关于风险价值和预期短缺的近似估计

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英文标题：
《On approximations of Value at Risk and Expected Shortfall involving
  kurtosis》
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作者：
Matyas Barczy, Adam Dudas, Jozsef Gall
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We derive new approximations for the Value at Risk and the Expected Shortfall at high levels of loss distributions with positive skewness and excess kurtosis, and we describe their precisions for notable ones such as for exponential, Pareto type I, lognormal and compound (Poisson) distributions. Our approximations are motivated by that kind of extensions of the so-called Normal Power Approximation, used for approximating the cumulative distribution function of a random variable, which incorporate not only the skewness but the kurtosis of the random variable in question as well. We show the performance of our approximations in numerical examples and we also give comparisons with some known ones in the literature.
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中文摘要：
我们推导了具有正偏度和超额峰度的高水平损失分布的风险值和预期短缺的新近似值，并描述了它们对于指数、帕累托I型、对数正态和复合（泊松）分布等显著分布的精度。我们的近似是由所谓的正态幂近似的扩展而来的，正态幂近似用于近似随机变量的累积分布函数，它不仅包含所讨论的随机变量的偏度，还包含峭度。我们在数值例子中展示了近似的性能，并与文献中的一些已知近似进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_approximations_of_Value_at_Risk_and_Expected_Shortfall_involving_kurtosis.pdf (1.12 MB)

2022-6-11 03:45:50 上传

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关键词：风险价值 distribution Applications Mathematical Quantitative

关于风险价值和预期短缺的近似值，包括峰度“aty”和Barczy*,,\'Ad'am Dud'as**, J'ozsef G'all公司**** MTA-SZTE分析与随机研究小组，匈牙利Szeged H–6720 Szeged Aradi v'ertan'uk tere 1 Szeged大学Bolyai研究所。**匈牙利德布勒森大学科技学院前硕士生。***德布勒森大学信息学系，Pf。匈牙利德布勒岑市H-4010号12楼。电子邮件：barczy@math.u-塞格德。胡（M.Barczy），adamdudas92@gmail.com（\'A.Dud\'as），胆汁。jozsef@inf.unideb.hu（J.G'all）。 通讯作者。摘要我们推导了具有正偏度和超额峰度的高水平损失分布的风险值和预期短缺的新近似值，并描述了它们对于指数、帕累托I型、对数正态和复合（泊松）分布等显著分布的精度。我们的近似是由所谓的正态幂近似的扩展而来的，正态幂近似用于近似随机变量的累积分布函数，它不仅包含所讨论的随机变量的偏度，还包含峭度。我们在数值例子中展示了我们近似的性能，并与文献中的一些已知结果进行了比较。1引言风险价值（VaR）和预期缺口（ES）是金融和保险数学中的标准风险度量。VaR允许在给定的置信水平下衡量投资组合的最大总损失，而ES可以定义为超出相应VaR水平的损失的有条件预期（见定义3.1和3.2）。VaR和ES的闭合公式主要适用于具有明确给定密度函数的随机变量，对于包含100多个示例的综合列表，请参见Nadarajah等人。[14].

对于复合（泊松）分布，此类闭合公式很少可用，因此2020年数学主题分类：91G70、60E05、62E17关键词和短语：风险值、预期短缺、损失分布、正态幂近似、偏度、峰度。M’aty’as Barczy获得匈牙利科学院J’anos Bolyai研究奖学金的支持。在这些情况下，VaR和ES的近似值非常重要。关于损失分布函数的性质和近似值，有大量文献，这些都是保险数学集体模型或计算金融操作风险时经常用到的。为了列举一些最近的工作，我们可以提到Roozegar和Nadarajah【16】以及Bar Lev和Ridder【4】关于特殊集体风险模型的研究。有关复合泊松分布分布函数近似值比较的详细信息，请参见Seriand Choirat【17】。在本文中，我们使用前四个矩（前提是它们是有限的）推导了具有正偏度和超额峰度的连续分布函数的损失分布高水平下VaR和ES的新近似值，请参见第3节。我们研究了显著损失分布的精度，如指数分布、帕累托I型分布、对数正态分布和复合（泊松）分布。指数分布之所以流行，是因为人们自身的便利，而不是因为它通常很容易丢失数据。一方面，仅使用样本平均值就可以很好地估计其参数，另一方面，从进行显式计算的角度来看，使用它很容易。对数正态分布通常显示出更好的拟合损失数据，但估计其两个参数更为复杂。

