退休支出和生物年龄

我们将讨论为什么布朗桥是（随机）死亡率的合适模型，以及什么是布朗桥的基本问题？1.3与精算文献的联系我们的论文位于三个不同领域或研究领域的交叉点；（i.）推动本文的经济学文献和数据完全属于生命周期领域（ii.）生物老年学和老龄化研究，以及（iii.）精算学和人口学。例如，他们发现，与在同一个ZF组织中担任高管的人相比，曾担任行政文员的退休人员在90岁时的死亡率高出50%。无论是经济学、精算学还是老年学，关于死亡和老龄化的一个非常普遍的说法是，一个人在x岁时的危险率（用λGx表示）遵守所谓的Gompertz死亡定律，即λGx=bexpx个-兆字节. 该定律的表达方式，x是当前年龄，参数m是以年为单位的寿命模态值（例如80），b是以年为单位的离散参数（例如10）。简而言之，死亡率以每年约9%至10%的速度增长，这是可以预测和确定的。金融和经济学文献中的大多数生命周期预测者明确或隐含地在个人层面上假设了这一重要性定律，可能是根据离散的人口死亡率表进行校准的。例如，Leung（2007）扩展并重新定义了最初的Yaari（1965）模型，在他的数字示例中使用了这一精确的死亡率定律。Gompertz（或称为Gompertz-Makeham的变体）定律是死亡率的典型确定性模型。

它被广泛教授并用于保险和年金合同的定价，尽管在对反选择和各种离散化与平滑技术进行了一些调整之后。Lee&Carter（1992）的工作首次将（确定性）Gompertz定律推广到随机环境。从这一点出发，人口统计学和精算学文献提出了许多人口死亡率演变模型，其中假设风险率是一个连续时间的扩散过程。在这方面，读者可以阅读米列夫斯基和普罗米斯洛（2001）、达尔（2004）、比弗斯（2005）、伦肖和哈贝曼（2006）、凯恩斯、布莱克和多德（2006）、施拉格（2006）、卢西亚诺和维格纳（2008）、普拉特（2009）、凯恩斯等（2011）、黄、米列夫斯基和索尔兹伯里（2012）、布莱克本和谢里斯（2013）、德龙和陈（2016）、刘和林（2012）的精算论文。参见alsoPitacco、Denuit、Haberman&Olivieri（2008）以及Norberg（2010）的批评。为了明确我们的定位，本文并不是为了更好地预测或预测未来的人口死亡率。相反，我们的假设是，今天的65岁老人不知道（肯定地）他或她的30年死亡率会是多少。他们只有一个共同的期望。我们的问题是不确定性（以及不确定性减弱后的调整能力）如何影响最佳行为。我们的语言（生物学vs.年代学）是从生物人口统计学的文献中借来的。我们请感兴趣的读者参考Cawthon et al.（2003）、Dong、Milholland&Vijg（2016）、Heidenger et al.（2012）、Mather et al.（2010），尤其是Olshansky、Carnes&Cassel（1990），对未来死亡率的不确定性及其与寿命限制的关系进行一般性讨论。本文合并了（i.）生命周期模型和（ii.）个体水平上的随机死亡率。

除了试图解释当前和观察到的行为外，我们还为未来建立了厌食模型，届时生物年龄的测量可能会更加准确。一旦每个人都知道自己的B年龄，消费将如何反应？1.4论文概述本文的其余部分组织如下：第2节描述并解释了瞬时死亡率的随机过程，即所谓的布朗-布里奇模型，该模型随后导致生物年龄和年代的不同演化。第3节介绍了本文的理论核心，即推导出最佳消费率和戒断率随生物年龄和年代学年龄的变化关系。在这一节中，我们仔细解释了确定性老化模型与我们的随机老化模型之间的差异，确定性老化模型是生命周期文献的一部分，已经有几十年了。然后在第4节中，我们提供了一系列数值结果以及我们的框架中的可测试含义。最后，第5节对本文进行了总结。技术证明和数学推导被归入附录。2 AGING的随机模型2.1如何思考死亡就建模而言，我们假设可以准确测量（例如，使用端粒长度、收缩压、体重指数等组合）个人当前死亡率，并且可以高于或低于该年龄段的（平均）人口死亡率。

