关于某些最优运输问题的K“ahler几何

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英文标题：
《On the K\\\"ahler Geometry of Certain Optimal Transport Problems》
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作者：
Gabriel Khan, Jun Zhang
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Let $X$ and $Y$ be domains of $\\mathbb{R}^n$ equipped with respective probability measures $\\mu$ and $ \\nu$. We consider the problem of optimal transport from $\\mu$ to $\\nu$ with respect to a cost function $c: X \\times Y \\to \\mathbb{R}$. To ensure that the solution to this problem is smooth, it is necessary to make several assumptions about the structure of the domains and the cost function. In particular, Ma, Trudinger, and Wang established regularity estimates when the domains are strongly \\textit{relatively $c$-convex} with respect to each other and cost function has non-negative \\textit{MTW tensor}. For cost functions of the form $c(x,y)= \\Psi(x-y)$ for some convex function $\\Psi$, we find an associated K\\\"ahler manifold whose orthogonal anti-bisectional curvature is proportional to the MTW tensor. We also show that relative $c$-convexity geometrically corresponds to geodesic convexity with respect to a dual affine connection. Taken together, these results provide a geometric framework for optimal transport which is complementary to the pseudo-Riemannian theory of Kim and McCann.   We provide several applications of this work. In particular, we find a complete K\\\"ahler surface with non-negative orthogonal bisectional curvature that is not a Hermitian symmetric space or biholomorphic to $\\mathbb{C}^2$. We also address a question in mathematical finance raised by Pal and Wong on the regularity of \\textit{pseudo-arbitrages}, or investment strategies which outperform the market.
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中文摘要：
设$X$和$Y$是$\\mathbb{R}^n$的域，分别具有$\\mu$和$\\nu$的概率测度。我们考虑了从$\\mu$到$\\nu$的最优传输问题，其代价函数为$\\c:X乘以Y到$\\mathbb{R}$。为了确保这个问题的解决是顺利的，有必要对域的结构和成本函数做出一些假设。特别地，马、特鲁丁格和王建立了正则性估计，当域之间是强凸的，且代价函数具有非负的MTW张量时。对于形式为$c（x，y）=\\ Psi（x-y）$的成本函数，对于某些凸函数$\\ Psi$，我们找到一个关联的K\\“ahler流形，其正交反等分曲率与MTW张量成比例。我们还表明，相对$c$-凸性在几何上对应于关于对偶仿射连接的测地凸性。综合起来，这些结果为优化传输提供了一个几何框架，这是对Kim和McCann的伪黎曼理论的补充。我们提供了几个ral本工程的应用。特别是，我们发现了一个具有非负正交二分曲率的完整K“ahler曲面，它不是Hermitian对称空间，也不是$\\mathbb{C}^2$的双全纯曲面。我们还解决了Pal和Wong在数学金融学中提出的一个问题，即伪套利的正则性，或优于市场的投资策略。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Differential Geometry        微分几何
分类描述：Complex, contact, Riemannian, pseudo-Riemannian and Finsler geometry, relativity, gauge theory, global analysis
复形，接触，黎曼，伪黎曼和Finsler几何，相对论，规范理论，整体分析
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-11 05:30:29 上传

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关键词：运输问题 Mathematical Optimization Differential Applications

某些最优运输问题的K¨AHLER几何Abriel KHAN和JUN ZHANGAbstract。设X和Y分别是具有概率测度u和ν的rNe的域。我们考虑了关于成本函数c:X×Y的从u到ν的最优传输问题→ R、 为了确保这个问题的解决是顺利的，有必要对域的结构和成本函数做出一些假设。特别是，Ma、Trudinger和Wang[25]在域之间是强相对c-凸且代价函数具有非负MTW张量时，建立了正则估计。对于公式c（x，y）=ψ（x）的成本函数- y） 对于一些凸函数ψ，我们发现一个相关的K¨ahler manifold，其正交反等分曲率与MTW张量成正比。我们还表明，相对c-凸性在几何上对应于相对于双a ffne连接的测地线凸性。综上所述，这些结果为最佳运输提供了年龄计量框架，这是对Kim和McCann的伪黎曼理论的补充[20]。我们提供了这项工作的几个应用程序。特别是，我们发现了一个具有非负正交反二分法曲率的复杂曲面，该曲面不是厄米对称空间或C的双全纯曲面。我们还解决了Pal和Wong[32]在数学金融中提出的一个问题，即伪套利的规律性，或优于市场的投资策略。简介最佳tran sport是一个经典的数学领域，融合了几何学、概率论和分析的思想。1781年，Gaspard Monge首次正式确定了这个问题【27】。在他的工作中，他考虑到一名工人的任务是将一大堆沙子移到规定的配置中，并希望将完成工作所需的总工作量降到最低。

