欧洲类型、早期行使和离散壁垒的套期保值和定价

（11） 作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）7Hale和Townsend（2014a）证明上述关系可以用矩阵形式表示为γ=BLβ。重要的是（Hale和Townsend 2014a，定理4.1），BLk存在三项复发关系，n=-2n+12k+3BLk，n+1+2n+12k-1BLk，n+1+BLk，n-1，n，k≥ 1，（12）黑色，1=（黑色-1,0/（2k）-1) -黑色，0-BLk+1,0/（2k+3），k 6=0，-BL1,0/3，k=0，（13）BLk，0=（αk-12千-1.-αk+12k+3，k 6=0，α-α/3 k=0，（14），其中0≤ k≤ M+N+1和0≤ n≤ N、 BL：、0和BL：、1都可以在O（M+N）运算中计算，整个（M+N）×N矩阵BL可以在O（（M+N）N）运算中计算。矩阵向量积BLβ可以用相同的成本计算，相应地，系数γLofhLin O（（M+N）N）运算。HRF的系数γ可由BRβ计算得出，由于HRI的计算相似，因此可得出几乎相同的递推关系。现在，我们将注意力集中在同一区间[c，d]上定义的两个有限勒让德级数的卷积上。我们可以确定Pk的组成oψ[c，d]，其中ψ[c，d]（x）=（2x- （d+c））/（d-c） 是从[c，d]到[-1, 1]. 除此之外，fm和gNon[c，d]的Legendre级数分别由fm（x）=MXm=0αmPm表示oψ[c，d]（x），gN（x）=NXn=0αnPnoψ[c，d]（x）（15）（Hale和Townsend 2014a，引理4.2）。（f）的卷积*g） [c，d]中定义的两个连续函数f和g的（x）可计算为（f*g） （x）=Zmax（c，x-d） 最小值（d，x-c） f（y）g（x-y） dy=d-c（f）oψ-1[c，d]）*（g）oψ-1[c，d]）（y） ，（16）其中x∈[2c，2d]和y=2ψ[2c，2d]（x）∈[-2, 2].上述方法不限于相同间隔上的f和g。相比之下，该算法允许f和g分别是在[a，b]和[c，d]之外具有零支持度的有限次多项式。

在这种情况下（3）变为（x）=（f*g） （x）=Zmax（a，x-d） 最小值（b，x-c） f（y）g（x-y） dy，x∈[a+c，b+d]。（17） 根据【a，b】和【c，d】的长度差异，这是三种不同的想法，可在【a+c，b+d】的子区间上计算（17）。关于这些子区间上计算h的全部细节，我们请感兴趣的读者参考Hale和Townsend（2014a，第5节）。在相同/一般区间上支持的Legendre级数卷积算法完全实现为convin-Chebfun。conv中的算法实际上通过使用cheb2leg中实现的快速切比雪夫列根变换（Townsend et al.2018）计算两个切比雪夫级数之间的卷积。作者：达隆（Ron）Chan8文章提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）3.Lévy过程在本节中，我们简要介绍一维Lévy过程的重要性质。随机过程的标准参考文献可在Schoutens（2003）和Cont及Tankov（2004）中找到。由于市场无摩擦且无套利，我们假设市场选择了等价鞅测度（EMM）Q。此外，还有一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、 {F}t≥0，Q），假设所有进程都在其上运行。3.1. Lévy processes with r≥0和q≥0分别作为不变的无风险利率和不变的股息收益率，我们描述了一个股票过程（St）t≥0由指数Lévy过程（Xt）t驱动≥0使得ST=SeXt，其中X=0，X具有完全可分的边际分布。给定一个随机变量Xt，我们可以将其定义为相应的特征函数，如下所示：Д（u）=E[eiuXt]=etφ（u），u∈ R

