关于风险价值和预期短缺的近似估计

关于（1.1）中的其他部分，请参见（2.13）、（2.14）和（2.16）。通过对累积量生成函数log（MZ（t））的4阶泰勒展开，t∈(-t、 对于Z，我们有log（MZ（t））=Xk=0（log（MZ））（k）（0）k！tk+o（t）作为t→ 0，其中（log（MZ））（0）（0）=0，（log（MZ））（1）（0）=E（Z）=0，（log（MZ））（2）（0）=E（Z）=1，（log（MZ））（3）（0）=E（Z）=γZ，（log（MZ））（4）（0）=E（Z）- 3=κZ。为了完整性，我们给出了前四个累积量（log（MZ））（k）（0），k∈ 附录A中Z的{1，2，3，4}。Hencelog（MZ（t））=t+γZt+κZt+o（t）as t→ 0，且Mz（t）=expt+γZt+κZt+o（t）= etexpnγZt+κZt+o（t）oas t→ 0、使用上述公式中第二个指数函数的一阶泰勒近似（即ex=1+x+o（x）作为x→ 0）我们有mz（t）~ et+γzet+κzet+o（t）as t→ 0。（2.1）如果f:R→ R是一个函数，使得f（t）=o（t）等于t→ 0，然后限制→0etexpγZt+κZt+f（t）-et+γZET+κZETt=极限→0ettf（t）+∞Xk=2γZt+κZt+f（t）kk！6极限→0ett∞Xk=2γZt+κZt+f（t）kk！6极限→0etγZt+κZt+f（t）texpn公司γZt+κZt+f（t）根据需要，o=1·0·1=0。请注意，对于所有k∈ Z+，tket=(-1） kZ公司∞-∞etxΦ（k+1）（x）dx，t∈ R、 （2.2）其中Φ表示标准正态分布随机变量的分布函数，参见，例如，W¨uthrich【20，引理4.4】。分别使用（2.1）和（2.2）k=0、k=3和k=4，我们得到∞-∞etxdFZ（x）=MZ（t）~Z∞-∞etx公司Φ（1）（x）-γZΦ（4）（x）+κZΦ（5）（x）dx+o（t）作为t→ 0，（2.3），其中FZdenotes是Z的累积分布函数。

使用由其矩母函数MZ完全确定的FZis（参见，例如，W¨uthrich[20，引理1.2]），并且连续性定理的对应物适用于在包含0的区间上具有有限矩母函数的随机变量（参见，例如，W¨uthrich[20，引理1.4]），（2.3）建议以下近似值P（Z∈ （B）≈ZB公司Φ（1）（y）-γZΦ（4）（y）+κZΦ（5）（y）dy，B∈ B（R）。在此，我们提请大家注意我们所写的事实≈ 而不是~, 因此，从现在起，我们的近似公式不再以严格的数学方式进行调整；它们将为在第3节中引入VaR和S的ES的新近似值提供动力。通过选择B=(-∞, x） ，x∈ R、 我们有fz（x）=P（Z<x）≈ Φ（x）-γZΦ（3）（x）+κZΦ（4）（x）=：GC（x），x∈ R、 （2.4）函数GC:R→ （2.4）中定义的R被称为FZ的4thorder-Gram-Charlier型a近似，参见Jondeau等人【9，公式（5.14）】。原始的NPA方法基于EW（x）对FZ的三阶Edgeworth近似：=Φ（x）-γZΦ（3）（x），x∈ R、 例如，见Kaas等人【10，备注2.5.9】。使用该Д（1）（x）=-xИ（x），x∈ R、 Д（2）（x）=（x- 1） ^1（x），x∈ R、 ^1（3）（x）=-（十）- 3x）Д（x），x∈ R、 Д（4）（x）=（x- 6x+3）Д（x），x∈ R、 （2.5）式中Φ（1）（x）=Д（x），x∈ R、 是标准的正态密度函数，我们可以用另一种形式写gcin，即GC（x）=Φ（x）-γZД（2）（x）+κZД（3）（x）=Φ（x）+γZ(-x+1）+κZ(-x+3x）^1（x）（2.6）表示x∈ R、 这里x，x- 1，x- 3x和x- 6x+3分别是1、2、3和4次的（概率）厄米多项式。在下一个备注中，我们将研究gc是否是某个随机变量的分布函数。2.1备注。注意GCis连续，limx→-∞GC（x）=0和limx→∞GC（x）=1，因为Φ（k）（x）=O（xk-1e级-x） 同于| x |→ ∞ 对于所有k>2，k∈ N（参见W–uthrich【20，第4.1.3节】）。

