Black Litterman模型的贝叶斯替代方案

此外，我们注意到，随着o1和o2变大，它会很快收敛到一个稳定的距离。这与我们的直觉是一致的，因为如果我们非常认同自己的观点，那么模型应该更加重视它们，而如果我们对自己的观点一点都不认同，那么模型应该只考虑历史。事实上，如果我们只使用历史，u的无偏估计值是回报（r）的样本平均值，因此距离变成| P r-q |=0.05388875。我们还注意到，第二个视图（对应于o2）对后部的影响大于第一个视图。这是因为3D曲线会在平行于“o2 vs distance”平面的截面上留下一条2D线，该线会收敛到0，因为o2变得非常小，比o1变得非常小时平行于“o1 vs distance”平面的截面要快得多。我们将继续研究通过使用该模型在2014年1月2日至2017年12月29日期间根据相同的每日回报进行培训而获得的利润（亏损）。我们将使用Gibbs采样估计后验平均值（upost）和后验协方差（∑post），并使用CAPM方程（4）获得w=2.5∑post的权重-1u柱。根据这些权重，我们计算出我们将在2018年1月获得的利润（就像之前一样，2018年1月2日至2018年1月30日之间的每日回报），初始投资为100000美元。在这里，也可以使用不同的investmenthorizon。同样的P，q，ωi的网格，燃烧周期，迭代周期和以前一样使用。以下是资产对变化敏感性的3D图：图16:AMZN-in和q=[0.02，0.05]的资产，我们观察到的资产大约在10000美元和58000美元之间。为了解释这条曲线，我们必须使用输入的视图了解2018年1月的实际情况。

更具体地说，2018年1月，P rJan2018=0.239967430.01366718. 尽管输入的1stview是实际情况的10倍（2018年1月，AMZN的表现比AAPL高出近24%），但该模型比2ndview更为重要。事实上，当我们减小ω并保持ω不变时，收益会急剧增加。利润不会增加，我们会减少ω并保持ω不变。正如我们之前所做的那样，由于AAPL在一个月内上涨24%是一种极端情况，让我们考虑一种不同的股票，而不是AMZN。我们将用FB（Facebook）取代AMZN，我们将保持所有输入与之前相同，只是我们会改变q。在以下3个图中，我们将在投资者考虑q=0.020.05,q=0.062128150.01366718这正是2018年1月发生的事情（“消息灵通”投资者）和q=-0.06212815-0.01366718这与2018年1月发生的情况正好相反（“信息贫乏”投资者）：图17：Pro-fitsfb而非amzn，q=[0.02，0.05]t图18：Pro-fitsfb而非amzn，观点与现实完全一致图19：Pro-fitsfb而非amzn，观点与现实相反o自2018年9月以来=0.062128150.01366718, q所在的视图=0.020.05与我们使用AMZN而不是FB时相比，回报更接近实际情况（尤其是第一视图更接近）。我们注意到，第二种观点对利润的影响比我们在图16中看到的更大，从上图17中可以清楚地看到这一点如果投资者的观点与现实完全一致（图18），那么随着ω越来越小，投资者的观点对利润的影响也越来越大此外，如果我们比较图18和图19，我们注意到它们似乎是相对于平行于“o1vs o2”平面的平面的相互反映。

这是有意义的，因为两者之间的唯一区别是，在图18中，我们有一个q=0.062128150.01366718在图19中，我们有一个q=-0.062128150.01366718.3.6限制在上一节中，我们没有给出批发500指数的任何结果。这是因为我们遇到了内存分配和运行时问题。这两者都是由矩阵的大小引起的，矩阵的大小决定了所有矩阵的计算和从多元分布中采样都很耗时。最大的问题是矩阵Q的构造。我们提醒自己，我们必须通过查看方程v ec来计算fijb*（log∑）Tfij=eTilog∑ej，并确定log∑矩阵中各项的系数。利用这些fij，我们最终可以计算Q：ξij=（di- dj）didj（对数（di）- log（dj））Q=mnXi=1fiifTii+mnXi<jξijfijfTijIt很容易计算ξij，计算fs的优雅方法是通过编码一个四向张量并应用函数V ec*（·）到它的2个条目（通过一个小尺寸的例子可以更容易地看到模式）。然而，这并不是最快的方法，因为实际上可以直接在Q中填写每个条目。在这两种情况下，维数问题仍然存在。当我们考虑整个标准普尔500指数时，行数和列数的大小为d=500·501，但由于Q是对称的，我们必须在Q中存储略多于一半的条目（尽管这种方法使得后面的所有公式更加混乱）。即便如此，此类对象的大小约为53 GB。

