退休支出和生物年龄

虽然这些值取决于模型，但主要的假设是，60岁（B和C年龄一致）的瞬时（人口）死亡率为0.005，110岁的瞬时（人口）死亡率正好为1，并且有一个广义的布朗桥将它们联系起来。表2：预期剩余寿命。死亡率漂移为ξ=1和σ=30%的布朗桥。假设终末期（110岁）死亡率λ=1。选择Gompertz参数b和m，以便在C-60岁时，如果B-age也=60，则λ=0.005预期剩余寿命e（t，a）按时间顺序的年龄κtB年龄60 65 70 75 80 85 90 9545 31.68 29.18 26.60 23.93 21.17 18 15.27 12.0950 29.73 27.46 25.12 22.68 20.14 17 17.48 14.67 11.6855 27.49 25.49 23.41 21.23 18.94 16.52 13.95 11.1960 24 23.24 21.44 19.55 17.55 15.41 13.11 10 6165 22.70 19.22 17.64 15.95 14.12 12.13 9.9270 18.97 17.90 16.74 15.4914.13 12.64 10.99 9.1175 15.67 14.90 14.07 13.15 12.13 10.98 9.68 8.1780 12.35 11.86 11.31 10.69 9.99 9.18 8.24 7.1085 9.22 8.94 8.62 8.25 7.83 7.32 6.70 5.9390 6.48 6.35 6.19 6.01 5.79 5.51 5.17 4.7095 4.31 4.26 4.20 4.12 4.03 3.90 3.74 3.51在我们的模型中，这也意味着事实上，可以在（短）时间内变得更年轻。如果我们从表中的年龄坐标来看，一个退休人员在65岁时的预期寿命为20.70岁。十（日历）年后，他们的年代学年龄为75岁，但他们的生物学年龄（可能）徘徊到60岁，这代表着健康状况的实质性改善、死亡率的降低和21.44岁的预期寿命的修正。在经典的精算（确定性）老化模型中，这是不可能的。随着时间的推移，预期寿命（总是）会下降。随着随机老化，情况不再如此。随着时间的推移，预期寿命可能（偶尔）增加。

当然，这一事件发生的概率，以及你的生物年龄向下走的有利路径，在很大程度上取决于潜在的参数。此外，计算生存概率需要一些额外的技术——PDE新闻集——这在本文末尾的技术附录中有详细介绍。3随时间和年龄的消费随着随机死亡率模型的出现，我们准备讨论生命周期经济学。3.1最优支出率：确定性AgingWe从（非常）简短地回顾确定性Aging下的规范生命周期模型开始，沿袭了Ramsey（1928）、Yaari（19641965）、Hakanson（1969）、Fischer（1973）、Richard（1975）、Levari&Mirman（1977）、Davies（1981）、Kingston（2000）、Butler（2001）、Lachance（2012）和许多其他人提出的思路。另请参见Bommier（2006年）以及Bommier、Harenberg和Le Grand（2016年）的工作，其中这些模型受到了批评，理由是它们暗示了随机生命期的风险中性。在所有这些模型中，基本目标是最大化剩余寿命内消费的贴现效用，其形式上可以表示为：v（t，w）=maxcsEZ∞te公司-ρ（s-t） u（cs）1{s≤ζ} ds公司,式中，ζ是（随机）剩余寿命，w是家庭财富。我们设置Pr[ζ>s]=p（s，λ）。在不丧失任何普遍性的情况下，我们可以假设t=0，因为对于确定性死亡率，问题本质上是时间一致的，因为（与第3.2节之后的情况不同）随着时间的推移，不会发现关于危险率的新信息。此外，当死亡率（即。