然而，我们需要注意的是，一般来说，gc不是某个随机变量的分布函数，因为一般来说，gc可能不是非负的或单调递增的。实际上，通过（2.5），GC（1）（x）=Д（x）-γZД（3）（x）+κZД（4）（x）=κZx+γZx-κZx-γZx+κZ+1√2πe-x=：h（x）Д（x），x∈ R、 如果多项式h（如果κZ6=0，则次数为4）改变符号，则GCI不是单调递增的。但是，如果κZ>0，我们有limx→±∞h（x）=∞, 所以存在x>0，使得GCis在[x]上单调增加，∞), 使用（2.6）和limx→∞xkД（x）=0，k∈ Z+，可以选择x，使得所有x>x的GC（x）>0。因此，GC可以用作FZin的近似值，即我们通过函数GC近似fzb，函数GC表现为足够大x的分布函数。这与在γZ>0的情况下的EWin现象相同，请参见W¨uthrich【20，示例4.5】。如果κZ<0，我们有limx→±∞h（x）=-∞, 因此，我们面临一个关于GC偶的单调性的问题，即使对于足够大的x，类似于对于γZ<0的EWin情况。考虑到大多数损失分布向右倾斜（即γZ>0）且具有正的超额峰度（即κZ>0），可以克服这一困难。例如，如果Z具有参数λ>0的指数分布，则γZ=2，κZ=6。如果Z具有参数a>4且c>0的帕累托I型分布，即FZ（x）=P（Z<x）=（1-cx公司aif x>c，如果x<c，则为0，则γZ=2（1+a）a- 3ra- 2a>0且κZ=6（a+a- 6a- 2） a（a- 3） （a）- 4)> 0.如果Z具有参数u的对数正态分布∈ R和σ>0，则γZ=（eσ+2）peσ- 1>0且κZ=e4σ+2e3σ+3e2σ- 6 > 0.如果Z具有复合（泊松）分布，使得索赔编号的偏度和多余峰度以及索赔严重度为正且有限，则γZ>0和κZ>0，参见示例3.10。

我们还指出，对于大值x，γZdoes的符号在gc的单调性中不起作用。2接下来，我们导出了NPA（1.1）的一个推广。对于x∈ R、 我们试图找到一个校正项δ（x）∈ R使得FZ（x+δ（x））≈ Φ（x）。通过（2.4），我们搜索δ（x），使得gc（x+δ（x））=Φ（x+δ（x））-γZΦ（3）（x+δ（x））+κZΦ（4）（x+δ（x））≈ Φ（x），x∈ R、 对于任何固定x∈ R、 让gx：R→ 定义为Gx（δ）：=Φ（x）-Φ（x+δ）-γZΦ（3）（x+δ）+κZΦ（4）（x+δ）, δ ∈ R、 （2.7）所以我们的任务是找到（或近似）gx的根，其中x∈ R、 如果x>√γZ＞0，κZ＞0，则gx存在一个正根。这是Bolzano\'stheorem的结果，因为gxis连续，gx（0）>0和limδ→∞gx（δ）<0。实际上，通过（2.5），我们得到gx（0）=γZΦ（3）（x）-κZΦ（4）（x）=γZД（2）（x）-κZИ（3）（x）=γZ（x- 1) -κZ(-x+3x）^1（x），x∈ R、 （2.8）如果x>√γZ＞0，κZ＞0，然后gx（0）＞0。此外，limδ→∞gx（δ）=Φ（x）- 对于任何x，1<0∈ R、 现在我们来推导（1.8）。我们使用了gx的1storder-Taylor近似，即gx（δ）=gx（0）+gx（0）δ+o（δ）作为δ→ 0（称为（1storder）牛顿法）。所以如果gx（δ（x））=0，那么δ（x）可以近似为-gx（0）gx（0）假设gx（0）6=0，其中，通过（2.5），gx（δ）=-Φ（1）（x+δ）+γZΦ（4）（x+δ）-κZΦ（5）（x+δ）=-Д（x+δ）+γZД（3）（x+δ）-κZД（4）（x+δ），x，δ∈ R、 （2.9）产生thatgx（0）=-ν（x）+γZа（3）（x）-κZИ（4）（x）=- 1+γZ(-x+3x）-κZ（x- 6倍+3倍）^1（x），x∈ R、 （2.10）Soδ（x）≈-γZ（x- 1） +κZ(-x+3x）-1+γZ(-x+3x）-κZ（x- 6x+3），（2.11），前提是γZ>0，κZ>0-1+γZ(-x+3x）-κZ（x-6x+3）6=0。由于γZ=γSandκZ=κS，因此产生NPA（1.1）的1.8。2.2备注。

