Black Litterman模型的贝叶斯替代方案

通过收集依赖于∑的项*我们得到：f（σ）*|r*, ..., r*m、 u*) ∝ det（∑）*)-ν+m+n+1exp(-mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) + T rΣΣ*-1.!)（13） 我们注意到这非常接近于另一个逆Wishart分布，剩下的唯一一步就是操纵指数。让我们注意到mxi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) ∈ R=>mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) == T rmXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)!=mXi=1T r（r）*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)但在T族内部，只要维数一致，矩阵是循环交换的：mXi=1T r（r）*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)=mXi=1T r（r）*我- u*)（r）*我- u*)T∑*-1.== T rmXi=1（r*我- u*)（r）*我- u*)T∑*-1.最后，利用这个结果和方程（13），我们得到：（13）<=> f（∑）*|r*, ..., r*m、 u*) ∝ det（∑）*)-ν+m+n+1exp(-T圈∑+mXi=1（r*我- u*)（r）*我- u*)TΣ*-1!)我们注意到这是逆Wishart分布的核心。因此，我们可以得出结论：∑*|r*, ..., r*m、 u*~ W-1ν+m，∑+mXi=1（r*我- u*)（r）*我- u*)T（14） 现在我们有了后验分布，我们可以实现一个GibbsSampler，我们将在下一节中看到，我们还将了解如何估计模型的参数。2.4实施为了实施，选择了4种股票：苹果（AAPL）、亚马逊（AMZN）、谷歌（GOOG）和微软（MSFT）。考虑了2015年1月2日至2017年5月1日的4家公司的收盘价，并计算了回报。现在，该数据分为两部分，一部分表示当前数据（最后m返回r，…，rm，这里m=21），其余部分表示用于估计模型中参数的历史数据。之所以选择m=21，是因为我们正在考虑对大约一个月内发生的回报进行建模，21是一个月内的平均交易日数。因此，在本例中，此类投资者的交易期将超过一个月。

下一步是增强P，如第2.2节所述。一次P*创建时，我们可以创建我们的转换返回r*i=P*国际扶轮社。对于本例，个人视图为（列分别代表AAPL、AMZN、GOOG、MSFT）：P=1.-1 0 00 0 1 -1., q=0.020.05如果我们看方程（8）表示的模型中的第二个假设，我们注意到q*和Ohm*分别是u的平均值和协方差矩阵*, 这又是特定月份的平均回报（同样，在本例中，m=21，大约一个月）。因此，估计参数的一种解决方案是从历史数据中每个月的收益中提取收益，并计算其平均值。这样，我们就可以估算出月平均回报率*i、 i是1和历史数据中月数之间的整数。一旦我们得到这些，我们就可以估计出^q*和^Ohm*取^u的平均值和协方差*i、 但是，我们必须记住，我们需要在上述评估中反映我们的个人观点。在等式（5）和（6）中，我们展示了如何将刚刚介绍的程序中的估计值与投资者的个人观点结合起来：o等式（5）表明我们应该采用*通过上述估算获得，并将前k个条目替换为q（k，如开头所述，是个人观点的数量）。o方程式（6）表明，我们应该取得到的^Ohm*并将左上角的k×k矩阵替换为我们个人选择的Ohm.现在，我们估计了模型的参数，基于方程（14）和（12）表示的后验概率，使用了一个典型的吉布斯样本。选择了10个燃烧期，吉布斯取样器的迭代次数为10次。吉布斯取样器完成后，只需取模拟u的平均值*（t） ，称之为^u*, 和模拟∑的平均值*（t） ，称之为^∑*.

