隐含寿命曲线：市场认为你的寿命有多长

他们还需要关于最佳年龄相关支出和提取率的指导，这是文献中另一个备受关注的话题。所有这些退休决定都与长期预期密切相关。预期寿命更长的客户——在其他条件相同的情况下——应该向Ezra（2007）咨询，以了解关于这一问题和相关养老金问题的讨论。参见：Scott和Watson（2013）15年后的隐含寿命曲线，建立更大的“储蓄”，减少退休支出，并为长期风险投保（mor e）。这些都是经济生命周期理论的规范含义，也是常识。更重要的是，人们经常听到的建议（可能是轶事）是，在低利率时期，年金化或购买不可逆转的终身年金应该推迟或避免。其他人则认为，在等待年金化时，存在一种期权价值。虽然我们在这里的目的不是深入研究农业电子依赖型年金政策的动态优化，但在本文的结尾，我们要注意一点。不可否认，那些推迟年金化的人，例如从68岁退休到73岁退休的人，正与延长寿命的潮流背道而驰。因此，是的，考虑到当前的利率和经济环境，财务顾问可能会合理地认为名义利率将在未来5年内提高，从而增加年金支付。然而，与此同时，我们只能推测预计的利率收益是否会超过失去的抵押贷款和我们所测量的更微妙的寿命漂移。

总之，年金购买拖延可能对健康有益，但对财富有害。例如，参见Horan（2009年）的文章集，特别是B odie、Treussard和Willen的第4章，或Kotliko ff 16 MOSHE A.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER CHIGODAEVReferences的第5章【1】Cairns、A.J.G.、D.Blake和K.Dowd（2006）《带参数不确定性的随机性双因素模型：风险和保险理论与校准杂志》， 73(4): 687-718.[2] Cox，J.、J.E.Ingersoll和S.Ross（1985），《利率期限结构理论》，计量经济学，53（2）：385-407。[3] Dickson，D.C.M.、M.R.Hardy和H.R.Waters（2009），《人寿意外保险精算数学》，英国剑桥大学出版社。[4] Ezra，D.（2007年2月），《未来的固定收益和固定缴款计划》，财务分析杂志，第63（1）卷，第26-30页。[5] Finkelstein，A.和J.Potebra（2004），《保险市场中的逆向选择：来自英国年金市场的投保人证据》，《政治经济学杂志》，112（1）：183-208。[6] GSL-GNU科学图书馆，http://www.gnu.org/software/gsl/.[7] Horan，S.M.（2009），《私人财富：实践中的财富管理》编辑，约翰·威利父子美国公司和CFA研究所出版。[8] 人类死亡率数据库，美国生命表（周期1×1）。从www.detairation下载。组织和上次修改日期：2012年11月16日。加利福尼亚大学伯克利分校（美国）和马克斯·普朗克人口研究所（德国）。[9] Kahn，R.（2005），固定收益风险建模。摘自：Fabo zzi，Frank and Mann，Steven（编辑），《固定收益证券手册》，第7版，麦格劳·希尔，美国。[10] Lee，R.D.和L.R.Carter（1992），《美国死亡率建模与预测》，《美国统计协会杂志》，第87卷（419），第659-671页[11]Makeham，W.M。

（1890），关于Gompertz定律的进一步发展，《实时研究所杂志》，第29卷，第316-332页【12】Milevsky，M.A.（2006），《退休收入计算：养老金年金和人寿保险的财务模型》，剑桥大学出版社，美国。[13] Milevsky，M.A.（2012），《人寿年金：退休收入的最佳产品》，由CFA研究所研究基金会发布，可在线访问www.cfapubs。org【14】Milevsky，M.A.、G.Jiang和D.Promislow（2001），《死亡未定权益的期限结构：一些加拿大证据》，工作文件，在第五届保险大会上发表：数学和经济学，2001年，宾夕法尼亚州立大学。[15] Mor–e，J.J.（1978），《Levenberg-Marquardt算法：实现与理论》，《数学课堂讲稿》，第630卷：105-116，美国斯普林格G.A.Watson编辑【16】Mullin，C.和T.Philipson（1997），《老年寿命的未来：致命索赔的竞争性定价》，NBER工作论文#6042，马萨诸塞州剑桥。[17] Oeppen，J.和J.W.Vaupel（2002），《打破预期寿命限制》，《科学》，第296卷，第1029-1031页，隐含寿命曲线17【18】Pitaco，E.、M.Denuit、S.Hab erman和A.Olivieri（2009），《养老金和年金业务的寿命动态建模》，牛津大学出版社，英国。[19] Promislow，S.D.（2011），《精算数学基础》，第二版，约翰·威利父子出版社，美国。[20] Scott，J.S.和J.G.Watson（2013），《退休最低杠杆率规则》，《金融分析师杂志》，第69卷（5），第45-60页。[21]Shreve，S.（2010），《金融随机演算II》，斯普林格金融，美国。18莫斯·A·米列夫斯基、托马斯·S·索尔兹伯里和亚历山大·奇戈代夫7。技术附录7.1。模型和假设。

