论不完备金融市场的不完备程度

n，因为d=秩（f），那么d=d（X）。为了证明W=W（X），我们注意到f∈ W（X），然后W W（X），因此W=W（X）。如前所述，补集不存在唯一性。接下来，我们使用插件向量空间的工具来构造一个补集，该补集满足正交性的性质，并由此产生唯一性。定理4.11。让X∈ Cnand Y公司∈ 满足A（Y） A（X）。那么就有了≤ n、 θ∈ Mr，n（P）和θ′∈ Ms，n（P）这样：（1）Y′：=θ′oX∈ CSI与Y正交。（2） W（X）=W（Y）。θ+W（Y′）。θ′.（3） d（X）=d（Y）+d（Y′。证据对于两个过程X、Y和F，我们采用符号XF=Y∈ 当1FoX=FoY时为P。我们首先考虑两个过程X和y满足假设（γ）的特殊情况。然后，由于定理4.2中的断言（2），存在一些θ′∈ 明尼苏达州-r、 n（P）使得Y′：=θ′oX∈ 中国大陆-随机数A（X）=A（Y）+A（Y′。因此，A（Y′）在A中加入了一个严格的补集，因此，通过再次应用定理4.2，我们推断t hatY′满足假设（γ），然后d（Y′）=n-r=d（X）-d（Y）。接下来我们显示V（X）=V（Y）。θ+V（Y′）。θ′. Letα∈ V（X）∩L∞（P；Rn）由于Mloc（X）=Mloc（Y，Y′），我们得到αoX=βoY+β′oY′=（βθ+β′θ′）oX和β∈ V（Y）和β′∈ V（Y′）。根据X的性质（γ），我们得到α=βθ+β′θ′。对于逆包含letα∈ V（Y），则αθoX=αoY∈ m（QY）带m（QY） m（QX），然后是αθ∈ V（X）和自设置V（Y）以来。θ+V（Y′）。θ′在L（P；Rn）中是闭合的，那么V（X）=V（Y）。θ+V（Y′）。θ′.我们得出结论，V（X）={α∈ L（P；Rn）：α∈ W（Y）。θ+W（Y′）。θ′}，并推导出W（X）=W（Y）。θ+W（Y′）。θ′. 为了显示正交性，我们有K：=K∩ K⊥∈ Wn，K=W（Y）。θ和K=W（Y′）。θ′.

由于定理4.10，存在一些u≤ nandα∈ Mu，n（P）使得αoX∈ Cu，K=W（αoX），由于W（X）=K+K，那么A=B+A（αoX）和A（αoX） A（Y′），so A（Y′）=A（αoX）来自A（Y′）的最小值，因此K=K，这意味着K⊥ K、 现在对于一般情况，我们首先表明，对于正定义矩阵C，X的二次变化过程[X]可以写成[X]=CoK∈ Mn，n（P）和可预测的增长过程K。实际上，我们定义了过程K=Pi，j |[Xi，Xj]|，其中|[Xi，Xj]|是[Xi，Xj]的总变化过程。那么每个过程[Xi，Xj]都是绝对连续的。r、 因此存在这样的Cij，[Xi，Xj]=CijoK，然后[X]=CoK。若C为正定义，则α∈ M1，n（P），λ∈ L∞+常数为▄E（λαCαoK）=▄E|√λαoX|≥ 0，因此αCα≥ 对于其余的证明，我们假设w.l.g.X=ux，Y=UY。Wede fine∧：={（i，j）∈ {1，…，n}×{1，…，r}：~P（φi（X）∩ φj（Y））>0}。固定（i，j）∈ ∧和f=Fij：=φi（X）∩ φj（Y），我们注意到1Fo A（Y1:j）=1Fo A（Y） 1F层o A（X）=FoA（X1:i），因此Y1:jF=βijoX1:i，Y1:jF=MjYoY，X1:iF=MiXoX，YF=NjYoY1:jand XF=NiXoX1:iF对于某些βij∈ Mj，i（P），MjY∈ Mj，r（P），混合∈ Mi，n（P），NjY∈ Mr、j（P）和NiX∈ Mn，i（P）。我们还有，[X1:i]=HioK和Hi：=MiXCMiX，我们应该说明Hi是可逆的。Letα∈ M1，i（P），使得αHi=0，然后E（αoX1:i）=E（αHiαoK）=0，因此F上的α=0，因为过程X1:i证明了F上的性质（γ）。由于HI是可逆和正定义的，因此存在Ri∈ Mi，i（P），使得Hi=Ri和Ri是可逆的。

