论不完备金融市场的不完备程度

我们定义了所有n的序列G=fandf≥ 1，Gn+1=Fn+1 \\Fn，然后1FoX=1FαoU，α=Pn≥1GnαFn∈ Mn、k（P）和U=Pn≥1GnoUFn∈ Ck。我们得出结论，F∈ ψk.对于（iii）let F∈ ψkand G F然后1GoX=1GFoX=1GFαFoUF=1GαFoUF，所以G∈ ψk.现在f或k=0。n- 1我们表示gk为ψk的最大元素。我们定义fa mily（φk（X））k=0。。。nbyφn（X）=（Gn-1） c，φk（X）=Gk\\Gk-1对于k=1。n- 1和φ（X）=G。对于G φn（X）从G开始，我们有r（1GoX）=n （Gn）-1） cand锻件 φk（X）和k=0。n-1我们有r（1GoX）≤ k自G起 GK和r（1GoX）>k-1自G起 （Gk-1） c，因此r（1GoX）=k.（2），对于所有k=1。n、 存在一些（Vk1，…，Vkk）∈ CK1φk（X）o A（X）=φk（X）o A（Vk1，…，Vkk）。我们定义了向量过程U∈ Cnby Uj=Pnk=jφk（X）ovkjj对于j=1。n、 并得出结论。定义3.2。按照命题3.1的符号，f族φ（X）=（φk（X））k=0。。。nis称为X的可预测排名图，过程U称为过程X的φ（X）-排列。备注3.3。如[1]所述，对于任何∈ a、 存在一个最大元素F=F（a）∈ P使1Fo A=L∞-. 特别是对于A=A（X），对于某些X∈ 根据命题3.1，我们得到F（A）=φ（X）。下面给出了一个示例。示例3.4。让我们考虑一些可预测集合F的布朗设置W=（W，W）和定义X=（1FoW，W）。则φ（X）=, φ（X）=Fc，φ（X）=F，φ（X）-排列过程U由U=1FoW+1FcoW和U=1FoW给出≥ 1，我们会说一个进程X∈ C满足所有λ的性质（γ）∈ M1，n（P），λoX=0，然后λ≡ 此属性类似于线性代数中众所周知的向量的linearindependence属性，它将系数作为被积函数，运算作为积分。

接下来，我们陈述这个属性的两个等价陈述。提案3.5。对于某些X，设A=A（X）∈ 中国。那么以下断言是等价的：（1）X满足性质（γ）。（2） 1F层o A.∈ BN适用于所有F∈ P、 （3）~P（φn（X））=1。证据(1) => （3） 假设P（φn（X））<1，那么对于某些i<n，P（φi（X））>0。因此对于fi=φi（X），我们得到1Fio对于某些U，A=A（U）∈ 因此，对于某些M，Ciand 1FioX=MoU∈ Mn，i（P）。我们取向量过程λ∈ M1，n（P），在λM=0，soFiλoX=0的Fisuch上非空。这是一种矛盾。(3) => （2） 假设1Fo A.∈ BSF部分∈ P和s<n，然后P（φs（X））>0，这是矛盾的。(2) => （1） 对于某些λ，设λoX=0∈ M1，n（P），假设存在一些i=1。n使得| P（|λi |>0）>0。设F={|λi |>0}，因此我们注意到，对于某些βi，1FoXi=1FβioX（i）∈ M1，n-1（P）和X（i）=（Xj：j 6=i），因此对于某些β，1FoX=1FβoX（i）∈ 锰，氮-1（P）。这意味着r（1FoX）≤ n- 1或同等尺寸（1Fo A） <n，这是一个矛盾。提案3.6。让X∈ Cn满足性质（γ）且Y=θoX∈ 某些θ的Cr∈ Mr，n（P）。对于某些s，假设P（秩（θ）=s）>0≤ r、 则r（1FoY）=s表示所有f∈ P带F G：={秩（θ）=s}。