欧洲类型、早期行使和离散壁垒的套期保值和定价

（请提供手稿编号！）锻炼机会的数量是一个非常大的值。另一种方法是对一系列百慕大期权进行useRichardson外推，其中L的数量不断增加（参见Geske和Johnson 1984，Chang et al.2007）。我们采用后一种方法（Fang和Oosterlee（2009b））来为美式期权定价。因此，实施4点Richardson外推方案（参见Fang和Oosterlee 2009b），我们得到了Vamer（L）给出的Americanoption价格=64V（2L+3）-56V（2L+2）+14V（2L+1）-V（2L）, （55）式中，VAmer（L）表示美式期权的近似值，V（·）是（52）中百慕大期权的定价公式。4.4. 离散监控障碍期权的定价公式障碍期权是一种早期行权期权，其收益取决于期权有效期内股票价格是否超过设定的障碍水平。当期权的存在在越过障碍水平后逐渐消失时，我们将其称为向上和向外、击出或向下和向外期权。就像欧洲的普通期权一样，这些期权都可以写成在到期日有预定履约价格的看跌期权或看涨期权。在本文中，我们只研究了两种基本的势垒期权。1、跌出障碍（DO）期权：跌出障碍期权是一种可以在到期日以预设履约价格行使的期权，只要驱动该期权的股价在期权有效期内不低于预设障碍水平。举例来说，如果s股票价格跌破这一关口，期权就“被取消”，立即没有价值。2.

向上走出障碍（UO）期权：与向下走出障碍期权类似，当股票价格在期权有效期内上涨超过障碍水平时，向上走出障碍期权将被取消。一旦期权被取消，期权就不能在到期日按预定的行权价格行使。离散监控屏障选项的结构与百慕大选项的结构相同。barrieroptions没有预先设定的行使日期和早期行使点（如百慕大期权），而是有预先设定的监控日期和障碍水平。在百慕大期权的情况下，当股票价格超过早期行使点时，会发生支付，期权立即到期。以同样的方式，当越过障碍级别时，障碍选项将立即取消。屏障级别的作用与百慕大选项中的练习点完全相同。然而，如果是没有回扣的障碍期权，当达到障碍水平时，不会发生支付；否则，当障碍期权被取消时，就会出现回扣。我们使用回扣DO期权来说明CONLeg方法，以近似离散监控的承运商期权价格。假设我们有一个由STB驱动的回扣DO选项，作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给Management Science；手稿编号（请提供手稿编号！）17返利Rb、罢工K和一系列监控日期L：t=t<…<tl<…<tL=T；期权公式可描述为V（xtl、K、tl）=U（extl、K、tl）1log B>xtl+Rblog B≤xtll=L，tL=TC（xtl，K，tL）1日志B>xtl+e-r（T-tl）Rblog B≤xtll=1，L-1C（xtl，K，tl）l=0，（56），其中1是一个指示函数，而U（extl，K，tl）又是一个调用或put payoff。我们遵循第4.2节中的（51）和（52）的思想来近似C（xtl，K，tl），这样e-r（tl+1-tl）EV（xtl+1，K，tl+1）| xtl= e-r（tl+1-tl）Kh（￠xtl）。

（57）应用CONLeg方法后，（56）可以转换为V（xtl，K，tl）=Kf（▄xtl）1log（B/K）>▄xtl+RbKlog（B/K）≤xtl公司l=l，tL=TKe-r（tl+1-tl）h（▄xtl）1log（BK）>▄xtl+e-r（T-tl）RbKlog（黑色）≤xtl公司l=1，L-1Ke-r（tl+1-tl）h（▄xtl）l=0。（58）在（58）中，由于在log（B/K）处存在跳跃，因此在tl处，我们使用log（B/K）作为断点和近似值-r（tl+1-tl）h（▄xtl）1log（BK）>▄xtl+e-r（T-tl）RbKlog（黑色）≤xtl（59）带有两个切比雪夫系列。此外，结合其他奇点xtl，1。xtl，K+1∈ ~xtlinV（xtl，K，tl），我们可以用（54）中给出的一组切比雪夫级数来表示V（xtl，K，tl）。最后，我们的算法计算离散监控DO障碍期权价格的伪代码可以在算法2中找到。对于UO障碍期权，我们可以使用（58）和算法2计算其价格，但我们考虑当股票价格上涨到B以上时，即V（xtl，K，tl）时期权被取消的条件=U（extl，K，tl）1log B<xtl+Rblog B≥xtll=L，tL=TC（xtl，K，tL）1日志B<xtl+e-r（T-tl）Rblog B≥xtll=1，L-1C（xtl，K，tl）l=0。(60)4.5. 对冲公式和截断区间的选择我们现在将注意力转向推导期权G reek值。特别是，我们着重于推导三个选项的希腊值Delta(), Gamma（Γ）和Vega。Delta定义为期权价值相对于标的资产价格变化的变化率；Gamma是Delta相对于基础价格变化的变化率；最后，Vega是对期权对基础资产价格波动性变化的敏感性的衡量。一般来说，波动性衡量价格上下波动的数量和速度，通常基于交易工具最近历史价格的变化。

