Black Litterman模型的贝叶斯替代方案

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Bayesian Alternatives to the Black-Litterman Model》
---
作者：
Mihnea S. Andrei and John S.J. Hsu
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  The Black-Litterman model combines investors\' personal views with historical data and gives optimal portfolio weights. In this paper we will introduce the original Black-Litterman model (section 1), we will modify the model such that it fits in a Bayesian framework by considering the investors\' personal views to be a direct prior on the means of the returns and by adding a typical Inverse Wishart prior on the covariance matrix of the returns (section 2). Lastly, we will use Leonard and Hsu\'s (1992) idea of adding a prior on the logarithm of the covariance matrix (section 3). Sensitivity simulations for the level of confidence that the investor has in their own personal views were performed and performance of the models was assessed on a test data set consisting of returns over the month of January 2018.
---
中文摘要：
Black-Litterman模型将投资者的个人观点与历史数据相结合，并给出最佳投资组合权重。在本文中，我们将介绍原始的Black-Litterman模型（第1节），我们将修改该模型，使其符合贝叶斯框架，将投资者的个人观点视为收益均值的直接先验，并在收益协方差矩阵上添加一个典型的逆Wishart先验（第2节）。最后，我们将使用Leonard和Hsu（1992）的想法，即在协方差矩阵的对数上添加先验知识（第3节）。对投资者个人观点的信心水平进行了敏感性模拟，并根据2018年1月的回报率组成的测试数据集评估了模型的性能。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Litterman LITTER Black term lack

加利福尼亚大学，黑色凋落物模型的贝叶斯替代方案S.Andreian和John S.J.hs客户统计和应用概率，SantaBarbaramandrei@ucsb.edu,hsu@pstat.ucsb.eduDecember2018年12月27日摘要Black-Litterman模型将投资者的个人观点与历史数据相结合，并给出最佳投资组合权重。在本文中，我们将介绍原始的Black-Litterman模型（第1节），我们将修改该模型，使其符合贝叶斯框架，将投资者的个人观点视为回报均值的直接先验，并在回报协方差矩阵上添加一个典型的逆Wishart先验（第2节）。最后，我们将使用LeonardandHsu（1992）[5]的想法，在卵巢矩阵的对数上添加一个先验知识（第3节）。对投资者个人观点的信心水平进行了敏感性模拟，并根据2018年1月的回报率组成的测试数据集对模型的性能进行了评估。1原始的黑色垃圾模型黑色垃圾模型是在20世纪90年代初开发的，已广泛用于资产配置。该模型试图将市场均衡与投资者的个人观点相结合。可以证明，投资者的最佳投资组合是与市场均衡投资组合成比例的投资组合和反映其观点的投资组合加权和的总和。有关如何创建个人视图的示例，请参见第1.2节；有关模型的更多详细信息，请参见第1.3节。有关如何计算市场均衡的更多详细信息，请参阅第1.1小节。1.1估计市场均衡当所有投资者持有市场投资组合weq时，市场处于均衡状态。

当该投资组合中的资产需求等于供应时。如果我们用π表示市场均衡收益，那么CAPM方程是π=λ∑weq。这里，λ是投资者的风险规避系数，∑是投资组合中资产回报的方差矩阵[3]。1.2个人视图示例让我们看看如何在传统模型中输入个人视图。例如，让我们考虑4种资产：AAPL、AMZN、GOOG和MSFT。此外，让我们考虑一下，我们认为AAPL的表现将比AMZN好2%，我们还认为GOOG的回报率将达到5%。P中的列按我们之前列举的顺序表示4种股票。P和q中的每一行代表一个个人视图：P=1.-1 0 00 0 1 0, q=0.020.05每个个人观点都与投资者对观点的不确定性有关。置信度的度量值作为对角线条目输入到矩阵中Ohm. 正如我们将在下一节中介绍模型的假设时所看到的（方程式（1），Ohm 是协方差矩阵。因此，在主对角线上，我们将有我们个人观点的回报差异。因此，一个较小的价值反映了该观点的高度可信度，反之亦然（一种获取Ohm 是通过简单的手动插补，另一种方法是估算）。1.3黑人随行人员方法既然我们已经看到了模型的各个部分，我们已经准备好呈现数学公式。我们将认为投资者正在关注n项资产，对这些资产有k种不同的看法。资产回报被认为是随机的，r~ N（u，∑）。我们根据该回报的平均值创建了一个先验值：u~ N（π，τ∑）。然而，对于任何一般协方差矩阵，证明将以完全相同的方式工作（请参见附录A中的证明）。