老化）λtis确定性，最佳消耗量c*砂1{s≤ζ} 是独立的，因此根据Fubini定理，目标函数可以写成：v（t，w）=maxcsZ∞te公司-ρ（s-t） u（cs）p（s，λ）ds。对于以上引用的大多数文献以及本文的所有内容，u（c）=c（1-γ)/(1-γ） ，这是CRRA实用程序（尽管该框架可以推广到HARA）。我们的可投资范围将不包含死亡积分（或精算票据），除了（外生）养老金收入流πs（可能是恒定的，也可能不是恒定的）中可用的以外事实上，我们将限制以r利率进行无风险投资。让Ws表示时间s的财富。因此，预算约束非常简单。dWsds=rWs+πs- 反恐精英。事实上，人们并不需要动态编程技术来解决已经制定好的问题。可以使用变分法，尤其是Euler-Lagrange（EL）定理来表示最优Ws（财富轨迹），它在Ws6=0的区域满足二阶非齐次微分方程。虽然除非λ恰好为常数（即无老化），否则无法明确求解财富的最优轨迹，但在某些连续死亡率模型下，可以准解析地表示相关的消费函数。事实上，当死亡率风险率λsis Gompertz（即λs=λGx+s，其中x是初始年龄）作为精算文献中的标准时，可以获得最优c*沙子Ws。有关确定性死亡模型的更多信息，请参见Leung（2007）、Lachance（2012）、Milevsky和Huang（2010）的原著。在这里，我们只是提供一些数值来设定经济直觉。

特别是，使用死亡率分析定律有助于阐明（我们称之为）长期风险厌恶γ对最优消费和支出策略的影响。通常，这些生命周期模型中的参数γ代表了跨时间替代（EIS）的弹性，或者可能是相对风险规避的一般系数。在我们的模型和公式中，它实际上反映了人们对长寿风险的态度。具体而言，尽管存活到任何特定年龄（比如100岁）的概率是固定的，但个人对这个数字的反应不同，这取决于他们对长寿风险的态度。一些人可能担心成为百岁老人的可能性只有5%，因此在65岁至100岁期间，他们将减少消费，以满足老年人（不太可能）的需要。其他人则更能承受风险，如果他们成为百岁老人，他们愿意合理地减少消费。这与主观贴现率ρ不同，主观贴现率ρ只反映了当前已知消费对未来已知消费的偏好。相反，这是一种真正的长寿风险厌恶，不一定与对其他外部风险的态度或厌恶相当或相等。在下文中，我们将强调并准确展示γ如何影响消费和财富消耗率。特别是当πs=0时，对于所有s（无养老金），最优消费函数可以表示为：c*s=c*eksp（s，λ）1/γ，其中新常数k：=（r- ρ)/γ.

财富的最佳轨迹是：Wt=W- c*中兴通讯（k-r） sp（s，λ）1/γdsert。而且，由于（最终）对于没有任何动机的生命周期模型中的一些（尽管非常大）τ，Wτ=0，因此初始消费和支出率为：c*=WRτe（k-r） sp（s，λ）1／γds，在一定技术条件下，研究ρ、r、γ与死亡率参数的关系。为了获得基本的（确定性死亡率）直觉，并强调长期风险厌恶γ的作用，我们现在提供几个示例，以帮助与我们的主要（后期）结果进行对比。假设一名65岁的退休人员，根据Gompertz死亡率定律，模式m=89.3（年），离散度：b=9.5（年）该个体目前的死亡率危险率为λ=λG=9.5e（65-89.3）/10=0.00926，按结构。在确定性增长下，死亡率将以每年1/（9.5）=10.5%的速度平稳增长，达到λ=λG=9.5e（110-89.3）/10=0.83419，在110岁时，如果退休人员仍然活着。我们的65岁老人开始退休时，可消费财富的W=100美元，并且假设他们有偏好图4：γ=1（低）和γ=8（高）的财富和消费的样本路径，即长寿风险厌恶，它衡量了老年人的谨慎准备。！$\\$10.00!!!$20.00!!!$30.00!!!$40.00!!!$50.00!!!$60.00!!!$70.00!!!$80.00!!!$90.00!!!$100.00!!65! 68! 70! 73! 75! 78! 80! 83! 85! 88! 90! 93! 95! 98! 100!面板A：&财富g=1 g=8$4.00!!!$5.00!!!$6.00!!!$7.00!!!$8.00!!!$9.00!!!$10.00!!!$11.00!!!$12.00!!!$13.00!!!$14.00!!65! 68! 70! 73! 75! 78! 80! 83! 85! 88! 90! 93! 95! 98! 100!CRRA公用事业公司用γ=1（非常低）或γ=8（非常高）描述的面板和B：&消耗量/on&g=1 g=8，以隔离这种风险规避的影响。在实际（固定）利率为2.5%的经济体中，主观贴现率ρ=2.5%，因此两者（大部分）相互抵消。