这样，我们就可以利用观察到的死亡率来反演（人口）Gompertz定律，以获得相应的生物年龄。不同的是，我们的第一个假设是，已有两个世纪历史的贡佩兹死亡定律适用于（我们称之为）生物时间，而不是标准日历时间。其次，我们假设一个方便的函数形式，在某个固定年龄（例如110岁）下，我们的标准退休人员的死亡率将达到λT=1，概率为1，并且从该点开始的预期寿命正好为一年。你停止衰老。第三，也是最后一点，我们假设扩散过程后的瞬时死亡率随时间随机漂移，但在时间T时恢复到上述λT=1，并在该终点被吸收。图2展示了两个年龄段的演变情况，假设两个年龄段在0岁时相同（此处为60岁），对应的置信区间为90%。有许多参数假设（ξ，σ）已用于生成图，所有这些都将在后面解释。2.2死亡率过程At表示生物年龄和κt时间年龄，其中κt=t+κ，对于某些效应组κ，因此dκt=dt。此外，AT=κT，对于T的固定值，AT=AT，对于T≥ T图2：生物年龄演变的90%置信区间（带）示例，假设B年龄和C年龄分别为60和110。取λ=0.005，λ=1.0，ξ=1，波动率σ=0.6060#65#70#75#80#85#90#95#100#105#110#60#65#75#80#85#90##95#100#105#110#B“Age&C*Age#我们通常会假设A=κ（并且会注意到这种假设被忽略的情况）。我们假设一个基于生物年龄的个体Gompertz死亡率定律，所以危险率为λt=beAt-mb，使用公共（m，b）参数。

或者，对于我们喜欢并在本文中使用的公式，我们可以用相应的（固定的）风险率λ和λTat乘以0和T（而不是精算领域中常见的m和b）来表示，即λT=拍-mb=λeAt-Ab=λeAT-Ab·At-AAT公司-A=λλTλ在-AAT公司-A、 两组参数（λ，λT）和（m，b）可以互换，其中b=κT- κlog（λT/λ），m=κ- b log（bλ）（1）为了保持简单并避免混乱，死亡率危险率将通过函数λ（a）以生物年龄变量a表示，函数λ（a）表示为：λ（a）=λλTλ一-κκT-κ.为了明确校准，可以假设已知端点（λ，λT），然后求解隐含的Gompertz参数（m，b）。或者，反之亦然，可以从特定的参数集开始，然后计算相关的端点。例如，如果我们假设死亡率在x=60岁时固定在λ=0.005，在x=110岁时固定在λ=1，那么根据方程（1），隐含的Gompertzvalue为m=88.8174，b=9.4369。我们假设生物年龄可以写成At=κt+yt for t≤ T，其中DYT=-ξYtT- tdt+σdBt。（2） 由于dκt=dt，这意味着，对于t<t，dAt=1+ξκt- 收件人：- t型dt+σdBt。（3） 换句话说，ξ是一种均值回归参数，σa是波动率参数。t=t处漂移的奇异性将在=κt处产生作用力，如下所示。如果ξ=σ=1，那么实际上这是一个众所周知的随机过程，称为布朗桥，它是在研究布朗运动的条件分布时产生的。它有一个属性，即在t=0和t=t处取值0，现在我们将在其他参数值下显示该值。