我们得出结论，过程Ui=DioX1：是F上的性质（γ），其中Di是Ri的逆矩阵，并且由于Y1：jF=βijRioUi，我们从第一种情况推断，存在一些αij∈ Mn，i（P）使得zij：=αijoUi∈ Cn，1FW（Ui）=1FW（Y1:j）。βijRi+1FW（Zij）。αij和两个向量空间1FW（Y1:j）。βijRiand 1FW（Zij）。αij是代数正交的。我们注意到fw（Ui）=1FW（X1:i）Ri=1FW（X）NiXRi，1FW（Y1:j）=1FW（Y）mj，对于任何G∈ P和K∈ Cn，我们得到1FW（X）=FW（Y）。θ+1FW（Y′）。θ′，其中Y′=P（i，j）∈∧FijoZij，θ=P（i，j）∈∧FijMjYβijMiXand14 ABDELKAREM BERKAOUIθ′=P（i，j）∈∧FijαijDiMiX。我们取集合∧上的和，得到W（X）=W（Y）。θ+W（Y′）。θ′，其中Y=θoX，Y′=θ′oX。我们还通过引理4.8，确定d（X）=P（i，j）∈∧Fijd（X）=P（i，j）∈∧Fijd（X1:i）=P（i，j）∈∧Fij（d（Y1:j）+d（Zij））=P（i，j）∈∧Fij（d（Y）+d（Y′）=d（Y）+d（Y′）。有待证明的是，这两个过程Y和Y′是正交的。让f∈ W（Y）ndg∈ W（Z），然后（f.θ）C（g.θ′）=X（i，j）∈∧Fij（f.MjYβijMiX）C（g.αijDiMiX）=X（i，j）∈∧Fij（f.MjYβij）MiXCMiXDi（g.αij）=X（i，j）∈∧Fij（f.MjYβij）HiDi（g.αij）=X（i，j）∈∧Fij（f.MjYβijRi）（g.αij）=0。所以θ。C、 θ′=0，因此[Y，Y′]=θ。C、 θ′oK=0。5、进一步的结果。5.1. 正交补集。对于X∈ Cn和A=A（X），我们表示d（A）：=d（X），ux是过程X的φ（X）-排列，lin（A）=A∩-A、 对于f∈ lin（A），我们表示相关的Q-martinga le，由任意Q的Mft=EQ（f | Ft）定义∈ Q、 我们标记lin（A）是元素MT的集合，其中M是M=0的有界Q-ma r t ingale，并应写入f⊥ g代表f，g∈ lin（A）如果Mf⊥ 毫克。以下结果将是显示下一个结果的基本工具。提案5.1。假设（X，Y）∈ Cn+R，其中A=A（X），d B=A（Y）。

那么（i）A是lin（A）+L的w eak星闭包∞-.（ii）lin（A）是向量空间。（iii）B A伊夫林（B） 林（A）。（iv）lin（A+B）=lin（A）+lin（B）。（v） 林（A）∩ lin（B）={0}如果X是Y的o正交。证据（i） 包含Lin（A）+L∞-* A是微不足道的。让我们看看直接的那个。勒思∈ A、 然后，由于[6]中的Kramkov定理，存在一个局部Q-鞅M和一个递增过程C，使得h=E（h）+MT-其中E是与Q相关的次线性期望算子。因此hn：=E（h）+MnT- CnT公司∈ 林（A）+L∞-其中mn和cns分别是M和C的截断版本。既然Hn收敛到h，那么∈林（A）+L∞-*.断言（ii）和（iii）是重要的。