使用列生成解决Markowitz模型的扩展

为了满足这一约束，我们推导出以下有效条件。xi∈I | di |=Xi∈C | wi- wbi |+Xi/∈Cwbi公司≥xi∈C（wi- wbi）+（1-xi∈Cwbi）=2（1-xi∈Cwbi）和thusPi∈Cwbi公司≤ 0.4表示总绝对偏差约束。因此，为了满足主动共享约束，我们随机取消选择C中的资产，以减少基准权重的总和，例如PI∈Cwbi公司≤ 0.4.当违反约束时，通过重新调整λ的值，在每个步骤中获得跟踪误差约束。请注意，dTOhmd是客观条件之一；因此，通过调整λ，我们可以使psimchange优先：减小λ对于最小化跟踪误差更为重要，因此减少dTOhmd、 而增加λ则通过允许更高的风险来最大化预期收入，从而增加dTOhmd、 为了满足基数约束，我们通过在一组70个选定的候选资产（所有其他资产在解决方案中的权重均为0）上求解问题PSIMCTO最优来构建投资组合。通过这种方式，基数约束得到满足。通过删除零权重或小权重的资产，并用从给定资产通用性中选择的新候选资产替换，可以迭代修改候选集。当我们多次解决问题（PsimC）时，使用高效的解决方案非常重要。我们在MATLAB 2017b软件的Yalmip（Lofberg，2004）环境版本R20180926下使用Mosek版本8（Mosek ApS，2017）作为解算器。在我们测试的解算器中，Thissolver对解决我们的问题最为有效。现在，我们将解释我们最初如何选择资产集，以及我们如何在每次操作中更新它。对于每个给定的审查期，我们通过将C设置为前一期投资组合中选择的资产集来初始化算法。

如果先前余额组合中的候选资产不再存在于市场中，它将被随机资产替换为C。迭代地，在求解候选资产集C上的PSIMC后，我们从C中移除权重最低的资产和所有我们不投资的资产（投资<10-5） 并将其从C中移除。然后，为了调整基数，即我们在投资组合中考虑的资产数量为70，我们重新选择不在C中的资产添加到C中。我们根据投资这些资产的边际影响进行此操作。接受评估/∈ 设C=C∪{i} 。我们有兴趣知道我在求解（PsimC）时是否会有正权重或0权重。为了检查这一点，我们将wi= in（PsimC). 请注意，这个新问题与（PsimC）非常相似，我们称之为（PsimC).（PsimC）的目标) 是（PsimC）的相同目标加上术语（2dTOhm·,我-λαi） + Ohmi、 我.包括资产i对目标的边际直接影响可分为三个主要部分。这三部分是：对投资组合方差的边际影响、对平均投资组合回报的边际影响和对周转成本的边际影响。对目标函数和包括资产i在内的营业额的边际直接影响可从方程（2）中获得。mi：=2dTOhm·,我- λαi- 2λ10-3I（wP rei≥ 10-5） （2）在边际成本公式中，wP Rei表示之前投资组合中投资于资产i的金额。相应地，I（wP rei≥ 10-5） 是一个指示器功能。如果在前一期间，资产i中的投资金额在数值上非常大，则该指标函数取值1；i、 例如，至少为当前预算的0.001%，否则为0。（PsimC）的约束) 与（PsimC）的约束相同，但常数项除外。

间接影响可通过使用双（阴影）值获得。阴影值通常用于线性优化问题，但由于不具有强大的对偶性，它们也可用于非线性模型。将（PsimC）的约束写入“Ax”≤ b和s表示相应的对偶值。然后，投资于资产i的间接影响，如列生成的情况，由等式（3）给出。ki：=sTA·，i（3），然后使用方程式（4）获得投资资产i的边际效应δiof。δi=mi- ki（4）将具有最负边际效应的资产添加到候选资产列表中，使得新集合C的基数为70。然后，再次求解了对流问题（PsimC）。我们选择允许投资固定数量的70项资产，因为投资少于70项资产会导致（PsimC）的可行区域更小，因此导致比允许投资更多资产更糟糕的目标。

