动态竞争说服

玩家2 partiallymimics p layer 1：她用概率y/x选择玩家1的分布，并将聚集点放置在0及其补码上（这是为了满足BayesLauability条件所必需的）。总结一下，把分配和支付函数的细节留给附录定理2.2。有一个独特的子博弈完美均衡的博弈。它是马尔可夫的，其中状态变量（x，y）是先验的当前向量。在平衡状态下，每个玩家选择一个分布，该分布为其对手生成一个支付函数，该函数在对手的后方呈线性。有了命题2.1，定理2.2就很容易了，结果背后的经济学也很简单。简言之，这是一个标准的“匹配便士”论点：每一个参与者的连续分布必须给另一个参与者一个线性的回报，这样她自己就愿意选择连续分布。这种线性形式的必要性清楚地说明了为什么这个命题成立：发送者在h0，xui上支持的任何分布上都是不同的，其中两个是在{x}上支持的简并分布（对于玩家1）和在{0，x}上支持的分布（部分地）模仿了这一点，即在{0，x}上支持的平均值y的分布。随着玩家变得越来越耐心，战胜对手的相对重要性降低了。事实上，首先考虑即时支付（其相对幅度随耐心而减弱）：对于球员的对手z的固定实现，这是一个阶跃函数，当球员的后验超过z时，它会从0跳到1。另一方面，长距离奔跑的速度没有表现出这样的跳跃：对于一个固定的实现z，在[0，z]上，它在玩家的后方线性增加，然后在[z，1]上严格凹进；因此，在整个单位间隔上是凹的。此外，这种支付函数不仅在（0,1）上是连续的，而且是可微的。

这些观察结果暗示了对下一个结果的直觉：今天的支付鼓励信息提供，因为每个玩家都想提供比对手略高的奖励；鉴于其固有的凹陷性，继续支付不鼓励此类披露。因此，随着后者变得更加重要，参与者应该提供更少的信息。提案2.3。随着玩家变得越来越有耐心，他们提供的信息也越来越少。也就是说，如果^δ≥ δ那么，贴现因子δ的均衡分布是贴现因子δ分布的均值保持差。当p层变得最有耐心时，优势玩家变得完全缺乏信息，劣势玩家的分布收敛到二进制分布，其中一个实现让接收者只愿意选择她，另一个实现显示她的类型为0。也就是说，推论2.4。Asδ→ 1，平衡分布收敛如下：玩家1选择支持{x}的退化分布，玩家2选择支持{0，x}的二元分布。在极限范围内，今天的支付可以忽略不计，重要的是持续支付，这对于玩家对手的任何固定实现都是凹的。因此，优势p层倾向于不发布任何信息，而劣势玩家的支付在[0，x]上是线性的，因此她愿意选择特定的二进制分布。如引言所述，推论2.4中描述的平衡与Koessler等人（2022年）的产品演示应用中的平衡（无截止日期）一致。

这一等价性体现在他们的命题4（源自拉拉基（Laraki）和雷诺（Renault）（2019）的结果）中，该命题确定，当玩家变得最有耐心时，他们无期限的示范赛可以通过折扣（分割）游戏来近似。3有价博弈我们继承了无价博弈的几个假设。也就是说，时间是离散的，游戏是在两个长寿命的发送者之间进行的，他们希望诱使一系列短命的接收者。现在，这两个参与者是卖家和接收者消费者。每个时期，每个卖家都会选择一个以hertype（其产品对消费者的价值）为条件的Blackwell实验，该实验的实现是公开的，postsa价格也是公开的。给定价格p和卖方商品z的实现价值，消费者从该卖方购买商品的效用为z-p、 为简单起见，我们将消费者的外部选项设为0。我们不再将分析局限于二元类型：最初，在时间t=0时，卖家1和卖家2的商品对消费者的价值是独立的随机变量X~ 风扇Y~ G、 分别在单位间隔的子集上支持。原则上，这种价格和信息竞争的无限期博弈是一个非常困难的问题：企业在每个时期的信息提供决策决定了明天的利润，因此，企业的决策不会减少到选择之前的平均保留收缩，如果这是单期问题的话。然而，事实证明，我们可以完全绕过这些困难。在这样做之前，让我们反思几件事。如果这是一个只有一个卖家的市场，那么（现在）垄断者的最佳定价和信息政策将是永远不提供任何信息，并收取与商品预期质量相等的价格。