这就是为什么我们将提及Ytor或Atas广义布朗桥过程。通过方程（2），我们得到了d[（T- t）-ξYt]=σ（T- t）-ξdBt，so：（T- t）-ξYt- （T- s）-ξYs=σZts（T- q）-ξdBq。换言之，考虑到时间t之前的生物年龄历史，t为条件平均值（t）的正态分布-tT-s） ξy与条件方差σ（T-t） 2ξRts（t-q）-2ξdq。如果ξ6=此=σT-t2ξ-1[1 - （T-tT-s） 2ξ-1]. 尤其是Yt的均值和方差→ 0作为t↑ T，so Yt→ 概率也为0。可以看出Yt→ 0 a.s.重要的是要强调，虽然根据方程式（2）的构造，Ytis的分布围绕零对称，但我们不太可能观察到一个按时间顺序排列的κt=75岁，生物年龄为At=95，At=55，且几率相等。事实上，相对于Yt<0的零下路径，Yt>0的零上路径更危险，更有可能在人类生命周期中杀死退休人员。换言之，尽管这两个事件发生的几率很小（从技术上来说，测量值为零），但人们更可能会观察到坐标（B-age=55，C-age=75）与（B-age=95，C-age=75）。我们稍后将回到这些可能性。2.3随机模型的直觉鉴于我们的死亡率模型（退休人员的生死）与生命周期经济学文献中使用的标准模型有很大不同，在本小节中，我们提供了一些额外的直觉和见解，以了解随机老化和确定性老化之间的差异。表1按时间顺序给出了退休人员85岁时生物年龄90%置信区间的一些数值。

它着重于两个关键表1的影响：在逆转速度ξ和死亡率波动率σ的各种组合下，生物（B）年龄在按时间顺序的（C）年龄85（timet=25）时的90%置信区间。下端点，上终点和范围σ=0.30σ=0.60σ=0.90ξ=0.50[81.33，88.17]6.84年[79.67，89.42]9.75年[77.67，90.67]13.00年ξ=0.75[81.67，87.92]6.25年[80.08，89.08]9.00年[78.25，90.33]12.08年ξ=1.00[81.92，87.67]5.75年[80.50，88.75]8.25年[78.75，90.00]11.25年ξ=2.00[82.58，87.08]4.50年[81.50，87.92]6.42年[80.25，88.92]8.67年λ=0.005当B-age=60=C-age时，&当B-age=110=C-age时λ=1.00。模型中的参数ξ和σ。请注意，随着死亡率σ的波动性从0.30增加到0.90，可能的生物年龄范围增加。例如，当ξ=1时，这是我们大多数数字示例遵循的规范基础，在85岁的年代学年龄（也就是时间t=25）时，当σ=0.30时，生物年龄可以变化5.75年，当σ=0.90时，生物年龄可以变化11.25年。这种影响是很自然的，可以预期的是，波动性的定义是分散的同义词。当平均回复速度或力ξ从1.0降低到0.50时，可以观察到相同的结果。离散度从5.75年增加到6.84年。直觉上，潜在的差异化过程在已完成的点之间徘徊得更多（即，不必“快速返回”）。这些代表了90%的置信区间，准确地说，这意味着在85岁的固定时间段内，观察到低于下限的B年龄的概率为5%，观察到高于上限的B年龄的概率为5%。

显然，使用95%或99%的值会增加合理的B年龄范围。在一个更微妙的层面上，值得研究一下相对于85岁年龄的上限和下限。请注意，显示的所有12个范围都是左偏的。这不是巧合，也不是数值近似的结果。例如，在ξ=1.0和σ=0.30的典型情况下，下限是生物年龄81.92，比时间年龄85低3.08年。上限为生物学87.67，仅比85岁高2.67岁。事实上，这两个数字加起来就是5.75年。因此，即使在时间零点A=κ，随着时间的推移，较低的B-age（在幸存者中）比较高的B-age更有可能被观察到。这种不对称是由这样一个事实驱动的，即如果生物年龄随时间的推移而超过实际年龄，那么死亡率越高，越有可能导致死亡。他/她不太可能活到85岁左右。相比之下，如果生物年龄漂移并保持在按时间顺序排列的年龄以下，则隐含死亡率较低（根据定义），并且一个人更有可能活到85岁。这将生成表中观察到的偏斜。图3：假设你在35岁、60岁或85岁时还活着，你的生物年龄PDF.10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 11000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1生物年龄概率密度函数C-年龄=35平均值=34.98标准=4.59摄氏度-年龄=60平均值=59.79std=5.77c-age=85平均值=82.89std=5.33参数为ξ=1，σ=0.30，当NB age=10=C-age时，λ=0.0005，当B-age=110=C-age时，λ=0.5。换句话说，尽管（广义）布朗桥Ytis的基本随机过程在零附近完全对称，无条件生物年龄过程在κt附近对称，但一旦我们转化为死亡单位，然后生存条件，对称性就会被破坏。