（iv）夹杂物lin（A）+lin（B） lin（A+B）是断言（iii）的结果。对于其他包含项，让h∈ lin（A+B），然后h=f+g，带f∈ A和g∈ B、 存在一个局部Q-鞅M和一个局部QB鞅N，使得f≤ M和g≤ NT。所以h≤ MT+NT和自Q（h）=0和Q（MT+NT）≤ 0表示某些Q∈ Meloc（X，Y），然后H=MT+NT。因此0=（MT-f） +（NT-g） ，我们得出结论，f=MT∈ lin（A）和G=NT∈ lin（B），so h∈ 林（A）+林（B）。（v） 让h∈ 林（A）∩ 林（B）。对于某些f，则h=MfT=MGT∈ lin（A）和g∈ 林（B）。因为存在Q∈ Meloc（X，Y），然后Mf=Mg。由于两个向量值可预测过程αfand和αg的Mf=αfoX和Mg=αgoY，我们得出结论，Mf=0，因此h=0。现在我们证明了一个具有正交性的补集的存在性。定理5.2。设A=A（X）∈ B和B=A（Y）∈ br（A）。然后是三个出口≤ n a nda唯一Y′∈ Csup到一类等价，这样：（1）Y′与Y正交。（2） A（Y′）是A（3）d（A（Y′）=d（A）中B i的补码- d（B）。证据由于定理4.11，存在≤ n和Y′∈ Cs与Y正交，使得d（X）=d（Y）+d（Y′，A=B+A（Y′）。

现在让C∈ b（A（Y′）使得A=b+C，所以d（C）≥ d（A）- 由于命题4，d（B）=d（A（Y′），因此C=A（Y′）。为了证明A（Y′）的唯一性，我们考虑C=A（U）∈ b（A）使U满足与Y′相同的要求。让h∈ 林（C）和自C A=B+A（Y′），然后根据命题5.1中的应用断言（iv），存在f∈ lin（B）和g∈ lin（A（Y′）使得h=f+g。我们得出h- g=f，带h- g级⊥ f、 so h=g∈ A（Y′），因此C A（Y′）。以同样的方式，我们展示了另一个包含，并得出C=A（Y′）的结论。我们将写B⊥ 如果B=A（X），C=A（Y）和X⊥ Y定义5.3。定理5.2中的集合A（Y′）称为A中B的正交补，并用c（A，B）表示。在这种情况下，我们将A=B⊕ c（A，B）。下面给出了定理5.2 a的一些结果。我们首先统计b（a）的两个子集和a的随机维数的一般公式∈ bn。定理5.4。让A∈ B和B、C∈ b（A）。然后d（B+C）=d（B）+d（C）- d（B∩ C） 。证据设X，Y∈ C：=∪k≥1确定B=A（X）和C=A（Y）。我们支持lin（B）∩ lin（C）={0}。我们要证明这一点≤ r（X）和j≤ r（Y），过程（1FoU1:iX，1FoU1:jY）满足F=φi（X）的性质（γ）∩φj（Y）。设两个向量值可预测处理αa和β，使1FαoU1:iX+1FβoU1:jY=0。然后，如有必要，通过截断，我们得到f：=（1FαoU1:iX）T∈ 林（B）∩ lin（C），因此f=0，这意味着1FαoU1:iX=1FβoU1:jY=0，进而α1F=β1F=0。我们推导出1Fd（X）+1Fd（Y）=1Fd（U1:iX）+1Fd（U1:jY）=1Fd（U1:iX，U1:jY）=1Fd（X，Y），因此（X）+d（Y）=d（X，Y）。现在对于一般情况，我们用D=C（C，C）写出B+C=B+D∩ B） 。我们将验证lin（B）∩ lin（D）={0}。让f∈ 林（B）∩ lin（D），然后是f∈ B∩ C和f⊥ B∩ C、 sof=0。