算法1描述了逐步优化投资组合的过程。数据：α：平均回报参数，Ohm: 方差协方差矩阵-1： 前期投资组合，wb：基准投资组合，(R)λ=5：风险参数λ=5：调整后的风险参数wp ret：在t期间调整后获得的权重- 1删除=I（wt-1=0）：我们在t期未投资的资产- 1非零=Pi-Removedi：我们未投资的资产数量wt=P sim：w（-Removed）：初始投资组合T=wt- wb：与基准相比的权重差异 = 10-3λ：营业额惩罚结果：wt、best、dt、bestwhile time≤ 2.9分钟后删除| wb（已删除）|<0.6 doAdd任意资产以删除wt（已删除）=0if的wt和DTP sim√dT公司Ohmd<0.05然后设置λ=0.9λelseif√dT公司Ohmd>0.1，然后设置λ=1.1λelseif Psim（wt，(R)λ）+ 营业额（wt，wb）<Psim（wt，best，(R)λ））+营业额（wt，best，wP ret），然后设置wt，best=wtendset OLDROVED=Removedset Removed=OLDROVED∪ {i:argminiwt（i）| i∈ 删除}设置wt（删除）=0设置删除=（wt<10-5） 设置非零=Pi-RemovedSelect 70- 非零资产基于在目标上具有最佳边际效果的资产删除=删除，不包括所选资产如果（旧删除=新删除），则重新选择70- 非零随机非移除资产newremoved=移除，不包括重新选择的资产sendremoved=newremovedendendandalgorithm 1：审查期t4的CG。应用程序下一步，我们将解决方案方法应用于所使用的数据集，并使用相关性能指标评估我们的解决方案。4.1. 数据该问题由全球投资公司Principal Inc.确定。该公司还提供了测试解决方案方法的数据。我们获得了从2007年1月3日开始的10年时间序列数据，我们称之为标准普尔500指数数据，以及同一时间间隔内这些资产收益率的4周方差协方差矩阵估计值。

条目每28天（4周）更新一次。日期每个条目的要素包括：唯一标识代码的标识符、用于设置区间内部门活跃权重的公司部门、反映资产相对于整个市场波动性的贝塔值、作为预期回报显示的绩效评估的阿尔法分数、资产名称、，基准权重，即所提供基准中的投资金额和市值五分位数，按市场分位数反映资产公司的规模。在结果表中，我们得到了每4周的历史回报。我们假设某一日期的回报是4周前完成的投资的结果。因此，2007-01-03年第一天的回报条目实际上是2006-12-06.4.2投资的回报。绩效衡量成本计算的基础是投资组合权重w和给定投资组合的四周回报率r。对于绩效衡量的计算，我们还包括营业额调整后的回报率。在我们的方法中，营业额被罚0.5%，以避免因投资组合变化而产生的高成本。营业额由以下两个公式计算。wP rei，t=wi，t-1（1+ri，t-1） Piwi，t-1（1+ri，t-1） 营业额（wi，t，wP rei，t）=Xi | wi，t- wP rei，t |我们通过将以下结果与基准结果进行比较（包括和不包括周转成本）来评估我们的解决方案：o累积回报是获得的总回报。

它被用来观察在最后一个时期结束时，科森投资组合计划的表现如何年度回报将累计期间转换为平均年度回报。使用年度回报的优势在于，该绩效衡量与衡量的时间间隔无关年化超额回报定义为拟议投资组合的年回报率与基准年回报率之间的差异跟踪误差是所选投资组合的回报与基准之间差异的标准偏差。我们通过考虑一年内的再平衡次数，使用年化跟踪误差。跟踪误差可用于分析投资组合与基准的跟踪程度夏普比率是一种衡量投资组合相对于其所承担风险的回报的指标（夏普，1994）。它的计算方法是从最终回报中减去最佳无风险期权，然后除以观测回报的标准差。由于无风险期权根本不是投资，因此我们将该值取为1。该比率有助于我们了解选择风险较高的资产如何影响我们与无风险选项相比的额外回报。这个比率有助于看到回报和风险之间的权衡信息比率是一种衡量指标，通过跟踪误差归一化，显示投资组合的回报率与给定基准相比有多好。根据toGrinold和Kahn（2000）：“信息比率衡量事后（回顾）的成就，意味着事前（展望）的机会。”它是通过将投资组合收益率和基准收益率之间的差异除以跟踪误差来发现的。信息比率与夏普比率相似，但IRR以基准为基础给出了风险和回报。投资组合和基准之间的差异越大，跟踪误差越小，则IR越高。

因此，更高的IR可以用来衡量“基准的遵循程度，以及更好的回报。”4.3. 结果与分析我们对算法的每个审查周期使用170秒的运行时间限制。为了检查我们的方法的性能，我们将我们的投资组合在主数据集上的性能与基准数据集上的性能进行比较。在这种比较中，我们不考虑基准投资组合回报的周转成本。因此，我们将结果分析分为两部分。我们首先比较我们的方法的结果，不包括周转成本。在第二部分中，我们确实将周转成本包括在我们的投资组合中。从表1中的绩效统计数据可以看出，我们的方法（不包括营业额成本）的结果优于基准。在每个性能统计中，我们的模型的结果都优于基准的性能统计。表1：。投资组合绩效统计数据，不包括周转成本。2007年1月1日至2016年12月31日投资组合基准累积回报275.65%239.10%年化回报14.15%12.99%年化超额回报1.16%–夏普比率55.75 40.81信息比率24.25–我们的模型间接处理周转成本，但获得的投资组合仍有较大的周转率。这也可以在图1中看到，图1绘制了我们的投资组合在审查期间的周转成本。这些周转成本按单位周转成本的0.5%计算。图1表明，我们的方法没有充分关注小营业额。图1：。周转成本：基于单位周转率0.5%的周转成本，我们投资组合相对较高的周转成本导致我们的方法表现略差于基准。这些性能统计数据见表2。这些绩效差异表明，我们的方法在每个时期都对投资组合进行了过多的调整。

