欧洲类型、早期行使和离散壁垒的套期保值和定价

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英文标题：
《Hedging and Pricing European-type, Early-Exercise and Discrete Barrier
  Options using Algorithm for the Convolution of Legendre Series》
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作者：
Tat Lung Chan and Nicholas Hale
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper applies an algorithm for the convolution of compactly supported Legendre series (the CONLeg method) (cf. Hale and Townsend 2014a), to pricing/hedging European-type, early-exercise and discrete-monitored barrier options under a Levy process. The paper employs Chebfun (cf. Trefethen et al. 2014) in computational finance and provides a quadrature-free approach by applying the Chebyshev series in financial modelling. A significant advantage of using the CONLeg method is to formulate option pricing and option Greek curves rather than individual prices/values. Moreover, the CONLeg method can yield high accuracy in option pricing and hedging when the risk-free smooth probability density function (PDF) is smooth/non-smooth. Finally, we show that our method can accurately price/hedge options deep in/out of the money and with very long/short maturities. Compared with existing techniques, the CONLeg method performs either favourably or comparably in numerical experiments.
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中文摘要：
本文将紧支撑Legendre级数的卷积算法（CONLeg方法）（参见Hale和Townsend 2014a）应用于征税过程下的欧式、早期行使和离散监控障碍期权的定价/对冲。本文将Chebfun（参见Trefethen et al.2014）应用于计算金融，并通过在金融建模中应用切比雪夫级数提供了一种无需求积的方法。使用CONLeg方法的一个显著优点是，可以制定期权定价和期权曲线，而不是单独的价格/价值。此外，当无风险平滑概率密度函数（PDF）为光滑/非光滑时，CONLeg方法可以在期权定价和套期保值中获得较高的精度。最后，我们证明了我们的方法能够准确地定价/对冲资金中/外、期限很长/很短的期权。与现有技术相比，CONLeg方法在数值实验中表现良好或相当。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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关键词：套期保值 Applications Quantitative Computation convolution

提交管理科学手稿（请提供手稿编号！）使用Legendre SeriesTat Lung（Ron）ChanSchool of Business，University of East London，Water Lane，Stratford，UK，E15 4LZ，t.l.的卷积算法对冲和定价欧洲型、早期行使和离散障碍期权。chan@uel.ac.ukNicholas南非斯泰伦博世斯泰伦博世大学数学科学系，nickhale@sun.ac.zaThis本文将紧支撑Legendre级数的卷积算法（CONLegmethod）（参见Hale和Townsend 2014a）应用于Lévy过程下的欧式期权、提前行权和离散监控b载波期权的定价/对冲。本文采用了Chebfun（参见Trefethen et al.2014）不完全金融，并通过在金融建模中应用切比雪夫级数提供了一种无需求积的方法。使用CONLeg方法的一个显著优势是制定期权定价和期权曲线，而不是单独的价格/价值。此外，当无风险平滑概率密度函数（PDF）为光滑/非光滑时，CONLeg方法可以在期权定价和套期保值中产生高精度。最后，我们证明了我们的方法能够准确地定价/对冲资金中/外、期限很长/很短的期权。与现有方法相比，CONLeg方法在数值实验中的表现更为优越或相似。关键词：卷积、勒让德系列、欧式期权、早期行使期权、离散监控载体期权、利维过程历史：本文于2018年11月12日首次提交。1。简介在期权定价/对冲和模型校准中应用稳健的数值技术，为金融市场提供了有趣的研究问题。

