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换言之，对于t<ζ和最佳Ct，我们有：中兴通讯-ρsc1-γs1- γds+e-ρtv（t，At，Wt）=E[ZζE-ρsc1-γs1- γds | Ft]。（10） 方程（10）的RHS是一个鞅，有一个跳跃-e-t=ζ时的ρtv（t，At，Wt）。这个跳跃和它的补偿器之间的差异也是一个鞅，所以从方程（10）的RHS中减去它就得到了一个连续鞅（类似的参数见第2.4节）。因此，中兴通讯-ρsc1-γs1- γds+e-ρtv（t，At，Wt）-Ztλse-ρsv（s，As，Ws）ds在ζ处停止时是一个鞅。应用It^o引理现在表明，对于t<t，c1-γt1- γ+vt+1+ξκt- 在- t型va+σvaa+（rw- ct）大众- （ρ+λ（a））v=0（11）。对于次优的ct选择，类似的论证表明我们得到的是asupermartingale，因此方程（11）的LHS为≤ 因此，Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程为：supcc1-γ1 - γ+vt+1+ξκt- 在- t型va+σvaa+（rw- c） 大众汽车- （ρ+λ（a））v=0因此c-γ- vw=0，和往常一样，这变成了+1+ξκt- 在- t型va+σvaa+rwvw+γ1- γv1-γw- （ρ+λ（a））v=0。自然标度关系为v（t，a，kw）=k1-γv（t，a，w）。这意味着v（t，a，w）=f（t，a）w1-γ1 - γ（12）对于一些f，我们从中得到+1+ξκt- 在- t型fa+σfaa+r（1- γ） f级- （ρ+λ（a））f+γf1-γ=0，对于t<t，边界条件f（t，a）=fT，f（t，∞) = 换句话说，我们得到了（7）。

最佳消耗量为c=w·f（t，a）-γ.为了消除存在最优控制的假设，我们调用了一个标准的验证定理参数，该参数从方程（7）的解的存在性开始，并得出结论，方程（12）给出的v解决了原始优化问题，并且上述得到的c实际上是最优的。6.2对数效用的特例在对数效用的特例中，它是极限情况γ→ 1对于CRRA实用程序，本文正文（第3节）中使用的相同参数导致：vt+1+ξκt- 在- t型va+σvaa+rwvw- 1.- 日志vw- （ρ+λ（a））v=0。（13） 在这种情况下，自然标度关系为v（t，a，kw）=v（t，a，w）+（log k）E[Rζ-te公司-ρsds | Ft]，这意味着v（t，a，w）=f（t，a）log w+h（t，a）形式的解。替换为我们获得的（13）+1+ξκt- 在- t型fa+σfaa+1- （ρ+λ（a））f=0（14）ht+1+ξκt- 在- t型ha+σhaa- （ρ+λ（a））h+rf- 日志f- t<t时，1=0（15）。边界条件为f（T，a）=Ft和h（T，a）=hT。对于t≥ T、f和h是常数，因此fT=ρ+λ，hT=ρ+λT（rfT- 对数英尺- 1). 最佳消耗isc=w·f（t，a）。最后，在对数γ=1的情况下，f（t）的常微分方程≥ T为英尺+1- ρf=0，其解f（t）=e-ρ（T-t） （f（t）-ρ) +ρ. h（t）也有类似的颂歌，叫做HT- ρh+rf- 日志f- 1=0，可以求解该值以获得福利计算所需的效用最大化值。6.3近似解析解考虑降维后消费或支出率的主要HJB方程（7）。请注意，PDE内的差异效应发生在O（σ）处，其大小比漂移中的影响小，尤其是在（T-t） 很小。

因此，我们可以采用以下渐近展开式来近似偏微分方程的解：f~ f（0）（t，a）+σf（1）（t，a）+··在前导阶，我们得到了f（0）的以下一阶偏微分方程，通过代换得到：f（0）t+1+ξκt- 在- t型f（0）a+r（1- γ） f（0）- （ρ+λ（a））f（0）+γ（f（0））1-γ= 0.在t=t时具有相同的（与之前一样）边界条件。该方程明显比方程（7）更简单，可以使用所谓的特征法来求解，即通过将一级以下的生物年龄视为时间t的确定函数a（t），由dadt=1+ξκt给出- 在- t（16），a（t）=κt，因为两个年龄在时间t时彼此收敛。然后，我们可以使用以下普通微分方程（ODE）表示法（而不是原始PDE）求解（修改后的）方程F（t）=F（0）（t，a（t））。dFdt+r（1- γ） F级- （ρ+λ（a（t）））F+γF1-γ=0，终端条件F（T）=fT。当然，与我们在本文正文中报告的偏微分方程的（数值）解相比，这种分析近似的效果还有待观察。请注意，事实上，现在可以显式求解a（t）的方程式（16），其封闭形式为：a（t）=κt+（a（0）- κ)T- tTξ式中，a（0）是时间0时的生物年龄。通过引入G=Fγ，可以进一步简化F的方程，其中G的方程实际上是线性的，导致：dGdt+1+γ[r（1- γ) - （ρ+λ（a（t）））]G=0。原则上，现在这个方程可以显式求解。