即使是最大的服务器atUCSB，其中一个节点有1 TB的RAM内存，我们也只能在最多20个核上并行运行。内存分配问题加上运行时间远远大于运行第2.8节中所述模拟所需的4小时，使得这种方法在计算上不适用于大型数据集。我们研究了几种解决问题的方法：o将矩阵Q写入磁盘。不幸的是，需要一个高速连接（例如SSD）才能足够快地写入，从而不会使运行时间更长。这非常重要，因为我们必须在吉布斯采样器的每次迭代中计算Q我们已经研究了吉布斯采样器本身的并行化（这是一个马尔可夫链）。更准确地说，在马尔可夫链的一般设置中，我们已经研究了从m个初始点开始的独立马尔可夫链，以及从每个初始点开始的独立马尔可夫链。文献[1]表明，对于满足Doob条件的单个马尔可夫链，遍历平均数几何收敛：PnnXk=1f（Xk）>X=X！≤ A()ρ()n、 在哪里()d、 ts.t.ρ() = Φ（d，t）d+η，ηs.t.ρ() < 1，Φ（d，t）=supxEhetPdk=1f（Xk）xib通过使用这个结果，可以很容易地表明，对于并行运行m个MarkovChains，我们可以获得以下界限：PmmXi=1nnXk=1f（Xik）>x！≤ e-t型*明尼苏达州A.*()mρ*()这里，d的存在*, t型*以及*(·), ρ*（·）与之前一样。

问题是我们无法比较上面两个不等式的右侧，因为A（·），A*（·）和ρ（·），ρ*（·）是不同的，因为这是存在的证据。3.7当前工作使用整个市场时遇到的运行时间和内存分配问题表明必须降低维度。此外，原始的Black Littermanmodel与CAPM（在统计学中可以看作是一种因子分析模型）之间有着很强的联系。这给了我们一个想法，即在本文提出的贝叶斯备选方案中添加一个完全贝叶斯特定的因子模型。所有的后验概率都已经推导出来了。与我们看到的原始方法不同，原始模型由以下3个分布表示，其中最后2个是先验分布：r~ N（u，∑）u~ N（π，τ∑）q |u~ N（Pu，Ohm)将最后两个方程式合并。为了获得联合似然，我们必须将最后2个分布的概率密度函数相乘：f（u，q）∝ 经验值-(u - π） T（τ∑）-1(u - π） +（q- Pu）TOhm-1（q- Pu）== 经验值(-u - πq- PuTτΣ 00 Ohm-1.u - πq- Pu)让V=τΣ 00 Ohm和α=u - πq- Pu.我们将试图找到一个矩阵a，这样当我们计算α=aα和v=AV At时，我们将得到上面的联合分布等于exp-α0TV0-1α.莱塔=在里面-(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1吨Ohm-10 IkInP Ik==在里面-(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1吨Ohm-1便士-(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1吨Ohm-1P Ik但从年开始=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1+PTOhm-1便士, 我们发现上述矩阵中的第一个条目可以写为(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1+PTOhm-1便士- PT公司Ohm-1便士=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1(τΣ)-1因此，我们可以得到is的最终形式：A=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1(τΣ)-1.-(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1吨Ohm-1P Ik注：det（A）=1。

2×2块矩阵的行列式是用与普通2×2矩阵相同的公式计算的，但我们在考虑乘法的顺序时必须小心：det（a）=det{(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1(τΣ)-1++(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1吨Ohm-1P}==检测{(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1+PTOhm-1便士} = det（I）=1最后，我们准备好找到我们的α和V：α=Aα=Au - πq- Pu=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1(τΣ)-1(u - π) -(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1吨Ohm-1（q- Pu）Pu- Pπ+q-Pu现在，通过将公共项分解为向量的十分之一，我们得到：(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1u - (τΣ)-1π - PT公司Ohm-1q+PTOhm-1Pu==(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1+PTOhm-1便士u - (τΣ)-1π - PT公司Ohm-1季度== u -(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1π+PTOhm-1季度如果我们让=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1π+PTOhm-1季度, 我们得到α=Aα=u - (R)uq- Pπ（20） 现在我们准备开始计算V:V=AV AT=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.-(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1PTτP∑Ohm现在，为了计算At，我们可以使用以下事实，即对于任何2矩阵（AB），T=Btata，∑是对称的，因此∑-1也是对称的。此外，同样的推理也可以用于Ohm. 因此，（PTOhm-1P）T=PTOhm-1便士。现在，如果我们查看2x2块矩阵中的第一个条目第一列，我们注意到它实际上等于（τ∑）-1.(τΣ)-1+PTOhm-1便士-类似地，块矩阵中的第二行第一列实际上是-Ohm-1便士(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1、最后，我们可以计算V。第一列中的第一项为：(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1(τΣ)-1.(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1++(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1吨Ohm-1便士(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1==(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1+PTOhm-1便士(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1==(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1因此，整个矩阵V将为：V=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-10Ohm + τP∑PT=>=> 五、-1=(τΣ)-1+PTOhm-1便士0 (Ohm + τP∑PT）-1.现在我们有了Vandα，更容易注意到接头将是：f（q，u）∝ 经验值-αTV-1α= 经验值-α0TA-TATV0-1AA公司-1α== 经验值-α0TV0-1α但这是多元正态分布的核心。