然而，我们必须记住，thoseAlgorithm 1 Gibbs Sampler1：∑*（t+1）| r*, ..., r*m、 u*（t）~ W-1.ν+m，∑+Pmi=1（r*我- u*（t） ）（r*我- u*（t） ）t2:u*（t+1）| r*, ..., r*m、 ∑*（t+1）~ Nn型u*（t+1），∑*（t+1）, 其中u*（t+1）=m∑*（t+1）-1+ Ohm*-1.-1.m∑*（t+1）-1'r*+ Ohm*-1季度*Σ*（t+1）=m∑*（t+1）-1+ Ohm*-1.-1使用P转换*, 因此，现在我们必须将它们转换回原始空间：^u=P*-1^u*,^∑=P*-1^Σ*P*-T、 就像在原始模型中一样，为了获得权重，可以使用与第1.3节中提出的CAPM类似的方程：w=λ^∑-1^u. 这里，λ=2.5，在原始模型中。在选择λ时，也有广泛的研究。对于交易股票，风险规避系数在2到3之间是合理的。[4] 最后，我们准备将原始模型下得到的结果与此模型得到的结果进行比较。2.5结果比较在我们深入研究如何比较这两种方法之前，让我们观察到，为了进行任何类型的比较，必须确保使用相同的数据集，并以相同的方式估计参数。尽管个人观点相同（P，Ohm, q） 这两种方法的不同之处在于，替代方法的aprior为∑，而原始方法利用市场均衡收益，这是使用π=λ∑weq估计的。在下表中，我们可以并排查看两者的设置：Alternative Originalr*, r*, ..., r*m级~ Nn（u*, Σ*)u*~ N（q*, Ohm*)r~ N（u，∑）u~ N（π，τ∑）替代市场均衡，替代方法只是有另一个参数，如第2.4节所述进行估计（其他替代方法也有优先于∑，并考虑当前数据）。除此之外，两者使用相同的数据集和相同的参数。

现在，问题变成了如何比较两者。一个显而易见的方法是，如果一个人在实际市场上使用它们，那么看看这两种方法的表现如何，这将在本文后面的模型的结果部分介绍。然而，我们更感兴趣的是检查从吉布斯取样器获得的后验平均值与我们个人的意见有多接近。备注1。因为对于这两种型号，我们都有Pu~ N（q，Ohm), 我们观点中的不确定性越小Ohm), 标准偏差越小，投资者对这一特定观点就越有把握。因此，从上述备注中，我们将了解P^′u的行为，以及Ohm. 但如何定义“小”？正如我们在第2.4节中所看到的，视图的预期回报为q=0.020.05. 因此，即使值为10-4是相当大的，因为这将是我们观点的差异，因此，标准偏差将变为10-因此，第一个视图的95%置信区间为（0，0.04）。如果试图输入更小的ω，则反向Wishart随机发生器会产生非奇异性误差。因此，我们得出结论，我们比较了矩阵对角线值的模型Ohm 介于0和-4、虽然我们不能输入较小的ω，但为了检查以下备注，我们将q改为q=0.20.5. 所以，对于这两种模型，都实现了一种穷举方法，该方法将计算Ohm a后验平均值^u。一旦获得，距离| P^u- q |可为两种模型计算。备注2。自Pu起~ N（q，Ohm), 我们有那个limOhm→OPu=q a.s.因此，作为Ohm 越来越小，我们期望越来越接近q。备注3。

如果我们看u的后面*我们有：u*|r*, ..., r*m、 ∑*~ Nn型u*, Σ*, 其中u*=m∑*-1+ Ohm*-1.-1.m∑*-1'r*+ Ohm*-1季度*Σ*=m∑*-1+ Ohm*-1.-1如果我们考虑Ohm*=> Ohm*-1较大，因此整个术语m∑*-1+ Ohm*-1.≈ Ohm*-1.=> （m∑）*-1+ Ohm*-1)-1.≈ Ohm*. 类似地，（m∑）*-1'r*+Ohm*-1季度*) ≈ Ohm*-1季度*对于足够小的Ohm*. 因此，我们预计模拟u的平均值*（t） 接近q*. 或者，用alreadyused表示，^u*≈ q*. 因此，通过使用前面的备注，我们得到了P（P*-1u*) ≈ q、 下图中的2个对角线条目作为轴的2个Ohm第三个代表距离| Pu-q |=| P（P*-1u*) - q |：图1：结果Ohm 对于替代模型，图2:Ohm 对于原始模型，我们从z轴（表示上述距离）注意到，修改后的模型更接近个人视图。我们可以在表1中查看不同ω和ω对的距离的一些特定值。然而，我们想看看P^u的结构是否与q相似。为此，我们保留了这两个条目Ohm 等于，我们在小ωs.t上穷尽搜索。Ohm = ωI，我们将P^u的2个条目与相应的ω一起绘制。请注意，图2.5中的蓝点表示q的准确值=0.20.5, ω=0时可得到。通过比较这两个图，我们注意到不仅红色点表示的点模拟更接近，而且整个曲线（通过插值获得）似乎更接近蓝色点表示的理论值。

