律不变递归动态偏差的表示结果

选择集合A，A′∈ 当P（A）=P（A′）>0时，使得所有ω的Dt（Y）（ω）>Dt（Y）（ω′）∈ A、 ω′∈ A′。这是可能的，如下所示。由于Dt（Y）不是常数，显然存在c∈ R使得集合B：={Dt（Y）≥ c} 概率严格介于0和1之间。假设P（B）不失一般性≥. 设A′=Bc（B的补码）且不设thatP（A′）≤≤ P（B）。定义Ar：=B∩ {U≤ r} 带r∈ [0，1]和U=FBt（Bt）~ Unif[0，1]，其中FBtis布朗运动的df。通过定义U是Ft可测量的。显然是r→ P（~Ar）是一个连续函数，它将所有值控制在[0，P（B）]之间。特别是，存在这样的情况，即P（~Ar）=P（A′）。设置A=~A完成参数。接下来不是独立IAYD~ 是的。然而，D（IAY）=D（E[IAY | Ft]+E[Dt（IAY）]=D（IAE[Y | Ft]）+E[IADt（Y）]=D（IAE[Y]+E[IA′Dt（Y）]=D（IA′E[Y]）+E[IA′Dt（Y）]=D（E[IA′Y | Ft]）+E[Dt（IA′Y）]=D（IA′Y），这与D的分布不变性相矛盾。因此，Dt（Y）确实是常数。最后，通过证明的第一部分（Y）=E[Dt（Y）]+D（E[Y | Ft]）=E[Dt（Y）]+D（E[Y]）=E[Dt（Y）]=Dt（Y）。定理3.1的证明。由于由Dit唯一确定的DTI足以证明t=0的定理。让我们首先证明该定理适用于具有非正态分布的X。设Z为标准正态分布随机变量。定义f（σ）=D（σZ）和σ∈ R、 假设存在一个适应的布朗运动，例如（Bt）0≤t型≤T、 现在是0≤ t型≤ Tf（σ√t） =D(√tσZ）=D（σBt）=n-1Xi=0EDti/n（σBt（i+1）/n）=n-1Xi=0D（σBt（i+1）/n）=nD√tσZ√n= nf公司√tσ√n,我们设置的位置Bt（i+1）/n：=Bt（i+1）/n- Bti/n。以下为f√tσ√n=f级(√tσ）n。

在我们也得到k之前，先讨论a s∈ N带kN≤Ttfrkntσ！=D（σBkt/n）=k-1Xi=0EDti/n（σBt（i+1）/n）= kD（σBt/n）=kDσBt√n=knD（σBt）=knf（σ√t） 。通过（D4），我们得到f是连续的。因此，对于所有0≤ λ ≤Tt，f（λσ√t） =λf（σ√t） 对于nyσ∈ R、 任意x的设置∈ R、 σ=x/√t、 对于all 0，我们得到f（λx）=λf（x≤ λ ≤带t的TT∈ [0，T]。选择任意小，我们可以得出结论：对于所有λ，f（λx）=λf（x）∈ R+。因此，如果我们定义α：=f（1）>0，我们就得到了D（σZ）=D（|σ| Z）=f（|σ|）=σα=αVar（Z），其中第一个等式后面是D的分布不变性。接下来，让我们展示一下对于形式为X的简单函数=（hiI（ti，ti+1））·Bti，ti+1，hi=Pmj=1cjIAj，cj∈ Rd和不相交集Aj∈ 对于j=1，m我们有d（X）=αVar（X）。It isD（X）=D（htiBti+1）=E“mXj=1IAjDti（cjBti+1）#=αE“mXj=1IAjcj（ti+1- ti）#=αEhi（ti+1- ti）= αVar（X），其中我们在第三个方程中使用引理3.2来论证Dti（cjBti+1）=D（cjBti+1）=cj（ti+1-ti）。对于X=（hiI（ti，ti+1））·Bti，ti+1，一般hi∈ Ld（Fti，P）选择简单函数HNICOVERING to hiin Land DEFINE Xn=（hniI（ti，ti+1））·Bti，ti+1。使用Dwe的L-连续性可以得出D（X）=limnD（Xn）=limnαVar（Xn）=αVar（X）。接下来请注意，对于形式为X=Pli=1的简单函数（hiI（ti，ti+1））·Bti，ti+1 Forl∈ N、 你好∈ Ld（Fti，dP）我们得到d（X）=lXi=1EhDti（hiI（ti，ti+1））·Bti，ti+1i=lXi=1D（hiI（ti，ti+1））·Bti，ti+1=lXi=1αVar（（hiI（ti，ti+1））·B）ti，ti+1= αVar（X），其中我们使用了第一和第二个方程式中的命题2.8。因此，对于所有简单函数X，D（X）=αVar（X）。如前所述，使用DandαVar（X）的L连续性，我们得到了所有X的t hat等式实际上都成立∈ L（FBT），其中FBT是由（Bt）0生成的σ-代数的完备性≤t型≤T、 接下来，取一个常规X∈ L（英尺）。定义均匀分布的随机变量U=FBT（BT），其中FBT是BT的cdf。SetX′=qX（U）D=X。

