关于风险价值和预期短缺的近似估计

再次使用κS>0，limα↑1zα=∞ 和limα↑1Д（zα）=0，应用L\'Hospital规则得出的结果为（I）（α）~ E（S）+√D（S）1-αν（zα）为α↑ 事实上，根据L\'Hospital的rulelimα↑1Д（zα）z∞zα-γS（y- 1） +κS(-y+3y）-1+γS(-y+3y）-κS（y- 6y+3）Д（y）dy=limα↑1zαИ（zα）·-γS（zα- 1） +κS(-zα+3zα）-1+γS(-zα+3zα）-κS（zα- 6zα+3）Д（zα）=limα↑1.-γS（zα- z-1α）+κS(-zα+3）-1+γS(-zα+3zα）-κS（zα- 6zα+3）=0。最后，通过（3.8），我们得到了（3.7）。2注意，根据命题3.6，在定义3.3的条件下，[VaRS（I）（α）和dess（I）（α）以与α相同的方式渐近行为↑ 1、可以考虑，（3.6）和（3.7）的相应版本分别适用于近似值[变量（II）（α），[变量（III）（α），[变量（IV）（α）的变量（α），以及ESS（α）的dESS（II）（α），dESS（III）（α），dESS（IV）（α）。在下文中，我们评估了近似值（3.2）和（3.3）的精度对于保险数学中非常流行的一些显著损失分布，即指数、帕累托I型、对数正态和复合（泊松）分布。该部分可被视为Castaner等人[6]第3节的对应部分。在导言中，我们阐明了上述损失分布对我们选择的重要性。3.7示例。（指数分布）设S为参数λ>0的指数分布随机变量。然后，使用E（Sk）=k！λk，k∈ N、 很容易得到e（S）=λ，D（S）=λ，γS=2，κS=6。回想一下，VaRS（α）=-λln（1- α), α ∈ （0，1），andESS（α）=-λln（1- α） +λ=E（S）+VaRS（α），α∈ （0，1），参见Castaner等人【6，公式（10）和（11）】。因此，根据（3.6），VaRS（α）和[VaRS（I）（α）的差异满足Var（I）S（α）：=VaRS（α）-[变量（I）（α）~ -λln（1- α) -λ-λp-2英寸（1- α)~ -λln（1- α) = -E（S）ln（1- α） asα↑ 1，尤其是limα↑1DiffVaR（I）S（α）=∞.

此外，根据（3.7），ESS（α）和DESS（I）（α）满意度的差异（I）S（α）：=ESS（α）-dESS（I）（α）~ -λln（1- α) = -E（S）ln（1- α） asα↑ 1，尤其是limα↑1微分（I）S（α）=∞. 23.8示例。（帕累托I型分布）设S为具有参数a>4且c>0的帕累托I型分布的随机变量，即FS（x）=P（S<x）=（1-cx公司aif x>c，如果x<c，则为0。已知e（S）=aca- 1，D（S）=ac（a- 1） （a）- 2） ，γS=2（1+a）a- 3ra- 2a，κS=6（a+a- 6a- 2） a（a- 3） （a）- 4).回想一下，对于每个α∈ （0，1），我们有VaRS（α）=c（1- α)-aandESS（α）=aca- 1(1 - α)-a=aa- 1 VaRS（α）=cE（S）VaRS（α），（3.9）参见，例如Castaner等人【6，附录A.2】。因此，通过（3.6），变量（α）和[变量（I）（α）的差异差异Var（I）S（α）满足Var（I）S（α）~ c（1- α)-一- E（S）-pD（S）p-2英寸（1- α) ~ c（1- α)-aasα↑ 1，根据L\'Hospital的规则，limα↑1便士-2英寸（1- α） c（1- α)-a=0。尤其是limα↑1DiffVaR（I）S（α）=∞. 此外，通过（3.7），差异（I）S（α）of ess（α）和dess（I）（α）satifiesdifferences（I）S（α）~aca公司- 1(1 - α)-一- E（S）-pD（S）p-2英寸（1- α)~aca公司- 1(1 - α)-a=E（S）（1- α)-aasα↑ 1，尤其是limα↑1微分（I）S（α）=∞.注意，对于所有x>c，利马→∞1.-cx公司一= 1，产生SD-→ c作为a→ ∞, 何处-→ 表示分布收敛。根据它，我们有利马→∞VaRS（α）=利马→∞ESS（α）=c，α∈ （0，1）和利马→∞[变量（I）（α）=利马→∞dESS（I）（α）=c，α∈ （C，1）。3.9示例。（对数正态分布）设S为具有参数u的对数正态分布的随机变量∈ R和σ>0。已知e（S）=eu+σ，D（S）=（eσ- 1） e2u+σ，γS=（eσ+2）peσ- 1，κS=e4σ+2e3σ+3e2σ- 回想一下，对于生成函数MSof S，我们有MS（t）=∞ 然而，对于任何t>0，正如备注3.4第（i）部分所述，原则上，我们可以使用本节中定义的近似值。