交易效率高——因为消费者总是购买——而卖方提取所有剩余。此外，如果这位垄断者非常有耐心，那么她最好立即提供全部信息，然后设定一个与消费者价值相等的价格，因为折扣系数应用程序1，卖家将接近她的最佳支付。另一方面，对于两个卖家，卖家（通常）不提供任何信息是不够的。对于两个卖家，效率不仅要求消费者从一个卖家那里购买（因为她的外部选项为0），还要求消费者从价值较高的商品的卖家那里购买。因此，两个卖家都有足够的时间提供完整的信息；因此，如果卖家非常有耐心，那么卖家可以立即提供完整的信息，价值较高的卖家可以收取与消费者价值相等的价格。即时信息披露的（近乎）最优性表明了卖方之间重复博弈的一种方法。我们应该让卖方立即（在第0阶段）提供完整信息，最大限度地提高可用盈余，然后在剩余的互动中合作，分割盈余。事实证明，这也有助于构建均衡：从t=1开始，（在路径上）不再有不确定性，从任何这样的子博弈开始，卖方现在处于一个标准的重复博弈中。此外，在初始阶段更容易处理单边偏差，因为从t=1开始，另一个（非偏差）卖方将拥有更简单的策略空间。

从那时起，她的先验是退化的，因此她只能通过价格工具影响回报。给定估值F和G的分布，最大盈余isSF，G E[最大{X，Y}]=ZxG（X）dF（X）+ZxF（X）dG（X）。了解Vi，min=Vi，min（F，G）和Vi，max=Vi，max（F，G）对于i=1,2，我们定义了1，minZZx（x-y） dG（y）dF（x），V2，最小值ZZy（y-x） dF（x）dG（y），V1，最大值ZxdF（x），V2，最大值ZydG（y），andV（F，G）n（v，v）∈ 【0,1】：V1，最小<v<V1，最大和V2，最小<v<V2，最大和v+v<SF，开始。Vi，mini是卖家的平均报酬，当她非常耐心时，我可以（大约）保证自己。六、maxis卖家i的垄断收益，这显然是我能获得的最大收益卖家。V（F，G）是我们对可行集和个别有理集的模拟。定理3.1。对于任何（v，v）∈ V（F，G）存在一个贴现因子δ<1，使得对于任何δ≥δ存在一个博弈的子博弈完美均衡，在该博弈中，卖方的平均收益为vi。该结果的详细构造和证明可在ap pendix中找到。让两个卖家立即提供完整的信息，然后在随后的一个子游戏中进行合作，从而达到平衡。4讨论不合理的价格，本文中的发送方面临着一个具有挑战性的问题。每一个阶段，他们的任务都是设计一个实验来吸引接受者，然而实验的实现是完全可以观察到的，因此会影响每个后续接受者的未来信念。由于这些动态问题，发件人变得更加谨慎。

随着他们变得越来越有耐心，他们选择了越来越缺乏信息的发行版——糟糕的认识的负面影响太大了，因为如果坏消息到来，整个持续支付流都会受到伤害。即使游戏还在有限的范围内，也没有合作的余地：任何分配都会给玩家带来一个在后面不是线性的回报，这让她有机会（永久）利用对手的优势。然而，一旦引入价格设置，信息提供的持久性就不再阻碍合作。事实上，卖方通过立即提供信息，然后合作消除消费者的租金，从而获取最大盈余。当价格存在时，我们构建均衡似乎是现实的。也就是说，我们通过让企业立即披露信息，然后进行定价游戏来实现合作。有趣的是，这似乎准确地反映了产品生命周期中的典型行为——一个新产品的广告最初是流行的，之后几乎没有。我们在只说服的游戏中的结果似乎也与应用中的结果很好地吻合：例如，政客的精明是众所周知的，而学校，尤其是那些输入质量受到高度尊重的学校，评分粗糙，并且/或者几乎没有提供有关学生表现的信息。这方面的一个明显例子是，许多顶尖MBA课程禁止公布成绩，如芝加哥（Booth）、哥伦比亚（Columbia）、加州大学伯克利分校（UC Berkeley）、斯坦福大学商学院（Stanford GSB）和沃顿大学（UPenn）。参考B。C、 阿尔布雷希特。政治说服。Mimeo，2017年2月。Pak Hung Au。动态信息披露。《兰德经济学杂志》，46（4）：791–8232015。Pak Hung Au和Keichi Kawai。相关信息的竞争性披露。《经济理论》，2019年1月。Pak Hung Au和Keichi Kawai。多人竞争信息披露。