那么很明显，X′是FBT可测量的。因此，D（X）=D（X′）=αVar（X′）=αVar（X）。这证明了定理。备注3.3我们的证明也适用于分布不变性动态偏差测度（Dt（X））t∈N、 即，对于分布不变性，仅在t上定义动态偏差度量s（满足（D1）-（D5））∈ N、 Kupper和Schachermayer（2009）证明了动态凸风险测度是法律不变性的当且仅当存在γ时∈ [0, ∞] 使得ρt（X）=γE[exp(-γX）| Ft]。（3.1）极限情况γ=0，且γ=∞ 分别与条件期望和专业上确界一致。相关结果也为保险费所知，参见Gerber（1974）和引言中给出的参考文献。4连续时间内的风险分担在本章中，我们假设概率空间(Ohm, F、 P）配有（i）标准d维布朗运动W=（W，…，Wd）和（ii）【0，T】×Rk{0}上的泊松随机测度N（dt×dx），与W无关，强度测度N（dt×dx）=ν（dx）dt，其中L'evy测度ν（dx）满足可积条件zrk{0}（| x|∧ 1） ν（dx）<∞,设N（dt×dx）：=N（dt×dx）-^N（dt×dx）表示补偿泊松随机测度。进一步，让U表示由L（ν（dx））范数，（Ft）t导出的Borel-sigma代数∈[0，T]在[0，T]×上，由W和n以及P和O生成的可预测和可选sigma代数的正确连续完成过滤Ohm 关于（Ft）。我们用Ld（P，dP×dt）表示所有可预测的d维过程的空间t hat t对于测度dP×dt是平方可积的，我们让=Y∈ O:Esup0≤t型≤T | Yt|< ∞表示平方可积c ` adl ` a可选过程的集合。进一步，设B（Rk\\{0}）B e是Rk\\{0}上的Borel-sigma代数。

Forany X公司∈ L（FT）我们用（HX，~HX）表示具有HX的唯一一对可预测过程∈ Ld（P，dP×dt）和▄HX∈ L（P×B（Rk \\{0}），dP×dt×ν（dx）），随后被称为X的表示对，满足*X=E[X]+ZTHXsdWs+ZTZRk \\{0}HXs（X）~N（ds×dx），（4.1），其中RthXSDWS：=Pdi=1RTHX，isdWis。我们叫P B（Rd） U-可测函数G:[0，T]×Ohm ×Rd×L（ν（dx））→ R+（t，ω，h，~h）7-→ g（t，ω，h，~h）一个驱动函数，如果为dP×dt a.e.（ω，t）∈ Ohm ×【0，T】：g为零当且仅当（h，~h）=0，且g在（h，~h）中是凸的和下半连续的。Pistoriusand Stadje（2017）的定理4.1表明，满足（D1）-（D5）的动态偏差度量等价于驱动函数g的存在，因此dt（X）=Yt，X∈ L（FT），其中（Y，Z，~Z）是由dyt=-g（t，HXt，~HXt）dt+ZtdWt+ZRk \\{0}~Zt（x）~N（dt×dx），t∈ [0，T），（4.2）YT=0。（4.3）*等效地参见Jacod和Shiryaev（2013）中的定理III.4.34，我们可以写出t（X）=eZTtg（s、HXs、~HXs）ds英尺. （4.4）因此，任何偏差度量都允许函数的积分表示（4.4）。现在让ρ为熵风险测度，由（）定义，这是唯一的时间一致律不变的动态凸风险测度。根据后向随机微分方程（BSDE）的已知结果（例如，见Barrieu和El K aroui（2009）或Pelsser和Stadje（2014））（4），在布朗-泊松滤波中，存在可预测的平方可积（Z，~Z），使得（ρt（X））0≤t型≤Tsatis fiesρT（X）=X和dρT（X）=-2γ| Zs |+ZRk \\{0}h（~Zs（x））ν（dx）ds+ZsdWs+~Zs（x）~N（ds，dx），其中h（x）=γ（exp{γx}-γx-1).