这些技术不仅必须高度准确，而且必须高效。此外，我们考虑了由随机股票价格过程（St）驱动的著名欧洲香草期权定价公式≥0:V（x，K，t）=e-r（T-t） E（U（ST，K）| ST=ex）=E-r（T-t） Z+∞-∞U（ex+χ，K）g（χ）dχ，（1）其中V表示初始日期t的期权价值，执行价格为K，U表示t到期时的apayo ff函数，E是风险中性度量下的期望算子，作者：Tat Lung（Ron）Chan2提交给Management Science的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）x和χ分别是对数价格和状态变量，St可以分解为St=exandeχ，g是过程的概率密度函数，最后r是风险中性利率。在上述公式中，V可以被视为卷积积分，更精确地说是交叉相关积分，以及快速傅立叶变换方法（FFT方法），一种基于数值积分的方法（例如，Carr和Madan 1999，Lewis 2001，Lipton 2002，Chourdakis 2004，Jackson et al.2008，Lord et al.2008），是一种流行的定价方法，适用于欧式普通期权以及更具异国情调的期权，如莱维过程中的美式期权。这是因为基本动力学的特征函数可以通过FFT方法轻松转换为无风险概率密度函数（PDF）。这些论文的开创性工作导致了FFT与其他变换方法（如希尔伯特变换或高斯变换）的结合，在（时变）Lévy过程或随机波动率模型下对奇异期权进行定价（如Broadie和Yamamoto 2003、2005、Feng和Linetsky 2008、Cai和Kou2011、Wong和Guan 2011、Zeng和Kwok 2014）。

在相同的基于数值积分的框架内，数值求积方法，如高斯求积，主要由Andricopoulos et al.（2003）、O\'Sullivan（2005）、Andricopoulos et al.（2007）、Chen et al.（2014）和Su et al.（2017）提出。这些论文的作者将他们的求积技术缩写为四元法。Andricopoulos等人（2003、2007）引入了最初的四元法，并要求以闭合形式知道过渡密度，例如BlackScholes模型和Merton跳跃扩散模型。Chen等人（2014年）放宽了这一要求，提出了QUAD-FFT或QUAD-CONV方法。其主要思想是，通过FFT方法反演特征函数，可以恢复PDF。这有助于将Quad方法推广到更广泛的模型中。该方法的最新发展（Su et al.2017）是提高计算速度、预计算和缓存PDF，然后将extrapolation和平滑技术应用于该方法。在QUADmethod的一般框架下，只有Delta（一种希腊选项）通过一阶有限差分法（FD）制定（Andricopoulos et al.2003）。然而，一阶F D的准确性在上下文中是有争议的。此外，其他种类的希腊语，如伽马或θ，在这篇文献中并没有提及或发展。除了四元方法外，近年来，Pachón（2018）还引入了CHEB方法，即基于切比雪夫多项式被积函数展开的Clenshaw-Curtis求积，用于具有任意支付的近似欧式期权。该方法是Chebfun的自然应用之一（Trefethen et al。

2014），一款开放源码软件sy STEM，用于数值计算，功能齐全。除了FFT方法和QUAD方法之外，Oosterlee及其合作者也吸引了大量的关注（Leentvaar和Oosterlee 2008，Fang和Oosterlee 2009a，b，2011，Zhang和Oosterlee 2013，Ruijter et al.2015）。在他们的工作中，他们采用了傅立叶余弦序列作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）3（COS）对具有不同意外索赔且具有路径依赖性和/或早期行使特征的期权或衍生品进行定价。这些方法的实现相对简单但优雅，只要特征函数存在，就能够对不同随机过程下的期权进行定价。这些方法的主要成就是，在许多情况下（如欧式期权），它们可以在优先选择时保持指数收敛速度。此外，这些方法还能够在有限变量过程下准确地为期权定价。COS方法需要一个足够的先验计算域，并且，由于时间的限制，域传播不充分导致的错误，导致COS方法中的期权价格不正确。此外，基于COS方法的框架，Oosterlee和他的合作者进一步应用称为香农小波逆傅立叶技术（SWIFT）的小波方法对指数Lévy动态下的欧式、价差、路径相关和离散障碍期权进行定价（例如，Ortiz Gracia和Oosterlee，2013年，2016年，Colldeforns-Papiol等人，2017年）。SWIFT方法用于规避使用COS方法对早期锻炼选项定价的不利影响。