其他希腊价值观，如Theta，canAuthor:Tat Lung（Ron）Chan18文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）结果：在Tinitialization时，离散监控障碍期权价格V（xt、K、t）；将[t，t]离散为时间步t=t，t，tl，tL=T；tl=tl-1.而tl6=t使用CONLeg方法计算C（xtl，K，tl）；C（xtl，K，tl）=e-r（tl+1-tl）h（￠xtl）in（58）；计算（e-r（tl+1-tl）如果日志（B/K）>xtle，则为h（▄xtl）-r（T-tl）Rb/K如果记录（B/K）≤ XTL，带有两个切比雪夫系列（54）；V（xtl，K，tl）=KMkPk=0VNk[￠xtl，K，￠xtl，K+1]；下一个tl；endreturn V（xt，K，t）等于e-r（t-t） Kh（￠xt），其中t=t；算法2：基于（56）计算离散监控障碍期权价格V（xt，K，t）的算法。以类似方式派生；然而，根据特征函数，派生表达式可能相当长。我们在这里省略了它们，因为许多术语都重复了。如上所述，Delta是期权价值V相对于基础工具价格S的一阶导数。因此，区分了欧洲期权（38）、百慕大期权（54）、美国期权（55）和障碍期权（54）中V相对于toS的卷积形式，我们有t型=V（x，K，t）S=e-r（T-t） K级h（￠x）xxx个x个S、 x=x-日志K.（61）自x个/ x=1和x个/S=经验值(-x） ，则，t暗示变为现实-r（T-t）-xK公司h（￠x）x=e-r（T-t）-xKMkXk=1VNk公司~x[~xk，~xk+1]，（62）带VNk公司x=NkXk=1γkTk公司oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）~x.（63）为了表示（63）中切比雪夫级数的一阶导数，我们采用了dxtn（x）=nTn的f法-1（x）-Tn+1（x）1-x（参见Mason和Handscomb 2002，（2.4.5））和dψ[c，d]（￠x）=（2/（d-c） ）dx，因此Tk公司oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）x=2kd-cTk+1oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）-Tk公司-1.oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）1- ~x.（64）作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号：。

（请提供手稿编号！）19同样，我们可以通过差异化t关于S，使得=V（x，K，t）S=t型S=t型x个x个S=e-r（T-t）-2xKh（￠x）x-h（￠x）x= e-r（T-t）-2xKMkXk=1VNk公司~x[~xk，~xk+1]-MkXk=1VNk公司~x[~xk，~xk+1]. （65）结束VNk公司/~x，我们可以使用dDxtn（x）=n（n+1）Tn-2（x）-2nTn（x）+（n-1）Tn+2（x）（1）-x） （参见Mason和Handscomb 2002，问题2.5.17），从而得出结论VNk公司x=NkXk=1γkTk公司oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）x（66）和Tk公司oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）x=k（d-c） （1）-x）（k+1）Tk-2.oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）-2kTk型oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）+（k-1） Tk+2oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）！。（67）同样，我们可以得到织女星的配方，五、σt，其中σ是时间t内波动性的初始值。例如，对于σtas为波动性初始值的GBM模型，我们得出Vega如下：V（x，K，σt，t）σt=e-r（T-t） KZmax（c，x-d） 最小值（d，~x-c） f（y）gR（▄x-y）σtdy，￠x∈ [2c，2d]。（68）在我们将V与σ进行微分以获得（68）后，我们可以用康莱法近似（68）。如前所述，如果随机过程的闭合形式PDF g不存在，请使用CFS表达式表示GR，以便gR（▄x-y）σt=Re“NXk=1黑色σte-i2πd-ck（▄x-y） #，和黑色σt=φ(-2πd-ck，σt）σt，（69），其中Д包含参数σt。作者：Tat Lung（Ron）Chan20提交给管理科学的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）5、截短区间的选择在本节中，我们采用Fang和Oosterlee（2009a）以及Chan（2018）的观点来选择区间[c，d]。区间[c，d]的选择对CONLegmethod的准确性起着至关重要的作用。如果[c，d]的选择太大，CONLeg方法可以有效地执行。相反，如果[c，d]太小，CONLeg方法可能会产生不准确的期权价格/期权价值。

