关于某些最优运输问题的K“ahler几何

假设以下条件成立：（1）成本函数c为cw类，kckC（X×Y）<∞（2） 对于任何x∈ 十、 地图Y y→ cx（x，y）∈ Rnis内射。（3） 对于任何y∈ Y，地图X x个→ cy（x，y）∈ Rnis内射。（4） det（cx，y）（x，y）6=0表示所有（x，y）∈ X×Y。然后存在一个c-凸函数u:X→ R使得映射Tu:X→ Yde由Tu定义（x）：=c-expx(u（x））是将u发送到ν的唯一最佳传输映射。此外，Tuis注射du-a.e.，（1）| det(Tu（x））|=du（x）dν（Tu（x））du- a、 e.，8密歇根大学和密歇根大学，通过将ν发送到u上的最佳传输图给出其逆。为了更具体地表示方程1，我们定义了c指数图（表示为c-expx）。定义（c指数图）。对于任何x∈ 十、 y型∈ Y、 p∈ Rn，c指数映射满足以下等式。c-表达式x（p）=y<==> p=-cx（x，y）。对于黎曼流形上的2-Wasserstein代价，c-指数正是标准指数映射，这激发了它的名字。对于欧几里德空间中的这一成本，方程式1成为标准Monge-Ampere方程式u（x）=f（x）g(u（x））。由于方程1的这种简单形式，正则性问题的许多初始工作是针对欧几里德空间中的平方距离代价进行的。在这种情况下，卡夫·阿雷利（Caffarelli）[5]和其他人证明了在某些凸性和光滑性假设下对度量值的先验估计（有关更完整的历史，请参见[7]）。卡夫·阿雷利也观察到，如果不假设目标测度的支持是凸的，就无法证明内部正则性。对于更一般的成本函数，Ma、Trudinger和Wang在2005年的突破性工作【25】给出了三个条件，确保MongeAmpere方程解的Cregularity。在本文中，我们将使用Trud inger和Wang（41）最初提出的更强有力的结果。定理2。

假设c:X×Y→ R、 u和ν满足定理1的假设，密度du和dν的界限远离零，并且在各自的支撑X和Y上是一致的。进一步假设以下情况成立。（1） X和Y是平滑的。（2） 域X与域Y是严格c-凸的。（3） 域Y严格为c*-对于所有向量ξ，η，相对于域X.（4）的凸∈ Rnwithξ⊥ η、 以下不等式成立。（2） S（ξ，η）：=Xi，j，k，l，p，q，r，S（cij，pcp，qcq，rs- cij，rs）cr，kcs，lξiξjηkηl≥ 0最佳运输和复杂几何结构9然后是u∈ C∞（十） 和Tu:X→ Y是一个光滑的微分同态，其中Tu（x）=c-expx(u（x））。虽然我们不会详细讨论证明，但我们注意到，主要的挑战是在u上获得先验估计。一旦建立了这样的估计，MongeAmpere方程可以在u处线性化，此时标准椭圆自举产生所有阶的估计，并暗示Tuis sm ooth。本文的主要结果研究了定理2的假设，因此我们对这些假设进行了更详细的讨论。第一个条件是不言而喻的，而第二个和第三个条件为支撑提供了正确的凸性概念。为了详细解释这一点，我们定义了集合的c-凸性的概念。定义（c段）。X上关于点y的c段是{X}到cy（X，y）的解集∈ l 对于l Rn中的线段。A、c*-Y中对应于点x的段是{Y}到cx（x，Y）的解集∈ l 哪里l 是Rn中的线段。定义（c-凸性）。