帕累托分布可以很好地用于模拟保险中的重大损失，例如森林火灾造成的损失，因为帕累托分布属于所谓的重尾分布族。复合（泊松）分布广泛用于建模保险和金融（例如操作风险）给定时间段内的总损失，因此其分布函数、VaR和ES的递归和近似公式也非常重要。事实上，我们对VaR和ES的近似可以正式用于任何具有正偏态和过量峰度的有限四阶矩分布函数，但应仔细研究每种特定情况下它们的行为和精度。Baixauli和Alvarez[2]展示了经验证据，表明峰度有助于使用标准普尔500指数和日经指数等七个股指的数据获得更精确的VaR近似值，这突出了VaR和ES近似值的必要性，其中也包含了损失的峰度。我们的近似公式将由所谓的正态幂近似（NPA）的扩展驱动。对于具有E（| S |）<∞, D（S）6=0，且正斜度γS（如下所述），可以获得标准化版本S的分布函数的以下近似值：PS- E（S）pD（S）<x+γS（x- 1)!≈ Φ（x），x∈ R、 （1.1）其中D（S）：=E（S- E（S）），γS：=E（（S- E（S）））（E（（S- E（S）））3/2=E（S- E（S））（D（S））3/2是S的偏度，Φ表示标准正态分布随机变量的分布函数。公式（1.1）被称为FS的NPA，通常记入K.Loimaranta，见Kauppi和Ojantakanen【11，第219页】。有关NPA的其他参考资料，请参见Beard等人【5，第3.11节】、Daykin等人【8，第4.2.4节】、Kaas等人【10，第2.5.3节】或Seriand Choirat【17，第5节】。

在此，我们提请大家注意以下事实：≈ 在公式（1.1）中，表明一般文献中没有以严格的数学方法推导近似误差。据我们所知，当研究误差的交感行为时，唯一的特例是S因Seri和Choirat而具有复合泊松分布的情况【17，第5节】。在接下来的所有内容中≈ 将以同样的方式表示。我们将使用（1.1）的扩展仅用于在第3节中引入VaR和S的ES的新近似值的动机，其中将仔细研究特定损失分布的精度。Daykin等人[8]指出，在实践中，（1.1）建议用于S的右尾，只要偏度γS不超过1或至多1.2，否则正如他们所指出的那样，它变得不可靠。还请注意，如果x>0，则（1.1）可以在formPS中重写- E（S）pD（S）<y！≈ Φsγs+6yγs+1-γS！，y>-γS.（1.2）受（1.1）的启发，我们可以引入一个VaRS（α）的近似值（在alevelα处的S的VaR），给定byE（S）+pD（S）zα+γS（zα- 1)（1.3）对于任何α∈ （0，1），其中zα表示置信水平α下标准正态分布的分位数，见Castaner等人【6，引理2】。此外，受（1.3）的启发，我们可以引入ESS（α）（在α级的S的ES）的近似值byE（S）+pD（S）Д（zα）1- α1+γSzα（1.4）对于任何α∈ （0，1），式中Д（x）：=√2πe-x、 x个∈ R、 表示标准正态分布随机变量的密度函数，请参见Casta▄ner等人。