因此，可以选择一个最小且实质性的间隔[c，d]来捕获PDF的大部分质量，这样我们的算法就可以获得最高的精度。在这个区间中，我们展示了如何构造一个与随机过程累积量的闭式公式相关的区间。Fang和Oosterlee（2009a）首先提出了使用累积量的想法，以构建（30）中的定义区间[c，d]。根据他们的想法，我们对[c，d]有如下表达式：=c+Lnqc+√cc=-d、 （70）式中，c、c和care分别为随机过程的第一、第二和第四累积量和Ln∈[8, 12]. 对于简单、不太复杂的财务模型，我们还获得了c、c和c的封闭式公式，如表2所示。表2各种模型的第一、第二和第四累积量。Lévy模型累积量sbs c=（r-q+ω）t c=σt，c=0，ω=-0.5σNIG c=（r-q+ω）t+δtβ/√α-βc=δtα（α-β)-3/2c=δtα（α+4β）-3/2(α-β)-7/2ω = -0.5σ-δ(√α-β-pα-（β+1））VG c=（r-q+θ+ω）tc=（σ+Дθ）tc=3（σД+2θД+4σθД）tω=1/Дlog（1-θυ -σν/2）CGMY c=（r-q+ω）tc=（CΓ（2-Y）（我的-2+戈瑞-2） tc=（CΓ（4-Y）（我的-4+GY-4） tω=CΓ(-Y）GY1+克Y-1.-YG公司+ CΓ(-Y）我的1.-MY-1+YM通常，（70）中的截断区间适用于具有/不具有奇点的光滑/非光滑PDF。然而，由于表2中每个过程中的累积量都包含t，我们注意到，如果t太小，累积量就会收缩，使[c，d]太小，无法产生准确的期权价格/对冲价值。为了启发式地解决这个问题，只要t小于或等于0.2，我们就应该在（70）中的d上加上额外的0.5，以便为CONLegmethod生成一个实质性的区间[c，d]。作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）216

数值结果本节的主要目的是通过各种数值试验来检验CONLeg方法的准确性和效率。这涉及到该方法对任何资金充裕/短缺且到期时间长/短的期权进行定价的能力。最重要的是，我们表明，即使PDF是平滑/非平滑的，该算法也具有良好的精度。为了比较该算法的误差收敛性和计算时间，采用了一些流行的数值方法。这些方法包括COS方法（Fourier-COS-seriesmethod，Fang和Oosterlee 2009a）、滤波COS方法（一种用指数滤波器解决吉布斯现象的COS方法；见Ruijter等人2015）、CONV方法（FFT方法，Lord等人2008）、Lewis-FRFT（分数FFT方法，Lewis 2001，Chourdakis 2004），theQUAD-CONV（正交和CON方法的组合；见O\'Sullivan 2005，Chen et al.2014）和SWIFT方法（基于小波的方法；见Ortiz Gracia和Oosterlee 2013，Maree 2015，Ortiz Gracia和Oosterlee 2016，Maree et al.2017）。在实现CONVand-Lewis-FRFT方法时，我们对傅里叶积分使用辛普森规则，以达到四阶精度。在filter-COS方法中，我们使用指数滤波器，并将精度参数设置为10，因为Ruijter等人（2015）报告称，该滤波器比其他选项提供更好的代数收敛性。我们还将CONV的阻尼系数设置为0，以便为欧式期权定价。所有实验都使用了带有2.8 GHz Intel Core i7 CPU和两个8 G B DDR SDRAM（高速缓存）的AMacBook Pro。最后，代码在MATLAB中编写，实现COS方法和FFT方法（如CONV方法等）的代码也从von Sydow等人（2015）处检索。因为我们使用内置的Chebfun（Trefethen等人。