变量π代表市场均衡收益，它是通过使用与CAPM（4）等价的方程获得的：π=λ∑weq，λ是投资者的风险规避参数，weq是市场均衡权重和∑thecovenance矩阵。此外，这里τ被认为是反映CAPM先验不确定性的参数。请注意，τ越小，ru将越接近市场均衡收益π。除此之外，我们还有投资者的个人观点：Pu~N（q，Ohm), 其中使用了与前一节1.2中相同的符号【3】。因此，该模型由以下3个分布表示，其中最后2个是先验分布：r~ N（u，∑）u~ N（π，τ∑）Pu~ N（q，Ohm)（1） 通过组合2个先验值（上面的最后2个分布）并将其作为回报分布的新先验值，可以表明回报的后验值为（请参见附录a的证明）：r~ N（(R)u，M）-1+∑），其中使用的符号为，M-1=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1(2)u =(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1π+PTOhm-1季度（3） 同样，设∑=M-1+∑回到上一节中给出的个人观点示例，如果投资者认为谷歌的表现将优于其他3家公司，那么对谷歌和其他3家公司分别赋予长权重（正权重）1和短权重（负权重）就足够了。在Black Littermanmodel中，收益被认为是随机的，我们刚刚看到后验分布也是正态的，但平均值由方程（3）表示。该方程适当地考虑了市场波动性和相关性。让我们进一步看看使用收益率的后验值时得到的权重w。

具有风险规避参数λ的投资者试图在最小化风险的同时最大化投资组合的收益时，解决该问题的典型方法是最大化函数wTu-λwT'∑w相对于w。通过取w的导数，我们获得了一个与CAPM等价的方程：u=λ∑w<=> w=λ\'∑-1u（4），使用等式（3）和恒等式（∑+M-1)-1=米-M（M+∑）-1)-1M，可以显示：w*=1+τ（weq+PT×）) = τOhm-1qλ- A.-1P∑1+τweq- A.-1P∑1+τPTτOhm-1qλA=Ohmτ+P∑1+τP上述第一个等式表明，黑人同窝狗最优投资组合权重是平衡权重加上个人观点的加权和（PThas as columns of the views）。此外，第二个方程式中的三个术语也有解释：o第一个术语表明，通过具有高回报qk（q的第k个值）或具有较小的不确定性ωk（这是Ohm 因此它等于ωkinOhm-1） 第二项表明，如果协方差和市场均衡收益之间的产品价值较高，则权重会受到惩罚。这表明该视图包含的附加信息较少最后一项表明，如果不同投资组合视图之间的协方差很高，则优化权重会受到惩罚。这很有意义——这意味着不同的观点几乎没有添加新的信息。我们还可以观察到这样一个事实，即如果投资者有一个不同的风险厌恶参数^λ，他可以使用方程^w获得优化的投资组合权重*=λ^λw*2反向Wishart∑2.1简介首先，我们必须观察我们希望在原始方法的基础上进行哪些潜在改进。

但原始方法的缺点是什么从附录A中给出的证明中，我们注意到，这不是一种真正的贝叶斯方法，因为如前一节所述，（1）中最后2个方程表示的分布被组合起来，以找到u的新先验。这被用作返回的优先顺序。o最初的方法不考虑任何当前回报，我们希望对特定时期（即投资者的投资期限）的回报进行建模。因此，我们希望有r，r。。。，rm~ Nn（u，∑）o协方差矩阵∑根据原始方法中的历史数据进行估计。因此，我们希望优先考虑∑的分布，当数据来自正态分布时，协方差矩阵最常用的方法是使用逆Wishartconjugate优先。让r，r。。。，rm~ Nn（u，∑）是投资者正在考虑的n项资产在m长时间内的观察收益。此外，我们希望考虑一个先验值，即我们个人观点P直接预测的回报平均值。因此，与传统模型类似，我们将得到Pu~ N（q，Ohm). 不同之处在于，我们想添加一个额外的逆Wishart Previor∑~ W-1(ν, Σ). 因为返回r∈ Rn，而prior在Pu上∈ Rk（k是视图数），之前的未完全指定，这表明我们需要创建一个可逆P。此外，一旦我们有了可逆的P，我们可以遵循两种方法：o获得u的分布，如果P是可逆的，这很容易做到从一开始就将返回转换为个人视图空间：r*i=P ri。