（18） 如果我们定义截断函数h（χ）=χ1 |χ|≤1这是一个可测量的函数∈ R、 R | 1- eiuχ+iuh（χ）|ν（dχ）<∞, Xt的特征函数可以用theLévy–Khinchine表示来描述，使得φ（u）=iu（r-q+ω）t-σu+Z+∞-∞eiuχ-1.-iuh（χ）ν（dχ），χ∈XT公司-t、 （19）这里，σ≥0和ν是Lévy度量值[-∞, ∞] 这不取决于h的选择（但请注意r-q+ω取决于它的选择）。条件是（Ste-（r）-q） t）t≥只要适当选择平均校正补偿器ω，则可以保证0是鞅，计算公式如下：ω=tlogД(-（一）-（r）-q） 。（20） 财务建模中有大量的利维过程示例。本文主要研究几何布朗运动（GBM）、方差伽马（VG）、正态逆高斯（NIG）和卡尔-杰曼-马丹-约尔过程（CGMY）。其特征函数Д（u）可定义如下：ДGBM（u）：=expt型iu（r-q+ω）-σu, （21）ДNIG（u）：=膨胀t型iu（r-q+ω）-σu+δpα-β-pα-（β+iu）, （22）作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）9хVG（u）：=膨胀iu（r-q+ω）t1.-iθνu+σνu！tИ，（23）ДCGMY（u）：=表达式（r-q+ω）+CΓ(-Y）GY1+izGY-1.-izYG！+CΓ(-Y）我的1.-izM公司Y-1+izYM！！！。（24）备注1。大多数Lévy过程没有风险自然概率密度函数（PDF）g的封闭形式表示；然而，一些过程，例如GBM、NIG和VG，有一个封闭格式的PDF，由：g（x）给出=√2πtσe-（十）-（r）-q+ωGBM））σt，（25）g（x）=αδtKαpδt+（x-（r）-q+ωNIG）t）πpδt+（x-（r）-q+ωNIG）t）eδt√α-β+β（x-（r）-q+ωNIG）t），（26）g（x）=2eθZ（x）/σνtν√2πσΓ（t/ν）Z（x）2σ/ν+θ。）t2ν-×Ktν-σsZ（x）2σν+ θ!（27）分别。

这里，ωGBM=-1/2σ，ωNIG=δpα-(β + 1)-√α-β, K（·）是第二类修正贝塞尔函数，Γ（·）是伽马函数，Z（x）=x-（r）-q+ωV G）t和ωV G=-1/v对数1.-θν -σν.4、Legendre级数的卷积定价和套期保值期权在本节中，我们应用Legendre级数的卷积算法来制定期权定价/套期保值公式。4.1. 欧式期权的定价公式给定当前对数价格x：=对数S、履约价格K和到期日T≥ t、 而s-tochastic过程的概率密度函数（PDF）g，我们可以表示期权价格V（x，K，t），从时间t开始，其未定权益支付U（ST，K），如下所示：V（x，K，t）=e-r（T-t） E（U（ST，K）| ST=ex）=E-r（T-t） E（U（SteXT-Xt，K））=e-r（T-t） Z+∞-∞U（ex+χ-对数K，K）g（χ）dχ，χ∈XT公司-Xt=Xt-t、 （28）替换x+χ-用y记录K，我们得到v（x，K，t）=e-r（T-t） Z+∞-∞U（ey，K）g（y-x+对数K）dy=e-r（T-t） KZ公司+∞-∞f（y）gR（￠x-y） dy，（29）作者：Tat Lung（Ron）Chan10提交给《管理科学》的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）式中▄x=x-log K，Kf（y）：=U（ey，K）是对数价格坐标中的支付函数，gR（~x）：=g(-x）是反映的PDF函数。如果f（y）是一个分段连续函数，这是大多数选项的标准值，例如vanilla put and Call，则对卷积函数应用FFT方法，（f*gR）（￠x）：=R+∞-∞f（y）gR（￠x-y） dy，英寸[-∞, ∞] 将导致吉布斯现象，并因此影响近似V的精度。为了避免吉布斯现象并允许V的良好近似，我们将[-∞, ∞] 使用区间[c，d]并使用CONLeg方法。[c，d]的选择满足ZDCG（χ）eiuχdχ的条件≈Z+∞-∞g（χ）eiuχdχ=E[eiu（XT-Xt）]：=Д（u），（30），其中Д（u）是Xt的特征函数-Xt。