证据我们首先展示了s=r的情况下的结果。Letλ∈ M1，r（P），λoY=0，所以λθoX=0，这意味着λθ=0，因为X满足性质（γ）。我们推断λ=0 o n G，这意味着1FoY满足所有F的性质（γ） G，然后r（1FoY）=r。对于一般情况，存在两个可预测矩阵β∈ Mr、s（P）和δ∈ Ms，n（P），使得G上的θ=βδ，且▄P（秩（δ）=s；G） >0。然后Y=βoU，U=δoX∈ Cs和r（1FoU）=所有F的s G、 这意味着r（1FoY）=s。提案3.7。让X∈ Cn满足性质（γ）且Y=θoX∈ 某些θ的Cr∈ Mr，n（P）。当k=0时，φk（Y）={秩（θ）=k}。r证据

我们将首先显示Fs：=∪rk=sφk（Y）={秩（θ）≥ s} =：Gsfor all s=0。r、 我们荒谬地认为▄P（Fs∩ （Gs）c）>0对于一些s，然后通过命题3.6我们得到r（1FoY）≤ s- 1对于某些F Fs公司∩ （Gs）c，这与r（1GoY）的事实相矛盾≥ 对于所有G Fs。我们再一次荒谬地假设P（Gs∩ （Fs）c）>0（对于某些s），然后根据命题3。6我们得到r（1FoY）≥ s代表一些F Gs公司∩ （Fs）c，这与r（1GoY）的作用相矛盾≤ s- 所有G为1 （Fs）c。我们推断Fs=Gs。我们得出结论，φr（Y）：=Fr=Gr：={秩（θ）=r}，对于所有s=r- 1.0 wehaveφs（Y）=Fs∩ （Fs+1）c=Gs∩ （Gs+1）c={秩（θ）=s}。下面给出了两个示例。8 ABDELKAREM Berkaoui示例3.8。让我们考虑一下布朗i an设置W=（W，W）和定义X=（δoW+W，W+W）和δ∈ L∞（P） 。然后是X=δ 11 1o栈单因此φ（X）=,φ（X）={δ=1}，φ（X）={δ6=1}，φ（X）-排列过程U由U=W+1（δ=1）oWand U=1（δ6=1）oW给出。示例3.9。假设线性布朗设置W和定义X是随机微分方程dX=b（X）dt+σ（X）dW的解，其中b和σ是满足解X的存在性和唯一性的通常假设的两个实函数。然后X∈ Ci fff 1（σ（X）=0）b（X）=0。在这个假设下，我们有φ（X）={σ（X）=0}和φ（X）={σ（X）6=0}。我们说一个进程X∈ 如果存在一些R，则满足性能（β）∈ Cmform公司≥ n、 用A（X）满足性质（γ） A（R）。提案3.10。假设X∈ CNS满足属性（β）。存在着一些∈ Cn满足性质（γ），使得A（X） A（Y）。证据让流程R∈ C满足性能（γ），如A（X） A（R），因此存在一些α∈ Mn，m（P），使得X=αoR。也存在一些m∈ Mn，n（P）和θ∈ Mn，m（P），其中▄P（秩（θ）=n）=1，使得α=mθ。

根据命题3.7，我们定义Y=θoR，然后▄P（φn（Y））=▄P（秩（θ）=n）=1，因此Y满足性质（γ），X=MoY，因此A（X） A（Y）。3.2. 极大值属性。在这一小节和纸上的最大值概念是包含顺序。我们研究了bn的性质（γ）与极大值之间的关系。提案3.11。让X∈ 考虑以下断言：（1）X满足性质（γ）。（2） A：=A（X）是以bn为单位的最大值。然后（1）=> (2). 此外，如果X满足属性（β），则（2）=> (1).证据(1) => （2） 让我们假设 C对于某些C=A（U）∈ bn，因此X=MouF，对于某些M∈ 锰、氮（P）。我们声称▄P（秩（M）=n）=1。我们假设我们有一个对立面，那么对于F={rank（M）<n}，我们有r（1FoX）<n，这是一个矛盾。