售博彩公司以博彩公司提供的价格购买，但也可以在集中市场上交易，在集中市场上，交易所可以通过限额订单簿匹配参与者之间的交易订单，并保留各方的存款以弥补潜在损失。2.1示例比赛为了展示我们的结果，我们从2012年6月22日举行的2012年欧洲足球锦标赛中选择了葡萄牙对荷兰的比赛。之所以选择这场比赛，是因为这场比赛有一个复杂的局面，荷兰队打进了第一个进球，但葡萄牙队在下半场取得了领先，最终赢得了比赛。这使得游戏中的赔率跳跃了好几次，这使得它成为演示该模型在极端情况下如何表现的一个很好的候选者。作为比赛时间函数的进球数如图2所示。图3和图4显示了在一个名为Betfair的博彩市场上交易的两种赌注类型的市场价值：比赛赔率和低于比赛赔率。比赛赔率包括三个赌注：主队赢得比赛，客队赢得比赛和平局。在总目标数上下注，如果总目标数等于或小于X，则在X.5下下注会产生回报。虚线显示市场上的最佳买入和卖出价格，而连续线显示校准模型值（见第4节）。在比赛赔率的情况下，荷兰队攻入第一个进球后，荷兰队赢得比赛的赌注价值大幅上升。

当葡萄牙队攻入一球后，比分趋于平局时，平局赌注的价值上升了；当葡萄牙队以第三个进球取得领先时，葡萄牙队赢得比赛的赌注价值上升了。最后，在比赛结束时，葡萄牙队在比赛中的赌注价值收敛到1，其他赌注的价值为零。如果是过度下注，当该下注的价值跃升至零时，0.5以下下注的交易在最终收益后停止。到游戏结束时，3.5、4.5、5.5、6.5和7.5以下的赌注的价值达到了1，因为总的赌注数实际上是3，0.5、1.5和2.5以下的赌注的价值为零。3、数学框架在本节中，我们提出了一个风险中性的足球博彩估值框架。为此，我们遵循金融数学方法，首先假设一个概率空间，然后确定潜在可交易资产的市场，并假设这些资产的动态模型。我们表明，资产定价的第一和第二个基本定理适用于该市场，即该市场是无套利且完整的，这意味着所有衍生品都可以通过在基础资产中采取动态头寸来复制。在传统金融中，标的资产（例如astock）和衍生工具（例如股票期权）之间的区别是很自然的。足球博彩并非如此；2018年11月12日的基础数据之间没有如此明确的区别。足球˙头像2。2012年6月22日葡萄牙队对荷兰队比赛中两队的得分。上半场结果是1-1，葡萄牙队最终以2-1获胜。以及衍生资产，因为所有赌注都是在分数上进行的，而分数过程本身不是可交易资产。

为了能够应用资产定价的基本理论，我们需要专门引入基础资产，并通过假设这些资产在物理度量中的价格动态来定义模型。选择具有足够简单的价格动态的基础资产也是可取的，以便开发复制投资组合变得尽可能简单。出于这些原因，我们选择的两项基本资产是在比赛结束时分别支付主客队进球数的资产。需要注意的是，这些资产并非实际交易，因此，这种选择似乎不自然。然而，这些基础资产可以从Arrow Debreu证券中复制，这些证券在足球博彩中被称为CorrectScore赌注，并在实践中进行交易。此外，在第3.2节的末尾，我们得出了第3.12条提案，该提案规定，任何两个线性独立的赌注都可以用作对冲工具。因此，基础资产的选择实际上是无关紧要的，仅用于技术目的。这一结果应用于第5节，其中下一个目标赌注被用作自然的享乐工具。3.1设置让我们考虑概率空间(Ohm, F、 P）携带两个独立的泊松过程Nt，Nt，具有各自的强度u，u和过滤（Ft）t∈这些过程生成的[0，T]。让时间t=0表示游戏的开始，t=t表示游戏的结束。泊松过程表示截至2018年11月12日的进球数。足球˙人头图3。比赛期间三场比赛赔率赌注的值：平局（黑色）、葡萄牙赢（红色）、荷兰赢（蓝色）。虚线表示最佳市场买卖价格，连续线表示校准模型值。

请注意，荷兰队获胜赌注的价值在第一个进球后急剧上升，因为荷兰队赢得比赛的机会突然增加。当葡萄牙队攻入第一个进球时，它也因为同样的原因而下跌，同时，葡萄牙队的赢球和平局赌注的价值也上升了。到比赛结束时，由于葡萄牙实际上赢了这场比赛，葡萄牙获胜赌注的价值达到了1，而其他两项赌注都变得一文不值。上标1表示主队，上标2表示客队。这个符号贯穿始终，上标和指数之间的区别从上下文中总是很清楚的。概率测度P是真实世界或物理概率测度。我们假设存在一个流动市场，三种资产可以在没有交易成本或卖空或借贷限制的情况下连续交易。第一项资产是一种无风险债券，无利息，这是一种假设，其动机是足球比赛的时间相对较短。第二个和第三个资产的价值在比赛结束时分别等于主队和客队的进球数。定义3.1（模型）。该模型由以下资产价格动态确定：Bt=1St=Nt+λ（T- t） （2）St=Nt+λ（t- t） 其中λ和λ是已知的实常数。基本上，基础资产价格是补偿泊松过程，但2018年12月12日之前。足球˙头像4。游戏期间过度/不足下注的价值。在X.5下，如果游戏结束时的总进球数低于或等于X，则会有回报。标记线表示校准的模型价格，而灰色带表示最佳市场买卖价格。请注意，在0.5以下赌注的第一个进球交易结束后，它变得一文不值。