试图确定将沙漏输送到深层和微妙的数学现象中的最佳方式，这是一个蓬勃发展的研究领域。此外，最优运输有许多实际应用。Monge的工作日期：2019年8月23日。2密歇根大学和密歇根大学最初受到工程问题的启发，但这些相同的想法可以应用于科学、经济学、计算机图像处理和许多其他领域【34】。Kantorovich[17]提出的优化运输的现代框架考虑了两个概率度量之间的二进制耦合。在这个公式中，我们将x和Y视为分别具有概率测度u和ν的两个度量空间的Borel子集。直观地说，du是原始沙堆的形状，dν是目标配置。为了将s和d从u传输到ν，我们考虑u和ν的耦合，这是X×Y上的非负测量，其边缘分布分别为u和ν。为了衡量将运动u转换为ν的计划的效率，我们考虑了一个较低的半连续成本函数c:X×Y→ R、 Kantor-ovichoptimal tr运动问题的解决方案是耦合γ，其总成本最小∈Γ（u，ν）ZX×Yc（x，y）dγ（x，y）。这里，Γ（u，ν）是u和dν的所有耦合的集合（即边缘分布分别为u和ν的点概率）。在这种情况下，最小化测度γ被称为最佳耦合。对于非常一般的度量和成本函数，存在一个最佳耦合。因此，Kantorovich方法是研究最优运输的灵活而强大的框架。在Monge的工作中，假设给定点的质量不会被细分并发送到多个位置。

这被称为确定性最优运输，旨在确定一个可测量的地图T:X→ 因此，最优耦合完全包含在T的图中。当出现这种情况时，映射T称为最优映射。先验地，无法保证最优运输是确定性的，因此对于给定的最优运输问题，可能不存在Mongesolution。然而，我们将在第2节中讨论确定最佳训练运动的某些有效条件。对于确定性最优传输，很自然会问，最优MAPI是连续的还是平滑的。这被称为优化运输的调节性问题。历史上，关于这个问题的大部分工作都是在欧几里德空间中进行的，代价是c（x，y）=kx- ykpbetter被称为p-Wasserstein成本。对于更一般的成本函数（如黎曼流形上的Wasserstein成本），Ma、Trudinger和Wang【25】完成了开创性的工作，他们证明了在假设某种非线性四阶量（称为MTW十或（表示））的情况下，运输图是平滑的，是非负的，并且X和Y最优输运和复杂几何3相对而言是c凸的。Loeper[22]证实了这些结果，表明S的非负性对于建立平滑度量u和ν的连续性是必要的。此外，他还深入了解了MTW张量的几何意义。Kim和McCann【20】后来的工作进一步加深了这一理解，提出了一个最佳传输的伪黎曼框架，其中MTW张量是某些类光平面的电流。1.1. 我们的结果。在本文中，我们主要考虑ψ-成本，我们定义如下。定义（ψ-成本）。Letψ：M→ R是开域M-内李代数空间上的凸函数。