我们的结论是U=M-1oX，因此A=C。假设X满足性质（β），那么由于命题3.10，存在Y∈ Cn用A（X）满足性质（γ） A（Y），因此A（X）=A（Y）。我们得出结论，X满足性质（γ）。推论3.12。让X∈ Cn满足性质（γ），并设Y=θoX∈ 某些θ的Cr∈ Mr，n（P）。然后，Y表示性质（γ）i f A（Y）在br中最大。证据这是命题3.11的直接结果，因为Y满足属性（β）。推论3.13。让X∈ Cn满足消耗量（γ）。当任何Y∈ Crsuch that（X，Y）∈ Cn+rand r（X，Y）=n，我们有A（Y） A（X）。证据第一个A（X） A（X，Y），A（X，Y）∈ 由于命题3.11，bn和A（X）在bn中是最大的。然后A（X）=A（X，Y），因此A（Y） A（X）。推论3.14。Suppos e X满足属性（γ）。然后对于任何（i，…，ik）∈ {1，…，n}k，i<…<ik，集合A（Xi，…，Xik）在bk.Proof中是最大的。因为对于集合{1，…，n}上的任何置换σ，我们有A（X）=A（Xσ。

，Xσn），那么我们可以假设w.l.g，i=1，ik=k。由于命题3.11，它能够显示Y：=（X，…，Xk）满足属性（γ）。假设λoY=0表示某个λ∈ M1，k（P），然后（λ，0）oX=0，这意味着λ≡ 0，因为X满足属性（γ）。提案3.15。设B和C是bn中的两个m极大元。然后是1Fo B+1Fco 对于任何F，C在BN中为最大值∈ P、 证明。我们首先展示1Fo B+1Fco C∈ bn。自B、C∈ bn，那么我们有B=A（X）和C=A（Y），X，Y∈ 中国。让QZ∈ Mloc（X）和QU∈ Mloc（Y）分别具有正鞅密度Z和U。我们定义了过程K，线性tochastic微分方程的解dK/K=1FdZ/Z+1FcdU/U和K=1。我们将证明QK∈ Mloc（V），V：=1FoX+1FcoY，表示过程KV是局部鞅。我们应用It^o公式得出：d（KV）=K dV+V dK+d[K，V]=1FK dX+1FcK dY+V dK+1FK/Z d[Z，X]+1FcK/U d[U，Y]=1FK/Z（Z dX+d[Z，X]）+1FcK/U（U dY+d[U，Y]）+V dK=1FK/Z（d（ZX））- X dZ）+1块/块（d（UY）-Y dU）+V dK。由于过程ZX，Z，UY，U和K是局部鞅，那么KV也是局部鞅。现在我们假设1FoB+1FcoC D带D∈ bn。然后是1FoB 1F层oD及其后B 1F层oD+1立方厘米oB∈ bn。由于B在bn中是最大的，我们得出结论，B=1FoD+1立方厘米o带so 1Fo B=1Fo D、 我们对r C做同样的操作，并推断出1Fco C=1Fco D、 我们得出结论1Fo B+1Fco C=D。备注3.16。如果我们将bn替换为bn（A），则提案3.15仍然正确∈ BM某些m≥ n、 引理3.17。让A∈ B和B∈ br（A）带r≤ n、 假设B i是最大inbr（A），那么对于任何F∈ P、 设置1Fo B在bj（1F）中最大o A） 对于某些j=0。r、 证明。前1FoB∈ bj（1FoA）f或j=尺寸（1Fo（B）∈ {0…r}。现在让D∈ bj（1FoA）如1FoB D