此外，我们注意到，在这两种情况下，随着ω的增加，P^u离q更远，这是理论上应该出现的。ωω原始备选方案-40.0001 0.154 0.052-40.00015 0.2 0.063-40.0002 0.235 0.077-40.00025 0.263 0.118-40.0003 0.286 0.118-40.00035 0.305 0.145-40.0004 0.321 0.177-40.00045 0.335 0.222-40.0005 0.347 0.282-40.00055 0.357 0.354表1：具有特定距离值的表格图3：结果Ohm 对于替代模型，图4:Ohm 对于原始模型2.6，我们是否需要可逆P？在第2.2节中，我们介绍了通过添加行来创建可逆矩阵PBS的方法。理想情况下，不应以任何方式修改视图矩阵。此外，一般来说，不能通过添加行来创建可逆矩阵，尤其是当视图数接近所选的stocks数时。此外，增广P的方法也不是唯一的。因此，我们希望能够从投资者的输入中得出P不变时的后验值。因此，在本节中，我们将考虑与之前相同的设置，唯一的区别是P不是平方均方：r，r。。。，rm |u，∑~ Nn（u，∑）Pu~ Nk（q，Ohm)Σ ~ W-1（ν，∑）由于P出现在我们的模型假设的第二个方程中，唯一会改变我们之前的后面的是u。因此，在联合分布中，我们将只考虑依赖于u：f（u| r，…，rm）的术语∝ 经验值(-mXi=1（ri- u）T∑-1（ri- u））··exp-（Pu- q） T型Ohm-1（Pu- q）对于第一个指数，我们可以使用引理1。这产生：f（u| r，…，rm）∝ 经验值-（m）- 1） s+m（r-u）T∑-1（右- u)··经验值-（q）- Pu）TOhm-1（q- Pu）我们记得s=Pmi=1（ri-\'\'r）T∑-1（ri-(R)r）m-1因此，该术语不依赖于u。

现在，让我们关注指数中的其余项：（r- u）T（m∑）-1） （r）- u）+（q- Pu）TOhm-1（q- Pu）==rT（m∑-1） r- 2rT（m∑）-1） u+uT（m∑）-1） u+夸脱Ohm-1季度- 2夸脱Ohm-1Pu++uTPTOhm-1Pu=uTm∑-1+PTOhm-1便士u - 2.rT（m∑）-1） +夸脱Ohm-1便士u++rT（m∑）-1） r+qTOhm-1q由于只有前两项依赖于u，我们得到：f（u| r，…，rm，∑）∝ 经验值-uT（m∑）-1+PTOhm-1P）u··经验值-2（m∑）-1r+PTOhm-1q）Tu引理3。设M为对称可逆矩阵，则下列恒等式成立：xTMx- 2bTx=（x- M-1b）TM（x- M-1b）- bTM公司-1防腐蚀。我们只需要展开二次项：（x- M-1b）TM（x- M-1b）=xTMx- 2bTM公司-1Mx+bTM-1毫米-1b==xTMx- 2bTx+bTM-1b因此，如果我们将这个引理用于x=u，M=M∑-1+PTOhm-1P和b=m∑-1r+PTOhm-1q，我们得到u的后验分布的指数为-仍然位于公式前面，为了便于编写，我们在下面省略了它）：u - （m∑）-1+PTOhm-1P）-1（m∑）-1r+PTOhm-1季度）T（m∑）-1+PTOhm-1P）··u - （m∑）-1+PTOhm-1P）-1（m∑）-1r+PTOhm-1季度）- bTM公司-1最后，我们注意到b和M不依赖于u，因此u的后位由第一个大项决定，这实际上是正态分布的密度：u| r。。。，rm，∑~ N（upost，∑post），其中upost=（m∑）-1+PTOhm-1P）-1（m∑）-1r+PTOhm-1q）∑岗位=m∑-1+PTOhm-1便士-1该后验值与使用第一种方法（由方程式（12）表示）获得的后验值非常接近，唯一的区别在于，在这种新方法中，矩阵P显示出来。这是因为在这里，我们没有改变投资者输入的矩阵P，而在之前的方法中，我们添加了P以使其可逆。2.7实现实现此模型非常简单，因为它与前一版本非常相似。唯一不同的是，在u的后面，我们出现了P，而在之前的模型中，没有P，因为我们向其添加行，使其变得可逆。