这就是为什么，对于该模型的未来发展，更加关注周转成本的最小化非常重要。在本节讨论中，我们建议对该方法进行一些调整，以实现较低的营业额。表2：。投资组合绩效统计，包括2007年1月1日至2016年12月31日的周转成本投资组合基准累积回报207.18%239.10%Annualized Return 11.88%12.99%Annualized Over Return–1.11%–Annualized Tracking Error 5.54%–Sharpe Ratio 41.95 40.81 Information Ratio–20.75–回报率的差异是由于单位营业额的周转成本为0.5%。图3显示了从2007年1月31日到2016年12月21日的每周审查日的周转成本。图2显示，包括营业额在内的最终回报率平均没有基准高。这在一定程度上是由较小的风险补偿的，如方框图的较小价差所示。因此，我们的结果投资组合可以被视为更加稳健。图2：。营业额调整后4周回报的箱线图下一步，我们将展示我们的方法在每个审查期间的表现。这些结果如图3所示，它表明模型与基准非常接近，我们的投资组合甚至会导致较小的峰值。这可以解释为，我们的方法导致了比基准更稳健的投资组合。图3：。每个审查周期5的营业额调整4周回报。讨论我们的方法显示了解决基数约束下的投资组合优化问题的前景。表1显示，在风险和预期回报方面，不考虑周转成本的绩效优于基准。但在营业额方面，这种方法还有待改进。图3和表2都表明，该方法因周转成本的限制而存在困难。因此，对于未来的研究，我们建议限制允许的营业额。

尽管营业额调整后的累计回报率绩效略低于基准，但这部分是由于基准没有营业额成本。总的来说，该方法结合了一个综合模型，该模型的性能接近基准，同时考虑了许多实际问题。该方法应同样适用于具有基数约束的二次优化问题（尤其是线性问题）。由于在我们的模型中，我们不允许存在不可行的解决方案，因此，如果没有找到解决方案，则有必要使我们的模型更灵活或允许（小）违反约束。可以做出的另一个改进是考虑多期投资组合选择，以降低显著的周转成本。还可以通过考虑性能参数α的变化来减少周转成本，以及Ohm, 随着时间的推移，这可用于使投资组合更加一致，或发现资产绩效的趋势。该方法的一个可能变体是基于新资产的随机选择的列生成算法；这将使解决方案方法更加多样化，因为在每次迭代中都会有更多的潜在资产。此外，这可能有助于避开可能的局部最优解。其思想是选择离开的资产并随机进入候选资产集。可以统一选择，也可以选择与边际效应或降低成本成比例的概率，其中降低的成本由影子值决定。在我们的算法中，对于每个时间段，我们都会将初始投资组合引用回之前的投资组合，并且算法会通过改进对其进行更改。然而，由于我们启动了之前的投资组合，该投资组合最终将接近之前的投资组合。通过这种方式，我们确保了算法的有效性，并且可以快速终止。

这使得模型能够在更大的数据集（10倍或20倍）上产生基于良好的结果。另一方面，可以查看每个可能的资产，以在每个时间段初始化算法的投资组合。这将增加计算负担，但可以使选择更加多样化。参考Sanagnostopoulos，K.P.，&Mamanis，G.（2011）。均值-方差基数约束投资组合优化问题：五种多目标进化算法的实验评估。专家系统及其应用，38（11），14208–14217。Bienstock，D.（1996年）。一类混合整数二次规划问题的计算研究。数学规划，74（2），121–140。Cesarone，F.、Scozzari，A.、Tardella，F.（2013）。带基数约束的均值-方差组合优化的一种新方法。运筹学年鉴，205（1），213–234。Chang，T.-J.，Meade，N.，Beasley，J.E.，和Sharaiha，Y.M.（2000）。基数约束投资组合优化的启发式算法。《计算机与运筹学》，27（13），1271–1302。Cochrane，J.H.（2009）。资产定价：修订版。普林斯顿大学出版社。Cremers，M.（2017）。积极分享和积极管理的三大支柱：技能、信念和机会。《金融分析师杂志》，73（2），61–79。Cremers，M.，&Petajisto，A.（2009）。你的基金经理有多活跃？预测性能的新指标。《金融研究评论》，22（9），3329–3365。Grinold，R.C.，&Kahn，R.N.（2000）。积极的投资组合管理。McGraw HillNew York。Holt，C.A.，&Laury，S.K.（2002）。风险规避和激励效应。《美国经济评论》（AmericanEconomic Review），92（5），1644–1655。Lofberg，J.（2004）。YALMIP：MATLAB中用于建模和优化的工具箱。计算机辅助控制系统设计，2004 IEEE国际研讨会（第284–289页）。Markowitz，H.（1952年）。