集合E是相对于集合E的c-凸*如果对于任意两点x，x∈ E和任意y∈ E*, 相对于y的c段连接E中的x和xlies。类似地，我们说E*是c*-任意两点y，y相对于E的凸if∈ E*和anyx∈ E、 c*-相对于x的线段连接E中的Y和Y*.最后，我们讨论了不等式2，它被称为MT W（0）条件，是MT W（κ）条件的一个简化版本。定义（MT W（κ））。对于任何正交向量对η和ξ，S（η，ξ），成本函数c满足M T W（κ）条件≥ κ|η| |ξ|表示κ>0。Ma、Trudinger和Wang的原始工作依赖于MT W（κ）假设，并且这种更强的条件在许多应用中都有使用。尽管S（ξ，η）不是即时可见的，但只要将η视为一个向量，S（ξ，η）就是张量（坐标不变的），我们将在本文的其余部分中这样做。此外，它在η和ξ中呈二次变换，但在costfunction中是高度非线性和n局部的。MTW张量的几何意义是一个活跃的研究课题。Loeper在Riemannian流形上对其行为给出了一些见解。他的工作表明，对于2-Wasser-stein代价，MTW张量与d对角线x=y上的密歇根大学和密歇根大学曲线的截面成正比。在本文中，他还证明了MTW张量的c-凸性和非负性是证明最优输运正则性的必要条件。Kim和McCann根据Loeper的结果，给出了最佳运输的几何框架[20]。在他们的公式中，最优传输用流形X×Y上的伪黎曼度量表示，MTW张量成为类光平面的曲率。这种解释适用于任意代价函数，这为正则性问题提供了内在的几何结构。

我们的几何解释是不同的，但许多公式似乎相似，部分原因是Kim和McCann选择了复杂几何的符号r。在结束关于最佳运输的背景讨论之前，我们将介绍MT W（0）条件的另一种强化，称为非负“交叉曲率”[10]。定义（非负横曲率）。代价函数c具有非负（严格正）交叉曲率，如果对于任何向量余子对η和ξ，S（η，ξ）≥ 0（分别为κ|η| |ξ|）。注：非负横曲率下的th比MT W（0）强，因为非负性必须适用于所有对η和ξ，而不仅仅是正交对。菲加利（Figalli）、金（Kim）和麦肯（McCann）[10]引入交叉曲率来研究微观经济学中的一个问题。在以后的工作中，他们还表明，可以用这个假设证明最优映射的s-tronger正则性[11]。Sei【37】还研究了横曲率，以用于应用不稳定性。3、Hessian流形和Sasaki度量为了将MTW张量解释为一个复杂的几何曲率，我们必须研究Sasaki度量，它是黎曼流形切线束上的几乎厄米结构。我们现在讨论这个度量的一些背景，重点是Hessian流形的情况，其中Sasaki度量是K¨ahler。3.1. 切线丛上的Sa saki度量。在具有a ffene连接D的一般黎曼流形（M，g）上，切丛自然继承了analmest Hermitian结构（T M，gD，JD）。这是kn own作为佐佐木度量，也是Dombrowski引入的最佳运输和复杂几何11。

为完整起见，我们将简要概述这一结构，该结构源自Satoh的工作【36】。给定M上的局部坐标{ui}ni=1，我们用Γkji表示连接的C hristoff符号，其中用户界面uj：=Γkji英国。在切线丛T M上，我们可以定义平滑函数v，矢量X=Xi时，vnby vj（X）=xj用户界面。函数集合{（ui，vi）}形成M的局部坐标。对于切向量ξ∈ TuM（我们将其视为切线束M中的一点）和d切向量X=Xi用户界面∈ TuM，我们可以定义X在ξ处的垂直和水平位移，分别表示为XVξ和XHξ。这些是Tξ（T M）的元素，定义如下：XHξ=Xi用户界面- ΓkijXivj（ξ）vk，XVξ=Xivi.这将产生Tξ（T M）分解为水平和垂直子空间，这取决于连接D的选择：Tξ（T M）=Hξ（T M）⊕ Vξ（T M）。因此，这是一个自然识别Hξ（T M）~=Vξ（T M）~=TuM，我们使用它来构建佐佐木指标（定义2.1 of[36]）。定义（Sasaki公制）。设（Mn，g）是一个具有一个ffine连接D的黎曼流形。Sasaki度量是T M上的如下几乎厄米结构。对于X，Y∈ TuM和ξ∈ 在束坐标中，当ξ=（u，v）时，最复杂的结构jdxhξ=XVξ，JDXVξ=-XHξ和黎曼度量gDis定义为GDXHξ，YHξ= egD公司XVξ，YVξ= g（X，Y），egDXHξ，YVξ= 这在T M上产生了一个几乎厄米结构，它取决于M上度量和连接的选择。先验地，这个结构既不是可积的也不是几乎K¨ahler的。Dombrowski和Satoh的工作为这些财产的存续提供了充分和必要的条件。12密歇根大学和密歇根大学3（[8][36]）。设（M，g）是一个具有函数连接的黎曼流形。

