律不变递归动态偏差的表示结果

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英文标题：
《Representation Results for Law Invariant Recursive Dynamic Deviation
  Measures and Risk Sharing》
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作者：
Mitja Stadje
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we analyze a dynamic recursive extension of the (static) notion of a deviation measure and its properties. We study distribution invariant deviation measures and show that the only dynamic deviation measure which is law invariant and recursive is the variance. We also solve the problem of optimal risk-sharing generalizing classical risk-sharing results for variance through a dynamic inf-convolution problem involving a transformation of the original dynamic deviation measures.
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中文摘要：
本文分析了偏差测度（静态）概念的动态递归扩展及其性质。我们研究了分布不变偏差测度，并证明了唯一具有规律不变和递归性的动态偏差测度是方差。我们还通过一个包含原始动态偏差度量变换的动态inf卷积问题，解决了将经典风险分担结果推广到方差的最优风险分担问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Representation_Results_for_Law_Invariant_Recursive_Dynamic_Deviation_Measures_an.pdf (224.54 KB)

2022-6-11 04:49:58 上传

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关键词：Applications Presentation Generalizing Quantitative Differential

律不变递归动态偏差测度和风险分担的表示结果*2018年12月12日摘要本文分析了偏差度量（静态）概念的动态递归扩展及其性质。我们研究了分布不变偏差测度，并证明了唯一具有规律不变性和递归性的动态偏差测度是方差。我们还通过一个包含原始动态偏差测度变换的动态inf卷积问题，解决了将经典风险分担结果推广到方差的最优风险分担问题。1简介在涉及概率的大多数领域中，传统的风险思维方式起着至关重要的作用，它将风险衡量为随机结果与长期平均值的偏差，也就是说，将风险衡量为所涉及的方差或标准偏差。投资组合选择理论尤其如此，几乎所有的标准金融文献都简单地将投资组合选择描述为回报（均值）和风险（方差）之间的选择。对于连续时间内的股票价格，风险也常常与波动性相一致，即，作为增量时间单位上的本地标准偏差。然而，方差以与负偏差相同的方式惩罚与平均值的正偏差，这在许多情况下是不合适的。此外，计算方差或标准差主要是通过其良好的分析、计算和统计特性来证明的，但这是一个特殊的过程，不清楚是否可以使用更好的方法。为了克服这些不足，Rockafellar等人（2002）开发了静态偏差度量的一般公理框架；另见Rockaf ellaret等人（2006a、2006b、2006c、20072008），M¨arket和Schultz（2005），Sarykalin等人。

（2008），Grechuk等人（2009），Righi和Ceretta（20 16）或Righi（2017）。*米贾乌尔姆大学数学与经济学院。stadje@uni-乌尔姆。删除关键字和短语。偏差度量、时间一致性、定律不变性、ris k-共享。（2010）AMS分类。60H30、91B30、91B06、91B70、46N10。这项工作的灵感来自Art-zner等人（1999,2000）、F¨ollmer and Schied（2002）和Frittelli andRosazza Gianin（2002）给出的一致性和凸性风险度量的公理化构造。（一致或凸风险度量描述了金融机构为了“安全”应持有的最低资本储备。）正如Artzner et al.（2000）gavean资本储备公理化描述所述，这些工作为偏差度量提供了公理化框架。这种广义偏差度量理论可以使用条件方差公式扩展到动态设置，参见Pistorius和Stadje（2017），正如凸风险度量已经扩展到使用tower属性的动态设置一样。关于后者，参见Barrieu和El Karoui（200420052009），Artzner等人。（2004）、Riedel（2004）、R osazza Gianin（2006）、Cheridito et al.（2006）、Delbaen（2006）、Kl¨oppel and Schweizer（2007）、Jiang（2008）、Delbaen et al.（2008）、Bion Nadal（2009）、Pelsser and Stadje（2014）和Elliott et al.（2015）。在本文的第一部分中，我们研究了分布不变偏差测度。对于分布不变凸风险度量，Kupper和Schachermayer（2009）在Gerber（19 74）的结果基础上表明，所谓的熵风险度量是唯一满足tower属性的凸风险度量，另见G oovaerts和Vylder（1979）以及Kaluszka和Krzeszowiec（2013）。

