隐含寿命曲线：市场认为你的寿命有多长

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英文标题：
《The implied longevity curve: How long does the market think you are
  going to live?》
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作者：
Moshe A. Milevsky, Thomas S. Salisbury, Alexander Chigodaev
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We use life annuity prices to extract information about human longevity using a framework that links the term structure of mortality and interest rates. We invert the model and perform nonlinear least squares to obtain implied longevity forecasts. Methodologically, we assume a Cox-Ingersoll-Ross (CIR) model for the underlying yield curve, and for mortality, a Gompertz-Makeham (GM) law that varies with the year of annuity purchase. Our main result is that over the last decade markets implied an improvement in longevity of of 6-7 weeks per year for males and 1-3 weeks for females. In the year 2004 market prices implied a $40.1\\%$ probability of survival to the age 90 for a 75-year old male ($51.2\\%$ for a female) annuitant. By the year 2013 the implied survival probability had increased to $46.1\\%$ (and $53.1\\%$). The corresponding implied life expectancy has increased (at the age of 75) from 13.09 years for males (15.08 years for females) to 14.28 years (and 15.61 years.) Although these values are implied directly from markets, they are consistent with demographic projections. Similar to implied volatility in option pricing, we believe that our implied survival probabilities (ISP) and implied life expectancy (ILE) are relevant for the financial management of assets post-retirement and very important for the optimal timing and allocation to annuities; procrastinators are swimming against an uncertain but rather strong longevity trend.
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中文摘要：
我们使用寿命年金价格，通过将死亡率和利率的期限结构联系起来的框架，提取有关人类寿命的信息。我们反转模型并执行非线性最小二乘法以获得隐含的寿命预测。在方法上，我们假设潜在收益率曲线为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型，死亡率为Gompertz-Makeham（GM）定律，该定律随年金购买年份而变化。我们的主要结果是，在过去十年中，市场表明男性的寿命每年提高6-7周，女性的寿命每年提高1-3周。2004年，市场价格意味着75岁男性年金受益人活到90岁的概率为40.1美元（女性为51.2美元）。到2013年，隐含生存概率已增至46.1\\%%$（和53.1\\%%$）。相应的隐含预期寿命（75岁时）已从男性的13.09岁（女性的15.08岁）增加到14.28岁（和15.61岁）虽然这些价值直接来自市场，但它们与人口预测一致。与期权定价中的隐含波动性类似，我们认为我们的隐含生存概率（ISP）和隐含预期寿命（ILE）与退休后资产的财务管理相关，对于最佳时机和年金分配非常重要；拖延者正在对抗一种不确定但相当强劲的长寿趋势。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_implied_longevity_curve:_How_long_does_the_market_think_you_are_going_to_live?.pdf (328.46 KB)

2022-6-11 04:55:37 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Probability mathematica Projections

隐含的寿命曲线：市场认为你会活多久？MOSHE A.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER CHIGODAEVAbstract。我们使用寿命年金价格，通过一个将死亡率和利率的期限结构联系起来的框架，提取有关人类寿命的信息。我们反转模型并执行非线性最小二乘法以获得重铸的隐含寿命。方法学上，我们假设潜在收益率曲线为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型，死亡率为Gomper-tz-Makeham（GM）定律，该定律随年金购买年份而变化。我们的主要结果是，在过去十年中，市场意味着男性每年的长期改善时间为6-7周，女性为1-3周。2004年，市场价格意味着75岁男性年金受益人90岁以下的生存概率为40.1%（女性为51.2%）。到2013年，隐含生存概率增加到46.1%（和53.1%）。相应的平均预期寿命（75岁）从男性的13.09岁（女性的15.08岁）增加到了14.28岁（和15.61岁）虽然这些值直接来自市场，但它们与人口预测一致。与期权定价中的隐含波动性类似，我们认为，我们的隐含生存概率（ISP）和隐含寿命费用（ILE）与退休后资产的财务管理相关，并且对于年金的最佳时机和分配非常重要；拖延症患者正在对抗一种不确定但却非常强烈的长寿趋势。日期：2014年6月15日（版本2.1）。这项工作开展时，亚历山大·奇戈代夫（AlexanderChigodaev）是约克大学数学和统计系的博士后研究员。