2014）命令，主要是chebfun、conv、diff、roots和simplify，以定价和对冲本报告中的期权，chebfun(http://www.chebfun.org/download/)是我们的期权定价算法所必需的。为了便于演示，我们在附录C中给出了计算欧式选项的MATLAB代码。AsChebfun使用自适应程序，旨在自动找到正确数量的点，以表示每个函数的大致机器精度，即大约15位相对精度，我们允许Chebfun自动近似f和图形。由于Chebfun是在MATLAB中实现的，我们应该指出，由于Chebfun大量调用f函数、嵌套函数和子函数，因此会产生开销，从而降低CONLeg方法的计算速度。因此，作为CONLeg方法的介绍，我们更看重该方法的便利性，而不是其在开发阶段的效率。在所有数值实验中，我们测量的期权价格范围都是基于S或K的输入范围。为了使我们的方法能够精确地近似于货币内/货币外期权价格，S或K的范围位于区间[K- 20，K+20或- 分别为20，S+20]。作者：达隆（Ron）Chan22文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）此外，当我们看到[K]的间隔时-20，K+20或-20，S+20），我们为近似期权价格及其期权希腊值设置了[c，d]，而不是[2c，2d]。我们使用N来确定我们与Conleg方法比较的方法的术语/网格点的数量。在测量数值方法的近似误差时，我们使用绝对误差、Lnorm误差和内模误差R∞作为测量单位。

此外，为了提高我们对欧式期权定价/套期保值方法的准确性，我们使用了众所周知的看跌期权平价关系Vcall（x，K，t）=Vput（x，K，t）+Se-q（T-t）-Ke公司-r（T-t） ，（71）一旦我们准备好了价格，就可以估算出买入价。6.1. 欧洲类型选项我们根据以下PDF和其他参数考虑三种不同的测试用例：GBM1：S=100，K=80-120，σ=0.15，T=1.0，r=0.03，q=0.01。（72）GBM2：S=100，K=80-120，σ=0.25，T=50或100，r=0.1，q=0。（73）VG1：S=10 0，K=80-90, σ = 0.12, θ = -0.14，ν=0.2，T=0.1，r=0.1，q=0。（74）在所有三个数值试验中，GBM过程和VG过程的参考值通过MATLAB金融工具箱生成TM–blsprice、blsdelta和b lsgamma以及奇异傅立叶-帕德（SFP）方法（参见Chan 2018）。当我们在这两个过程下为欧式期权定价/套期保值创建计算区间[c，d]时，我们还将Ln=10设置为（70）。在第一次数值测试（GBM1）-表3中，我们首先检查了针对深度买入/卖出和货币普通看跌期权的从80到120的一系列行权K的收敛行为。除q=0.01外，参数取自von Sydow等人（2015）。我们宣布1000个不同的期权价格在K范围内。在该测试中，即使不应用看跌期权平价（71），CONLeg也可以达到非常高的精度（约为R∞= 10-14） 当它被应用于近似期权价格及其增量时 和GammaΓ。此外，由于我们的方法旨在建模期权价格/希腊曲线，而不是其值，因此我们的方法在测试中绘制曲线只需不到0.1秒。

使用大约0.1秒的时间生成期权价格和希腊曲线，对于满足财务标准的方法来说，这是一种相当合理的计算成本。第二个数值实验（GBM2）致力于研究保险和养老金行业经常遇到的长期看涨期权的CONLeg方法的性能。为了实现这一点，我们可以在con v中设置一个FLAG——“相同”。有关详细信息，请参见附录C。作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）23表3衡量误差收敛中的CONLeg方法和欧洲货币看跌期权定价的CPU时间，Deltatand GammaΓt在BSM模型下，参数取自GBM1.1000认沽价格，计算范围为K，从80到120。价格增量tGammaΓtR∞RR（右后）∞RR（右后）∞RTime5.329e-14 3.921e-13 5.645e-14 1.846e-13 8.538e-13 1.396e-1 2 9.11e-02Ta表4衡量误差收敛中的CONLeg方法和欧洲货币买入价格定价的CPU时间，Deltatand GammaΓtun在BSM模型下，参数取自GBM2.1000买入价格，计算范围为K，从80到120。价格增量tGammaΓtR∞RR（右后）∞RR（右后）∞RTimeT=50 2.842e-14 2.821e-13 2。220e-16 1.005e-15 7.170e-17 5.007e-16 8.34e-02R∞RR（右后）∞RR（右后）∞RTimeT=100 2.842e-14 2.874e-13 3.841e-16 2.123e-16 6.126e-19 3.776e-1 8 9.12e-02从Ortiz Gracia和Oosterlee（2016）检索参数，用于测试。表4引用了第二次试验（GBM2），并复制了Ortiz Gracia和Oosterlee（2016）中的表3。在这项测试中，在（71）的帮助下，当我们宣布1000个不同的期权价格在K从80到120的范围内时，CONLeg方法提供了令人印象深刻的高精度。