[6，定理1]。在文献中，我们可以找到NPA（1.1）的一个部分，它还涉及到由κS定义的S的过度峰度：=E（（S- E（S）））（E（（S- E（S）））- 3=E（（S- E（S））（D（S））- 即，对于E（S）<∞, D（S）6=0，γS>0和κS>0，可以得到标准化版本的分布函数的以下近似值：PS- E（S）pD（S）<x+γS（x- 1） +κS（x- 3倍）-γS（2x- 5倍）！≈ Φ（x），x∈ R、 （1.5）见Kauppi和Ojantakanen【11，第221页】、Beard等人【5、（3.11.2）和（3.11.9）】或Seri和Choirat【17，第8节】。如果S具有复合泊松分布，也给出了近似值（1.5）的精度，请参见Seri和Choirat【17，第8节】，但一般来说，我们不知道这样的分析。事实上，Seri和Choirat【17，第8节】提出了（1.5）的另一种形式，可以认为是（1.2）的对应物，涉及κSas。对于giveny∈ R、 他们考虑了三次方程x+γS（x- 1） +κS（x- 3倍）-γS（2x- 5x）=y，x∈ R、 通常有三种解决方案，对于所讨论的（1.5）的另一种形式，他们只是使用经验法则选择适当的根。Seri和Choirat【17，第19节】还指出，在他们比较的15种近似方法中，近似（1.5）是最好的四种方法之一。受（1.5）的启发，我们可以引入由（S）+pD（S）给出的VaRS（α）的近似值zα+γS（zα- 1） +κS（zα- 3zα）-γS（2zα- 5zα）（1.6）对于任何α∈ （0，1），称为VaRS（α）的Cornish Fisher近似值，参见，例如，Alexander【1，公式（IV.3.7）】。此外，受（1.6）的启发，可以引入一个由byE（S）+pD（S）ν（zα）1给出的近似值- α1+γSzα+（zα- 1） κS+（1- 2zα）γS（1.7）对于任何α∈ （0，1），见Maillard【13，第6节】。最近，Lien等人。

[12] 回顾并比较了Varsuch的一些替代近似，如基于所谓L-矩的Sillitto近似。在第2节中，我们介绍了（1.1）中的其他因素，这些因素也涉及过多的峰度κSof，如asPS- E（S）pD（S）<x+-γS（x- 1） +κS(-x+3x）-1+γS(-x+3x）-κS（x- 6倍+3倍）！≈ Φ（x），（1.8），前提是γS>0，κS>0-1+γS(-x+3x）-κS（x- 6x+3）6=0。注意，如果γS>0和κS>0-1+γS(-x+3x）-κS（x- 6x+3）<0表示所有x>p3+√6.≈ 2.334，另见备注3.4第（iii）部分。原则上，可以要求以与（1.2）相同的精神重写（1.8）。为此，一般应解一个四阶方程，并按照Seri和Choirat【17】第8节进行。我们不处理它，因为我们不需要这样的版本，公式（1.8）将适合我们的目的，以获得高水平α下VaRS（α）和ESS（α）的新近似值∈ （0，1）在第3节中给出。关于（1.1）中的其他内容，请参见（2.13）、（2.14）和（2.16）。（1.8）的推导基于分布函数FSof S的所谓4thorder-Gram-Charlier a型展开式（详情请参见第2节），在备注2.2的（i）部分中，我们还指出了（1.8）与牛顿-拉斐逊递归之间的联系。在备注2.1中，我们指出，当κS>0时，FS4throder Gram-Charlier A型扩展可以用作FSA的代名词，因为它表现为大enoughx的分布函数∈ R、 从实际角度来看，κS>0的条件没有那么严格，因为κSis对于指数、帕累托I型、对数正态或复合（泊松）分布等常见的损失分布是正的。Kauppi和Ojantakanen【11】给出的公式（1.5）和我们的公式（1.8）、（2.13）、（2.14）和（2.16）具有相同的精神。然而，有一些细微的细节导致了不同的公式。

一方面，公式（1.5）基于FS的4阶Edgeworth展开式，与FSin（2.4）的4阶Gram-Charlier A类展开式相比，该展开式产生了一个附加项γSΦ（6）（x）。另一方面，公式（1.8）、（2.13）、（2.14）和（2.16）是使用牛顿近似法推导出的非线性方程gx（δ）=0的解（见（2.7））。在第3节中，受NPA（1.1）的条件（1.8）、（2.13）、（2.14）和（2.16）的激励，我们引入了高水平α的VAR（α）和ESS（α）的新近似值∈ （0，1）（大多在0.99以上）也涉及过多的峰度κSof。对于问题（1.8）和（2.16），风险度量的相应新近似值可分别在（3.2）、（3.4）和（3.3）、（3.5）中找到。由于巴塞尔委员会通常将VaR的ConfidenceLevel设定为0.999，ES的ConfidenceLevel设定为0.975（例如，参见[3，33.20/（5）和33.3]），因此有理由将重点放在VaR（α）和ESS（α）的近似值上，这两个值在α高于0.99时表现良好。近似值（3.4）和（3.5）可分别视为（1.3）和（1.4）的修正，它们仅包含S的前三个矩，但它以另一种方式测量了偏度γ的影响。在命题3.6中，我们将其渐近行为描述为α↑ 结果表明，它们的渐近行为完全相同。此外，我们还研究了显著损失分布（如指数、帕累托I型、对数正态和复合（泊松）分布）的近似精度，参见示例3.7、3.8、3.9和3.10。在复合泊松分布的情况下，当索赔的预期数量趋于一致时，VAR（α）的差异及其由所讨论的复合泊松分布偏差归一化的近似值收敛到0，见（3.11）。