现在，由于条件方差过程对应一个二次驱动因素，定理3.1要求分布不变量偏差度量atis fiesddt（X）=-α|HXs |+ZRk \\{0}| HXs（x）|ν（dx）ds+ZsdWs+▄Zs（x）▄N（ds，dx）。值得注意的是，这意味着在纯布朗过滤的情况下，动态风险度量和动态偏差度量都没有跳跃分布变化都会导致二次驱动（惩罚）函数，不同的是，对于动态风险度量，评估本身的马利文导数是平方的，对于动态偏差测量，终端支付的Malliavin导数为平方。然而，对于j ump零件分布不变性的Malliavin导数，需要不同种类的惩罚（即一是指数，另一是二次）。原因是，由于不连续性，泰勒近似法无法应用于微小跳跃部分。示例4.1具有驱动函数g的g-偏差度量族g由GC驱动，d（t，h，| h）=c | h |+dsZRk \\{0}| | h（x）|ν（dx），c，d∈ R+\\{0}，（4.5）对应于随机变量X的风险度量∈ L（FT）表示为连续鞅部分和不连续鞅部分的局部波动率的积分倍数（4.1）。示例4.2在g偏差测量的情况下，驱动函数由g（ω，t，h，￠h）=CVaRνt，a（￠h），a∈ （0，ν（Rk \\{0}）），风险是根据CV aRνt，a下的（大）跳跃大小的值来测量的。这里CV aRνt，a（~h）=aRaV aRνt，b（~h）db是根据左分位数V aRνt，a（~h），a给出的∈ 度量ν（dx）下h（J）的（0，ν（Rk \\{0}）），即V aRνt，a（~h）：=V aRνa（h（J））：=sup{y∈ R：ν（{x∈ Rk \\{0}：▄h（x）<-y} ）<a}。接下来，我们分析了最优风险分担问题。

假设有两个代理分别使用动态偏差度量Da和DB保持平方可积位置Xa和XBand。代理A评估她的风险，例如X，byUAt（X）=E【X | Ft】- DAt（X）。代理人B也对她的风险进行了类似的评估。假设允许代理在每个场景ω中彼此指定合同∈ Ohm a付款Y′（ω）。我们还将Y\'称为代理a将Y\'交换为价格πY\'的支付和假设。让我们进一步假设，只有平方可积支付可以交易（或者换言之，可以交换）。用Y′换取πY′的价格，然后通过寻找arg supY′，可以最大限度地降低她的风险∈LUA（XA- （Y′）- πY′）。（4.6）注意，这是均值-方差优化问题的推广。为了让AgentB输入事务，她的实用程序应至少与以前一样高。因此，Ag-entA处于约束条件下（（Y′）- πY′）+XB）≥ UB（XB）（4.7）对于其他风险措施情况下的类似问题的研究，请参见引言中给出的参考。下面的定理给出了这个问题的完整解。定理4.3设gAand gBbe分别对应于dares和DBres的驱动函数。那么（4.6）中的问题有一个解决方案*当且仅当存在（H*t、 小时*t）∈ arg minH公司∈Ld（dP），~H∈L（dP×ν（dx））{gA（t，HXA+XBt-H、 HXA+XBt-~H）+gB（t，H，~H）}，这样（H*s） 0个≤s≤在Ld（dP×ds）和（~H）中*s） 0个≤s≤Tis单位为L（dP×ds×ν（dx））。在这种情况下，最佳风险转移由Y给出n*=RTH公司*sdWs+RTRRk \\{0}H*s（x）~N（ds，dx）- XB。对第4.3款的证明。通过翻译不变性（（D1）），我们从（4.7）πY′=E[Y′]- DBt（XB+Y′）+DBt（XB）。再次使用（4.6）中的平移不变性，最优风险分配由arg ess infY′给出∈L{DA（XA- Y′）+DB（XB+Y′）}=参数信息∈L{DA（XA+XB- Y）+DB（Y）}。第二个方程可以通过重新定义Y来看出：=Y′+XB。