只有存活到t的个体才对此处显示的分布有贡献。例如，在ξ=0.5且σ=90%的表格右上角，下限为77.67年（85岁以下7.33年），上限为90.67年（85岁以上仅5.67年）很笼统地说，这是一个55%的机会比你的年龄年轻，45%的机会变老，即使你刚开始就是你的年龄。为了在我们讨论矩和经济学之前提供一个最终的视角，图3显示了35、60和85岁的生物年龄的全部概率分布。在这张特殊的图表中，我们确定了10岁和110岁的死亡率，这意味着他们徘徊了100年（按时间顺序），然后汇聚在死亡率表的末尾。主要的图形细节与表1相同，尽管图3只使用了ξ和σ的一种选择。可以想象，一个（活的）按年龄顺序排列的85岁老人的（生物学）死亡率接近70岁老人的死亡率，尽管观察到这15年年龄差距的可能性很小。左边的尾巴很细。但这些（小的）几率相对高于观察一个生理上100岁的85岁老人的几率。在特定密度曲线的右侧，尾值是essentiallyzero。不同的说法是，高风险率肯定会导致这位85岁的老人死亡。这就是为什么B年龄的三个显示平均值总是低于C年龄的原因。我们在这里停下来（再次）强调，这是我们的仓促死亡模型的一个基本方面；一座扭曲的桥。2.4预期剩余寿命et e（t，a）表示在t时的生物年龄为a的个体的预期寿命。

如果ζ表示个体的寿命，那么在ζ>t的情况下，我们有t+e（t，At）=e[ζ| Ft]。式中，Ft表示时间t的历史信息集。由于迭代期望定律，时间t是一个鞅。它还有一个跳跃-t=ζ时的e。我们可以从跳跃过程开始创建一个新的鞅Nt-e（τ，Aτ）1{t<ζ}，然后减去跳跃强度的积分乘以跳跃分布。这个积分被称为跳跃的补偿器，用来帮助（允许）我们获得时刻和期望的表达式。因此，E[ζ| Ft]- NTI是连续鞅。因此，t=t+e（t，At）-Ztλse（s，As）ds（4）在ζ处停止时是连续鞅，因此漂移=0。我们可以计算dHtviaIt^o引理，现在将漂移设置为0，得到1+et（t，a）+1+ξκt- 在- t型ea（t，a）+σeaa（t，a）- λ（a）e（t，a）=0（5），对于t<t，边界条件e（t，·）=λ和e（t，∞) = 0。对于a处的边界条件=-∞, 从上述平均方差计算中观察，如果s<t<t，则 0=> 在 因此，当→ -∞, 我们将有λ→ 换言之，我们生存到时间T，然后以指数形式死亡：e（T，-∞) = T- t+λt。表2提供了通过数值求解（5）得出的各种生物学和按时间顺序的年龄假设下的预期寿命估计值。加粗的对角线值范围为24.95岁至3.51岁，与（加拿大）60至95岁人口死亡率表中的（男女通用）预期寿命值相当。例如，一名65岁的退休人员被判定或估计年轻20岁，生物年龄为45岁，预计剩余寿命为29.2年。相比之下，同一个65岁、生理年龄为85岁的人（即退休人员比生理年龄大20岁）的预期寿命只有8.9岁。