我们还指出，我们的近似公式（3.2）、（3.3）、（3.4）和（3.5）在S的前四个矩方面是明确的，因此可以使用它们进行敏感性分析，即。，我们可以研究这些近似公式是如何依赖于S的一些参数的。在备注3.4的第（vi）部分中，我们研究了在通过有效变换变换基础损失分布S的情况下，如何变换近似公式（3.2）和（3.3）的问题。在第4节中，我们展示了新近似公式的性能，并将其与一些已知（明确的）公式进行了比较，即，（1.3），（1.6），（1.4）和（1.7），在上述显著损失分布的情况下，在不同的参数选择和较高的α水平下（大多高于0.99）。对于指数分布、帕累托I型分布和对数正态分布，理论变量（α）可以使用显式公式（参见示例3.7、3.8和3.9），但对于复合泊松分布，没有此类显式公式可用。我们还将复合（泊松）情况下的近似公式与Monte Carlo估计进行了比较。我们的研究表明，在许多数值情况下，新的近似公式（3.2）和（3.4）优于其他已知公式。我们还注意到，（3.2）过度估计和低估了变量（α），α∈ （0.991，1），也取决于α的值。在风险评估中，低估是一个更严重的问题（这可能意味着资本计算中的破产）。

然而，应该记住，（3.2）也可以有零相对误差，这表明了应用此近似方法的优势。有关我们的数值结果和方法比较的更详细讨论，请参见第4.2节使用峭度岛Z+、N和R分别表示非负整数、正整数和实数的正态幂近似的扩展。R上的Borelσ-代数用B（R）表示。对于函数f:D→ 兰特g:D→ (0, ∞), 其中D R、 通过符号f（x）~ g（x）和f（x）=o（g（x））asx→ x、 有一些x∈ R∪ {∞}, 我们是说limx→xf（x）g（x）=1和limx→xf（x）g（x）=0。符号f（x）=O（g（x））为| x |→ ∞ 意味着存在constantsC∈ (0, ∞) 和xC∈ R使得所有| x |>xC的| f（x）| 6 Cg（x）。基于Kaas等人【10，备注2.5.9】和W¨uthrich【20，第4.1.3节】，我们给出了NPA（1.1）的扩展，其中也包含了基础随机变量的多余峰度。设S为随机变量，使得D（S）6=0，其矩母函数在区间上是有限的(-t、 t），其中t>0，即MS（t）：=e（etS）<∞ 对于每个t∈ (-t、 t）。尤其是E（| S | i）<∞, i=1、2、3、4。设Z表示S的标准化版本，即Z：=（S- E（S））/pD（S）。设γZ：=E（Z）和κZ：=E（Z）- 注意，E（Z）=0，E（Z）=1，γZandκZare分别表示Z（以及S）的偏度和多余峰度，即γZ=γSandκZ=κS）。此外，Z的矩母函数是有限的(-t、 t）以及。我们将得出NPA（1.1）的系数，其中还涉及额外的峰度κSOF，如ASP- E（S）pD（S）<x+-γS（x- 1） +κS(-x+3x）-1+γS(-x+3x）-κS（x- 6倍+3倍）！≈ Φ（x），假设γS>0，κS>0-1+γS(-x+3x）-κS（x- 6x+3）6=0，x∈ R、 注意，如果γS>0和κS>0-1+γS(-x+3x）-κS（x- 6x+3）<0对于所有x>p3+√6，另见备注3.4第（iii）部分。