关于某些最优运输问题的K“ahler几何

为了建立最优传输的正则性（如定理2所述），不仅需要假设MTW张量为n负，还需要假设u和ν支撑的相对c凸性。对于ψ-成本，我们在这里建立了一个自然的几何解释。回想一下，对于x∈ 十、 Y中的c段是曲线c-expx(l) 对于某些线段l 对于所有X，集Y相对于集X是c凸的∈ 十、 Y包含Y中点之间的所有c段。对于ψ-代价，相对c-凸性与关于对偶连接的几何设计凸性相对应*.回想一下，双连接D*满足方程3，其中D是由u坐标差引起的FL连接。最佳传输和复杂几何17为了看到这一点，我们应用方程式4来看到-ci，=-ψi（x- y） =-θi（x- y） ，其中θi（x- y） 是点x- y∈ M表示双坐标θi。通过定义，c段对应于θ坐标中的直线，这是相对于双连接D的更多测地线*. 这立即影响了以下内容。提案8。对于ψ-代价，集Y相对于X是c-凸的当且仅当，对于allx∈ 十、 集合X- Y M相对于对偶连接D是测地凸的*.类似的结果适用于X相对于Y的相对c-凸性。结合前两个结果，我们可以用这种新的语言重述定理2。定理。假设X和Y是光滑有界域，du和dν分别是X和Y上支持的光滑概率密度，从零开始有界，在其支持上有界。考虑一些凸函数ψ：M的ψ-代价→ 并假设以下条件成立。（1） ψ是Cand局部强凸（即。

Hessian是积极的定义）。（2） 对于所有x∈ 十、 X个- Y 对于对偶连接D，M是严格测地凸的*.（3） 对于所有y∈ Y，X- y 对于对偶连接D，M是严格测地凸的*.（4） K¨ahler流形（T M，gD，JD）在子集T（X）上有（NOAB- Y）。如定理1所示，将携带u到ν的c-最优传输图放入管中。然后u∈ C∞（十） 和Tu:X→ Y是一个光滑的差同态。我们应该注意到，对于许多ψ-利息成本，ψ在其整个域上不会是一致的强凸。这对于正则性理论来说不是问题，因为我们将把注意力限制在有界集X和Y上，所以X- Y为预紧。因此，ψ在X上是强凸的- Y4.2.1. D（α）ψ发散的情况。如果我们考虑散度D（α）ψ：M×M→ R（定义见1.1.3），类似结果成立。在这种情况下，我们在M上构造了一个Hessian度量，并将X18密歇根大学和MICHIGANand大学Y视为M的子集。定理6将D（α）ψ-散度onM的MTW张量与T M的正交反等分曲率和命题8联系起来。从信息几何的角度来看，这是一种更自然的构造，因为它消除了考虑差异集X的需要- Y此外，当势是指数族的一个配分函数时，它的域保证是凸的，因此散度得到了很好的定义。5、应用由于上一节中的结果为之前的工作提供了新的解释，因此很自然会要求使用此方法可以找到新的结果。在本节中，我们将给出几个这样的应用程序。在本节中，我们将不提供标识的派生，因为它们非常复杂。为了计算相关的曲率传感器，我们编写了一个Mathematica笔记本，可在线获取[18]。5.1.

具有（NOAB）的完整复杂曲面。复杂几何中一个值得关注的问题是理解具有各种非负性性质的完全K¨ahler度量。最著名的是，Frankel猜想指出，如果紧K¨ahler流形具有正全纯二分曲率，则它是复投影空间CPn的双全纯同态。1979年Mori【28】和1980年Siu Yau【40】分别证明了这一猜想。对于紧凑的K¨ahler流形，在曲率消耗较弱的情况下可以得到这个结果。例如，所有具有正正交对分曲率的紧致K¨ahler m an if olds都是CPn的双全纯（参见[6][9][15]）。此外，所有具有非负各向同性曲率的紧不可约K¨ahler m an if old要么是厄米对称的，要么是CPn的双全纯的[38]。对于复杂曲面，非负正交二分曲率等效于非负各向同性曲率[23]，因此之前的结果给出了此类曲面的分类。对于非紧流形，很自然会问类似的结果是否成立。这个方向上最著名的猜想是Yau的一致化猜想，它指出任何非负二分曲率的完全不可约非紧K¨ahler度量都是双全纯的，比例因子为1-D（α）ψ散度的曲率和MTW张量之间的α。在高维空间中，非负各向同性曲率比非负正交二等分曲率具有更强的假设性。最佳传输和复杂几何19Cn【47】。