我们提醒自己，这是第一种方法，因为我们可以从Pu的先验分布中取反，很容易找到u的先验分布。使用推导的后验概率，吉布斯采样器为：算法2吉布斯采样器1：∑（t+1）| r。。。，rm，u（t）~ W-1.ν+m，∑+Pmi=1（ri- u（t））（ri- u（t））t2： u（t+1）| r。。。，rm，∑（t+1）~ Nupost（t+1），∑post（t+1）,upost（t+1）=（m∑（t+1）-1+PTOhm-1P）-1（m∑（t+1）-1r+PTOhm-1q）∑岗位（t+1）=m∑（t+1）-1+PTOhm-1便士-12.8结果与之前一样，我们将尝试研究我们的模型对不同置信水平的敏感性。当我们给出前一个模型的结果时所作的备注1和2仍然有效。自年起Ohm 我们在主对角线（称为ωi）上有我们视图中的方差Pu，ωi越小，我们在视图i中就越确定。这也应该反映在我们的后对角线上：如果我们提供非常大的ωi，这意味着我们对视图非常不确定，模型应该更多地考虑历史，而如果我们为ωi提供非常小的值，这意味着我们对视图非常确定，模型应该比历史更多地考虑它们。与之前一样，为了量化和可视化模型对不同置信水平的敏感性，我们将查看距离| Pupost-q |（在我们的图中，它将位于一个轴上）在ωi的不同组合上。之前选择了相同的4只股票（AAPL、AMZN、GOOG、MSFT），但由于这项工作是较新的，每天的回报是从2014年1月2日到2017年12月29日。视图是（行是视图，列按AAPL、AMZN、GOOG、MSFT的顺序表示4种股票）：q=0.020.05, P=-1 1 0 00 0 1 -1.当涉及到两个视图中的置信度级别时，可以输入小到10的值-7没有遇到任何数值问题，就像我们之前扩充矩阵P时所做的那样。

因此，在实现模型或输入任何值时，不需要对模型进行任何更改。我们在10之间取一个等距点（ω，ω）的网格-7和2·10-燃烧期设置为10，吉布斯取样器中的迭代次数设置为10。然而，人们也可以使用相同的观点，但考虑的是整个标准普尔500指数的每日回报率，而不仅仅是4只股票。为此，我们需要在前面提到的时期内，标准普尔500指数活跃交易的公司的每日回报。我们根本不需要改变q，但P有更多的列，它们将代表著名指数中的股票，对于相同的2个视图，它仍将有2行。我们可以通过确保在第一行和对应于AAPL的列中-1，在第一行和对应于AMZN的列中，我们将有一个1，第二行类似。当然，一些矩阵和向量的维数将大得多，因此，所有计算都将更加昂贵。因此，该版本被并行化，Gibbs采样器中的迭代次数减少到10次（正如我们将看到的，即使迭代次数很少，平均值也会收敛，但协方差矩阵不会收敛）。

间隔10-7至10-5对于浓度级，按以下方式将其分为4部分：（ω，ω）∈-6.→ 10-5, 10-6.→ 10-5.-5.→ 10-4, 10-5.→ 10-4.-6.→ 10-5, 10-5.→ 10-4.-5.→ 10-4, 10-6.→ 10-5.上述4个范围中的每一个都被划分为7个点的网格。每个点在一个核心上运行，运行时间略多于4个小时ω=10时-6，第一个视图的95%置信区间为（0.018，0.022），这表明投资者非常自信ω=10时-4，第一个视图的95%置信区间为（0，0.04），这表明投资者没有那么自信。图5：| Pu桩-q |仅获取4个库存时图6：| Pupost-q |当所示图表中的takingS&P 500时，我们注意到两条曲线的形状相似，尽管右侧的曲线随着OI变小（我们的模型中的ωII）更快收敛到0。此外，右侧的曲线似乎位于左侧的一条曲线下方。直觉上，这是因为当我们计算整个标准普尔500指数时，∑的先验信息更多。此外，两者的形状非常相似。距离变为0，ωigo变为0。这与我们对模型行为的直觉是一致的：随着人们对输入的视图越来越有信心，模型应该重视它们，而不是历史数据。反之亦然，在两个图中，随着ωibecome越大，距离似乎收敛到某个值。同样，这也是我们认为模型应该具有大ωi的地方，这表明人们对个人观点不确定，因此，历史应该发挥更重要的作用。