几乎厄米流形（T M、gD、JD）满足以下要求。（1） 几乎厄米结构是可积的，当且仅当连接D为FL时[8]。（2） 几乎厄米结构是几乎K¨ahler当且仅当对偶连接D*无扭转[36]。（3） 几乎厄米结构是K¨ahler当且仅当（D，g）是二重流，这进一步暗示g是Hessian结构[8]。3.2. Hessian流形。我们主要感兴趣的是T M是K¨ahler的情况，为此我们必须研究Hessian流形（也称为a ffne-K¨ahler流形）。此类歧管有两个等效定义；前者主要用于差异几何，后者主要用于信息几何。定义（不同几何）。黎曼流形（M，g）是Hessian流形，如果有一个局部坐标集{ui}ni=1，那么对于每个坐标图，都有一个对流势ψ，使得gij=Ψuiuj。此外，这些坐标图之间的过渡图是a ffne（即M isan a ffne流形）。定义（几何信息）。如果黎曼流形（M，g）允许双重流连接，则称其为Hessian流形。也就是说，它允许两个FL（无扭转和无曲率）连接D和D*满足（3）X（g（Y，Z））=g（DXY，Z）+g（Y，D*XZ）对于所有向量场X、Y和Z。虽然这些定义最初看起来不同，但实际上是等效的。如果我们选择的坐标图图集的度量是黑森形式，我们可以通过对u坐标的微分来建立一个fl-at连接D。过渡图必须明确，这正是全球定义这种联系所必需的。

此外，我们可以导出双连接D*通过对所谓的双坐标θ的微分，优化传输和复杂几何13，其定义为（4）θi：=Ψ用户界面。在双坐标系中，度量也是Hessian形式，其中电势是Legendre du alψ*. 关于这一对应关系的更多细节，请读者参阅Sh im a的书【39】。给定的黎曼manifold接受Hessian结构存在拓扑和几何障碍。在尺寸4和更高的地方，也存在局部曲率障碍（见[2]）。由于本文中所有感兴趣的流形都是Rn中的开集（允许全局坐标图），我们可以通过选择一个凸势来构造Hessian度量。3.3. Sasaki度量的曲率。你的主要兴趣是K¨ahler Sasaki度量的曲率。然而，计算曲率最直接的方法是使用一般Sasaki度量的曲率f公式，并使用双fl-at结构对其进行简化。对于具有a ffene连接D的黎曼流形（M，g），了解其相关Sasaki度量的曲率很有意义。Satoh显式计算了全曲率张量（文献[36]的定理2.3]）。为简洁起见，这里不提供完整的表达式。然而，如果D是一个fl-at连接，则公式会大大简化。提案4。设（M、g、D）是一个带有法兰连接D和Levicivta连接的歧管. LeteR是Sasaki metricgDon T M的黎曼曲率张量。

对于向量场X、Y、Z、W、ξ∈ TuM，eRgDZHξ、WHξ、XHξ、YHξ= RgD公司ZVξ、WVξ、XVξ、YVξ= Rg（Z，W，X，Y）eRgDZHξ、WVξ、XVξ、YVξ=eRgD公司ZHξ、WVξ、XHξ、YHξ= 0eRgZHξ、WVξ、XHξ、YVξ= -DX Zg（Y、W）-Dγ（X，Z）g（Y，W）+Xi（DXg）（W，ei）·（DZg）（Y，ei）14密歇根大学和密歇根大学，{ei}是TuM和γDis的正交基础。D和Levi-Ci-vita连接在M上的差异：γD（X，Y）=DXY- XY当（M、g、D）为双fl（即Hessian）时，情况会进一步恶化。为了简化计算，在D的克里斯托符号消失的情况下，协调{ui}ni=1是很有帮助的。这样，我们发现以下身份。（1） 黎曼度量g由凸势ψ的Hessian给出。（2） 在切线束（T M，gD，JD）的诱导坐标{（ui，vi）}ni=1中，复杂结构可以写成JDui=viand JD公司vi=-用户界面。因此，坐标图（u，v，…，un，vn）在自然识别下与开集同构。（3） 黎曼曲率和列维-西维塔连接的克里斯托夫符号有简单的表达式。（a） （M，g）的黎曼曲率如下：g级(用户界面，uj，英国，ul）=-ψpq（ψjlpψikq- ψilpψjkq）。（b） Levi-Civita连接的Christo Offel Symbols满足以下特性：ijk=ψijkΓkji=ψijmψkm。（4） 利用这些公式，我们得到了两个向量X=Xi的简单公式forDγD（X，ZUi和Z=Zk英国。DγD（X，Z）=-希兹克·里克德ur=-XiZkψiksψsrD将这些恒等式与Sasaki度量的曲率公式相结合，我们发现了以下命题。命题5（K¨ahler-Sasaki度量的曲率）。设（M，g，D）为H Essian流形。