回想一下，对于每个α∈ （0，1），我们有VaRS（α）=eu+σzα和ss（α）=1- αeu+σ（1- Φ（zα- σ） ），参见，例如Casta▄ner等人【6，附录A.3】。因此，根据（3.8）和（3.6），变量（α）和[变量（I）（α）的差异DifferencedVar（I）S（α）]满足差异Var（I）S（α）~ eu+σ√-2英寸（1-α)- E（S）-pD（S）p-2英寸（1- α) ~ eu+σ√-2英寸（1-α） asα↑ 1，尤其是limα↑1DiffVaR（I）S（α）=∞. 此外，通过（3.8）和（3.7），ESS（α）和DESS（I）（α）的差异（I）S（α）S（α）~ eu+σ1- Φ（zα- σ)1 - α- E（S）-pD（S）zα~ eu+σ1- Φ（zα- σ)1 - α为α↑ 1，根据L\'Hospital的规则，limα↑11- Φ（zα- σ)1 - α=limα↑1Д（zα- σ)(Φ-1） （α）=limα↑1Д（zα- σ)Φ(Φ-1（α））=limα↑1Д（zα- σ） ν（zα）=limα↑1eσzα-σ= ∞,同样，也使用（3.8）和（2.5），limα↑1(1 - α） zα1- Φ（zα- σ） =limα↑1Д（zα）1- Φ（zα- σ） =limα↑1zαД（zα）Д（zα- σ） =limα↑1zαe-σzα+σ=0。尤其是limα↑1微分（I）S（α）=∞. 23.10示例。（复合（泊松）分布）让我们假设S=PNi=1Xi，其中N是一个非负整数值随机变量，而Xi，i∈ N、 是独立的、分布相同的正随机变量，因此它们独立于N，并且在N=0时，S等于0。S的分布被称为复合分布，S可以被解释为总损失金额，其中n是索赔数量（也称为频率），Xi，i∈ N、 是（个人）索赔严重性（损失）。下面我们假设E（N）6=0，D（X）6=0。