（i） 注意，（2.11）中给出的δ（x）近似值与δ（1）（x）一致，其中，对于给定的x∈ R、 序列（δ（k）（x））k∈Z+通过牛顿-拉斐逊公式δ（k+1）（x）定义：=δ（k）（x）-gx（δ（k）（x））gx（δ（k）（x）），k∈ Z+，δ（0）（x）：=0，（2.12），前提是gx>0，其中函数gx及其导数gx分别在（2.7）和（2.9）中给出。（ii）如果我们在FZ（x+δ（x））中正式选择x=zα≈ Φ（x），其中α∈ （0，1），则α=Φ（zα）≈ FZ（zα+δ（zα）），因此zα+δ（zα）是置信水平α下z的分位数的近似值。2下一步，我们根据inKaas等人的备注2.5.9中的想法推导出了NPA（1.1）的其他要素。如果Z具有泊松参数λ>0的复合泊松分布，使得总和的公共分布（索赔严重性）具有有限的第四矩，则γZ=O（λ-1/2）为λ→ ∞ 和κZ=O（λ-1） asλ→ ∞ （见（3.10）），这激发了NPA（1.1）的以下因素，类似于Kaas等人[10]中的备注2.5.9。如果我们把κZin的项去掉（2.11）右边分数的分母，那么我们有δ（x）≈-γZ（x- 1） +κZ(-x+3x）-1+γZ(-x+3x），前提是γZ>0-1+γZ(-x+3x）6=0，x∈ R、 产生以下NPA（1.1）PS的回报- E（S）pD（S）<x+-γS（x- 1） +κS(-x+3x）-1+γS(-x+3倍）！≈ Φ（x），（2.13），前提是γS>0和-1+γS(-x+3x）6=0，x∈ R

注意，如果γS>0，则-1+γS(-x+3x）<0表示所有x>√如果我们把κZin的项去掉（2.11）右边分数的分子，那么我们得到δ（x）≈-γZ（x- 1)-1+γZ(-x+3x）-κZ（x- 6x+3），前提是γZ>0，κZ>0-1+γZ(-x+3x）-κZ（x- 6x+3）6=0，x∈ R、 产生以下NPA（1.1）PS- E（S）pD（S）<x+-γS（x- 1)-1+γS(-x+3x）-κS（x- 6倍+3倍）！≈ Φ（x），（2.14），前提是γS>0，κS>0-1+γS(-x+3x）-κS（x- 6x+3）6=0，x∈ R、 如果我们把κZboth的项放在（2.11）右侧分数的分子和分母中，那么我们得到δ（x）≈-γZ（x- 1)-1+γZ(-x+3x），（2.15），前提是γZ>0-1+γZ(-x+3x）6=0，x∈ R、 产生以下NPA（1.1）PS的回报- E（S）pD（S）<x+-γS（x- 1)-1+γS(-x+3倍）！≈ Φ（x），（2.16），前提是γS>0和-1+γS(-x+3x）6=0，x∈ R、 注意，（2.16）可以被视为原始NPA（1.1）的一部分，因为它只包含S的前三个力矩，但它以另一种方式测量了偏度γ的影响。对于历史数据，我们注意到（2.15）中给出的δ（x）近似值可在inKaas等人【10，公式（2.72）】中找到，其中，为了推导原始NPA（1.1），他们使用了Fzan的三阶Edgeworth近似值，并在（2.16）中删除了分馏的消除器γZin的术语。3利用峰度对VaR和ES的近似在本节中，受备注2.2第（ii）部分和NPA（1.1）的条件（1.8）、（2.13）、（2.14）和（2.16）的激励，我们引入了VaR（α）和ESS（α）、α的新近似值∈ (0, 1). 首先，我们回顾了在分布函数FSof S是连续的情况下，VaR和ES的定义，其中S通常是保险数学语言中的损失。3.1定义。设S为随机变量，使其分布函数fs连续。