则D=1FoD和B D+1立方厘米oB∈ br（A），因此B=D+1FcoB、 也就是说1Fo B=1Fo D=D。提案3.18。设A=A（X）∈ B和B=A（Y）∈ br（A）带r≤ n、 然后存在一些θ∈ Mr，n（P），其中▄P（秩（θ）=r）=1，使得▄B：=1GoA+1GcoA（θoX）是br（A）中的最大值，并且包含B和G=∪ri=0φi（X）。证据对于某些α，第一个Y=αoX∈ Mr，n（P），存在一些M∈ Mr，r（P）和θ∈ Mr，n（P），其中▄P（秩（θ）=r）=1，使得α=Mθ。So BB和 B∈ br（A）。现在假设存在一些C∈ br（A）使▄B C、 然后1GoA=1GoB 1克oC 1克oA、 so 1GoB=1GoC、 对于s=r+1。n和F=φs（X），我们定义为=1FoA=A（1FoX），1FoX满足F上的性质（γ），~Bs=1FoB=A（1FθoX）和Cs=1Fo C、 10 ABDELKAREM BERKAOUIWe推断Bs在br（As）和Cs中是最大的∈ br（As），然后▄Bs=Cs及其前后oB=1Fo C、 也就是说，B=C。4、互补性和插件向量空间。4.1. 互补性。正如我们所知，在任何有限维向量空间E中，我们可以关联正交向量空间N⊥到E中满足=N的任何向量子空间N⊕ N⊥尺寸（E）=尺寸（N）+尺寸（N⊥). 同样，我们研究了元素B的补足性和严格互补性的概念∈ br（A）带A∈ bn。定义4.1。让A∈ B和B∈ br（A）对于某些整数r≤ n、 （1）如果存在一个最小集C，我们说B是a中的一个补集∈ （2）如果b是A中的补集C，则b是A中的严格补集，而A的dim（A）=dim（b）+dim（C）。我们证明了补集和严格补集f或B的存在性∈ br（A）。我们从A=A（X）和X满足性质（γ）的情况开始。定理4.2。

设A=A（X）∈ B和B=A（Y）∈ br（A）对于某些整数r≤ n、 假设X∈ 如果满足性质（γ），则（1）B在a中有一个补码集。（2）B在a中有一个严格补码集，当且仅当B在br（a）中是最大值。证据（1） 由于命题3.1，我们得到B=A（Y）=⊕ri=1φi（Y）oA（U1:i），其中过程U是Y的φ（Y）-排列，U1:i=（U，…，Ui）。那么，每个都存在=1。r、 一些γi∈ Mi，n（P），其中P（秩（γi）=i）=1，使得B=⊕ri=0φi（Y）oA（γioX）。让每个i=1。r、 一些δi∈ 明尼苏达州-i、 n（P）与▄P（秩（δi）=n-i） =1且与γi正交。那么对于C：=⊕ri=1φi（Y）oA（δioX），我们有B+C=⊕ri=1φi（Y）oA（γioX）+⊕ri=1φi（Y）oA（δioX）=A（KoX），其中K：=⊕ri=1φi（Y）γiδi是满秩的，然后是可逆的，soA（KoX）=A。现在假设A=B+D，对于一些D∈ b（C），然后D=A（θoX），对于某些θ∈ 锰、氮（P）。我们注意到，对于每个i=1。n、 向量空间span（1φi（Y）δi）是span（1φi（Y）γi）的理论正交向量空间，且1φi（Y）Rn=span（1φi（Y）γi）+span（1φi（Y）θ）和s pan（1φi（Y）θ） sp an（1φi（Y）δi）。然后span（1φi（Y）δi）=span（1φi（Y）θ），因此预测=D。（2）假设B在br（A）中是最大的，那么上面定义的集合C由C=A（δroX）给出，因此C具有精确的维数n- r、 相反地，假设B在a中有一个strictcomplete集C，并假设1Fo B∈ BSF部分∈ P，s<r.然后foA=1FoB+1层oC，因此变暗（1Fo（A）≤ dim（1FoB） +尺寸（1FoC） =序号+序号-r<n，这是一个对照。备注4.3。我们注意到任何B都有不止一个补集∈ b（A）。在布朗设置w i th w=（w，w）中，我们定义A=A（w，w）和B=A（w）。那么，对于标量A，形式A（aW+W）的任何集合都是A中B的补集。下面给出了定理4.2的一般版本。定理4.4。设A=A（X）∈ B和B=A（Y）∈ br（A）对于某些整数r≤ n