米列夫斯基（联系作者）是约克大学Schulich商学院金融副教授，也是IFID中心执行主任。联系方式为milevsky@yorku.ca ; 索尔兹伯里是约克大学数学与统计系的教授。作者感谢IFID中心（Milevsky）和NSERC（Sa lisbury）的资助，并感谢Simon Dabrowski（CANNEX）的帮助。这项工作是由共享的分层学术研究计算网络（SHARCNET:w ww.SHARCNET.ca）和计算/计算加拿大（Compute/Calcul Canada）完成的。披露说明：两位作者（索尔兹伯里和米列夫斯基）与数据来源CANNEX有财务关系。这篇文章的早期版本在标题下流传，市场认为你会活多久？从年金价格来看，这意味着长寿。2 MOSHE A.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER CHIGODAEV1。引言有效市场假说（EMH）的一个推论是，市场价格包含有价值的信息，并提供了关于未来贴现经济价值的共识。而且，尽管这一立场近来备受争议（根据行为金融的证据），但市场价格仍然被用来提取信息。事实上，期货、期权和各种衍生品常常被用来预测股票、大宗商品、利率、波动性甚至天气。因此，受使用价格来提取未来信息这一悖论的推动，在本文中，我们使用终身年金的市场价格来暗示预期的人力资源及其改进的信息。在过去，这是很难实现的，因为很难获得可靠且一致的人寿年金或保险价格的横截面时间序列。然而，现在我们可以访问由200多万美国。

年金报价在十年内每周采样一次。这一史无前例的数据加上强大的计算程序（这两种程序都在本文正文中描述）使我们能够以一种前所未有的方式将价格转化为预期寿命。从技术上讲，我们颠倒了该模型——该模型将死亡率和利率的期限结构联系起来——并进行非线性最小二乘拟合以获得隐含的死亡率参数。反演过程如图（1）所示[置于此处]。回想一下，通常保险精算师从一组关于未来利率和死亡率的假设开始。然后，他/她计算一个模型年金价格，在调整竞争因素后，该价格成为市场价格。本文介绍了这一过程。我们从市场价格开始，我们假设市场价格是对寿命的共识的融合，然后我们求解隐含的表和参数。这与Finkelstein和Poterba（2004）或Mullin和Philipson（19 97）使用的程序非常相似，他们使用保单和年金价格来提取关于逆境选择和死亡率预期的信息，尽管我们的程序更具动态性，数据更为精确。稍后将对此进行详细介绍。早期尝试见米列夫斯基、蒋和普罗米斯洛（2001）的工作文件。隐含寿命曲线3隐含生存概率和预期寿命与退休后资产的财务管理以及养老金的最佳时机和分配相关。我们的主要结果是，在过去十年中（我们有可靠的价格），终身年金意味着寿命的显著提高。

因此，虽然2004年市场价格意味着75岁男性（51.2%）年金受益人到90岁的生存概率为40.1%，但到2013年，隐含生存概率（ISP）已增至46.1%（和53.1%）。同时，我们发现，同期相应的平均预期寿命（ILE）从男性的13.09岁（女性的15.08岁）增加到了14.28岁（和15.6.1岁）。这相当于每年6.8周的formales（女性为3.0周）。这些数字与人口统计学和寿命改善的实际预测大致一致，例如马克斯·普朗克研究所的詹姆斯·沃佩尔（JamesVaupel）广为宣传的工作，但直接从市场价格中获得。1.1. 议程和计划。本文的其余部分组织如下。第#2节描述了生活的乐趣。第3节解释了道德的基本法则。第4节描述了年金价格数据集的来源和结构。我们在第#5节中描述了我们的数值结果，并在第#6节中得出结论。我们将所有技术模型的详细信息放在附录中。2、年金价格在竞争激烈的市场中，根据众多保险公司的相互作用，确定终身年金的价格，或者反过来说，退休人员可以预期的保费存款收入。即便如此，虽然最终支付的价格部分由供需力量决定，但死亡率和利率与观察价格之间存在着严格的数学关系。