我们应用第一种情况，并推断d（B）+d（d）=d（B+d）=d（B+C）a和d（d）=d（C）- d（B∩ C） ，我们得出结论。定理5.4的一个结果是刻画互补性。推论5.5。让A∈ B和B、C∈ b（A）。那么，C是B在a函数a=B+C和B中的组合∩ C=L∞-.证据对于直接蕴涵，设D是B的正交补∩ C中的C。然后A=B+D和D 由于C是极小值，我们推断D=C，因此16 ABDELKAREM BERKAOUIB∩C=L∞-. 相反，让D∈ b满足A=b+D和D C、 然后是D∩B=L∞-d（d）=d（A）- 由于命题4.9，d（B）=d（C），因此C=d。第二个结果是著名的渡边Kunita鞅分解定理的推广。定理5.6。假设（X，Y）是一个Rd×Rk值的局部鞅，则存在一个可预测的马氏值过程α和一个向量值的局部鞅l，正交多项式X，使得Y=αoX+l。第一（X，Y）∈ Cd+kand A（X） A（X，Y），根据定理5.2，存在∈ C、 使A（X，Y）=A（X，Y′）。因为Y是局部Mloc（X，Y）鞅，所以它是局部Mloc（X，Y′）-鞅。根据文献[5]中的Jacka定理，存在一个可预测过程（α，β），使得Y=αoX+βoY′=αoX+L，L：=βoY′⊥ 十、第三个结果是应用于过程X的Gram-Schmidt类型程序∈ 中国。定理5.7。让X∈ 中国。然后存在Y=（Y，…，Yn）∈ Cn使得每个yi和Yjare对于i 6=j和A（X）=A（Y）正交。证据我们通过归纳法证明了k=1。n- 1存在Y，Yk公司∈ 坎杜克∈ 中国大陆-K这样的过程Y，Yk，Uk构成正交族，A（X）=A（Y，…，Yk，Uk）。对于k=1，我们定义Y=x，通过应用定理5.2，存在≤ n安图∈ Cs，与Y正交，即A（X）=A（Y，U）。

我们声称≤ n- 1自φ（Y）d（X）起≤ n-1和d（U）=d（X）-d（Y）=1φ（Y）（d（X）-d（Y））+1φ（Y）（d（X）-d（Y））≤ n- 1、我们假设归纳假设在k之前为真，然后存在Y，Yk公司∈ 加拿大和英国∈ 中国大陆-K这样的过程Y，Yk，Ukform anorthogonal family and A（X）=A（Y，…，Yk，Uk）。通过将k=1的情况应用到过程Uk，存在Yk+1∈ 加拿大和英国+1∈ 中国大陆-k-因此，过程Yk+1和k+1是正交的，A（Uk）=A（Yk+1，Uk+1）。所以过程Y，Yk+1，Uk+1形成正交族，A（X）=A（Y，…，Yk+1，Uk+1）。对于k=n- 1，存在Y，Yn公司-1.∈ 加拿大和联合国-1.∈ C这样的过程，Yn公司-1，联合国-1形成正交族，A（X）=A（Y，…，Yn-1，联合国-1). We takeYn=联合国-1并获得结果。现在是固定的a∈ bn，我们研究了映射B的性质∈ b（A）→ c（A、B）∈b（A）。提案5.8。让A∈ B和B、C∈ b（A）。然后（1）c（A，c（A，B））=B，因此c（A，B）=c（A，c）i ffb=c。（2）假设c B、 那么c（A，c）=c（A，B）⊕ c（B，c）。（3） 假设C c（A，B），然后c（A，c）=B⊕c（c（A，B），c）和c（A，B+c）=c（c（A，B，c）。（4） C类 c（A，B）i ff B c（A，c），在这种情况下，我们得到c（c（A，B），c）=c（c（A，c，B）。（5） B类 C i ff C（A，C） c（A，B）。（6） C类⊥ B i F C c（A，B）。（7） 假设C B、 那么c（B，c）=B∩ c（A，c）。证据（1） 根据正交补的唯一性，我们得到B=c（A，c（A，B））。假设现在c（A，B）=c（A，c），那么B=c（A，c（A，B））=c（A，c（A，c））=c。