α级S的风险值∈ （0，1）由vars（α）定义：=inf{y∈ R:FS（y）>α}。注意，VaRS（α）与α级S的分位数重合∈ (0, 1).3.2定义。设S为随机变量，使其分布函数fs连续且E（max（S，0））<∞. α级S的预期短缺（也称为条件风险值）∈ （0，1）定义为ESS（α）：=1- αE（S{S>VaRS（α）}）。我们提请大家注意，通常的修正条款1-αVaRS（α）（1- α - P（S>VaRS（α）））不出现在上述ESS（α）定义中，因为FSis是连续的。众所周知，在定义3.2的条件下，我们有ESS（α）=1- αZαVaRS（u）du=E（S | S>VaRS（α））=VaRS（α）+1- αE（（S- 每个α的VaRS（α））+（3.1）∈ (0, 1). 此处，ESS（α）的第二个表达式E（S | S>VaRS（α））与α水平上所谓的尾部风险值（或尾部条件期望）S一致∈ （0，1），因为在我们的例子中FSis是连续的。我们还提请注意卡斯塔纳等人。[6，定义3]预期E（（S- VaRS（α））+）被称为Sat a水平α的预期短缺，但在文献中，预期短缺的概念通常被定义为定义3.2。NPA（1.1）的第（1.8）项促使分别引入以下VaR和ES近似值。3.3定义。设S为随机变量，使得E（S）<∞, D（S）6=0，γS>0，κS>0，其分布函数fs是连续的。让我们定义α级上的VaRSof的近似值[VaRS（I）（α∈ （0，1）乘以[变量（I）（α）：=E（S）+pD（S）zα+-γS（zα- 1） +κS(-zα+3zα）-1+γS(-zα+3zα）-κS（zα- 6zα+3）,（3.2）前提是-1+γS(-zα+3zα）-κS（zα- 6zα+3）6=0。

让我们在α水平上确定ESSof S的近似值Dess（I）（α）∈ （0，1）bydESS（I）（α）：=E（S）+pD（S）1- αν（zα）+z∞zα-γS（y- 1） +κS(-y+3y）-1+γS(-y+3y）-κS（y- 6y+3）~n（y）dy,（3.3）前提是（3.3）中的积分定义明确。3.4备注。（i） 我们提请注意，在定义3.3中，我们不认为S的矩母函数在零附近的区间内是有限的，但是，第2节中假设了这一点，以便推导出FSin的4阶-克-查理尔a型展开式（2.4）。公式（3.2）和（3.3）分别是VAR（α）和ESS（α）新近似值的定义，它们是由NPA（1.1）的条件（1.8）驱动的，即使力矩生成函数的上述条件不成立（例如，在对数正态分布的情况下），也可以使用它们。虽然对于每个特定的S，都应该仔细研究它们的行为和精度。在接下来的命题3.6中，我们将它们的渐近行为描述为α↑ 在例3.7、3.8和3.9中，我们分别研究了指数分布、帕累托分布和对数正态分布的精度问题。（ii）对于标准正态分布随机变量ξ，我们有ESξ（α）=Д（zα）1-α, α ∈ （0，1）（参见Castaner等人[6，引理1]），该数量出现在（3.3）中。（iii）假设γS>0和κS>0适用于许多显著的损失分布，见备注2.1。此外，如果γS>0和κS>0，则-1+γS(-zα+3zα）-κS（zα-6zα+3）<0表示所有α>Φ（p3+√6) ≈ 0.990213，得出VaR（α）的新近似公式（3.2）在置信水平α大于Φ（p3）时定义良好+√6). 实际上，zα（zα-3） >0 ifzα>√3和zα- 如果zα>p3，则6zα+3>0+√6.

