使用列生成解决Markowitz模型的扩展

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英文标题：
《Using Column Generation to Solve Extensions to the Markowitz Model》
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作者：
Lorenz M. Roebers, Aras Selvi, Juan C. Vera
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We introduce a solution scheme for portfolio optimization problems with cardinality constraints. Typical portfolio optimization problems are extensions of the classical Markowitz mean-variance portfolio optimization model. We solve such type of problems using a method similar to column generation. In this scheme, the original problem is restricted to a subset of the assets resulting in a master convex quadratic problem. Then the dual information of the master problem is used in a sub-problem to propose more assets to consider. We also consider other extensions to the Markowitz model to diversify the portfolio selection within the given intervals for active weights.
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中文摘要：
我们介绍了一种带基数约束的投资组合优化问题的解决方案。典型的投资组合优化问题是经典Markowitz均值-方差投资组合优化模型的扩展。我们使用类似于列生成的方法来解决此类问题。在该方案中，原始问题被限制为资产的子集，从而产生一个主凸二次问题。然后将主问题的对偶信息用于子问题，以提出更多需要考虑的资产。我们还考虑了对Markowitz模型的其他扩展，以在给定的主动权重区间内使投资组合选择多样化。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Using_Column_Generation_to_Solve_Extensions_to_the_Markowitz_Model.pdf (646.16 KB)

2022-6-11 05:32:41 上传

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关键词：Markowitz Mark Mar Optimization Quantitative

技术说明：使用列生成来解决马科维茨模型的扩展Lorenz M.Roebers、Aras Selvi和Juan C.Vera Tilburg大学计量经济学和运筹学系，5037 AB Tilburg，The NetherlandsARTICLE History，编译日期：2019年6月25日摘要我们介绍了基数约束投资组合优化问题的解决方案。典型的投资组合优化问题是经典Markowitz均值-方差投资组合优化模型的扩展。我们使用类似于列生成的方法来解决此类问题。在该方案中，原始问题被限制为资产的子集，从而产生一个主凸二次问题。然后在asub问题中利用主问题的对偶信息来支持更多的资产。我们还考虑了对Markowitz模型的其他扩展，以在给定的有效权重区间内使组合选择多样化。关键词运动组合优化；马科维茨投资组合理论；列生成1。简介在投资组合优化中，投资者在可用资产之间分配资金。目标是从一组可行的投资组合中选择最佳的投资组合，其中投资组合的质量是根据不同的因素、经典预期回报和风险来衡量的。也就是说，投资组合优化问题自然是一个多目标问题，风险和回报之间存在权衡：通常预期回报率越高意味着面临的风险越高，反之亦然。这种交易是根据投资者的风险厌恶程度设定的。投资组合优化的标准模型是传统的Markowitz均值-方差投资组合问题（Markowitz，1952）。在该模型中，预期收益和风险之间的权衡由收益预期和收益方差的加权组合表示。

马科维茨模型在理论上非常强大，但由于设置不现实，因此受到了很多批评，因此，将简单的马科维茨模型扩展为基数和数量约束非常重要（参见，例如，（Cesarone、Scozzari和Tardella，2013））。在本文中，我们考虑了传统的Markowitz均值-方差投资组合问题，该问题被一些实际约束（包括基数约束和数量约束）所扩展。现有的解决这些硬约束的方法是基于启发式和进化计算的。我们提出了一种基于列生成方法的二次优化问题的新方法。为此，约束联系人Aras Selvi。电子邮件：a。selvi@tilburguniversity.eduare分为两组。第一组“简单”是一组线性约束。第二组约束是计算复杂性方面的硬约束。该组由非凸的跟踪误差约束和组合性质的基数约束组成。基本模型包括基于多个特征（如主动权重、市场资本分位数、部门和偏离基准）对资产权重设置限制的约束。我们将基本模型定义为由第一组约束条件扩展的Markowitz模型。由于包含的所有约束都是线性的，所以基本模型是一个（凸）二次优化问题，可以非常高效地求解。事实上，我们的实验分析表明，商业解决方案很容易解决这个问题。