这类似于证券市场中的利率概念，在证券市场中，市场价格与某些模型值的偏差不能太大。参见Oeppen和Vaupel（2002年）以及Lee和Carter（1992年），了解预测长寿的统计或生物学方法以及死亡率改善的估计。4 MOSHE A.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER Chigodaevt每年支付1美元终身年金的最简单定价公式如下：（1）A（x，T，R）=TXi=1（1+R）i+ω-xXi=T+1p（x，i）（1+R）i。这假设付款每年进行一次，并且期限结构是固定的，在我们的最终模型中，两者都不真实。尽管如此，这个基本版本将用来说明这个想法。数量a（x，T，R）表示从x开始，每年1美元的前期“成本”，保证T年。我们所说的保证期是指，如果年金受益人在此期间去世，则在该期间结束后，付款将继续保持在指定的福利水平。在右侧有两个总和：保证部分和生存相关部分。在生存相关部分中，生存概率p（x，i）和利率因子（1+R）的比率相加，直到死亡率表结束。Thesum终止于ω，其中“o mega”表示可能达到的最老年龄，目前为122岁。方程式（1）与金融分析师和财富经理熟悉的标准现值（PV）公式不同，第二次求和的分子中存在生存或有概率，而不是标准的1美元。把这个等式看作是一美元收入的现值系数，只要你活着，就可以得到一美元收入。

例如，如果你70岁，存活1年的概率为97%，存活2年的概率为95%，存活3年的概率为92%，那么方程（1）中嵌入的与生俱来现值的前三项为：0.97（1.05）+0.95（1.05）+0.92（1.05），剩余项的重要性下降，直到最终分子为零。可以使用方程（1）分子中的任何（递减）生存概率向量，将这些项相加，得到a（x，T，R）。然而，为了本研究和本文的目的，我们假设了一种特殊的函数形式，即Gompertz-Makeham（GM）死亡定律。这种功能形式在法国百岁老人珍妮·路易斯·卡尔门特（JeanneLouiseCalment）身上十分常见，她是历史上最长寿的人，可活到122岁164天。隐含寿命曲线包括生物和人口领域，并在经济学中得到了很好的应用。唉，如果不对死亡率强加某种结构，几乎不可能提取期望值。Gompertz-Makeham定律解释说，事实和人口学家早就证实，依赖年龄的单年死亡率在25岁到95岁之间每年随年龄增长约8%到10%。换句话说，如果y岁的人在该年内死亡的概率为q%，死亡率每年增加8%，那么如果他们活到（y+1）岁，他们在下一年内死亡的概率为SQ（1+0.08）p%，然后在（y+2）岁时死亡的概率为q（1+0.08），然后在（y+3）岁时死亡的概率为q（1+0.08）p%，等等，达到一级近似值，人类死亡率（成人），无论你选择什么样的死亡率，都是年龄的指数增长函数。