这个过程仍然需要P是可逆的，在变换空间中获得后验值后，我们必须能够变换回来。因此，无论哪种方式，我们都需要一个可逆的矩阵P，这就引出了下面的讨论。2.2创建可逆P我们个人观点的矩阵很可能不可逆，因为正如我们在第1.2节中所看到的，我们可以有相对观点（行总和为0的观点），我们可以有绝对观点（一行中只有一个1）。此外，我们将拥有的k视图（P中的行数）将小于我们正在考虑交易的n资产（P中的列数）。在本节中，我们将介绍一种方法，在该方法中，我们可以将行添加到P，从而得到平方矩阵P*是可逆的。其主要思想是基于一种方式，即一行将矩阵简化为梯队形式。众所周知，矩阵是可逆的，因为它的降行梯形是单位矩阵。这就给了我们一个想法，即取矩阵并向其添加行，以使其可逆：o对于P中只有0的每一列，我们必须创建一个新行，该新行在相应列中只有一个1，在所有其他列中只有一个0。o如果一行有1个以上的非零条目，那么除了数据透视列中的entries之外，每一行都必须创建一个包含1的行。例如，如果我们考虑第1.2节中的矩阵P，上面的过程会给出：=1.-1 0 00 0 1 0→1.-1 0 00 0 1 00 0 0 1→1.-1 0 00 0 1 00 0 0 10 1 0 0= P*=聚丙烯请注意，我们用P表示*基于P的增广可逆矩阵，并通过P中加入的部分。我们在本节开头看到，模型方程为：r，r。。。，rm |u，∑~ Nn（u，∑）Pu~ Nk（q，Ohm)Σ ~ W-1（ν，∑）如前所述，我们有两种方法。

我们选择使用个人观点转换回报，因此，让r*i=P*国际扶轮社。因此，r*, r*, ..., r*m级~ Nn（u*, Σ*), 其中u*= P*u和∑*= P*∑P*T、 现在，在转换到个人观点空间后，3个方程变成：r*, r*, ..., r*m级~ Nn（u*, Σ*)u*~ Nn（q*, Ohm*)Σ*~ W-1（ν，∑）但是，就像u一样*, Σ*显然取决于u，∑，我们还有q*, Ohm*取决于原始q，Ohm:q*= E[u*] = E【P】*u]=E聚丙烯u=qq(5)Ohm*= V ar（P*u）=V ar聚丙烯u=Ohm P V ar（u）PTPV ar（u）PTPV ar（u）PT（6） 2.3后验分布的推导现在我们已经找到了一种将P扩充为矩阵P的方法*这是可逆的，我们还设法创建了相应的q*和Ohm*, 这个问题是在一个更典型的贝叶斯框架中提出的：r*, r*, ..., r*m |u*, Σ*~ Nn（u*, Σ*)(7)u*~ N（q*, Ohm*)(8)Σ*~ W-1（ν，∑）（9）从（7）中，我们得到我们收益的联合密度为：f（r*, ..., r*m |u*, Σ*) ∝ det（∑）*)-mexp(-mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*))从（8）中，我们得到u的密度*is：f（u*) ∝ det公司(Ohm*)-经验值-(u*- q*)TOhm*-1(u*- q*)类似地，使用（9），我们得到∑的密度*is:f（∑）*) ∝ det（∑）*)-ν+n+1exp-T rΣΣ*-1.因此，通过将上述3个方程相乘，我们得出所有方程的联合密度为：f（r*, ..., r*m、 u*, Σ*) ∝ det（∑）*)-ν+m+n+1exp-T rΣΣ*-1.det公司(Ohm*)-·经验值(-(u*- q*)TOhm*-1(u*- q*) +mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)!)（10） 让我们关注第二个指数中的括号，并让我们验证以下结果。引理1。以下等式成立，其中*=Pmi=1r*im:mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) =mXi=1（r*我- \'\'r*)T∑*-1（右*我- \'\'r*)++ m（(R)r*- u*)T∑*-1（(R)r*- u*)证据