我们的方法将基于迭代求解基本模型的几个实例，因此效率至关重要。第二组由三种类型的约束组成，即对偏离基准的主动股票约束、对所选投资组合回报与基准之间相关性的跟踪误差约束，以及对投资组合中主动资产数量的基数约束。我们通过不断调整风险参数来解决跟踪误差约束问题。为了处理基数约束，我们提出了一个基于投资这些资产边际效应的新资产选择子问题。我们的方法可以看作是将列生成扩展到二次设置。在文献中，非常关注现实生活中的交易成本和监控可用性；特别地，研究了基数约束。Cesarone等人（2013年）讨论了这类问题的计算复杂性。虽然经典的Markowitz模型是一个凸二次规划模型，但基数约束导致了一个非常复杂的NP-hard问题，可以通过混合整数二次规划来建模。Bienstock（1996）提供了一种精确的方法，采用了分支切割算法。尽管这项工作提供了理论上强有力的结果，但这种方法对于实际问题并不实用（见（Cesarone et al.，2013））。因此，文献中考虑的算法主要基于局部搜索和多目标进化算法，无法保证全局最优。遗传算法、禁忌搜索和模拟退火对基数约束的影响见（Changet al.，2000）的详细工作和其中的参考文献。

还研究了进化算法的扩展，如记忆算法，以解决基数约束（Streichert、Ulmer和Zell，2004）。Anagnostopoulos和Mamanis（2011）的工作中可以找到更多进化算法的实验和比较。本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们提供了符号，并从数学上阐述了问题。在第3节中，我们介绍了解决问题的方法。在第4节中，我们对我们的方法进行了数值测试。我们描述了我们使用的数据，并通过分析结果来评估解决方案的性能。第5.2节给出了结论、调整解决方案的替代方法和最终注释。初步研究投资组合构建问题遵循马科维茨（1952）的模型，其中arisk averse investor的目标是构建一个最大化预期回报和最小化风险的投资组合。考虑到涉及彩票等的大量实验证据，风险规避是一个非常现实的假设（Holt&Laury，2002）。马科维茨模型使用投资组合收益的波动性作为风险度量。鉴于Ohm, 根据资产收益的方差方差矩阵和资产预期收益的向量α，我们建立了以下优化模型minwwTOhmw- λαTws。t、 wi公司≥ 0i（非负权重分配）Xi∈Iwi=1（全部投资组合）（1），其中决策变量向量w表示每项资产中投资的财富百分比，I是所有可能资产的集合。参数λ>0反映了投资者的风险厌恶，平衡了风险和回报之间的偏好。

FirstConstraint将权重分配限制为非负（允许空头头寸），第二个约束确保资产权重的总分配总和达到1（仅表明所有基金必须投资于我们的资产范围）。假设投资者只关心投资组合回报的均值和方差，我们忽略了所有更高的时刻，如偏态（尾部风险）或偏态（尾部肥胖）。因此，到目前为止，我们使用了相同的假设，即在无摩擦的环境中，可以很容易地构建均值-方差有效边界（参见e.g.（Cochrane，2009）），并选择最佳投资组合。2.1. 基本模型我们在模型（1）中添加约束，使分析更接近实际实现和文献中的最新发展。我们使用M CAP Qkto表示与第k个市场资本五分位数中的公司相对应的资产集，其中k∈ K={1，…，5}。指数k=1代表最大的五分位数，k=5代表最小的五分位数。给定问题中的资产被分配到多个部门：每个资产i属于某个部门j。我们将集合部门j定义为部门j中所有资产i的集合，其中相关公司属于部门j∈ J、 所有的扩展在财务上都非常直观。我们假设权重为WB的基准是外部指定的。我们引入了辅助决策变量=w-wb，根据资产权重衡量与给定基准的偏差。与模型（1）的第一个区别是，我们使用dTOhmd+λαTd作为目标函数，而不是wTOhmw+λαTw。在我们的方法中，不是将λ视为异源固定参数，而是动态调整λ的值，以满足风险暴露约束。

更多详情见第3节。我们根据不同的特征对偏离基准的情况增加了限制：-0.05≤ di公司≤ 0.05我∈ I（与基准重量的偏差）-0.1≤xi∈部门JDI≤ 0.1j∈ J（扇区有效权重）-0.1≤xi∈MCAP Qkdi≤ 0.1k∈ K（市场资本五分位活跃权重）-0.1≤xi∈Idiβi≤ 0.1（β-有效权重）与基准权重的偏差约束将个体与基准权重的偏差限制在-5%至+5%之间。给定问题中的资产被分配到各个部门；每项资产都属于一个部门。因此，扇区活动权重约束将每个扇区的总偏差总和限制在10%以下。资产的市值反映了资产相对于市场的资本化规模。市值五分位数约束确保每五分位数资本规模的总偏差不超过10%。贝塔主动权重约束确保贝塔乘积的总和（每个资产对整个市场的敏感性的外部特定度量）以及与基准的偏差不超过10%。这些约束条件确保已构建的投资组合与基准没有太大偏差，并且资产的权重分配分布在各个部门、资本化和beta之间。这与风险管理角度和其他限制投资组合暴露于特殊（如特定公司）冲击的政策有关。2.2. 计算困难约束第2.1节中讨论的基本模型可以有效地解决。在本节中，我们引入的约束是使问题可计算的约束。2.2.1. 主动共享我们引入的第一个非凸约束是主动共享约束。