因此，通过计算年死亡率的对数，它们可以近似为一条直线，并以斜率和截距为特征。这一生物学观察首先由英国人口统计学家和精算师Benjamin Gompertz（生于1779年，1865年）提出，1890年由William Makeham重新定义，今天被称为Gomp ertz-Makeham（GM）死亡定律。GM定律的Gompertz部分指的是上述指数增长，而Makeham por t ion指的是与年龄无关的恒定事故率。有关这些死亡定律和这些计算背后的精算细节的更多信息，请参阅Promislow（2011）或Dickson、Hardy和Wat ers（2009）的标准精算文本。GM公式提供了一个强大的分析工具，可以根据三个基本参数计算任何年龄的生存概率。根据GM死亡定律，从任何年龄到任何时间，生存概率的简明表达式如下：（2）ln p（x，t）=-λt+（1- et/b）e（x-m） /b其中，变量t表示生存时间，变量x表示个人当前年龄，λ表示事故死亡率，参数（m，b）表示模式值和分散系数，两者均以时间单位测量。MOSHE A.MILEVSKY、THOMAS S.SALISBURY和ALEXANDER CHIGODAEVprobability本身，以及主要的兴趣量，都是通过取等式（2）右侧的经验值来获得的。考虑到GM定律在我们的“隐含寿命”算法中的中心地位，我们现在提供了一个如何使用参数来获得数值的详细示例。假设你现在50岁，并且想估计一下你活到90岁的可能性，也就是40多岁。

根据GM死亡定律，该概率取决于三个参数；意外死亡率λ、寿命的模态值m和寿命的离散值b。最后两个数字可以粗略地认为是λ为零时，未来剩余寿命的平均值和标准偏差的作用。从技术上讲，生命的模式价值是个人最有可能死亡的年龄，但实际上比50/50（平均寿命）点高出几年。这是由于分布的偏斜。技术性方面，例如，如果模式值为m=80岁，离散值为b=11年s（假设λ为零），则根据方程式（2），90岁之前的存活概率为8.9%，也可以表示为90岁之前死亡概率的91.1%。相反，（仍假设λ为零）在方程（2）中m=92岁的较高mo dal值下，ag e 90的存活率增加至44.4%，而不是较低的m=80。请注意，额外的12年寿命（在模态意义上）将使生存概率增加35.5个百分点。事实上，如果你“相信”你的生命模式值实际上是m=92岁，那么根据公式（2），活到95岁（50岁）的可能性是27.5%，活到100岁并成为百岁老人的可能性是12.9%。经验观察表明，GM模型给出的死亡率与观察到的死亡率非常接近，当涉及到55至80岁的终身年金定价时。我们不使用公式（1），即年金每年只支付一次，而是考虑年金持续支付。

在这种情况下，当假设利率服从Gompertz-Makeham（GM）定律，且利率为常数时，有可能获得终身年金系数的闭合表达式。表达式涉及不完全伽马函数Γ（a，b）=R∞是-ssa公司-1ds。这可以在几乎所有的数学软件包中找到。我们将感兴趣的读者推荐给米列夫斯基（2006、2012），这假设他们一开始比m小。隐含寿命曲线7提供更多信息。T年周期的Gompertz年金定价模型（GAPM）确定的终身年金为：（3）(R)a（x，T，r）=1- e-rTr+bΓ-b（r+λ），expx个-m+Tb经验值（r+λ）（m- x）- 经验值x个-兆字节其中字母r表示连续复合利率，或r=ln（1+r）。“a”顶部条形图的使用表示连续时间付款。如果利率和死亡率参数保持不变，那么年金价格将不会随着时间的推移而变化，而将由GAPM公式（3）精确捕捉。实际上，价格和参数确实会发生变化，因此我们将以技术附录中所述的方式修改GAPM模型。综上所述，虽然没有任何金融公式（即使是Black-Scholes）能够提供市场上金融资产的观察价格，但方程式（1）中使用方程式（2）中的固定利率描述的“人寿年金系数”为保险公司提供了合理的报价。然后，我们的目标是使用年金的市场价格来暗示这些参数以及它们如何随时间变化。数据来源我们分析中使用的原始数据是通过三步过程获得的。在第一步中，我们利用了CANNEX Financial Exchange的“调查”服务，CANNEX Financial Exchange是一家数据和分析供应商，与大多数销售和营销人寿年金的美国保险公司保持着持续的业务关系。