那么（1）B在a中有一个补码集。（2）B在a中是一个严格补码集，当且仅当对于所有i=n- r+1。n和j=0。i+r- n- 1，我们有▄P（φi（X）∩ φj（Y））=0。证据（1） 对于i=0。n、 我们定义Fi=φi（X）和Ai=1Fio A、 因此，过程1Fiox描述了Fi的性质（γ）。我们将定理4.2中的断言（1）应用于Bi：=1Fio 以b（Ai）中的一个元素为基础，得到b（Ai）中存在一个最小集Ci，使得Ai=Bi+Ci。我们推断A=B+C，C=⊕iFi公司oCi。假设A=B+D表示someD∈ b（C），则Ai=Bi+1Fio D带1Fio D 1Fio C=Ci。根据Ci的最小值，我们得出以下结论：Ci=1Fio D，因此C=D.（2）对于直接蕴涵，我们假设P（φi（X）∩对于某些i=n，φj（Y））>0-r+1。n和j=0。i+r-n-1、然后1FijoA=1FijoB+1bijoFij的C=φi（X）∩φj（Y）。我们推导出that i=dim（1Fijo（A）≤ 尺寸（1FijoB） +尺寸（1FijoC）≤ j+n-r、 也就是说我- j≤ n- r但我- j>n- r，这是一个对照。相反，我们定义I={（I，j）∈ {1，…，n}×{0，…，r}：0≤ 我- j≤ n- r} ，J={（i，J）∈ I：~P（φI（X）∩ φj（Y））>0}和任何（i，j）∈ J我们定义Fij=φi（X）∩ φj（Y），Aij：=1Fijo A=A（1FijoX）和Bij：=1Fijo B、 1FijoX满足Fij上的性质（γ）。我们注意到Bijis在bj（Aij）中是最大的，所以通过定理4.2，我们得出了存在一些Cij的结论∈ bi公司-j（Aij），使得Aij=Bij+Cijand，然后A=B+C，其中C=⊕（i，j）∈JFij公司o Cij公司∈ bn公司-r（A）。备注4.5。在定理4.4和und e r中，X∈ 满足性质（γ），我们得到严格完备性等价于br（A）中B的最大值，因为对于所有i<n，P（φi（X））=0，然后对于所有j<r，P（φj（Y））=0，这意味着br（A）中的Bis最大值。在一般情况下，我们接下来说明最大值是一个有效条件。提案4.6。让A∈ B和B∈ br（A）带r≤ n

假设B是maxi-mal-inbr（A），那么B是A.Proof中的严格补码。通过应用命题3.18，我们得到B=1GoA+1GcoA（θoX）表示某些θ∈ Mr、n（P）和G=∪ri=0φi（X）。对于j=r+1。n我们定义了θj∈ Mj公司-r、 n（P），秩为j- r、 与θ正交并设置￠θ=⊕nj=r+1φj（X）~θj。然后C=1Gco A（°θoX）∈ bn公司-r（A）和B+C=A（KoX），其中K：=1GIn+1Gcθ~θ是满秩，然后是可逆的，其中i是单位矩阵，所以B+C=A。4.2. 插件向量空间。对于整数n和X∈ Cn，我们定义了插件向量空间：V（X）={α∈ L∞（P；Rn）：αoX∈ m（QX）}，其中在测度收敛的意义下取闭包，并用wn表示，所有P-可测映射的集合，向量空间值为Rn。我们将探讨CNN和wn这两组之间的联系。提案4.7。