IfE（N）<∞ 和E（X）<∞, 那么我们知道，S的平均值、方差、偏度和超额峰度的形式如下：（i）E（S）=E（N）E（X），（ii）D（S）=E（N）D（X）+D（N）（E（X）），（iii）γS=γN（D（N））3/2（E（X））+3D（N）E（X）D（X）+E（N）γX（D（X））3/2（E（N）D（X）+D（N）（E（X）））3/2，其中γ和γX分别表示N和X的偏度（iv）κS=A（E（N）D（X）+D（N）（E（X）））- 式中：=（κX+3）E（N）（D（X））+4γXD（N）（D（X））3/2E（X）+3D（N）+E（N）（E（N）- 1)（D（X））+（κN+3）（D（N））（E（X））+6γN（D（N））3/2+E（N）D（N）（E（X））D（X）和κNandκXdenotes N和X的多余峰度，分别参见Charpentier[7，第105页]（关于（i）、（ii）和（iii））和舍甫琴科[18，命题2.2]（关于（iv））。注意，如果γN＞0，γX＞0，则γS＞0；如果γN＞0，κN＞0，γX＞0，κX＞0，则κS＞0。实际上，通过代数变换，我们得到了κS=eA（E（N）D（X）+D（N）（E（X）），其中eA：=κXE（N）（D（X））+4γXD（N）（D（X））3/2E（X）+3D（N）（D（X））+2 E（N）（D（X））+κN（D（N））（E（X））+6γN（D（N））3/2（E（X））D（X），andeA>0，前提是γN>0，κN>0，γX>0和κX>0。据我们所知，一般来说，VaRS（α）和ss（α），α没有闭合公式∈ (0, 1).如果N具有参数λ>0的泊松分布，则S的分布称为复合泊松分布，作为上述公式的特例，E（X）<∞, 我们有E（S）=λE（X），D（S）=λE（X），γS=E（X）√λ（E（X））3/2，κS=E（X）λ（E（X）），（3.10），前提是E（X）6=0，参见例如舍甫琴科【18，示例2.3】。

注意，（3.10）还表明，对于所讨论的复合泊松分布，给定索赔严重性分布，如果泊松频率参数λ足够大，则κS∈ （0，4），因此，根据注释3.4的第（iii）部分，我们新的VaR近似公式（3.2）在大于C≈ 0.9583677.此外，如果N具有参数λ>0且0<E（X）<∞,thenS公司- E（S）pD（S）=PNi=1Xi- λE（X）pλE（X）D-→ N（0，1）为λ→ ∞,例如，参见Kaas等人【10，定理3.7.1】。因此，由于Φ是连续的，并且严格递增，如果fs是连续的，我们有-E（S）√D（S）在分位数上收敛到ξ为λ→ ∞, i、 e.，VaRS-E（S）√D（S）（α）→ VaRξ（α）=zα为λ→ ∞ 对于每个α∈ （0，1），其中ξ是标准正态分布随机变量（见Shorack和Wellner[19，第8页的命题5和第10页的练习5]），得出thatVaRS（α）- E（S）pD（S）→ VaRξ（α）=zα为λ→ ∞ 对于每个α∈ (0, 1).因此，对于每个α∈ （0，1），[VaRS（I）（α）对于λ的大值接近E（S）+pD（S）VaRξ（α），对于λ的大值，dess（I）（α）接近E（S）+pD（S）ESξ（α）。事实上，如果γS>0且κS>0，使用（3.10），我们得到了limλ→∞[变量（I）（α）- E（S）pD（S）=zα=VaRξ（α），α∈ （C，1），limλ→∞dESS（I）（α）- E（S）pD（S）=Д（zα）1- α=ESξ（α），α∈ （C，1）。因此，如果γS>0且κS>0，则λ→∞DiffVaR（I）S（α）pD（S）=0，α∈ （C，1）。（3.11）4近似公式的比较在一些帕累托I型、对数正态和复合泊松分布的情况下，我们将VaR（α）的新近似公式（3.2）和（3.4）与（1.3）和（1.6）在α大于C=Φ（p3）的水平上的性能进行比较+√6) ≈ 0.990213. 在引言中，我们阐明了上述损失分布的重要性。

根据第3.4条和第3.5条定义后的讨论，对于所考虑的显著损失分布，对于α>C，近似公式（3.2）定义得很好，对于α>C=Φ，近似公式（3.4）定义得很好(√3) ≈ 0.9583677. 为了简单起见，在下面的内容中，我们将主要考虑α>C的情况。在下面的图中，我们绘制了相对误差微分变量（α）变量（α），α∈ （C，1），其中diffvars（α）=VaRS（α）-【VaRS（α）和【VaRS（α）表示根据给定的图，使用（1.3）、（1.6）、（3.2）和（3.4）对VaRS（α）进行近似。在图中，缩写DiffVar/VaR%表示该数量的百分比，即乘以100。