然后，我们可以在[c，d]上近似得出定价公式V，即V（x，K，t）≈e-r（T-t） KZdcf（y）gR（▄x-y） dy.=e-r（T-t） KZmax（c，x-d） 最小值（d，~x-c） f（y）gR（￠x-y） dy，~x∈[2c，2d]=e-r（T-t） Kh（￠x）。（31）式中，h（￠x）在[2c，2d]外有紧密支撑。（31）的最终形式可通过CONLeg方法进行近似。g的大多数闭式表达式在随机过程中都不存在。如果没有，我们采用Chan（2016，2018）中提出的想法，用复傅立叶级数（CFS）表示来表示g，这样g可以近似为：gN（y）：=Re“NXk=1bkei2πd-cky+b#，，（32），其中i是复数，Re是复数的实部，给定条件（30），bk=Zdcg（y）e-i2πd-ckydy公司≈φ-2πd-ck公司b=Zdcg（y）dy≈ φ(0) = 1. （33）对于gR的表达式，我们只需在基函数ei2πd中加一个负号-cky，即gR（y）≈gRN（y）：=Re“NXk=1bke-i2πd-cky+b#。（34）表达+∞R-∞U（ey，K）g（y- （28）中的x+log K）dy确实是一个互相关积分；然而，由于Weintroduced提出了反射函数gR（x）的概念：=g(-~x），我们可以将（28）转化为卷积积分。作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）11如果gRis在[c，d]上是光滑的，我们可以使用Chebfun（参见Trefethen等人2014）直接用切比雪夫级数近似CFS表示，或者使用附录a中所示的技术将其转换为切比雪夫级数。如果gRis是一个包含奇异性的分段连续函数，然后，我们使用傅里叶-帕德思想在大形式精确近似下定位奇点。详情见附录B。了解奇点x。~xK+1在[c，d]中，我们将f和grin划分为一组分段连续函数，然后使用chebfun（cf。

Trefethen等人，2014年，第1.4章）。因此，我们有一组K多项式fM和gN，每个多项式的阶数分别为mostM和N，在子区间【~xk，~xk+1】，即fM=KXk=1fk，M[~xk，~xk+1]，gRN=KXk=1gRk，N[~xk，~xk+1]。（35）这里，1[~xk，~xk+1]作为区间[~xk，~xk+1]和fk中的指示器函数，M（~x）=MXm=0αchebk，mTmoψ[￠xk，￠xk+1]（￠x），gRk，N（x）=NXn=0βchebk，nTnoψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）。（36）然后，使用cheb2leg中实施的技术（参见Townsend et al.2018），我们将FN和gRMinto Legendre系列转换为FK定义的，M（~x）=MXm=0αlegk，mPmoψ[￠xk，￠xk+1]（￠x），gRk，N（￠x）=NXn=0βlegk，nPnoψ[￠xk，￠xk+1]。（37）我们使用第2节中描述的Legendre级数d的卷积算法来近似它们的卷积h（￠x）=（fM*gN）（￠x）在子间隔上[￠xk，￠xk+1]。最后，使用leg2cheb，V将h（~x）转换回切比雪夫级数，可以通过-r（T-t） Kh（￠x）=e-r（T-t） K（fM*gN）（x）（38）=e-r（T-t） KMkXk=1VNk[~xk，~xk+1]（39），其中，VNk=NkXk=1γkTkoψ[￠xk，xk+1]（￠x）（40）使用（38），我们可以生成一组K值和St范围的期权价格。然而，在金融市场中，期权价格报价总是以K值的范围出现。对于其中一个奇点，指的是一个未定义的点，或者是一个在差异化之后表现不佳的观点作者：Tat Lung（Ron）Chan12提交给《管理科学》的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）在这种金融现象中，我们使用K=Se这一事实来修改（38）-x=ex-~xso我们得到了新的定价公式v（x，K，t）=e-r（T-t） +x个-xh（▄x）。（41）备注2。在Chebfun中，有一个内置算法可以自动检测apiecewise连续函数中的奇点（参见Pachón等人，2010）。然而，由于PDF可以很容易地表示为复数傅立叶级数，然后扩展到傅立叶-帕代斯级数（参见。

