论不完备金融市场的不完备程度

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英文标题：
《On the degree of incompleteness of an incomplete financial market》
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作者：
Abdelkarem Berkaoui
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In order to find a way of measuring the degree of incompleteness of an incomplete financial market, the rank of the vector price process of the traded assets and the dimension of the associated acceptance set are introduced. We show that they are equal and state a variety of consequences.
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中文摘要：
为了找到一种度量不完备金融市场不完备程度的方法，引入了交易资产向量价格过程的秩和关联接受集的维数。我们证明了它们是平等的，并陈述了各种后果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_the_degree_of_incompleteness_of_an_incomplete_financial_market.pdf (299.32 KB)

2022-6-11 04:07:35 上传

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关键词：金融市场 Mathematical Quantitative Differential Consequences

不完全金融市场的不完全程度。ABDELKAREM Berkaoui摘要。为了找到一种衡量不完备金融市场不完备程度的方法，重新引入了交易资产向量价格过程的等级和相关可接受集的维度。我们证明了它们是相等的，并且具有各种后果。1、引言、注释和复习。1.1. 介绍。等价鞅测度的概念是金融数学理论的基石。实际上，资产定价的两个基本原则是建立在这一通知上的。更准确地说，第一个原则是，由一个数量和一组有限的交易资产组成的市场满足无套利属性，前提是这些资产的价格过程允许至少一个等价的Mar r t ingalemeasure，而第二个原则进一步确定，在这种市场中，任何未定权益都是可以获得的，这意味着可以通过自我融资策略对其进行对冲，如果且仅当该等效鞅测度是唯一的。在第一种情况下，市场被称为不完全市场，在第二种情况下，市场被称为完全市场。有关该主题的更多详细信息，请参阅[4]和其中的参考文献。毫无疑问，完整市场是完全避免风险的典型市场。因此，从一个不完整的市场开始，我们可以衡量这个市场的不完整程度。或者换言之，如果存在最新的完整市场，我们可以测量它与该市场的距离吗。

回答这个问题的一种方法，至少在理论上是，看看我们必须向这个市场添加的交易资产的最小数量，以增加我们的交易选择，降低现有风险，然后形成一个完整的市场。另一种看待这一问题的方法是，精确计算生成相关市场的交易资产的最低数量。为了说明这一点，让我们考虑一种单一风险资产，其价格X用布朗集表示为随机微分方程dX=σX dW的解，σ是一个有界适应过程。如果集合{σ=0}具有零概率，则该市场是完全的。因此，可以这样看待这个市场：过程W是市场中存在的风险的模型，过程X是生成整个布朗过滤FW的模型，以实现市场的完整性。从一个市场可以由向量价格过程X来建模这一事实开始似乎很自然，该过程X主要满足无套利假设和其他技术假设。我们将可实现权利要求B（X）={αoXT：α是一个可接受的策略}的锥与之关联，其中T是时间范围或时间，定义A=A（X）=（B（X）- L+）∩ L∞.我们将X的秩定义为最小数r，从而存在满足a（X）=a（Y）的向量价格过程Y=（Y，…，Yr）。在一种完全不同的方法中，由于集合a（X），先前定义的满足了a接受集的所有公理和以下关键词：鞅测度、m-稳定性、鞅表示、α-截面、秩、维数。AMS 2000科目分类：初级60G42；次要91B24.2 ABDELKAREM Berkaouit连贯风险度量理论的术语，我们将b表示为所有接受集b的集合，因此测试概率的相关集合QBof是一系列适应过程的mart ingalemeasures集合。

因此，为了确定元素的维度a∈ b、 我们应首先确定构成A的组件，并将A的维度定义为生成集合A所需的这些组件的最小数量。在[1]中，引入了a部分的概念，并表明a部分只是isa部分的一个构建块。因此，基于这一概念，我们将组件定义为一个集合a∈ 任何子集b∈ A中的b是A的一部分，定义了一般集合A的维数∈ bas组件A，…，的最小数量，A等于A+…+我们将在后面说明，X a的秩r和a（X）的维数d是相同的。除此之外，我们还将向量价格过程X与样本时间空间的可预测分区相关联，这样在该分区的每个单位G上，过程1FoX对所有F都具有相同的秩 G、 我们还将介绍a补码和astrict补码集的概念，作为正交向量空间概念的类似物，并通过定义两个集a、B∈ b带b A、 我们可以将集合A分解为B和最小集合C的和∈ b、 我们还刻画了A的维数是b和C的维数之和的情况。为了进一步分析向量空间的代数维数，我们引入了X的插入向量空间V（X）作为X的被积函数集的闭包，并证明了关联的随机代数维数d（X）与秩A和早期部分密切相关。该随机代数维数用于确定X作为金融市场生成器的完整性度量单位。给出了这一概念的进一步结果和应用。1.2. 不在ion。让我们考虑一个随机基(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P），满足通常条件。