图4显示了这两种极端情况下，财富（面板A）和消费（面板B）随时间（退休年）的路径。出于此图（仅）的目的，我们在模型中增加了πs=5美元的养老金（所有s），并对其进行了数值求解，因为它放大和突出了长寿风险规避γ对定性行为的影响。如上所述，与γ值较高的优化器相比，寿命风险厌恶程度相对较低的个体会更快地耗尽其财富。他们在相对年轻的时候，最终（也是理性地）会耗尽自己的财富，然后继续仅靠自己的收入维持生计。该支取或支出计划是在零时间（即退休年龄）制定的，完全知道如果他们活到财富耗尽时间τ（WDT），他们的生活水平将下降到养老金水平。他们以很小的概率理性地应对一个事件。3.2最优支出率：对于（经典的）确定性死亡率和风险率模型来说，这是一个随机的过程。现在，我们来看看托卡斯汀死亡率，这让我们能够区分生物年龄和按时间顺序排列的年龄。假设所有的财富都是以r表示的无风险利率投资的，因此从投资组合选择的考虑出发，并以通常可控的消费率ct进行投资。再次假设效用为CRRA（γ），没有遗赠效用，且γ6=1，主观贴现率ρ。再一次，我们忽略了养老金收入（这需要我们计算财富消耗时间），并假设所有消费都来自于投资组合提款。设v（t，a，w）为消费效用最大化的价值函数，包括时间t和生物年龄a。

即v（t，a，w）=supcsEhZ∞te公司-ρ（s-t） c1类-γs1- γ{s<ζ}ds | At=a，Wt=wi，（6）具有我们在上一节中引入的相同简单预算约束。dWt=（rWt- ct）dt由于死亡率的随机性，现在的推导更加复杂，我们不能使用变异演算参数。我们必须求助于鞅方法，让感兴趣的读者参考附录中的推导和证明。现在，我们注意到v（t，a，w）=f（t，a）w1-γ/(1 - γ） 最佳消耗量为c=wf（t，a）-γ. 这显然是经济学家所熟悉的，因为在基本生命周期框架中，边际效用u（c）=vw（t，a，w）。现在，我们继续陈述最优消费函数的偏微分方程（PDE），可以用以下方式表示。英尺+1+ξκt- 在- t型fa+σfaa+r（1- γ） f级- （ρ+λ（a））f+γf1-γ=0（7），对于t<t，边界条件f（t，a）=fT，f（t，∞) = 0。对于a处的边界条件=-∞ 我们有一个更简单的问题，其中f不依赖于a，λ=0。换句话说，（7）变成了一个ODEft+r（1- γ） f级- ρf+γf1-γ= 0.注意，对于t≥ T，f不依赖于a。因此，动力学是时不变的，这意味着f是一个常数fT。它由以下等式确定：r（1- γ） 英尺- （ρ+λT）fT+γf1-γT=0，通过设置方程式（7）中的ft=fa=faa=0获得。由此我们可以得到以下显式解ft=ρ+λT- r（1- γ)γ-γ.现在（7）可以数值求解。这将是第4节所述结果的一个组成部分。以上适用于λ6=1。