此外，从方程式（20）和矩阵V的上述形式中，我们得到：u~ Nu,(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.,u =(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1π+PTOhm-1季度此外，从这个解，我们得到：q~ NPπ，Ohm + P（τ∑）PT如果我们用M表示-1协方差矩阵，我们将上述作为预期收益的新先验：r |u~ N（u，∑），我们得到接头为：f（r，u）∝ 经验值-(u - (R)u）TM（u- u）+（r- u）T∑-1（右- u)== 经验值-(u - (R)u）TM（u- u) + (u -r） T∑-1(u - r）使用引理2，y=u，a=(R)u，b=r，a=M，b=∑-1，我们可以得出：f（r，u）∝ 经验值-(u - u*)T（M+∑）-1)(u - u*)·· 经验值（r）- u）TM-1+Σ-1.-1.-1（右- u)因此，收益的后验分布也是正态分布：r~ N（(R)u，M）-Bellman在其《矩阵分析导论》一书中给出了一个比我们所需要的更一般的结果。矩阵指数x（t）=e（A+cB）t表示Volterra积分方程：x（t）=eAt+cZteA（t-s） BX（s）ds，0<t<∞现在如果我们让上面的方程A=-∧，B=∧- A、 c=1，并记住∧=log（S），我们得到：X（t）=S-t型-ZtSs-t（A- ∧）X（v）dv，0<t<∞,因为我们想要近似e-A、 我们引入上述方程t=1，并重复替换X：e-A=X（1）=S-1.-ZSs公司-1（A- ∧）S-sds==秒-1.-ZSs公司-1（A- Λ)S-s-ZsSu公司-s（A）- λ） X（u）duds==S-1.-ZSs公司-1（A- ∧）S-sds+ZZSS-1（A- ∧）Su-s（A）- Λ)··S-u-ZuSv公司-u（A- λ） X（v）dv哑弹≈≈ S-1.-ZSs公司-1（A- ∧）S-sds+ZZSS-1（A- ∧）Su-s（A）- ∧）S-UDUDS这是一个近似值，因为忽略了三阶和高阶积分。

回报的条件pdf为：f（r，…，rm |u，∑）∝ 经验值{-mT r（A+Se-A） }因此，根据Volterra近似，通过乘以S并进行跟踪，我们得到：T r（Se-（A）≈ n-ZT r公司Ss（A- ∧）S-sds++ZST rSs（A- ∧）Su-s（A）- ∧）S-ududs第一个积分更容易计算：ZT rSs（A- ∧）S-sds=ZT r（A- ∧）ds=T r（A- ∧）第二个积分需要更多的计算。在深入研究之前，让我们把S的谱分解写成S=EDET。如果我们通过泰勒级数展开来确定矩阵对数，并利用Eis正交的事实，我们得到对数的谱分解为∧=log（S）=Elog（D）ET。此外，让我们做另一个表示法：B=ET（A- ∧）E=> EBET=A- ∧：T rSs（A- ∧）Su-s（A）- ∧）S-u= T r（A）- ∧）Su-s（A）- ∧）S-（u）-s）== T rEBDu公司-sBD公司-（u）-s） ET公司= T rBDu公司-sBD公司-（u）-s）为了计算这个迹项的积分，我们将尝试将其转换为标量形式：BDu-s=bdu公司-sbdu-sb1ndu公司-序号：：…：bn1du-sbdu-sb1ndu公司-序号对于矩阵BD-（u）-s） 我们得到了类似的结果，唯一的区别是-siis被DU取代-硅。另外，从谱分解来看，请注意diare是S的特征值。因为我们需要T rBDu公司-sBD公司-（u）-s）, 我们将只计算这个矩阵的对角线项：diagBDu公司-sBD公司-（u）-s）=b+bbdd公司u-s+bbdd公司u-s+···+b1nbn1dnd公司u-sbb公司dd公司u-s+b+····+b2nbn2dnd公司u-s： bn1b1ndnd公司u-s+bn2b2ndnd公司u-s+···+bnn但我们知道B是对称的。