我们将从操纵右侧开始：RHS=mXi=1（r*iT∑*-1r级*我- r*iT∑*-1'r*- r*T∑*-1r级*i+r*T∑*-1r级*)+先生*T∑*-1'r*- 先生*T∑*-1u*- mu*T∑*-1'r*+ mu*T∑*-1u*但自从m r*=Pmi=1r*我=> 先生*T=Pmi=1r*我们得到：RHS=mXi=1（r*iT∑*-1r级*我- r*iT∑*-1'r*- r*T∑*-1r级*i） +2mr*T∑*-1'r*--mXi=1r*它Σ*-1u*- u*T∑*-1mXi=1r*我+mXi=1u*T∑*-1u*==mXi=1（r*iT∑*-1r级*我- r*iT∑*-1'r*- r*T∑*-1r级*i） +2mr*T∑*-1'r*--mXi=1r*iT∑*-1u*-mXi=1u*T∑*-1r级*i+mXi=1u*T∑*-1u*我们观察到∑*-1和\'r*不要依赖于总和。因此，我们可以将它们计算出来：RHS=mXi=1（r*iT∑*-1r级*我- r*iT∑*-1u*- u*T∑*-1r级*i+u*T∑*-1u*)++ 2mr*T∑*-1'r*-mXi=1r*它Σ*-1'r*- \'\'r*Σ*-1mXi=1r*我==mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) + 2mr*T∑*-1'r*- 先生*T∑*-1'r*-- 先生*T∑*-1'r*=mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)在继续之前，让我们做一个记号：s=Pmi=1（r*我-\'\'r*)T∑*-1（右*我-\'\'r*)m级-现在，通过引理1，我们可以从（r）的联合密度返回到第二个指数中的偏执*, ..., r*m、 u*, Σ*)（方程式（10））：（u*- q*)TOhm*-1(u*- q*) +mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) == （m）- 1） s+m（(R)r*- u*)T∑*-1（(R)r*- u*) + (u*- q*)TOhm*-1(u*- q*) == （m）- 1） s+（(R)r*- u*)T（m∑）*-1） （(R)r*- u*) + (u*- q*)TOhm*-1(u*- q*)（11） 引理2。（填写方框）对于任何A∈ Rp×反向定义，B∈ Rp×反向半定义和a、b∈ Rpt以下标识有效：（y）- a） TA（y- a） +（y- b） TB（y- b） =（y- y*)T（A+B）（y- y*)++（a）- b） TH（a-b） ，其中y*= （A+B）-1（Aa+Bb）和H=A（A+B）-1B。此外，如果B为正定义，则H=（A-1+B-1)-1.[6]由于我们的两个正态分布都不是退化的，因为我们可以有两个∑的倒数*和Ohm*, 我们得出结论，它们没有任何等于0的特征值。此外，由于它们是协方差矩阵，我们知道它们是正半定义的。因此，它们的特征值大于或等于0。但由于它们不能为0，我们观察到它们必须严格大于0。

这意味着两个矩阵都是正定义的，因此我们可以使用第二个公式来表示H inLemma 2。现在，我们准备将此结果应用于y=u的方程式（11）*, a=\'r*,b=q*, A=m∑*-1和B=Ohm*-1:(10) <=> (11) <=> （m）- 1） s+（u*- u*)T（m∑）*-1+ Ohm*-1)(u*- u*)++（(R)r*- q*)TH（(R)r*- q*),其中u*= （m∑）*-1+Ohm*-1)-1（m∑）*-1'r*+Ohm*-1季度*) 和H=m∑*+ Ohm*-1、如果我们用等式（10）表示的节理密度返回这个结果，我们得到：f（r*, ..., r*m、 u*, Σ*) ∝∝ det（∑）*)-mexp-(u*- u*)T（m∑）*-1+ Ohm*-1)(u*- u*)··经验值-（(R)r*- q*)TH（(R)r*- q*) + （m）- 1） s··det公司(Ohm*)-det（∑）*)ν+n+1exp-T rΣΣ*-1.因为唯一依赖于u的部分*是上述方程的第一行，我们得出结论：f（u*|r*, ..., r*m、 ∑*) ∝ 经验值-(u*- u*)T（m∑）*-1+ Ohm*-1)(u*- u*)=>u*|r*, ..., r*m、 ∑*~ Nn型u*, Σ*, 其中u*=m∑*-1+ Ohm*-1.-1.m∑*-1'r*+ Ohm*-1季度*Σ*=m∑*-1+ Ohm*-1.-1（12）以确定∑的后面*, 更容易从方程（10）表示的原始节理密度开始。