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回想一下定义u=u（δ）1 +√1.-δ.我们还介绍了CDF（l和h分别表示“低”和“高”，以及ξ 最大{x，y}）Gξl（w）=uwξ√1.-δon“0，ξu#，（A1）和gξh（w）=(1 -（a）(1-ξδ）uw（1-ξ)√1.-δ如果0≤ w<（1-ξ)(1-ξδ)u1 -a、 如果（1-ξ)(1-ξδ)u≤ w<11，如果w≥1，（A2）式中=a（ξ） 2.-ξ-δ1 -δ(1 -ξ)ξ.让玩家2使用以下马尔可夫策略。每个周期选择分布G（尽管从今以后我们抑制下标），定义如下。当x≤ y、 G=旋转≤u和G=Gyhif y>u。当y<x时，G=xyGxl+1-xyif x≤ u和G=xyGxh+1-xyif x>u。有鉴于此，玩家1面临一个马尔可夫决策问题。她的报酬（递归）：V（x，y）=supF∈Fx（ZG（w）dF（w）+δZZV（w，z）g（z）dzdF（w））。让我们猜测以下策略是最佳策略：如果x≥ y、 游戏者1选择{x}上支持的退化分布；如果x<y，她选择支持{0，y}的二元分布。一个直接替换和一些代数产生p层1 A连续payoff of 1-δ1.-y2x对于实现x≥ y和1-δx2yf对于实现y>x。根据一次偏差原则，玩家1解决了ssupf∈Fx（ZΦ（w）dF（x）），其中Φ（w） G（w）+δ1-δZw1.-z2w型g（z）dz+Zww2zg（z）dz。用in代替G，我们得到了当u≥ x个≥ y、 Φ（w）=1.-δh1+yw-2x2xi，如果0≤ w<xu1-δh1-y2x1.-√1.-δi、 ifxu≤ w≤ 1，当u≥ y≥ x、 Φ（w）=1.-δhw2yi，如果0≤ w<yu1-δh2ui，ifyu≤ w≤ 1，当x≥ 最大值u，y,Φ（w）=1.-δh1+yw-2x2xi，如果0≤ w<（1-x） （1）-xδ）u1-δ1+y（1+√1.-δ)(1-x） 1个-δx-2倍！2倍, 如果（1-x） （1）-xδ）u≤ w<11-δhyx1.-a（x）-δx-a（x）+ 1.-yxi，如果1≤ w、 当y≥ 最大值u，x,Φ（w）=1.-δhw2yi，如果0≤ w<（1-y） （1）-yδ）u1-δh（1-y） 2年（1- yδ）ui，如果（1-y） （1）-yδ）u≤ w<11-δh1-a（y）-δy-a（y）i，如果1≤ w、 显然，我们的特定策略确实是最优的。

因此，玩家2总是可以保证自己获得报酬-δ1.-x2y型当y≥ xand1-δy2x当y≤ x、 由于玩家1也可以这样做，我们得出结论，唯一的平衡支付向量如所述。A、 2理论2.2证明。Boleslavsky和Cotton（2015）提出了平衡时线性支付的必要性。凹陷可立即提高效率。最后，很容易验证命题2.1证明中规定的分布G（表达式A1和A2）是微分方程的唯一解，当指定线性支付并施加各种条件（Bayes合理性和支持度）时，会产生微分方程。A、 3命题2.3证明。固定表示y≤ x、 设G b e为卖方1选择的贴现因子δ的均衡分布，且^G为贴现因子^δ>δ的类似物。让x≤ u(δ). 从上面可以看出，G在（0,1）上穿过^G一次0，x^u. 显然G（）=^G（）。此外，xu>x^u，因此G和^G至少相交一次0，x^u. 这仍然需要证明这个交点是唯一的。更换√1.-δ和√1.-^δ与β和^β分别为onh0，x1 +^βi、 我们定义（w） G（w）-^G（w）=wx（1+β）！β-wx公司1 +^β^β.直接，T′（w）=wβwx（1+β）！β-^βwx公司1 +^β^β.挑选一些a∈0，x1 +^β此时T（a）=0（我们在上面论证了存在这样一个点）。由于β>β，我们有0=T（a）βa=βaax（1+β）！β-斧头1 +^β^β>一βax（1+β）！β-^β斧头1 +^β^β= T′（a）。因此，每当T穿过0，x1 +^β, 它必须从上面这样做，因此只能发生一次。可以遵循相同的步骤显示，当x时，G从上方穿过^G一次≥ u(δ). A、 4理论3.1证明。在任何t处，状态向量是当前先验分布对（Ft，Gt）。下面的评论很有用。

假设在某个时候，每个卖家的质量都得到了充分的展示。表示该时间段t*–要澄清的是，这是第一个阶段t，消费者对每个卖家持有的优先权退化。在这种情况下，周期t的状态向量*on is（δa，δb），对于某些（a，b）∈ [0,1]，其中WLOG a≥ b、 对于任何这样的部门，两个卖方的最大平均总回报是a。然后，用Udenberg和Maskin（1986）（此后FM86）的说法，可行且严格的分割理性集isR（a，b）nx，y∈ [0,1]：a-b<x≤ &0<y≤ 一-xo。根据定理1 inFM86，备注A.1。在从t开始的子游戏中*其中卖方1和2的价值实现为a和b(≤ a） ，对于任何（x，y）∈ R（a，b）存在一个折扣因子δ，使得对于任何δ≥存在一个子博弈完美均衡，其中两家公司的平均收益向量为（x，y）。有鉴于此，我们通过让企业在第一阶段（t=0）提供完整信息并收费p=0来构建均衡，然后在（从第1阶段开始）重复的（即不再是动态的）游戏中玩适当的子游戏PerfectEquirement。很快，我们将规定*= 1在路径上，也就是说，只有在最初（t=0），消费者对卖家的信念才可能是非退化的。构造显然产生了集合V（F，G）。