（2）我们有A=c（A，B）⊕B=c（A，B）⊕c（B，c）⊕C和A=C（A，C）⊕C、 所以通过uniqueness我们得到C（A，C）=C（A，B）⊕ c（B，c）。（3） 我们将断言（2）中的集合B替换为c（A，B），得到第一个语句。对于第二个，我们有A=c（A，B）⊕B=c（c（A，B），c）⊕C⊕B和A=（B+C）⊕c（A，B+c），然后通过唯一性c（A，B+c）=c（c（A，B），c）。（4） 由于存在对称性，我们将展示其直接含义。

我们应用断言（3）并推导出B c（A，c）和c（c（A，B，c）=c（A，B+c）=c（A，c+B）=c（c（A，c，B））。逆蕴涵是通过再次应用直接蕴涵得到的。（5） 假设B 由于C=C（A，C（A，C）），那么通过断言（4），我们得到了C（A，C）c（A，B）。（6） 由于B⊥ c（A，B），让我们展示直接的一个。勒思∈ lin（C），我们在命题5.1中应用断言（iv），并用f得到that h=f+g∈ lin（B）和g∈ lin（c（A，B））。然后h- g=f和h- g级⊥ f、 因此h=g∈ c（A，B）。（7） 直接包含是微不足道的。反之，我们有c（A，c）=c（A，B）⊕ c（B，c）和D：=B∩ c（A，c）⊥ c（A，B），so D c（B，c）。接下来，我们陈述德摩根定律。提案5.9。让A∈ B和B、C∈ b（A）。然后（1）c（A，B∩ C） =C（A，B）+C（A，C）。（2） c（A，B+c）=c（A，B）∩ c（A，c）。证据（1） 我们首先假设A=B+C。我们首先显示C（A，B）∩c（A，c）=L∞-.让f∈ lin（c（A，B）∩ c（A，c）），然后是f⊥ B和f⊥ C和f⊥ B+C，butf∈ A=B+C，因此f=0。现在我们有D：=c（A，B）+c（A，c） c（A、B∩ C） andd（D）=D（A）- d（B）+d（A）- d（C）=d（A）- d（B∩ C） 通过命题4.9，我们得到了结果。对于一般情况，我们有c（A，B∩ C） =C（A，B+C）+C（B+C，B∩ C） =C（A，B+C）+C（B+C，B）+C（B+C，C）=C（A，B）+C（A，C）。（2） 我们在c（A，c（A，B）中应用断言（1）和obta∩ c（A，c））=c（A，c（A，B））+c（A，c（A，c））=B+c，so c（A，B）∩ c（A，c）=c（A，B+c）。对于任何A∈ B和B、C∈ b（A），我们从定理5.2知道，在b+C中存在b的唯一正交补，用C（b+C，b）表示。在下面的示例中，我们说明了c（B+c，B）和c之间没有直接的包含关系。示例5.10。我们考虑布朗设置W=（W，W），定义B=A（W）和C=A（W+W）。

n c（B+c，B）=A（W）和A（W）与c没有直接联系。因此，我们引入以下定义。定义5.11。让A∈ B和B、C∈ b（A）。如果C（B+C，B），我们说这对（B，C）满足星属性 C、 下面给出了星形属性的一些等效声明。提案5.12。让A∈ B和B、C∈ b（A）。那么以下断言是等价的：（1）配对（B，C）满足星形属性。（2） c（B+c，B）=c（c，B∩ C） 。（3） 存在Y′∈ 使得A（Y′）与B正交，d C=（B∩ C）⊕ A（Y′）。（4） 存在D，D∈ b（A）使D B、 D⊥ B和C=D⊕ D、 （5）B+C=B⊕ c（c，B∩ C） 。（6） B+C=B⊕ D代表一些D∈ b（C）。18 ABDELKAREM Berkaouiform。