最初由Cremers和Petajisto（2009）提出并由Cremers（2017）进一步分析的activeshare概念是对投资组合相对活跃度的衡量。投资者对投资组合的活跃份额感兴趣的原因有几个。例如，在共同基金中，了解基金经理的活跃程度非常重要。毕竟，任何积极的投资组合管理服务都涉及某些成本（管理费），这些成本被视为对投资组合经理产生正异常回报（金融术语、正Alpha）的努力的补偿。这个共同基金经理的例子听起来可能有限制性，但其概念相当广泛，可以应用于任何投资组合选择程序。由于通过构建完全投资于基准的投资组合的活跃份额为零，因此我们的优化问题只是试图找到与给定基准的最佳偏差。此外，通过比较每项资产的投资金额，可以观察到与基准的偏差。活动共享约束由以下公式给出：0.6≤ 1.-xi∈Imin（wi、wbi）≤ 1（主动共享）该约束的数学正确性也是直观的。假设当前解决方案中选择的投资组合与基准完全相同。然后，min（wi，wbi）=每个资产i的wbif，结果为1-Pimin（wi，wbi）=0。这显然违反了法律。然而，若所选投资组合中存在更多显著偏差，则约束将得到满足。我们使用引理2.1重新表述了偏差绝对值之和的主动股份约束。引理2.1。在完全投资组合约束下，对于任何a:Ximin（wi，wbi）≤ a当且仅当ifXi | di |≥ 2(1 - a） 证明。

对于所有i，我们有min（wi，wbi）=（wi+wbi）-|wi公司-wbi |=（wi+wbi）-|di |。ThusPimin（wi，wbi）=Pi（wi+wbi）-Pi | di |=1-Pi | di |和lemmafollows。因此，在我们的例子中，主动共享约束等价于toPi | di |≥ 1.2（总绝对偏差）2.2.2。跟踪误差跟踪误差计算（Roll（1992）引入，Rudolf、Wolter和Zimmermann（1999）分析）也可以被视为衡量投资组合回报相对于基准的分散程度。0.05≤√dT公司Ohmd≤ 0.1（跟踪误差约束）约束的左侧为凹面，右侧为凸面。由于通常很难解决具有凹约束的最小化问题，我们使用另一种方法来满足跟踪误差约束，即通过调整风险规避参数值λ。请注意，跟踪误差约束是对风险度量的约束，因此选择λ将反映跟踪误差是有意义的。因此，该算法动态调整λ值以满足跟踪误差约束。第3.2.2.3节给出了该方法的详细信息。基数基数约束与以下观点密切相关：金融市场没有摩擦，存在大量交易成本和可分割性限制。因此，平衡一个包含数百项资产的投资组合可能会非常昂贵，并侵蚀所有净回报。这促使投资组合中只有有限数量的头寸发生变化。另一个想法是，资产较少的投资组合易于监督和分析。

因此，基数约束带来了实际优势。在我们的模型中，基数约束确保活动资产（即非零权重资产）的数量至少为50，最多为70.50≤ 卡（wi6=0）≤ 70（基数）此约束是一个组合约束，将此类型的组合约束添加到二次优化问题会使问题在计算上很难解决。我们的主要贡献是一种新的方法来解决这一限制。简而言之，在所提出的方法中，我们以交互方式维护一小部分候选资产，以确保基数约束。我们找到了仅限于这组资产的最佳投资组合。然后，通过计算每项资产对目标的边际影响，动态更新资产集，并将最有希望的资产作为新的候选资产，同时删除权重较小的资产。边缘效应的作用类似于线性程序列生成成本的降低。详情见第3.3节。在我们的方法论中，我们将问题分为一个主问题和一个子问题。给定一组候选资产，我们将主问题称为第2.1节中介绍的基本模型，仅限于C。ρC=心智，wdTOhmd- λdTαs.t.wi≥ 0我∈ IPi公司∈Iwi=1 | di |≤ 0.05我∈ 我圆周率∈部门JDI≤ 0.1j∈ J圆周率∈MCAP Qkdi≤ 0.1k∈ K圆周率∈Idiβi≤ 0.1（PsimC）主问题PsimC是一个（凸）二次优化问题。有有效的方法来解决这类问题；e、 g.《内点法》（Wright，1997）。现在，我们需要注意第2.2节中引入的硬约束。首先，我们看一下主动共享约束或等效的总绝对偏差约束。