然而，与COS方法相比，SWIFT方法仍然缺乏指数收敛的理论证明，因为用于调整方法精度的小波尺度m仍然是启发式选择的，以实现指数收敛。此外，有关SWIFT方法的文献未考虑气体的计算。在本手稿中，我们提出了CONLeg方法，该方法使用Cheby shev和Legendre seriesto近似卷积，以提高使用上述方法的效率。首先，如Fang和Oosterlee（2009a，b）和Chan（2018）所述，FFT驱动的方法，如CONV方法（Lord et al.2008），对于定价期权价格或近似PDF而言，计算成本很高，因为需要相对大量的傅立叶项才能获得足够的精度（见第6节表5）。其次，当期权/套期保值定价公式被视为卷积积分时，我们质疑任何一种求积方法是否是近似期权价格/套期保值值的有效方法。H ale和Townsend（第2节和第62014b节）建议，由于卷积积分显示为梯形（参见图2），因此需要更多的正交权重和横坐标来近似梯形左右顶点的面积。第三，我们想提供一种可以处理任何随机过程的方法，无论是否有封闭形式的PDF。例如，COS和SWIFT方法只有在过程具有特征函数时才能很好地工作，并且在不应用FFT的情况下，QUAD方法仅适用于封闭形式的PDF。第四，与CONV、COS、QUAD和swift方法相比，CONLeg方法提供了一条期权定价/对冲曲线，而不是一个单独的点值。

第五，与COS方法不同，当我们将CONLeg方法应用于早期行使期权的定价时，我们可以在CONLeg方法中要求一个适当的计算域先验。因此，本文作者：Tat Lung（Ron）Chan4提交给管理科学的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）当我们在时间上递归向后计算期权价格时，该方法不会产生错误的期权价格，因为我们允许一个有效的计算域进行计算。第六，通过一小时的数值实验，我们表明，当无风险平滑概率密度函数（PDF）为非光滑函数时，CONLeg方法在期权定价和套期保值方面可以达到较高的精度，并且可以成为长短期期权定价/套期保值的有效方法。第七，为了适应切布冯框架，我们在没有闭式PDF时，将平滑PDF的复傅立叶表达式的闭式转换为切比雪夫级数（参见附录a）。以类似的方式，我们还提供了一种近似非光滑PDF的解决方案，即Fourier–Padé方法（参见附录B）。第八，通过本文，我们渴望促进Chebfun（Trefethen et al.2014）在财务建模方面的便利性。Chebfun是一个健壮的开源MATLAB包，用于计算精度高达15位的函数。它包含切比雪夫和其他正交多项式的几种最新算法。最后，currentCONLeg方法不同于以往文献中提出的切比雪夫级数和插值期权定价/对冲（参见Gasset al.2018，Pachón 2018）。如前一点所述，与CHEB方法（Pachón 2018）相比，CONLeg方法是无二次方且不限于定价/对冲欧式期权。此外，与Gass等人不同。

（2018）将切比雪夫插值简化为计算参数期权价格（POP），我们的方法没有近似的期权定价曲线，对于某些固定参数配置，必须首先通过任何数值方法（如蒙特卡罗和FFT方法）预计算，然后再计算任意参数星座的其他期权价格。相反，对于一组固定参数，CONLeg方法直接生成近似卷积积分的期权定价/套期保值曲线，而无需应用其他数值方法首先计算积分。本文的其余部分结构如下。第2节描述了勒让德级数的卷积算法，以及如何利用与切比雪夫级数的关系和FFT有效地计算勒让德级数。第3节介绍了本文研究的财务随机模型。第4节描述了不同风格的欧洲期权以及百慕大、美国和离散监控障碍期权的CONLeg期权定价/GreekFormulate公式的制定。第5节描述了截断积分区间的选择。第6节讨论、分析并比较CONLeg方法与上述其他数值方法的数值结果。最后，我们总结并讨论了第7.2节中可能的未来发展。Legendre序列的卷积卷积是许多领域中出现的一种基本操作，尤其是在金融衍生品研究中（参见Carr and Madan 1999、Lewis 2001、Lipton 2002、Jackson et al.2008、Lord et al.作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给Management Science；手稿编号（请提供手稿编号！）52008），计量经济学（Bondarenko 2003，Liu et al.2016）和统计学（Hogg et al.2004）。