在对数情况λ=1时，有相关的方程式给出v，我们参考附录（14）和（15）。最后，当0<γ<1时，需要一个稳定条件，即利率r不能远大于主观贴现率ρ，这实际上是在类似生命周期模型中施加的标准限制。特别注意，如果r ρ、 理性消费者最好永远推迟消费。对于随后的大多数数值示例（为了消除死亡率的影响），我们将假设ρ=r，因此这些稳定性问题将不受关注。3.3比较静态分析（7）包含我们在任何给定的【C、B】年龄组建立最佳支出（或消费）率所需的所有信息。因此，在我们继续进行数值示例和模型的经验校准之前，在本小节中，我们讨论（我们所知道的）死亡率参数λ、λT、扩散参数ξ、σ、偏好参数ρ、γ和利率r对最优消费率的影响。这七个参数如何影响最佳行为？就主观折现率ρ和相对风险厌恶（或替代的跨时间弹性）γ而言，我们的随机死亡率模型与标准结果一致。ρ的较高值（也称为不耐烦）将增加当前消耗量，而以未来消耗量为代价，这与确定性Yaari（1965）模型及其许多扩展没有区别。关于γ，更高的值将导致更谨慎的行为，或更大的长寿风险厌恶，因此应降低当前的消费率。数字结果支持这一点。当γ>1时，利率r的增加将增加初始（当前）消费率。γ<1时则相反。

经济学文献中的所有标准。就生物学而言，提高死亡率曲线会降低存活到任何特定年龄的可能性，这反过来又会提高国家消费者的最佳消费率。就我们的模型参数而言，增加初始或最终死亡率λ或λ中的一个或两个都会跟踪死亡率曲线，除了在其末端，soit仍应增加支出，因为数值结果确实支持这一点。同样，确定性死亡率变化的影响在standardlifecycle文献中是众所周知的，Levari和Mirman（1977）最初对其进行了研究和强调。关于死亡率的波动性σ和平均回复速度ξ的影响，这两个参数驱动了生物年龄方程（3）的差异，情况更为复杂。高σ和低ξ应具有相似的效应，因为它们会导致更多的生物年龄漂移。我们在数值实验中看到，对于C-age的固定值，当B-age较低时，高σ将使最佳消耗量增加一小部分，但当B-age较高时，将降低消耗量（幅度稍大）。当B-age等于C-age时，对σ的敏感性非常小，但交叉似乎与年龄匹配并不完全一致。Huang、Milevsky和Salisbury（2012）指出，定性行为可能更加微妙。

该论文表明，如果我们在保持条件生存概率不变的情况下提高σ，那么当γ>1时，消费率会上升，而当γ<1时，消费率会下降（风险厌恶程度较低的个人可能会选择继续投资，如果他们的B年龄快速增长，则依赖于他们以后增加消费的能力）。对σ和ξ的定性依赖性的深入分析需要进一步研究。事实似乎确实如此，消费对B年龄变化的敏感性（保持σ固定）比其对B年龄波动率σ的敏感性（保持B年龄固定）更为显著。3.4未来支出率的分散性要求，除了本文的规范性目标外，我们还希望表明，即使在没有遗赠动机、没有投资组合选择决策和相同风险偏好参数ρ和γ的相对简单的生命周期模型中，对于今天处于同一年龄段的同质群体，人们可能仍会观察到退休支出率的分散。这种分散仅仅是因为退休人员的生物年龄（这对于消费决策是必要的，但并不足够）本身会随着时间的推移而变化或漂移。回想一下，到t=t时，游荡将停止，支出率（假设我们的退休人员还活着）将收敛到已知的f（t，κt=AT），因为衰老过程停止了。我们在本节中的计划是描述计算随时间变化的这种分散程度的方法（然后提供一些数值示例）。为了从实际角度考虑这一点，我们以k=60的年代学和生物学年龄以及λ=0.005的相应死亡率开始我们的规范退休人员。