虽然完整的猜想仍然是开放的，但刘在一定的体积增长假设下证明了它。由于反二分法曲率似乎与二分法曲率相似，我们还可以问，如何控制非负反二分法曲率或（NOAB）在K¨ahler流形的几何上提供。使用极化公式[16]，可以表明，在任何常数全纯截面曲率的度量下，都有消失的正交反二分法曲率，因此任何厄米对称空间都满足（NOAB）。然后，可以询问是否还有其他示例。下面的例子给出了一个非常有趣的度量，它满足（NOAB）和完备性，但对于Cn既不是厄米对称的，也不是双全纯的。示例9（具有（NOAB）的完整曲面）。考虑负半平面M=H：={（u，u）| u<0}。用具有势函数ψ：H的Hessian度量导出它→ R由ψ（u）=-u4u型-日志(-2u）。对于向量ξ=u+aU和a系数η=adu- du，关联的正交反二分法电流T H由oa（η）给出, ξ） =6a(-因此，计量单位有（NOAB）。该指标具有独立的意义，为了更全面的讨论，我们请读者参考Molitor的工作【26】。我们将顺便注意到它的一些曲率特性。对于向量ξ=u+a当曲率η=du+adu时，全纯截面曲率由h（η，ξ）=2给出- 4a+a-8+6uu- 12auu。因此，全纯截面曲率没有明确的符号。同样，可以证明正交二分曲率也没有定义。但是，该度量确实具有恒定的负标量曲率。这个manifoldis complete和Stein（它是C中开集的双全纯）。

然而，它在R的半空间上具有标准的复结构，因此与C不是双全纯的。通过仅在实向量和凹因子上计算反二分法曲率，我们有点滥用符号。为了将其形式化，将ξ和η扩展到T M.20密歇根大学和密歇根大学5.1.1上的真实对应项。正态分布的Fisher度量。虽然这个例子有着有趣的理论性质，但它似乎是一个没有上下文的特殊解释。事实上，这是信息几何的一个自然例子。如果我们考虑uas和uas正态分布的自然参数（即u=μσ和u=-12σ），则黎曼度量gij=ψij是一元正态分布统计流形上的Fisher度量。作为黎曼流形，（H，g）是一个完整的双曲曲面（这促使我们选择了符号）。然而，请注意，（u，u）坐标并不能导出双曲线空间的标准半平面模型。5.1.2. 一个密切相关的例子。使用正态统计流形，可以构造另一个满足（MTW）的K¨ahler度量。该空间实际上是厄米特符号，最初由Sh im a构建（见[39]中的示例6.7]）。考虑域fm：={（θ，θ）|θ- θ> 0}并用势为ψ的Hessian度量进行归纳*(θ) = -- 对数（θ- θ).这种势是由一元正态分布的双p参数θ=u和θ=u+σ以及势ψ的参数化产生的*（θ） 是例9中上述电势的勒让德对偶。计算向量ξ和covectorη的反平分曲线，我们发现它满足（ξ，η) = -η(ξ).因此，正交反等分曲率消失，全纯截面曲率e为负常数。

由此，我们可以看到，由于它是一个具有恒定负h全纯截面曲率的完全厄米对称空间，所以它的几何是独立的。这是西格尔上半部空间的一个例子，但我们将推迟到未来的工作中进行更完整的讨论。我们注意到，可以用与TfM非常相似的（NOAB）构造其他K¨ahler度量。使用类似的构造f或圆形多元高斯分布，可以在任意（u，σ）坐标中构造这样一个厄米对称空间，Fisher度量为ds=σdu+2dσ, 这更接近标准模型。最佳运输和复杂几何21维。例如，我们可以考虑势ψ（θ，θ）=--对数（θ- θ） ，也有（NOAB）。5.1.3. 相关成本函数的正则性f。我们还可以利用这一潜力，用自然规律理论构建成本函数。与其使用ψ-成本，不如考虑D（α）ψ-散度。对于此成本函数，我们可以应用我们之前的计算，以获得以下结果。假设u和ν是正态统计流形M的有界子集x和Y上支持的概率测度。进一步假设以下正则性假设成立。（1） u和ν相对于Lebesgue度量是绝对连续的。此外，du和dν是光滑的，边界远离零，并且在各自的支架上是完整的。（2） 对于所有x∈ 十、 X+y相对于坐标θ=u和θ=u+σ是严格凸的。此外，相同的属性适用于所有y的x+y∈ Y设c（x，y）是由c（x，y）=ψ（x）+ψ（y）给出的代价函数- Ψx+y,其中ψ是示例9中给出的凸函数。然后，将u转换为ν的c-最优映射是平滑的。5.2. 伪套利的规律性。

最近，Paland Wong的一系列论文（[31]-[33]、[44]-[45]）研究了发现伪套利的问题，伪套利是一种在“mildand现实假设”下表现优于市场投资组合的投资策略他们的工作将信息几何学与最优运输和数学金融相结合，将问题简化为解决最优运输问题，其中成本函数由所谓的对数偏差给出。[31]中的一个中心结果表明，从长远来看，投资组合图π的表现肯定优于市场投资组合，因为它解决了成本函数的Monge问题C:Rn-1×Rn-1.→ R由（9）c（x，y）给出：=log1+n-1Xi=1exi-易！- 日志（n）-nn型-1Xi=1Xi- 易。22密歇根大学和MICHIGANTo大学为该成本函数提供了一些背景，将x和y视为多项式分布的自然参数是有益的。对于自然p参数{xi}n-1i=1，我们可以使用以下公式计算第i次事件的概率pi（在本文中为第i次市场权重）：pi=exi1+Pn-1j=1exj1≤ i<n，pn=1+pn-1j=1exj。为了以更熟悉的形式编写此成本函数，我们类似地发现了与y参数和fixπ相关的概率=nn∈ △n、 重写这些术语中的成本，我们得到以下g:T（p | q）=lognXi=1πipiqi！-nXi=1πilog皮奇这个量在统计物理学中被称为自由能[31]，在金融中被称为各种不同的名称（如“多元化回报”、“超额增长率”、“再平衡再平衡”和“波动性回报”）。由于Pal和Wong将此称为对数下降，因此我们将此成本称为对数成本。这个代价函数是不对称的，所以不是由任何距离函数导出的。