给定两个可积函数f和g，它们的卷积是第三个函数h，由积分h（x）=（f）正式定义*g） （x）=Z+∞-∞f（y）g（x-y） dy.（2）一般来说，如果f和g都是解析函数（光滑）和周期函数，则使用卷积定理和快速傅立叶变换（FFT）的FFT方法是逼近h的最佳选择，因为f和g的FFT近似不支持吉布斯现象。如果我们现在考虑f和g：[c，d]→ R为[c，d]外紧支撑的两个，则前述的演化h=f*g通过积分由h（x）=（f）给出*g） （x）=Zmax（c，x-d） 最小值（d，x-c） f（y）g（x-y） dy，x∈[2c，2d]，（3）和h（x）=0表示x/∈ [2c，2d]。在不失去任何概括性的情况下，我们可以通过图2中的图表来可视化x的每个值，并且我们将h分为图中建议的两部分：h（x）=hL（x）=Rx-ccf（y）g（y-x） dy x公司∈[2c，c+d]，hR（x）=Rdx-df（y）g（y-x） dy x公司∈[c+d，2d]。（4） 这里，我们一次性地将L和R分别表示为卷积的左侧和右侧。图1[c，d]上两个勒让德级数的卷积域。根据（3），f或g都可以是非周期连续函数，f和g的FFT近似值支持吉布斯现象，因此在端点c和d的八个边界处存在永久振荡超调。因此，为了避免吉布斯现象，我们采用Hale和Townsend（2014a）提出的算法来近似h。该算法的关键思想是用有限的Legendre级数近似f和g，然后卷积近似值。由于卷积是一种交换运算，我们认为只有f和g在相同的区间内。作者：达隆（Ron）Chan6文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）使用卷积定理f对其进行。

结果是一个分段多项式表示，可以在h域中的任意x处进行计算，以得到h（x）的近似值。如果用来近似f和g的多项式的阶数最多为N，则他们的算法会在O（N）运算中产生近似于h的结果。我们总结了以下方法。为了说明Hale和Townsends的两个Legendre级数卷积算法，我们首先在[-然后推广到区间[c，d]。Adrien Marie Legendre发明的Legendre多项式是Legendre微分方程Ddx的多项式解Pn（x）1.-x个dPn（x）dx+ n（n+1），x∈[-1，1]，（5），其中P（x）=0，P（x）=0和整数参数n≥ 0 . Pn（x）形成n次正交多项式的多项式序列，可以通过罗德里格斯公式表示：Pn（x）=nn！dndxnx个-1.n、 （6）支持我们在[-M和N的1，1]，系数为α，α和β。βN，那么我们可以写fm和gNasfM（x）=MXm=0αmPm（x），gN（x）=NXn=0βnPN（x）。（7） [c，d]等于[-（3）中的卷积变为（x）=（fM*gN）（x）=Zmin（1，x+1）最大值(-1，x-1） fM（y）gN（x-y） dy，x∈[-2, 2]. （8） 从（4）开始，h由两部分组成，h在左侧，带有[-2，0]，右侧为hRon，带[0，2]，每度N+M+1。我们通过计算hLand-Hr的Legendre系数来构建hLand-Hr。由于hRis的计算方法相似，因此我们将重点放在HL的计算上。用{γLk}M+N+1k表示hL的勒让德系数的向量，使得hL（x）=Zx+1-1fM（y）gN（x-y） dy=M+N+1Xk=0γLkPk（x+1），x∈[-2, 0]. （9） 通过勒让德多项式的正交性和正交化常数（k+1/2）-1/2对于k=0时的Pk（x），M+N+1，对于k=0，…，我们有Pk（x）。。。，M+N+1，γLk=2k+1Z-2件（x+1）Z-2Pk（x+1）Zx+1-1fM（y）gN（x）-y） dydx（10）=NXn=0βn“2k+1MXm=0αmZ-2Pk（x+1）Zx+1-下午1点（y）Pn（x-y） dydx#|{z}=黑色，n。