请注意，当两个年龄都匹配anda（0）=κ时，我们得到了a（t）=κt，这是Gompertz的情况，F可以通过使用不完全伽马函数来表示，例如Milevsky和Huang（2010）中所报告的。另一种特殊情况是当ξ=1（σ=0）时，我们有一个线性关系：a（t）=κt+（a（0）- κ)T- tT= a（0）+kt，k=κ- a（0）T+1。在这种（简化的）情况下，潜在死亡率风险率由λ（a（t））=bexp给出a（t）- 兆字节=bexpa（0）+kt- 兆字节,它恢复了Gompertz形式λGx，从而得到了f（0）的闭式解。然后，我们可以通过进行高阶修正f（1）来提高精度，该修正与之前一样符合以下PDE：f（1）t+1+ξκt- 在- t型f（1）a+r（1- γ） f（1）- （ρ+λ（a））f（1）+γ（f（1））1-γ= -f（0）aa。而且，由于（在第一个近似值中）我们已经得到了f（0），因此右侧是已知的。左侧与f（0）完全相同，同样可以使用上述特征线方法求解。6.4未来生物年龄分布在本节中，我们得出（亚）密度g（t，a）da=P（At∈ da，ζ>t），表示生物年龄在任何给定“范围”da内的概率，以及（当然）个体在时间t（即按时间顺序的年龄κt）时仍然活着的概率。子密度g（t，a）可用于计算所有相关期望值和分位数，因为对于任何函数φ，E[φ（At）| t<ζ]=Rφ（a）g（t，a）daRg（t，a）da。特别是，我们可以计算生物年龄在时间t的条件平均值E[在| t<ζ]，条件二阶矩E[在| t<ζ]和条件方差（其中称为E[在| t<ζ]- E[A | t<ζ]）。

当然，条件方差不同于之前计算出的无条件表达式。回想一下，通过定义，老化在T（例如，110）时停止，也就是说，对于T≥ T条件平均值=κ，条件方差为零。因此，在这一点上，我们只关注并使用t<t。φ应光滑，支撑紧密。由It^o引理φ（At）=φ（κ）+Ztφ（As）1+ξκs- AsT公司- sds+Ztφ（As）dBs+Ztσφ（As）ds。因此，结合跳跃，φ（At）1{t<ζ}=φ（κ）+Ztφ（As）1+ξκs- AsT公司- s{s<ζ}ds+Ztφ（As）1{s<ζ}dBs+Ztσφ（As）1{s<ζ}ds- φ（Aζ）1{s≥ζ}.减去补偿跳跃得到一个连续鞅，然后取期望值，我们得到e[φ（At）1{t<ζ}]=φ（κ）+ZtE[φ（As）1+ξκs- AsT公司- s{s<ζ}]ds+ZtσE[φ（As）1{s<ζ}]ds-中兴通讯[φ（As）1{s<ζ}λs]ds。换句话说，Zφ（a）g（t，a）da=φ（κ）+ZtZφ（a）1+ξκs- 在- sg（s，a）da ds+ZtZσφ（a）g（s，a）da ds-ZtZφ（a）λ（a）g（s，a）da ds。拿t、 我们得到Zφ（a）gt（t，a）da=Zφ（a）1+ξκt- 在- t型g（t，a）da+Zσφ（a）g（t，a）da-Zφ（a）λ（a）g（t，a）da。使用分部积分，这将变成Zφ（a）gt（t，a）da=Zφ（a）h-一1+ξκt- 在- t型g（t，a）+σgaa（t，a）- λ（a）g（t，a）ida。由于φ是任意的，gt（t，a）=-一1+ξκt- 在- t型g（t，a）+σgaa（t，a）- λ（a）g（t，a），初始条件为δ函数。当a=±时，边界条件为g=0∞. 我们将方程（8）恢复为（亚）密度g（t，a）所满足的偏微分方程，这被称为正向方程。这是我们在第4节中求解的偏微分方程（使用数值方法），以获得任何时间t（或年龄κt）的支出率分布（和分位数）。一个特例给出了种群生存概率tppopκ=P（ζ>t）=Z∞-∞g（t，a）da。因此，人口危害率λpopt=-tppopκddttppopκ=-R∞-∞gt（t，a）daR∞-∞g（t，a）da。Q、 E.D。