验收集A定义为L中的弱星形闭凸锥∞, 满足两个条件：L∞- A和A∩ L∞+= {0}. 我们将集合Q=QAofP绝对连续概率测度与之关联，在A上取负值。我们用A表示所有接受集的集合，用ast表示元素A的集合∈ a，其关联集qam-稳定。在本文中，我们将采用以下符号：oP表示所有P-绝对连续概率测度的集合，而Peis是P中等价概率测度的子集π表示P和∏c的子集集，即闭凸集集Q∈ ∏这样的Q∩ Pe6=.o P表示由右极限的左连续过程类生成的可预测σ-代数对于概率测度集Q，我们将spm（Q）表示为Q-超鞅集，将m（Q）表示为局部Q-鞅集对于适应过程的族Y，我们用Msp（Y）（分别为Mloc（Y）），表示族Y的所有局部分精ale（分别为鞅）测度集。oLp（G；Rd）表示Rd值、p-可积和G-可测随机变量的Lebesgue空间，其中Lp（G）=Lp（G；R），Lp=Lp（F），对于1≤ p≤ ∞ 和asub-σ-代数G F、 o对于B Lp，表示Lpof B中的闭包，和*对于弱星closurein L∞.o αS表示过程αw.r.t.半鞅的随机积分过程Mn，m（P）表示所有Rn的集合Rm矩阵值可预测过程和α∈ Mn，m（P），span（α）表示矩阵α的行所跨越的向量空间。如果两个矩阵的跨距向量空间是，我们可以说它们是正交的。我们用秩（α）表示矩阵α的随机代数秩1和Fc分别表示指标函数和可测集F的互补集。1.3. 回顾

我们回顾了在[1]中引入的接受集的一部分的概念，并考察了它的一些性质。定义1.1。（Be rk aoui[1]）让F∈ P和A∈ 具有测试概率关联集的。我们将A的F部分定义如下：Fo A：={h∈ L∞: h类≤ 1FoXT对于某些X∈ spm（Q）}。[1]中已经证明1Fo A.∈ a、 我们以1F命名o Q、 相关的测试概率集。我们应该说B∈ a是a i f的一部分，它是a的f-部分∈ P、 定理1.2。（Berkaoui[1]）设F，G∈ P和d A、B∈ a使a+B∈ a、 然后（1）1Fo （1克o A） =1F∩Go A、 （2）1Fo A+1克o A=1F∪Go A、 （3）1Fo （A+B）=1Fo A+1层o B（4） 1F层oMsp（Y）=Msp（1FoY），其中1FoY={1FoY:Y∈ Y} 对于任何类型的自适应进程。（5） 1F层o Mloc（Y）=Mloc（1FoY）。2、主要结果。2.1. 定义。我们将b定义为所有元素A的集合∈ 这样，Qa是一系列适应过程的鞅测度集，用b（a）表示，a的所有接受子集集，它们是b中的元素。现在我们介绍元素a的维数notio n∈ b、 定义2.1。让A∈ b、 （1）如果A=L，我们说A是平凡集∞-.（2） 我们说一个非平凡集a是一个组件，如果有任何元素B∈ b（A）是A的一部分。（3）我们说一个非平凡集A是类的() 如果它允许对某个正整数n的阶数nf进行特殊分解，这意味着存在n个子成分sa，A的A=A+…+一（4） 假设A是c类(), 我们将A的维数定义为最小正整数n，这样A允许n阶的特殊分解。对于平凡集A=L∞-, 我们将d im（A）=0。（5） 我们说A是阶级的(n） 如果A的尺寸等于n，则备注2.2。