对于Rn中的开域X和Y，ψ-cost是formc的代价函数：X×Y→ Rc（x，y）=ψ（x- y） 此前，Gangbo和McCann【13】以及Ma、Trudingerand Wang【25】对这些成本进行了研究。为了充分确定此类成本，M mus t包含差异集合x- Y，定义的asX- Y：={z∈ Rn | x个∈ 十、 y型∈ Y使得z=x- y} 。现在我们可以总结一下我们的主要工作结果，这些结果将一个复杂的模型与一个给定的ψ-成本相关联。为此，我们将M看作Hessian流形，用ψ作为其势函数。这样的流形自然允许一对fl-at连接，我们将其表示为D和D*. 使用原始曲面连接D，切线束T M可以用K¨ahler度量来装配，称为Sasaki度量，并表示为（T M，gD，JD）。我们的主要结果显示了该度量单位的值与MTW十位数或之间的以下对应关系。定理。设X和Y为rnan中的开集，c为ψ-代价。然后，c的MTW张量满足以下特性：S（η，ξ）=RgD（ξ，Jη, ξ、 Jη) - RgD（η, ξ, η, ξ） 式中，ξ和η是一个正交实向量covector对（我们将其扩展到T M），而rgdis是（T M，gD，JD）的曲线。4密歇根大学和密歇根大学出于我们稍后将解释的原因，我们将右侧表达式称为正交反二分法曲率。我们进一步证明了s集的相对c-凸性是M命题上关于对偶a ffne连接的测地凸性。对于ψ-代价，集Y相对于X是c-凸的当且仅当，对于allx∈ 十、 集合X- Y相对于对偶连接D是测地凸的*.除了为正则性问题提供一个新的几何框架外，我们还可以使用这些结果来解决几个独立的问题。1.1.1. 复杂几何体的应用。

这种方法可以用来构造几个具有细微非负性的有趣度量的示例。特别是，我们发现了一个完整的复杂曲面，它既不是CNO的双全纯曲面，也不是厄米对称曲面，但其正交反等分曲率是非负的。使用这种方法构造的许多复杂流形都是独立的，我们将提供一些示例，我们将在未来的工作中深入研究这些示例。1.1.2. 数学金融应用。我们的第二个主要应用是建立投资组合设计理论中某个问题的规律性。Pal和Wong最近的工作研究了发现伪套利的问题，伪套利是一种投资策略，从长期来看几乎肯定会跑赢市场。他们的工作表明，这相当于解决具有统计发散的最优输运问题，该发散与统计物理中的自由能密切相关。对于这个问题，我们的方法将此代价的MTW张量与具有常数正h全纯截面曲率的K¨ahler流形联系起来。因此，该成本函数满足MT W（0）条件（也满足非负成本曲率的更强条件）。我们进一步证明了相对c-凸性精确地对应于概率单纯形上的凸性的标准概念。结合这些计算，我们可以应用[41]的结果来获得投资组合图及其相关位移插值的正则性理论。这解决了[32]中提出的一个问题，直观地表明，当市场条件发生轻微变化时，投资策略也不会发生太大变化。1.1.3. D（α）ψ-发散和信息几何。

虽然我们的主要结果是以ψ-成本的形式表述的，但它们也适用于D（α）ψ-发散的成本函数，这是第二作者之前研究过的[48]。最佳传输和复杂几何定义（D（α）ψ-散度）。Letψ：M→ R是欧氏空间中凸域上的凸函数。对于两点x、y∈ M和α∈ (-1，1），a D（α）ψ-散度为形式D（α）ψ（x，y）=1的函数- α1.- αψ（x）+1+αψ（y）- Ψ1.- αx+1+αy.当α接近±1时，D（α）ψ散度收敛到Bregman散度[3]。当α=0且ψ为qu-ad-ratic时，该散度仅成为2-Wasserstein距离。更重要的是，发散是距离函数的一种推广，在这种情况下，对称性假设和三角形不等式被放弃了。它们广泛应用于统计和信息几何中，研究概率分布参数族的几何。虽然本论文并不严格需要这方面的背景知识，但这项工作的主要动机是信息几何，我们将自由使用指数族的基本结果，为我们的应用提供直观和背景。有关信息几何学的更完整背景，请读者参阅Amari的书[1]。ψ-代价和d d（α）ψ-发散都涉及定义在Rn开域上的凸函数。主要区别在于是否有必要假设X-YM（对于ψ-成本），或X、Y和1-αX+1+αY M（对于D（α）ψ散度）。为了确保D（α）ψ散度得到很好的定义，我们将假设ψ的域是凸的。对于许多相关的例子，ψ将是指数族自然参数中所谓的对数配分函数。