本文方法的基础是由（4）λ（x）=λ+be（x）给出的GompertzMakeham死亡率定律-m） /b.其中λ、m和b是本文前面解释的常数。是一个静态表达式，它依赖于ge，但不依赖于日历时间。解释寿命（参数）随时间变化的多种方法之一是使模式和离散参数m a和b（用于为年金定价）取决于购买年金的周z。因此，考虑到m和b随时间缓慢变化，为了捕捉寿命的变化，以下一阶微扰展开被认为是有效的：m（z）=m+m（z- z） ，（5）b（z）=b+b（z- z） 。（6） 在上面的例子中，需要额外的参数来对longevity进行增量更改，z是购买日期变量，zi是一些参考日期。Gompertz-Makeham（GM）模型中的第三个参数λ表示“意外死亡”，并且在原则上也可能随时间而变化。然而，鉴于数据的局限性（不到10年），只关注关键精算参数的变化似乎是合理的。为方便起见，我们将so z=0标准化（即，我们从数据系列开始测量），并选择单位，以便斜率和每周的变化率，以反映每周的数据集。将“死亡率无改善”常数替换为线性函数，从年龄x到至少年龄x+t的条件生存概率现在表示为：（7）p（x，t | z）=e-Rtλ（s+x | z）dS，其中λ（s+x | z）是与购买日期相关的瞬时死亡率。

例如，p（65，20，17）是在我们的dat a系列的第17周中，对于65岁购买年金的n个人，生存到85岁的条件概率。隐含寿命曲线19方程（7）相当普遍，应适用于Gompertz-Makeham死亡率定律或其他形式的死亡率λ（s+x | z）中常数的任何修正。在当前（GM）设置中，指数中的积分减少为条件生存概率（8）p（x，t | z）=expn的以下表达式-λt+ex-m（z）b（z）1.- etb（z）o、 相应地，x岁个体的剩余预期寿命E[Tx | z]也是购买日期z的函数。它可以从米列夫斯基（2006）或普罗米斯洛（201 1）等标准精算教科书中所示的方程式（8）中推导出来，并简化为方程式（3）中给出的一个方便的解析表达式E[Tx | z）=a（x，T，r=0），其中，m（z）和b（z）替换了mand b。随着时间的推移，这种期望会发生变化，原因有两个：（i.）随着个人年龄的增长，以及（ii.）随着寿命的延长。因此，E[Tx | z+1]>E[Tx | z]，and E[Tx+1 | z+1]>E[Tx | z]- 1.在精算和保险文献中，这是一种被称为选择的影响；通过在z周购买年金进行选择的人群与在z周选择的人群有不同的寿命参数（因此预期寿命不同）。适当地，当z 6=z′时，我们不假设E[Tx | z]和E[Tx | z′）之间存在任何形式的等价，这种区别在解释我们的结果时很重要。特别是，我们的模型不同于Lee和Carter（1992）或Cairns、Blake和Dowd（2006）的模型，它们保持了参数一致性，但放弃了通用汽车定价的简单性。我们的模型将在给定年份购买年金的个人组合在一起。

这与精算期数据（按死亡年份分组）或队列数据（按出生年份分组）的方法不同。精算师还区分购买年金的总体人群和（更健康的）亚人群。这些差异对预期寿命有很大影响，但对变化率的影响应该较小，这是我们在表（7）中看到的。后者的人口统计输入是代表美国总体人口的时期数据。可以尝试基于年金受益人人口进行类似的比较，例如，使用不同年份的精算师协会年金表版本（尽管这会因死亡率的提高而变得复杂，而且购买年金的行为往往表明健康程度高于平均水平。20莫斯·a·米列夫斯基、托马斯·S·索尔兹伯里和亚历山大·奇戈代夫将负荷假设纳入后者）。或者，可以使用队列数据进行比较，但要进行比较，通常必须使用统计模型预测未来死亡率，如Lee a和Carter（1992）或Cairns、Blake和Dowd（2006）的模型。关于这些问题的讨论，见Pitaco等人（2009年）。回到年金价格本身，基本年金控制可以通过年金受益人的起始年龄x和保证期T来表征。年金现金流量的表达式可以从援引大数定律（分散死亡风险）的一般公式中得出，从而留下确定性现金流。它是担保和终身或有缴款的总和。按照文献中的惯例，我们可以使用零息票债券来表示连续支付年金系数：（9）a（x，t | z）=ZTB（s）ds+z∞TB（s）p（x，s | z）ds，其中B（s）是在时间s到期的零息票债券的市场价格。