根据定义2.1，组件a属于().我们用bn表示b中属于类的元素集(n） 由bn（A）可知，bn中的元素集，A是A的子集。在本节中，我们描述了n中的元素≥ 1、我们将Cn定义为至少允许一个等价局部鞅测度的Rn值适应过程集，对于X∈ Cn，我们表示QX：=Mloc（X）是4 ABDELKAREM BERKAOUIX的所有局部鞅测度集，A（X）是相关的接受集，m（QX）是所有局部QX鞅集。我们应该说X∈ 如果a=a（X），则Cn是a的生成器。2.2. 组件特性。我们首先陈述以下结果。提案2.3。让A∈ b并设Q=qa相关的测试概率集。确定集合Φ={F=FX∈ P:1Fo A=A（X）；对于某些X∈ m（Q）}。然后Φ允许最大元素w.r.t.，包括usio n顺序。证据我们将在[1]中展示引理4.15的三个断言。对于（i）让F，G∈ Φ带F∩ G=, 对于某些X，Y，F=fx，G=fy∈ m（Q）。因此，我们有（F∪G）oA=1FoA+1克oA=1FoA（X）+1GoA（Y）=A（U），其中U=1FoX+1GoY∈ m（Q），so F∪ G∈ Φ.对于（ii），设递增序列（Fn） Φ，因此Fn=某些Xn的fx∈ m（Q）带f=∪n≥1Fn。然后是1Fo A=∪n≥1Fno A.*多亏了[1]中的引理4.16和弱恒星意义下的closure。So 1Fo A=∪n≥1Gno A（Xn）*其中，G=扇形n+1=Fn+1 \\Fn表示所有n≥ 1、因此1FoA=A（X），其中X=Pn≥1GnoXn∈ m（Q）。我们得出结论，F∈ Φ.对于（iii）let F∈ Φ和G F，则F=X的fx∈ m（Q），因此为1Go A=GFo A=1Go A（X）=A（Y），Y=1GoX∈ m（Q）。So G公司∈ Φ.提案2.4。设X，Y∈ 对于某些有界可预测过程α，Y=αoX。那么A（Y）=1Fo A（X），其中F=supp（α）：={|α|>0}。证据我们将证明m（QY）=1Fom（QX）。对于直接包含，我们有m（QY）=Fom（QY） 1Fom（QX）。相反，让U∈ m（QX）和V=1FoU。

然后利用文献[5]中的Thanksto-Jacka定理，我们得到了一些可预测过程γ的U=γoX和V=F（1/α）αoU=1F（1/α）αγoX=1F（1/α）γoY∈ m（QY）。现在我们刻画了b类元素().提案2.5。假设A∈ b、 那么A是一个分量，当且仅当A=A（X）对于某些X∈ C、 证明。对于直接含义，让U∈ m（Q）和自A（U）∈ b（A），那么存在F=FU∈ P使得A（U）=1Fo A、 我们定义了集Φ={FU:U∈ m（Q）}。由于命题2.3，集合Φ允许最大元素F=FXw。r、 t包括顺序。我们声称A=A（X）。第一个A（X） A、 让我们展示一下 A（X）表示m（Q） m（QX）。L等Y∈ m（Q），然后A（Y）=1FYoA. 1F层oA=A（X），因此∈ m（QX）。相反，设B∈ b（A），那么我们得到QB=Mloc（αoX），对于一个可预测过程α，这要归功于文献[2]中的定理3.3。我们应用命题2.4并得出结论。提案2.6。设整数n≥ 1.T h en A∈ b有一个特殊的序n分解，当且仅当a=a（X）对于某些X∈ 中国。证据对于直接含义，我们假设A=A+…+对于一系列子组件s a，Anin A.由于命题2.5，存在标量进程ESX，Xn公司∈ C对于i=1，Ai=A（Xi）是这样的。因此A=A（X），X=（X，…，Xn）∈ 中国。相反，假设A=A（X）表示X∈ Cn，那么多亏了[1]中的引理4.3，我们得到了A=A（X）+…+A（Xn），这意味着A具有n阶的特殊分解。2.3. 类别(n） 特征描述。为了描述这个班级(n） 对于任何积极因素，我们引入一些定义。我们记得，Cn是一组Rn值自适应过程，它至少允许一个等价的局部鞅测度，并定义Cn，rforr≤ n、 作为Cnof Rn值适应过程X的子集，使得对于某些Y，X=αoY∈ Crandα∈ Mn，r（P）。我们设置C：=∪n≥1立方厘米。定义2.7。让X∈ 中国。