指数族的一个普遍性质是，这些函数的域是凸的，因此这种凸性假设将自动得到满足。因此，D（α）ψ发散的几何结构更为自然，因为不需要考虑差异集X- Y我们的结果（以D（α）ψ-发散度表示）的初步注释已被接受为2019年信息几何科学的进展[19]。1.2. 论文的布局。在第二节中，我们讨论了一些关于最佳运动的背景信息。第3节讨论了关于Hessian流形和Sasaki度量曲率的一些背景信息。这两部分都有大量的回顾，熟悉该理论的读者可以跳过。在第4节中，我们陈述了我们的主要结果，这些结果显示了复杂/信息几何与最优运输规则理论之间的精确相互作用。在第5节中，我们探讨了密歇根大学和密歇根大学对这一结果的各种应用。在第6节中，我们总结了一节开放性问题，希望在未来的工作中加以探讨。1.3. 符号我们试图尽可能多地保留[7]和[36]中的符号，同时尽量减少符号滥用或重叠。为了清楚起见，我们现在介绍一些符号约定。在本文中，X和Y将表示Rn中的开放域。它们总是平滑且有界的。我们将使用{xi}ni=1a作为X上的坐标，使用{yi}ni=1a作为Y上的坐标。为了研究最优运输，我们将使用c（x，y）表示较低的连续成本函数c:x×y→ R、 通常，c的域会大于X×Y，但我们通常会忽略这一点。

为了避免与坐标函数和切线空间的表示法混淆，我们将Monge-Ampere型方程的解表示为u，以及相关的最优映射Tu。在大多数情况下，M将是欧几里德空间中的开域，ψ将表示凸函数ψ：M→ R、 如果M已经老了，也可以将其视为人，这是很有启发性的，我们将使用{ui}ni=1作为它的坐标。在第5节中，我们偶尔需要对坐标函数进行平方。在这样做的时候，我们使用subscripts（即{ui}ni=1）来注释协调函数。当考虑M（表示为T M）的切丛时，我们将使用丛坐标{（ui，vi）}ni=1。此符号是对Satoh【36】的修改，这样做是为了避免过度使用g“x”和“y”。为了规定具有几乎厄米结构的T M，有必要考虑M上的一个有效连接，我们用D表示。此外，我们使用W、X、Y、Z和ξ表示M上的切向量（即T M的元素）。这是[36]的惯例，除了书法字体，以避免与我们的领域符号混淆。在计算MTW张量时，我们将用ξ表示MTW传感器中的向量，用η表示系数。为了简化导数表示法，对于两变量函数c（x，y），我们使用cI，JtodenotexiyJc表示多维I和J。此外，ci，jdenotes表示混合导数ci，J的矩阵逆。对于凸函数ψ，我们使用符号ψjt表示uJψ表示多指数J，旋转ψij表示ψij的矩阵逆。最后，我们将在整篇文章中使用爱因斯坦求和符号。1.4. 确认。第一作者感谢郑方阳和关波对本项目的有益讨论。该项目得到了美国国防部高级研究计划局（DARPA）/美国农业研究组织（ARO）7DARPA赠款W911NF-16-1-0383（信息几何：信息科学的几何化，PI:Zhang）的支持。

这些结果的初步公布已被《信息几何科学学报2019》接受【19】。2、最优运输规律性理论的背景本文的主要目的是研究确保最优运输规律性所需的假设。为了理解这些，我们首先回顾了关于最优运输规律理论的一些初步结果。由于我们的主要兴趣是正则性问题的几何结构，我们将不会使用最精确的正则性估计。本节中的材料基于De Ph illipis和Figalli[7]的调查文件，该文件对规律性理论进行了更全面的概述。有关最佳运输的更完整概述，请参阅Villani的书【42】。回想一下，规律性问题主要是关于确定性最优运输的情况。作为例子，我们首先讨论一些条件，以确保Kantorovichoptimal运输问题是确定性的。以下条款最初由Brenier提出，用于2-Wasserstein成本【4】，并由Gangbo和McCann【12】证明了其更具普遍性。它给出了确定性输运的充分条件，并表明通过求解Monge-Ampere型方程可以找到最优映射。定理1。设X和Y是rna的两个开放子集，并考虑一个代价函数c:X×Y→ R、 假设du是X上支持的光滑概率密度，dν是Y上支持的光滑概率密度。