熵风险度量是作为具有指数效用函数的决策者的负确定性等价物出现的，参见instanceF¨ollmer和Schied（2002,20 04）。虽然有大量的静态分布变量偏差度量，但我们证明了唯一的动态偏差度量是方差，它是aw不变的和递归的。有趣的是，其他情况下也知道方差和熵风险度量之间存在密切关系（或等效使用指数效用函数）。例如，在经济学文献中，众所周知，平均方差原理可以看作是熵风险度量的二阶泰勒近似。此外，这两种方法都会产生在财富转移下不变的偏好，并在正态性假设下产生相同的最优投资组合，参见Cochrane（20 09）的概述。此外，如Pelsser和Stadje（2014）所示，在布朗过滤中，在极小的小时间间隔内递归应用均值方差相当于在极小的小时间间隔内递归应用熵风险度量。本文补充了这些结果，表明熵风险测度和方差是唯一的分布不变风险测度，在动态一致性条件下自然扩展到连续时间。随后，我们在讨论了一些示例后，分析了分布不变和非分布不变动态偏差度量的两个代理之间支付的风险分担，推广了方差的经典风险分担结果。对于一致性、凸性和更一般的风险度量，inJouini等人（2008）、Acciaio（2007）、Barrieu和El Karoui（200420052009）、Filipovicand Svindland（2008）、Carlier等人研究了静态和动态风险分担。

（2012）、Heath和Ku（2004）、Tsanakas（2009）、Danaand Le Van（2010）、Mastrogiacomo和Rosazza Gianin（2015）、Weber（2017）和Embrechts等（2018）。这些作品至少可以追溯到Bo rch（1962）的开创性作品。我们通过一个动态inf卷积问题来解决风险分担问题，该问题涉及到转换所涉及的动态偏差度量的原始驱动函数。本文的结构如下。第2节介绍了背景、基本概念和定义。第3节分析了分布不变的动态偏差度量，而第4节解决了最优风险分担问题。2设置形式上，我们从现在开始考虑一个经过过滤、完整、正确的连续概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）。纵观全文，随机变量之间的等式和不等式都是为了保持P——几乎可以肯定（a.s.）；如果t的P-a.s.相等，则识别两个随机变量∈ [0，T]，我们将L（Ft）定义为Ft可测量r和变量X的空间，使得E[X]<∞.（有条件的）偏差措施。动态偏差度量是根据条件偏差度量给出的，而条件偏差度量又是（静态）偏差度量概念的条件版本，如Rockafellar et al.（2006a）所述，我们将在下面介绍。关于滤波概率空间(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P），其中T>0表示地平线，考虑到由L（Ft），T中的元素描述的（风险）位置∈ [0，T]，Ft可测随机变量X的空间o，使得E[| X |]<∞).

按L+（英尺），L∞（Ft）和L∞+（Ft）表示L（Ft）中非负、有界和非负有界元素的子集。定义2.1针对任何给定t∈ [0，T]，Dt:L（FT）→ 如果L+（Ft）被归一化（Dt（0）=0），并且满足以下属性，则称为n Ft条件代数化偏差度量：（D1）平移不变性：对于任何m∈ L∞（英国《金融时报》）；（D2）正性：Dt（X）≥ 0表示任意X∈ L（FT），且Dt（X）=0，当且仅当X是可测的；（D3’）次加性：Dt（X+Y）≤ Dt（X）+Dt（Y）f或任何X，Y∈ L（英尺）；（D4’）正同质性：Dt（λX）=任何X的λDt（X）∈ L（FT）和λ∈ L∞+（英尺）。如果Fis微不足道，则是Rockafellar等人定义1意义上的偏差度量。（2006a）。我们记得，Dt（X）=0的值对应于名词确定性的无风险状态和公理（D1），可以解释为在位置X上添加一个常数（可能解释为现金）应改变总体偏差的要求。此外，与Rockaf ellar et al.（2006a）中类似，如果D满足（D3’）–（D4’），（D1）成立当且仅当任何m的Dt（m）=0∈ L（英尺）。换句话说，君士坦茨不承担任何风险。此外，众所周知，如果（D4’）成立，（D3’）等价于（D3）条件凸性：对于任何X，Y∈ L（FT）和任意λ∈ L∞（Ft）满足0≤ λ ≤ 1Dt（λX+（1- λ） Y）≤ λDt（X）+（1- λ） Dt（Y）。定义2.2针对任何给定t∈ [0，T]，Dt:L（FT）→ 如果L+（Ft）被归一化（Dt（0）=0）并满足（D1）-（D3），则称为n Ft条件凸偏差度量。通过在续集中假设凸性而不是（D3’）-（D4’），我们的动力学理论将更加完善，并包含更多的例子。