Chan 2016、2018），weinstead us e Fourier–Padéideas定位奇点或近似PDF。4.1.1. 欧洲普通看涨期权作为例证，我们现在考虑为欧洲普通看涨期权定价，该看涨期权只能在到期时行使，在（28）中定义，支付函数为u（ST，K）=max（ST-K） 。（42）我们首先将Payoff转换为Maxex+χ-K、 0个= K最大值ex+χ-日志K-1, 0. （43）替换x+χ-用y记录K，我们有一种新形式的V（x，K，t），表示为asV（x，K，t）=e-r（T-t） KZ公司∞-∞最大值（ey-1，0）克（y-x+对数K）dy=e-r（T-t） KZ公司∞-∞最大值（ey-1，0）gR（￠x-y） dy，（44），其中▄x=x-对数K和gR（￠x）：=g(-x）是一个反射函数。为了使CONLeg更有效，我们定义了一个满足条件（30）的截断计算区间[c，d]（参见第5节），以代替[-∞, ∞]. 然后，V（x，K，t）被重新表示为V（x，K，t）≈e-r（T-t） KZdcmax（ey-1，0）gR（￠x-y） dy=e-r（T-t） KZmax（c，x-d） 最小值（d，x-c） f（y）gR（￠x-y） dy，~x∈[2c，2d]=e-r（T-t） Kh（￠x），（45），其中f（y）：=最大值（ey- 1, 0). 为了很容易理解CONLeg方法是如何逼近h（~x）的，我们假设GRI是一个分段光滑函数，只包含一个跳跃y=0，出现在[c，d]上的f，即Payoff函数中。我们可以用chebfun来近似f和gRon[c，0，d]和[c，d]，应该注意，当y≤ 0，最大值（ey- 1, 0) = 0.作者：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给管理科学；手稿编号（请提供手稿编号！）13表1各种财务或有索赔的支付函数及其转换。1表示指示函数，n<∞ 是任何正整数。

当y=x+χ时，变换后的payoff函数中的y=0处总是存在奇点- log K.财务应急索赔支付函数转换后的支付函数U（ST，K）U（ex+χ-日志K，K）调用最大值（ST-K、 0）K最大值（ex+χ-日志K-1，0）放置最大值（K-ST，0）K最大值（1-ex+χ-记录K，0）覆盖呼叫min（ST，K）K min（ex+χ-日志K-1，0）+KCash或Nothing第一次呼叫≥Kex+χ-日志K≥1现金或无现金放在第一位≤Kex+χ-日志K≤1设置或不设置调用STST≥Kex+χex+χ-日志K≥1资产或无资产投入测试≤Kex+χex+χ-日志K≤1Asymmetric调用（SnT-Kn）1档≥KKn（en（x+χ-日志K）-1） 1ex+χ-日志K≥1Asymmetric Put（Kn-SnT）第1个≤KKn（1-en（x+χ-对数K）1ex+χ-日志K≤1分别。使用第4.1节中描述的技术，欧洲看涨期权定价公式如下：V（x，K，t）≈e-r（T-t） K（fM*gN）（￠x）=e-r（T-t） KXk=1VNk[xk，xk+1]x∈[2c，2d]，（46）式中，VNk=NkPk=1γkTkoψ[￠xk，￠xk+1]（￠x），和￠x=2c，￠x=c，￠x=0，￠x=d，￠x=2d。此外，如果我们只关注[c，d]，我们就有v（x，K，t）=e-r（T-t） K级VN[c，0]+VN[0，d]x∈【c，d】，（47）式中，x=c，~x=0，~x=d。示例见第6.1节。CONLeg方法不限于欧洲普通看涨期权的定价（45）；它可以扩展为看跌期权或其他具有不同支付结构的期权，例如现金或其他期权。在表4.1.1中，我们列出了本文中考虑的所有财务或有索赔及其支付函数和转换后的支付函数。作者：Tat Lung（Ron）Chan14提交给《管理科学》的文章；手稿编号（请提供手稿编号！）4.2. 百慕大期权的定价公式现在考虑log St：=XT，由Levy过程和具有行使权K和到期日T的百慕大期权驱动，该期权只能在给定的行使日期T=T<T行使≤t型≤. . . tl公司≤tl+1≤. . . ≤tL=T。