(1) => （2） 设D：=c（B+c，B）和h∈ lin（D）和自D以来 C和C=（B∩ C）⊕c（c，B∩ C） ，则h=f+g，带f∈ lin（B∩ C） 和g∈ lin（c（c，B∩ C） ）。所以h- g=带h的F- g级⊥ f、 然后h=g∈ c（c，B∩ C） 。逆设h∈ lin（c（c，B∩ C） ）和sincec（C、B∩ C） C B+C=B⊕ D、 然后h=f+g，带f∈ lin（B）和g∈ 林（D）。Soh公司∈ B∩ C、 h类- g=f，带h- g级⊥ f、 那么h=g∈ D、 （2）=> （3） 由于定理5.2，存在一些≤ n和Y′∈ Cs使得A（Y′）与B或c（B+c，B）=A（Y′）。So C=（B∩C）⊕c（c，B∩C） =（B∩C）⊕A（Y′）。(3) => （4）微不足道。(4) => （3）支持D=A（Y′）。必须表明D=B∩C、 直接包含是微不足道的，相反，我们有B∩ C⊥ D、 然后是B∩ C c（c，D）=D.（3）=> （5） 我们有B+C=B+A（Y′），因为Y′与X正交，A（Y′）=C（C，B∩ C） ，则B+C=B⊕ c（c，B∩ C） 。(5) => （6）取D=c（c，B∩ C） 然后是D C、 （6）=> （1） 第一个D=c（B+c，B），来自o或t阶补码的唯一性和D C、 所以我们得到了结果。提案5.13。让A∈ B和B、C∈ b（A）。我们应该说B C如果对（B，C）满足s焦油特性。然后 是一种反射对称关系。证据

关系的反射属性 是微不足道的。现在支持B C、 然后B+C=（B∩C）⊕c（B+c，B∩C） =（B∩C）⊕c（B+c，B）⊕c（B，B∩C） =（B∩C）⊕c（c，B∩C）⊕c（B，B∩C） =C⊕c（B，B∩C） ，因为B+C=C⊕c（B+c，c）。So c（B，B∩C） =C（B+C，C），因此为C B备注5.14。关系 不可传递。的确，让我们∈ B和B、C∈ b（A）这样的对（b，C）不满足星属性，但对（b+C，b）和（b+C，C）满足星属性。提案5.15。让A∈ B和B、C∈ b（A）。假设对（B，C）是星属性，那么（1）对（C（A，B），C（A，C））满足星属性。（2） 这对（B，c（A，c））符合star属性。证据（1） 我们有c（A，B）+c（A，c）=c（A，B∩ C） =C（A，B）⊕ c（B，B∩ C） =C（A，B）⊕c（B+c，c）与Y c（B+c，c） 然后通过命题5.12中的断言（4），我们得到了结果。（2） 我们在Propo position 5.8中应用断言（2），得到c（A，c）=c（A，B）⊕c（B，c），然后B+c（A，c）=B+c（A，B）+c（B，c）=A=B⊕ c（A，B）和c（A，B） c（A，c），所以这对（B，c（A，c））满足了星形属性。接下来说明分配定律。提案5.16。让A∈ B和B、C、D∈ b（A）。假设对（D，B）和（D，C）满足星形性质，则（1）D+（B∩ C） =（D+B）∩ （D+C）。（2） D∩ （B+C）=（D∩ B） +（D∩ C） 。证据（1） 我们有D+（B∩ C） （D+B）∩ （D+C）。对于逆包含，设h∈lin（（D+B）∩ （D+C）），因为D+B=D⊕ D D D+C=D⊕ D带D B和D C、 然后h=f+g=f′+g′，带f，f′∈ 林（D），g∈ lin（D）和g′∈ 林（D）。Sof公司-f′=g′-g带f-f′⊥ g′-因此g=g′∈ B∩C和h=f+g∈ D+（B∩C） 。（2） 我们有（D∩ B） +（D∩ C） D∩ （B+C）。