让X∈ Cn，则存在一个P-可测映射W（X）∈ Wn使得V（X）={α∈ L（P；Rn）：α∈ W（X）a.s.}，其随机代数维数d=d（X），其代数基fX=（fX，…，fdX）。此外，A（X）=A（gXoX），其中gX=fX/（1+| fX），d（X）=⊕nk=0k1φk（X），X的秩是d（X）的本质上确界。12 ABDELKAREM Berkaouiform。向量空间V（X）在L（P，Rn）中是闭合的，并且在有界正P-可测随机变量的乘法下是闭合的，因此由于[7]中的引理A.4和[3]中的引理2.5，存在向量空间值P-可测映射W（X），使得V（X）={α∈ L（P；Rn）：α∈ W（X）a.s.}。设d（X）是W（X）的代数维数，fX=（fX，…，fdX）是其代数基，然后是A（gXoX） A（X）。对于逆包含，设α∈ V（X）∩ L∞（P；Rn），然后α=MgX对于一些可预测的矩阵过程M，因此αoX=MgXoX和so a（X） A（gXoX）。现在对于W（X）的代数维数，我们将显示Fs：=∪nk=sφk（X）={d（X）≥ s} =：Ksfor s=0。

n、 我们荒谬地认为▄P（Fs∩ （Ks）c）>0（对于某些s），然后变暗（1Fo A（X））≥ s forF：=Fs∩（Ks）烛光尺寸（1FoA（X））=尺寸（1F）oA（gXoX））≤ s-1，这是一个连续半径。我们再次通过荒谬的thatP（Ks∩（Fs）c）>0对于某些s，则对于K：=Ks∩（Fs）c，我们有1Ko A（X）=1Ko A（U）表示某些U∈ 铯-1然后1Kd（X）=1Kd（U）≤ s- 1个butKd（X）≥ s、 这是一种矛盾。我们推断φn（X）=Fn=Kn={d（X）=n}，对于所有s=0。n- 1我们有φs（X）=Fs∩（Fs+1）c=Ks∩（Ks+1）c={d（X）=s}。引理4.8。让X∈ CNA和F∈ P、 然后d（1FoX）=1Fd（X）。证据我们有1F∩φk（X）oA=1φk（X）oA（1FoX）表示所有k=0。n、 然后是F∩φk（X）=φk（1FoX），因此d（X）=⊕nk=0k1F∩φk（X）=⊕nk=0k1φk（1FoX）=d（1FoX）。提案4.9。让X∈ Cnand Y公司∈ 让下面的断言：（1）A（X）=A（Y）。（2） d（X）=d（Y）。然后（1）=> (2). 此外，如果A（X） A（Y），然后（1）<=> (2).证据(1) => （2） 假设A（X）=A（Y），那么r（X）=r（Y）。然后我们推导出W（X）=W（Y），因此d（X）=d（Y）。(2) => （1）现在进一步假设A（X） A（Y）和d（X）=d（Y），然后r（X）=r（Y）=：s，φ（X）=φ（Y）=：F，对于所有k=1。对于某些θk，我们有1FkoU1:kX=1FkθkoU1:ky∈ Mk，k（P），其中ux和uy分别是X andY的F排列过程。假设P（G）>0，G：={rank（θk）<k；Fk}，当r（1GoU1:kX）<k时，这是一种转换。因此，P（G）=0和1FkoU1:kY=1Fk（θk）-1oU1:kX，这意味着fko A（Y）=1Fko A（X），然后A（Y）=A（X）。下面给出了命题4.7的相反情况。提案4.10。让W∈ Wn及其随机代数维数d和代数基f=（f，…，fd）。让我们假设存在一些R∈ Cn满足性质（γ），定义X=goR f或g=f/（1+| f |），然后W=W（X）。证据由于命题3.7和4.7，我们得到了{d（X）=s}=φs（X）={秩（f）=s}，对于所有s=0。