在分析中，通常还引入了连续性条件，其条件版本如下：（D4）连续性：如果XnConverge to X In L（FT），则Dt（X）=limnt（Xn）。备注2.3满足（D1）-（D4）的偏差度量的一个典型示例是用方差识别风险，并定义t（X）：=Vart（X）=E（十）- E[X | Ft]| Ft.备注2.4如引言中所述，R ockafellar等人偏差度量理论的公理化发展受到凸风险度量理论公理化发展的启发。映射ρt:L（FT）→ 如果满足以下属性，则L+（Ft）是一系列动态凸风险度量：（R1）现金无风险：对于所有m∈ L∞（Ft）我们有ρt（m）=-m、 （R2）Ft凸度：对于X，Y∈ L（FT）ρt（L X+（1- l） Y）≤ lρt（X）+（1- l） ρt（Y）表示所有l∈ L∞（Ft）使0≤ l≤ 1.（R3）单调性：如果X，Y∈ L（FT）和X≤ Y然后ρt（X）≥ ρt（Y）。（R4）L-连续性：如果Xn在L中收敛到X，那么对于所有t，limnρt（Xn）=ρt（X）。公理（R 1）给出了ρ作为资本公积的解释。公理（R2）的解释与之前类似。连续性公理（R4）通常也被下半连续性公理所取代。Monot onicity（R3）是一个对偏差度量没有意义的函数，因为对于所有常数m，例如Dt（m）=0。请注意，（D2）（Ft凸性）意味着以下属性成立：对于all X，Dt（IAX+IAcX）=IADt（X）+IAcDt（X）∈ L（FT）和A∈ Ft.（2.1）的确，如果dt是凸的，那么我们有∈ Ft明确Dt（1AH+1AcH）≤ADt（H）+1AcDt（H）。尤其是1ADt（1AH+1AcH）≤ 1ADt（H）。另一个方向是设置▄H=1AH+1AcH。然后，如前所述，ADT（H）=1ADt（1AH+1AcH）≤ 1ADt（℃H）。切换Hand Hyields的角色，然后得出期望的结论。注意，（2.1）还包括Dt（IAX）=Dt（IAX+0IAc）=IADt（X）+IAcDt（0）=IADt（X）。

（2.2）现在，在动态环境下的风险理论中，需要明确明天的风险评估如何影响今天的风险评估。从直觉上看，将总体偏差与我们预期的明日之后的波动加上明日之前的波动联系起来似乎很有吸引力。准确地说，我们将假设（D5）递归属性：对于X∈ L（FT）Dt（X）=Dt（E[X | Fs]）+E[Ds（X）| FT]，对于所有t，s∈ [0，T]带T≤ s、 显然，r的递推性质对应于条件方差公式。Pistorius和Stadje（2017）使用了这一公理。条件方差公式最近在Basak a和Chabakauri（2010）、Wang和Forsyth（2011）、Liet al.（2012）和Czichowsky（2013）的时间一致动态规划原则中使用。定义2.5 A f系列（Dt）t∈[0，T]称为动态偏差度量，如果Dt，T∈ [0，T]是满足（D4）和（D5）的Ft条件偏差度量。备注2.6为D（X）≥ 0，（D5）明确表示（Ds（X））是一个超鞅。特别是，它总是有一个c\'adl\'ag修改。备注2.7 Ds完全由D确定。如下所示：假设除Ds（X）外，存在满足（D5）的所有X的平方可积Fs可测随机变量D′（X）。固定X并用A′表示Fs可测集A′：={D′s（X）>Ds（X）}。如果我们通过矛盾假设A′具有非零度量，那么由（2.2）和（D3）E[IA′Ds（X）]=E[Ds（IA′X）]=D（IA′X）-D（E[IA′X | Fs]）=E[D′s（IA′X）]=E[IA′D′s（X）]，这与集合a′的定义相矛盾。集合{D′s（X）<Ds（X）}必须具有度量零a s阱，这一点可以类似地看到。Pistorius和Stadje（2017）在一个更加严格的公理化环境中也展示了以下命题。为了方便读者，附上了校样。命题2.8设I：={t，t。