我们进一步定义DT（XA+XB）：=ess infY∈L{DAt（XA+XB- Y）+DBt（Y）}。（4.8）定理4.3遵循以下命题。命题4.4让Ga和gBbe分别对应于Da和Db的驱动r函数。然后（i）（4.8）中定义的dt是一个动态偏差测量，驱动函数为b yg（t，h，~h）：=（gAgB）（t，h，~h）：=ess infz∈Rd，~z∈L（ν）{gA（t，h- z、 小时- ~z）+gB（t，z，~z）}。（ii）数量n（4.8）在Y中获得*当且仅当存在（H*t、 小时*t）∈ arg minH公司∈Ld（dP），~H∈L（dP×ν（dx））{gA（t，HXA+XBt-H、 HXA+XBt-~H）+gB（t，H，~H）}，这样（H*s） 0个≤s≤Tis在Ld（dP×ds）和（~H）中*s） 0个≤s≤Tis单位为L（dP×ds×ν（dx））。在这种情况下，（4.8）中的最佳Y为g i ven by Y*=RTH公司*sdWs+RTRRk \\{0}H*s（x）~N（ds，dx）。命题4.4的证明。让我们开始展示（i）。注意dt（XA+XB）=ess infY∈L{DAt（XA+XB- Y）+DBt（Y）}=ess infHY∈Ld（dP×ds），~HY∈L（dP×ds×ν（dx））EZTt[gA（s，HXA+XBs- HYs，~ HXA+XBs-HYs）+gB（s，HYs，HYs）]ds | Ft≥ EZTt（gAgB）（s，HXA+XBs，~HXA+XBs）ds | Ft. （4.9）因此，剩下的是\'≤’ 在（4.9）中。通过一个可测的选择定理，我们可以选择可预测的过程，例如GA（s，HXA+XBs- Hεs，~HXA+XBs-~Hεs）+gB（s，Hεs，~Hεs）≤ （gAgB）（s，HXA+XBs，~HXA+XBs）+ε。因此，EZTt[gA（s，HXA+XBs- Hεs，~HXA+XBs-~Hεs）+gB（s，Hεs，~Hεs）]ds | Ft≤ EZTt（gAgB）（s，HXA+XBs，~HXA+XBs）ds | Ft+ ε.选择ε任意小，我们得到\'≤’ 在（4.9）中，填写（i）的证明。显示（ii）注意，如果存在H*在Ld（dP×ds）和▄H中*在L（dP×ds×ν（dx））中，使f orLebegue a.s.所有tgA（s，HXA+XBs- H*s、 HXA+XBs-小时*s） +gB（t，H*s、 小时*s） =ess infH∈Ld（dP），~H∈L（dP×ν（dx））{gA（s，HXA+XBs- H、 HXA+XBs-H）+gB（t，H，H）}，（4.10），然后通过证明的第一部分ZTt[gA（s，HXA+XBs- HY公司*s、 HXA+XBs-HY*s） +gB（s，HY*s、 HY*s） ]ds |英尺= EZTt（gAgB）（s，HXA+XBs，~HXA+XBs）ds | Ft= Dt（XA+XB），（4.11），使相应的Y*解决最小化问题。