因此，我们得到：ZZsT rBDu公司-sBD公司-（u）-s）duds=nXi=1ZZSBIDUDS++nXi6=jZZsbijdidj公司u-sduds，其中我们有nXi=1ZZSBIDUDS=nXi=1BII和alsonXi6=jZZsbijdidj公司u-sduds=nXi6=jZbijdidj公司u-s··log（di）- 日志（dj）sds=Xi6=jbijlog（di）- 日志（dj）Z1-didj公司-sds==Xi6=jbijlog（di）- 日志（dj）1.-djdi公司slog（dj）- 日志（di）==Xi6=jbijlog（di）- log（dj）+Xi6=jbijdjdi- 1（对数（di）- log（dj））==Xi<jbijlog（di）- 日志（dj）+bjilog（dj）- 日志（di）+Xi<jbijdjdi+didj- 2（对数（di）- log（dj））==0+Xi<jbijdjdi+didj- 2（对数（di）- log（dj））最后，通过将两个二重积分相加，我们得到thatZZsT rBDu公司-sBD公司-（u）-s）duds=n- T r（A）+T r（λ）++nXi=0bii+Xi<jbijdjdi+didj- 2（对数（di）- log（dj））通过引入ξij的符号，我们得到了由方程（15）表示的volterra近似。命题1的CProof如下等式成立：f（α|σ，σ）=Zθdet()-经验值-(α -Jθ）T-1(α -Jθ）dθ==2πdet()-det（JT-1J）-经验值-αTGα, 其中g=身份证件- J（JT-1J）-1JT-1.T-1.身份证件- J（JT-1J）-1JT-1.证据在我们真正尝试计算积分之前，我们希望把所有的量都放在标量形式，因为这会使我们的生活更容易。这就引出了以下两个引理：引理4。det公司()-det（JT-1J）-=√n（d-n）σ-n-1.σ-d-n-1屋顶。JT公司-1J=“σ…σ0…00…0σ…σ#J=“nσd-nσ#因此，我们得到det（JT-1J）-=√n（d-n）σσ此外，ClearLynce 是对角线，我们得到：det()-=σ-nσ-d-将这两个行列式相乘，我们得到了期望的结果。现在，让我们把注意力转向以标量形式写下这个术语，即引理5。αTGα=σPni=1（αi-αv）+σPdi=n+1（αi-αc），其中α表示主对角线上αs的平均值（即源自收益方差项对数的平均值），αcis表示副对角线上所有α的平均值（即源自收益方差项对数的平均值）。证据

首先，可以注意到，G的公式可以简化为计算目的：G=身份证件- J（JT-1J）-1JT-1.T-1.身份证件- J（JT-1J）-1JT-1.== -1.- -1J（JT-1J）-1JT-1.- -1J（JT-1J）-1JT-1++-1J（JT-1J）-1JT-1= -1.- -1J（JT-1J）-1JT-1我们记得我们已经计算了JT-引理4中的1J:JT-1J=“nσd-nσ#和-1J=σ: :σσ: :σ=>=> -1JJT公司-1J=n： ：nd-n： ：d-n=>=> -1JJT公司-1JJT公司-1=nσ。。。nσ0。。。0: ... : : ... :nσ。。。nσ0。。。00 ... 0（d-n） σ。。。（d）-n） σ：…：：…：0 ... 0（d-n） σ。。。（d）-n） σ现在我们只需要从-1，这只是对角线，我们最终可以计算出所需的量：αTGα=X1≤i6=j≤nnσαiαj+nXi=1n- 1nσαi+Xn+1≤i6=j≤d（d- n） σαiαj++dXi=n+1d- n- 1（d- n） σαi通过观察这个方程和我们必须证明的方程，我们意识到如果我们能够证明以下恒等式，我们也会证明引理：X1≤i6=j≤nnσαiαj+nXi=1n- 1nσαi=σnXi=1（αi- αv）让我们从右侧开始：nXi=1（αi- αv）=nXi=1αi- nα=nXi=1αi-nnXi=1αi==nXi=1αi-nnXi=1αi-nXi6=jαiαj=nXi=1n- 1nαi-nXi6=jαiαj现在我们终于有了所有必要的恒等式，以标量形式写出命题中的积分。