同样，如果γS>0和κS∈ （0，4），然后-1+γS(-zα+3zα）-κS（zα- 6zα+3）<0表示所有α>Φ(√3) ≈ 0.9583677，表明我们新的VaR（α）近似公式（3.2）在α大于Φ的置信水平下得到了很好的定义(√3). 的确，如果κS∈ （0，4），然后-κS（zα-任何α的6zα+3）6κSFO∈ （0，1）和zα-3zα=zα（zα-1） 如果zα>0，则大于0√3、还要注意的是，正如引言中所解释的，考虑到巴塞尔委员会[3]的规定，α的高置信度水平是合理的。在下文中，常数Φ（p3+√6） 和Φ(√3） 将多次出现，因此，作为缩写，我们引入以下符号C：=Φ第3季度+√和C：=Φ(√3).（iv）如果γS>0且κS>0，则（3.3）中的积分对于所有α都是明确的∈ （C，1），得出了我们新的ES（α）近似公式（3.3）明确规定的ata水平α大于C≈ 0.990213. 实际上，根据（iii），如果γS>0，κS>0，那么-1+γS(-y+3y）-κS（y-6y+3）<0表示y>p3+√6，对于足够大的α∈ （0，1），则（3.3）中的积分的被积函数的绝对值可以由Д（y）限定，并且Д可在作为密度函数的R上积分。（v） （3.2）和（3.3）中定义的近似值的形式是根据Mark 2.2第（ii）部分、扩展NPA（1.8）和VaRS（α）=E（S）+pD（S）VaRS的事实确定的-E（S）√D（S）（α），α∈ （0，1），andESS（α）=E（S）+pD（S）ESS-E（S）√D（S）（α），α∈ (0, 1).（vi）如果S是一个满足定义3.3条件的随机变量，则对于任何a、b∈ R、 a 6=0，随机变量aS+b也满足这些条件，并且对于任何α，VaRas+b（I）（α）=a[VaRS（I）（α）+b，\\ESas+b（I）（α）=adESS（I）（α）+b∈C、 1个.

2与（3.2）和（3.3）相似，我们可以通过删除公式（3.2）和（3.3）中分子和分子中去numerator中的过量峰度κ，以及分子和去numerator中的过量峰度κ，分别引入近似值[VaRS（II）（α），[VaRS（III）（α），[VaRS（III）（α），[VaRS（IV）（α）]，以及ESS（α）的dESS（II）（α），dESS（III）（α），dESS（IV）（α分别地例如，我们给出了[VaRS（IV）（α）和dess（IV）（α）。3.5定义。设我们为随机变量，使得E（| S |）<∞, D（S）6=0，γS>0，其分布函数fs是连续的。让我们定义α的VaRS（α）和ESS（α）的近似值[VaRS（IV）（α）和Dess（IV）（α∈ （0，1）通过[变量（IV）（α）：=E（S）+pD（S）zα+-γS（zα- 1)-1+γS(-zα+3zα）,（3.4）前提是-1+γS(-zα+3zα）6=0，dess（IV）（α）：=E（S）+pD（S）1- αν（zα）+z∞zα-γS（y- 1)-1+γS(-y+3y）Д（y）dy,（3.5），前提是（3.5）中的积分分别定义明确。注意，如果γS>0，则-1+γS(-zα+3zα）<0表示所有α>C≈ 0.9583677，且（3.5）中的被积函数对于所有α>C都是定义明确的≈ 0.9583677（可类似于备注3.4第（iii）部分的检查。）3.6提议。在定义3.3的条件下，我们有[变量（I）（α）~ E（S）+pD（S）p-2英寸（1- α） asα↑ 1、（3.6）dESS（I）（α）~ E（S）+pD（S）p-2英寸（1- α） asα↑ 1.（3.7）证明。首先，回想一下，作为米尔比率的结果（例如，见Pinelis【15】），我们有Limα↑1zαp-2英寸（1- α） =1和limα↑1Д（zα）（1- α） zα=1。（3.8）由于κS>0和limα↑1zα=∞, 我们有[变量（I）（α）~ E（S）+pD（S）zαasα↑ 1，然后，到（3.8），我们有（3.6）。