（T M，gD，JD）上Sasaki度量的黎曼曲率如下。eRgD公司(用户界面uj，英国，ul）=eRgD(不及物动词，vj、，vk，vl）=-ψrs（ψjlsψiks- ψilrψjks）eRgD(用户界面，vj、，英国，vl）=-ψijkl+（ψiksψsrψjlr）+（ψsrψjkrψilr）最优输运和复杂几何15此外，当以全纯向量场表示时，T Msatis的曲率具有以下等式：Ri'jk'l='RgD(用户界面，vj、，英国，vl）-RgD(用户界面，uj，英国，ul）（5）=-ψijkl+ψrsψiksψjlr。我们指出，对于Hessian流形，Shima将Hessian曲率定义为公式5的负值【39】。我们将不使用此约定，而是在复杂几何体中工作。4、最优运输与复杂几何在总结了背景知识后，我们现在可以陈述本文的主要结果，这些结果将最优运输的正则性理论与萨基度量的复杂几何联系起来。4.1. 当c:X×Y时，MTW张量和T M的曲率→ R是ψ-成本，Ma、Trudinger和Wang观察到MTWtensor采用以下形式。（6） S（x，y）（ξ，η）=（ψijpψrsqψpq）- ψijrs）ψrkψslξiξjηkηl。在这个公式中，k和d l被求和，尽管向量covector ambiguity产生了双上标。为了使方程5和6之间的联系更加精确，我们用Hessian流形的结构来归纳M。为此，我们使用ψ作为黎曼度量的一个势函数，并将D作为U坐标微分引起的fl-at连接。然后用K¨ahler度量导出（T M，gD，JD），下面的定理是直接的。定理6。设X和Y为rnan中的开集，c为ψ-代价。

然后，MTW张量满足以下等式：（7）S（ξ，η）=2RgD（ξ，Jη, ξ、 Jη) - 2RgD（η, ξ, η, ξ).这里，RgDis在锐化η（回想一下，MTW张量中的η是一个η（ξ）=0的covector）并将ξ和η扩展到它们在T M中的实分量后，Sasaki度量在（T M，gD，JD）上的曲率。此外，当我们允许ξ和η是任意的时，横曲率满足相同的公式。16密歇根大学和密歇根大学指出，重要的是要注意之前结果中的指数。本文的前一个版本转换了j和k的角色，这错误地归因于MTW十位数或正交二分法曲率。为了简化讨论，我们通过以下公式定义反平衡曲线：（8）A（η，ξ）：=RgD（ξ，Jη，ξ，Jη）- RgD（η，ξ，η，ξ）根据全纯（1，0）-向量ξ和η，我们对反二分电流有以下恒等式：A（ξ，η）=RgD（ξ，η，ξ，η）+RgD（η，ξ，η，ξ）.此外，我们将A对正交ξ和η的限制称为正交反等分曲率，其中我们表示OA。我们说，如果对于所有正交实η和ξ，OA（ξ，η）是非负的，则度量有（NOAB）。我们选择这个术语是为了反映这样一个事实，即两条J-不变p车道的平分曲率满足公式（η，ξ）=RgD（η，ξ，η，ξ）+RgD（η，Jξ，η，Jξ），这与A不同，在截面曲率被加而不是减。我们用以下备注来结束讨论，我们将在确定某些最优运输问题的规律性时使用这些备注。备注7。ψ-成本的MTW张量在集合T（X）上为非负效应M（NOAB- Y） T M.4.2。集合的相对c-凸性和对偶测地凸性。