该等式与特定期限结构模型一样有效。在fl-term结构模型中，B（s）=e-s rzand我们得到'a（x，T'z）=a（x，T，rz），其中后者在（3）中给出，m和b再次替换为m（z）和b（z）。请注意，m（z）和b（z）始终在年金系数定价的当天计算，即它们是用于计算年金系数的常数。一旦我们有了参数rz、λ、b、b和m的值，就可以计算年金因素。为了获得更现实的年金估值模型，我们选择使用单因素随机利率模型，或最初在Cox、Ingersoll和Ross（1985）中提出的模型。根据Kahn（2005），单因素模型能够解释美国债券市场高达82%的利率变化。这种从浮动到曲线的增强，提供了一种描述有效收益率曲线的适当方法，保险公司可以根据该曲线对其年金合同进行定价和估值。在CIR下，风险中性概率测度下的瞬时利率RT根据以下随机微分方程（10）dRt=（α- Rtβ）dt+σpRtdWt，其中α、β和σ均为非负常数，wt为一维布朗运动，（周z）初始条件为R=rz。利息率是一个非负的隐含寿命曲线21均值回复过程。债券价格B（s）可用于CIR的封闭式基金，参见Shreve（2010）示例。我们承认，正如赫尔-怀特模型一样，三个全球CIR参数也可以及时演变，但我们的论文没有考虑这些问题。尽管债券价格是已知的，但a（x，T | z）表达式中的两个整数在分析上是不可解的。

因此，我们求助于数值积分，以获得作为GM参数λ、b、b、m、CIR参数α、β、σ和周即期汇率rz函数的年金f因子。年金价格的完整模型不仅包括期限结构（如上所述），还包括负载因素。我们之所以没有这样做，是因为我们的数据集跨度仅为10年，而且我们已经发现模型参数之间存在显著的冗余，这导致某些估计值存在较大差异（例如CIR参数）。添加加载函数将消除此问题。为了说明冗余的性质，请使用现有模型对数据进行完美的拟合。如果我们随后任意修改参数band min，我们可以通过引入一个精确补偿变化的时变和年龄相关加载因子来恢复完美的拟合。因此，负荷参数的任何估计都将强烈依赖于假定的特定函数形式，并且可以通过改变现有模型参数来补偿。一旦有了更丰富的数据，我们将把基于市场价格的装载量估计问题留给未来。7.2. 数字和方法。我们对年金估值问题进行逆向工程，并从CANNEX QWeMA提供的数据中寻求模型参数（5+3+周即期利率）的最佳值。为此，我们使用Levenberg-Marquardt（L M）非线性最小二乘算法。这一算法在莫雷（1978）中有描述。这是一种步进方法，需要了解表达式相对于所需参数的导数以及参数本身的初始猜测。

在FL-at模型的情况下，用半解析法计算这些导数很简单。对于CIR模型，半解析计算导数仍然是可行的，但这些表达式太长，计算量太大。我们选择使用三点和五点差异法来寻找衍生品。从本质上讲，它们可以产生类似的数值精度，但工作速度要快得多。22 MOSHE A.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER Chigodaevt执行非线性最小二乘法的代码是在Python 2.7.3中编写的，使用了适用于GSL 1.16的Python绑定PyGSL 0.9.6，该绑定实现了LMalgorithm，并得到了开发人员的良好支持。此外，在许多其他事情中，GSL提供了数值积分例程，我们用来计算方程（9）及其导数的年金系数。上述所有软件都是开源的。实际的数值计算是在SHARCNET计算集群上执行的，只要可能，代码设计为在多个处理器上运行，以加快计算速度。女性和男性数据分别进行了拟合，得出了两组寿命参数和两条几乎相同的rz曲线。考虑到男性和女性不太可能接受或改变不同的利率（显然价格不同），本文中显示和报告的所有rz曲线和收益率均为平均值。两条rz曲线之间的微小差异可能部分归因于数值噪声。

另一种更可能的解释是利率和寿命参数之间存在耦合效应。耦合效应在FL模型中占主导地位，因为LM算法试图通过分配寿命参数值来弥补期限结构的不足，而寿命参数值与实际纳入期限结构时的寿命参数值不同。原则上，LM算法会对估计的参数值产生差异。然而，在我们的拟合方法中，雅可比矩阵J很大，并且大多用零填充，因为我们每周都用其唯一的参数rz处理。因此，J不是满秩，即J的列几乎是线性相关的。因此，方差方差矩阵（JTJ）-正如数值结果所示，1接近于单数，对角线条目不能被视为有意义的误差度量。尽管如此，我们高度相信，我们的结果是有效的，原因有三：（i）可以证明，稍微干扰参数的初始猜测会导致类似的结果，（ii）这些参数与Lee和Carter（1992），（iii.）的精算预测一致，并且rz曲线和收益率是所考虑时间段内利率行为的合理代表。这是我们的“理智”检查。隐含寿命曲线23在曲线（CIR）模型中，根据模型假设，利率和寿命参数必须为非负。虽然与FLAT模型相比，只有少数（3）个参数，但要确定它们的值却非常困难。此外，LM算法并不总是能够找到一组初始运行时具有所有正值的估计参数。为了避免这种困难，我们通过平方化将参数限制为正。