另一方面，假设没有平方可积（H*s、 小时*s） sattain in（4.10）dP×dt a.s.然后为anyY∈ 满足鞅表示定理的相应hyandhy（s，HXA+XBs- HYs，~ HXA+XBs-HYs）+gB（t，HYs，HYs）≥ （gAgB）（s，HXA+XBs，~HXA+XBs），具有非零可预测集上的严格不等式。但这意味着（4.11）（t=0）中的第一个等式变成了严格的不等式，因此Y不能解决风险分担问题。下一个推论表明，如果XA6=-将所有风险转移到一方永远不是最佳选择。例如，这种情况与Yaari（1987）的享乐理论等决策理论相反。然而，这与预期效用下的风险分担是一致的，例如，见F¨ollmer and Schied（2004）和Boonen（2017）。推论4.5假设XA6=-XB+常数，并且其中一个代理具有驱动函数g，该函数在dP×dt非ze ro集合上可在（0，0）中区分。那么，在最优风险转移后，该代理将始终保持一些剩余风险。换句话说，Y*+ XB6=代理A和XA的常数-Y*6=代理B证明的常数。根据定理4.3，我们得到了最佳表示对（H*t、 小时*t）∈ arg minH公司∈Ld（dP），~H∈L（dP×ν（dx））{gA（t，HXA+XB-H、 HXA+XB-~H）+gB（t，H，~H）}。因此，（H*t、 小时*t） Zalinescu（2002）中的Coro llary 2.4.7必须满足gA（t，HXA+XBt- H*t、 HXA+XBt-小时*t）∩ gB（t，H*t、 小时*t） 6=, （4.12）其中砷化镓G是gA（t，z，~z）和gB（t，z，~z）相对于（z，~z）的次梯度+（即广义导数）。注意，每个驱动函数在0中为0+z在f（x）的次梯度中，其中f是凸函数，如果f（y）≥ f（x）+z（y- x） 对于所有的y和其他严格的正，两个驱动因素都有其唯一的最小值为零。因此，GaAs和Gb的次梯度在非零点不包含零。

此外，两个次梯度在（0，0）处都包含零。由此得出（H*t、 小时*t） 无法识别零，如果gB（t，0，0）={0}在非零集上或等于（HXA+XB，~HXA+XB）如果非零集上的gA（t，0，0）={0}。原因是，假设XA+XB6=常数，因此（HXA+XB，~HXA+XB）6=（0，0）。下一个推论描述了两个驱动函数都是同一个参数的情况，该参数通常被解释为反映耐受风险的程度。该结果给出了最优风险交换的闭合公式Y*. Borch（1962）给出了类似的风险分担结构（针对预期效用而非动态偏差度量）。凸风险度量另见Barrieu和El Karoui（200420052009）。推论4.6假设对于某些γA，γB>0，我们有gA（t，h，～h）=γAg（t，h/γA，～h/γA）和gB（t，h，～h）=γBg（t，h/γB，～h/γB）表示所有（h，～h）。然后▄Y*=γBγA+γBXA-γAγA+γBXB。证据根据最后的证明（H*,小时*) 具有（4.12）的唯一特征，即g级t、 HXA+XBt- H*tγA，~HXA+XBt-小时*tγA∩ g级t、 H类*tγB，~H*tγB6= .显然，如果我们选择（H*,小时*) 为（HγBγA+γB（XA+XB），~HγBγA+γB（XA+XB））=γBγA+γBHXA+XB，γBγA+γBHXA+XB.这证明了推论。参考文献[1]Acciaio，B.（2007）。非单调货币泛函的最优风险分担。《金融与随机》11267-289。[2] Artzner博士、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath（1999年）。一致的风险度量。《数学金融》9203-228。[3] Artzner博士、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku（2004年）。相干多周期调整值和Bellmans原理。运筹学年鉴152，5-22。[4] Barrieu，P.和N.El Karoui（2004年）。《动态风险度量下的最优衍生品设计》，载于《金融数学，当代数学》（A.M.s.Proceedings）13-26。[5] Barrieu，P.和N.El Karoui（2005年）。

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