我们定义X的秩o byr（X）=min{r=1…n:X∈ Cn，r}。现在我们陈述以下定理2.8。让X∈ 中国。n r（X）=尺寸（A（X））。证据我们首先表明≤ n、 我们有dim（A（X））≤ r当且仅当r（X）≤r、 我们假设dim（A（X））≤ r、 对于某些Y，则A（X）=A（Y）∈ 从X开始的Crand∈m（QX）=m（QY），然后对于某些αX=αoY∈ Mn，r（P），so r（X）≤ r、 假设nowr（X）≤ r、 对于某些α，X=αoY∈ Mn、r（P）和Y∈ 由K={βα：β定义的集合K∈ L（P；Rn}，是L（P，Rr）中的一个闭向量空间，在有界正P-可测随机变量的乘法下是闭的，因此存在一个闭向量空间值可测映射W，使得K={γ∈ L（P；Rr）：γ∈ 然后存在一个生成族f=（f，…，fr）。我们将证明a（X）=a（U），其中U=goY，g=f/（1+| f |），并推导出dim（a（X））=dim（a（U））≤ r、 对于任何r∈ m（QX），我们有R=δoX=δαoY=δ′goY=δ′oU∈ m（QU），我们有R=θoU=θgoY=θ′αoY=θ′oX。对于等式R（X）=dim（A（X）），我们取第一个R=R（X），然后推导出dim（A（X））≤r（X），然后我们取r=dim（A（X）），然后推导出r（X）≤ 尺寸（A（X））。下面给出了一些后果。推论2.9。让X∈ Cnand r公司≤ n、 那么以下断言是等价的：（1）A（X）属于类(r） 。（2） 对于某些Y，r（X）=r.（3）A（X）=A（Y）∈ r（Y）=r.推论2.10。让A∈ b和一个正整数n。那么a是类(n） 如果且仅当A=A（X）对于某些X∈ Cn和r（X）=n。最后，我们调查了完整的金融市场案例。定理2.11。让我们考虑一个整数n。那么以下断言是等价的：（1）{P}=Mloc（X），对于某些X∈ 中国。（2） 尺寸（B）≤ n代表所有B∈ b、 此外，r（X）=n当且仅当存在一些b∈ bn。证据

(1) => （2） 让B∈ b、 由于[2]中的定理3.12，存在一些Y∈ Cn使得B=A（Y），然后dim（B）=r（Y）≤ n、 （2）=> （1） 由于[2]中的推论2.4，我们推断A：=A{P}∈ b、 然后存在一些X∈ 使A=A（X），因此{P}=Mloc（X）。6 ABDELKAREM BERKAOUINow假设r（X）=n，那么B：=A{P}∈ bn。相反，对于某些Y，我们通过荒谬的假设r（X）=r<n，所以{P}=Mloc（Y）∈ 通过应用蕴涵（1）来扩展=> （2） ，我们推导出dim（B）≤ r代表任何B∈ b、 这是一种矛盾。3、可预测的排名图和最大值。3.1. 可预测的排名图。在这一小节中，我们更深入地研究了等级的概念。假设在W=（W，W）的布朗环境中，我们定义了一些F的过程x=（W，1FoW）∈ P、 那么r（X）=2。但1FcoX=（1FcoW，0），因此r（1FcoX）=1。接下来，我们将对时间空间的可预测部分进行特征化Ohm ×[0，T]，其中向量过程X的秩∈ CNS不变。提案3.1。让X∈ Cn，则（1）有一个分区（φk（x））k=0。。。n 对于所有G，r（1GoX）=k φk（X）和k=0。n、 （2）存在一些U∈ Cn使得所有k=1的A（X）=A（U）和d。n、 我们有φk（X）o A（X）=1φk（X）o A（U，…，Uk）和φk（X）=φk（U，…，Uk）。证据（1） 我们定义了集合ψk：={F∈ P:r（1FoX）≤ k} 对于k<n，我们将显示集合ψk包含一个最大元素。为此，我们首先指出F∈ ψkif且仅当某些αF的1FoX=1FαFouf时∈ Mn、k（P）和UF∈ 第二，我们将展示[1]中L emma 4.15的三个断言。对于（i）让F，G∈ ψkwith F∩ G=,然后是1（F∪G） oX=1FoX+1GoX=1FαFoUF+1GαGoUG=1F∪GαoU，α=FαF+1GαG∈ Mn、k（P）和U=1FoUF+1GoUG∈ Ck，so F∪ G∈ ψk.对于（ii）letan递增序列Fn∈ ψkwith F=∪n≥1Fn。