然而，詹森的不等式表明这是一种分歧。Pal和Wong的工作重点是研究由对数凸函数导出的发散函数的信息几何性质，其中T（····）只是一个例子。对于任何对数凸函数，可以定义相应的散度D[·|·]，其具有对数成本的自对偶表示（见[31]的第3.7页）。为了研究最优传输，我们没有事先指定对数凸函数。事实上，这样一个函数可以导出最优运输问题的解。对于对数成本，只有第一项影响最佳运输。因此，weinstead考虑成本函数▄c（x，y）：=log1+n-1Xi=1exi-易！。优化传输和复杂几何23这是凸函数ψ（u）=log1+n的ψ-成本-1Xi=1ui！。因此，我们可以应用定理6来计算代价c的MTW张量。对于向量ξ和covectorη，T Rn的反二分法曲率-由ψisA（ξ，η）诱导的Hessian度量) = 2g（η, ξ).因此，MTW张量相同地消失，成本具有非负交叉曲率。这一身份的证明可以在Shima的书[39]的命题3.9中找到。从曲率公式中，我们可以看出，在这个势下，可以导出一个具有常数正全纯截面曲率的K¨ahler度量oncN。因此，它是一个厄米对称空间，但不是完全的。为了应用Trudinger-Wang结果，我们还必须确定相对凸性在这种情况下的含义。为此，我们通过计算将对偶坐标解为自然参数Uiuiψf或i=1，n- 1、这样做，我们发现双坐标为Exi1+Pn-1j=1exj1≤ i<n，这正是市场权重pi的公式。

这一点最初令人惊讶，但从信息几何5.2.1的角度来看，它有一个自然的解释。多项式分布的信息几何。值得更详细地讨论此示例的几何图形。结果表明，如果我们将{xi}作为自然参数，势ψ会导出多项式分布的Fisher度量，这是统计学中的一个标准示例。几何上，这是一个球体正正角上的roun-dmetric，这立即表明基础Hessian度量和Sasaki度量都不完整。值得一提的是，这个度量不能扩展到K¨ahler-Sasaki度量，即整个球体的切线倍，这与球体不存在的事实有关。对于概率分布的指数族，对偶坐标是自然有效统计量的期望值。更具体地说，对于多项式分布，对偶坐标正是原始市场权重，24密歇根大学和密歇根大学解释了市场权重与势函数偏导数之间的关系。同样地，如果我们让P作为自然P参数x到市场权重P的坐标形式，那么子集x 注册护士-1是相对c-凸的，因为集合P（X）是通常意义上概率单纯形的子集。利用这个变换，我们说，如果X是预紧集，则概率单纯形的子集P（X）具有一致概率。更具体地说，当且仅当δ>0时，子集P（X）具有一致的概率，因此对于所有P∈ P（X）和1≤ 我≤ n、 pi>δ。5.2.2. 优化运输的规律性。从这些观察结果和之前的MTW张量恒等式，我们可以得出以下正则性结果。推论10。

假设u和ν分别是概率复形的子集X和Y支持的光滑概率测度△. 进一步假设以下正则性假设成立：（1）X和Y是光滑且严格凸的。此外，两者都具有统一的概率（如上所述）。（2） u和ν相对于勒贝格测度是绝对连续的，du和dν的边界远离零，并且在其支撑上是完整的。设^c（p，q）为^c（p，q）=lognnXi=1qipi给出的成本函数！-nnXi=1logqipi。然后，^c-最优映射Tutakingutoν是平滑的。在[32]中，Pal和Wong研究了成本函数^c，并用它定义了两个概率测度之间的位移插值。在他们的论文中，他们探讨了这种插值的正则性问题。我们现在可以使用上一个结果来回答这个问题。推论11。假设u和ν是满足推论10假设的光滑概率测度，TU是将u传输到ν的^c-最优映射。进一步假设T（T）u是从u到由T（T）=T·Id+（1）定义的ν的位移插值- t） Tu.那么t（t）是光滑的，既作为固定t的概率simplex上的映射，也作为t参数。最佳传输和复杂几何25对于t=1，插值问题的解很简单，因此推论10表明势u是光滑的。由于【32】中定义的位移插值对势函数进行线性插值，因此相关的位移插值对于0也是平滑的≤ t型≤ 1、最后，我们注意到，此处考虑的成本函数与Wang研究的径向天线ae成本非常相似，但不完全相同【43】。有意思的是，要确定这两种成本之间是否存在某种更深层次的联系，从而解释它们的明显相似性。5.3.