我们可以为这种期权asV（xtl、K、tl）编写百慕大定价公式=U（extl，K，tl）l=l，tl=TmaxC（xtl，K，tl），U（extl，K，tl）l=1，2，3，L-1C（xtl，K，tl）l=0，（48），其中，U（extl，K，tl）是tl处的payoff函数。也就是说，如果payoff函数是调用，则U（extl，K，tl）转换为max（extl-K、 0）。在（48）中，每个Tjc处的C（xtl，K，tl）可以定义为asC（xtj，K，tj）=e-r（tj+1-tj）EV（xtj+1，K，tj+1）| xtj. （49）为了将CONLeg方法应用于近似C（xtl，K，tl），我们首先理解STL=e-r（tl+1-tl）EStl+1 | Stl=extl= e-r（tl+1-tl）Eextl+Xtl+1-Xtl公司= extl（50）是一个鞅过程。我们还表示▄xtlas xtl- 记录K并遵循第4.1节，将C（xtl，K，tl）近似为tl的欧式期权价格。然后我们可以将C（xtl，K，tl）转换为=e-r（tl+1-tl）EV（xtl+1，K，tl+1）| xtl= e-r（tl+1-tl）Z+∞-∞V（xtl+χ-对数K，tl+1）g（χ）dχ，χ∈Xtl+1-Xtl=e-r（tl+1-tl）KZmax（c，x-d） 最小值（d，x-c） f（y）gR（▄xtl-y） dy=e-r（tl+1-tl）Kh（￠xtl）。（51）由于我们用CONLeg方法近似h（~xtl），并使用切比雪夫级数来表示百慕大期权价格C（xtl，K，tl），因此，我们可以用新形式的V（xtl，K，tl）进一步修改（48）=K▄f（▄xtl）l=l，tL=TK最大值e-r（tl+1-tl）h（▄xtl），▄f（▄xtl）l=1，2，3，L-1Ke-r（tl+1-tl）h（▄xtl）l=0，（52），其中K▄f（▄xtl）：=U（extl，K，tl）。由于无套利假设导致要求五/x是连续的，V（xtl，K，tl）=U（extl，K，tl）在早期运动曲线上，我们必须确定运动点x*t出现在V（xtl，K，tl）=U（extl，K，tl）中。一种方法是使用Fang和Oosterlee（2009b）中提出的Newtonmethod来查找xtl。然而，由于V和U用分段s光滑多项式（chebfun）表示，我们可以在ChebFunator中应用内置函数根：Tat Lung（Ron）ChanArticle提交给Management Science；手稿编号：。

（请提供手稿编号！）15有效地查找这些零。为此，我们首先将▄f（▄xtl）近似为切比雪夫级数，然后将根函数应用于▄x*t在以下等式中：e-r（tl+1-tl）h（▄xtl）-~f（~xtl）=0。一旦我们有了▄x*tland将其用作断点，我们近似为maxe-r（tl+1-tl）h（▄xtl），f（▄xtl）（53）具有两个不同的切比雪夫级数。考虑x*TLA是一个奇点，结合了其他奇点，~xtl，1。xtl，K+1∈ ~xtl，例如，在非光滑PDF和/或Payoff函数中的奇点，inV（xtl，K，tl），我们用一组切比雪夫级数近似V（xtl，K，tl），由KMKxk=0VNk[~xtl，K，~xtl，K+1]和VNk=NkXk=1γkTk给出oψ[￠xk，￠xk+1]（￠x）。（54）最后，总结上述方法，我们给出了算法1中计算百慕大期权价格的算法伪代码。第6.2节还提供了一个数值示例。结果：细化时百慕大期权价格V（xt、K、t）；将[t，t]离散为时间步t=t，t，tl，tL=T；tl=tl-1.而tl6=t使用CONLeg方法计算C（xtl，K，tl）；C（xtl，K，tl）=e-r（tl+1-tl）h（￠xtl）in（52）；发现▄x*特林e-r（tl+1-tl）h（▄xtl）-~f（~xtl）=0；计算最大值e-r（tl+1-tl）h（▄xtl），▄f（▄xtl）带有两个切比雪夫系列（54）；V（xtl，K，tl）=KMkPk=0VNk[￠xtl，K，￠xtl，K+1]；下一个tl；endreturn V（xt，K，t）等于e-r（t-t） Kh（￠xt），其中t=t；算法1：基于（48）计算时间t的百慕大期权价格V（xt，K，t）的算法。4.3. 美式期权定价公式基于我们的百慕大期权方法，有两种基本的美式期权评估方法。正如Fang和Oosterlee（2009b）所建议的那样，一种简单的方法是通过有许多锻炼机会的百慕大选项来近似美国选项。换句话说，增加作者：达隆（Ron）Chan16文章提交给管理科学；手稿编号：。