，tn} [0，T]必须严格有序。D=（Dt）t∈Isatis fies（D1）–（D3）和（D5）当且仅当对于某些集合▄D=（▄Dt）t∈Iof conditional deviationmeasures we haveDt（X）=E“Xti∈一： ti公司≥tDtiEX | Fti+1- E[X | Fti]英尺#，t∈ 一、 X个∈ L（英尺）。（2.3）特别是，动态偏差测量满足（2.3），Dti=Dti，ti∈ 一、 “证明。”<=’: 我们将只显示DTSaties（D5），因为很明显（D1）–（D3）是满意的。让X∈ L（FT），并注意到作为Dt，t∈ 一、 满足（D1）和（D5）对于任何s，t∈ I，其中s>t，Dt（E[X | Fs]）=Pti∈一： t型≤ti<sEhDti（EX | Fti+1)|Fti。因此，我们知道Dt（X）等于toXti∈一： t型≤ti<sEhDti（EX | Fti+1)Fti+Xti∈一： s≤tiEh▄Dti（EX | Fti+1)Fti=Dt（E[X | Fs]）+E[Ds（X）| Ft]。\'=>’: 对于X∈ L（FT）和ti-1.∈ 一、 我≥ 1，我们有by（D5）和（D1）Dti-1（X）=Dti-1（E[X | Fti]）+EDti（X）| Fti-1.= Dti公司-1（E[X | Fti]- EX | Fti-1.) + EDti（X）| Fti-1.. （2.4）基于（2.4）的归纳论证得出（2.3）成立，且Dt=Dt，t∈ 我3分布不变性偏差度量下一个结果研究了如果我们对xioms（D1）-（D5）附加分布不变性的性质会发生什么。当X和X具有相同的分布时，如果D（X）=D（X），则动态偏差度量D是分布变量。在进行评估和风险分析时，在金融环境中，分布不变性往往是一个不令人满意的特性。原因是，支付的价值可能不仅取决于支付本身的名义贴现价值，还取决于经济的整体状况或整个金融市场的表现。

例如，创新套利定价情景附加了（风险中性）密度加权，因此，特定情景中特定支付的价值不仅取决于相应情景发生的频率，还取决于整个经济状况的lso。此外，在大多数金融资产定价模型中，不仅资产负债表的分布很重要，而且其与整个市场投资组合的相关性也很重要。然而，对于偏差度量，分布不变性是一个方便的属性，因为它使代理能够只关注支付的最终分布（通常明确知道或可以通过蒙特卡罗方法模拟）。有许多分布不变的静态偏差度量，但除了方差之外，是否还有其他属于这类的动态偏差度量，这是先验的不清楚。下一个定理表明，事实并非如此，方差是唯一的动态分布不变偏差度量。该结果也可以作为使用方差作为动态偏差度量的依据。也就是说，相信公理（D1）-（D5）和分布不变性的决策者必须使用方差。对于这个结果，我们假设概率空间足够丰富，可以支持一维布朗运动。定理3.1动态偏差度量D是分布不变的，当且仅当D是条件方差的正倍数，即存在一个α>0，例如dt（X）=αVart（X）。为了证明定理3.1，我们需要以下引理：引理3.2假设Dt是一系列动态分布不变偏差测度，Y独立于Ft。然后，Dt（Y）i是常数，Dt（Y）=D（Y）。证据t=0的情况很简单。让我们假设t>0。假设Dt（Y）6=常数。