阿尔法-赫斯顿随机波动率模型

此外，当参数α减小时，该速度更大，并且当α接近1时趋于一致，因为Θ（α，y）~ (α - 1)-1、我们引入了V到跳跃阈值的截断过程，它将作为分解的基础部分，asV（y）t=V+Ztea（α，y）eb（α，y）- V（y）sds+σZtZV（y）sW（ds，du）+σNZtZV（y）s-ZyζeN（ds，du，dζ），t≥ 0。（35）与V类似，过程V（y）也是CBI过程。根据定义，过程V（y）的跳跃都小于y。此外，V（y）与第一次大跳跃τ之前的V重合。nextresult研究了第一次大跳跃及其跳跃大小，这将有助于分解。引理5.1我们有p（τ>t）=Ehexpn-Z∞yuα（dζ）ZtV（y）sds氧指数。（36）跳跃Vτ：=Vτ- Vτ-与τ和V（y）无关，且满足(Vτ∈ dζ）=1{ζ>y}αyαζ1+αdζ。（37）不难看出P（Vt≥ V（y）t，t型≥ 0) = 1. 然后，可以将（32）中的大跳跃分为两部分，即ZTZVS-Z∞\'yN（ds，du，dζ）=ZtZV（y）s-Z∞\'yN（ds，du，dζ）+ZtZVs-V（y）s-Z∞(R)yN（ds，du，dζ）。（38）LetJ（y）t=ZtZV（y）s-Z∞\'yN（ds，du，dζ），t≥ 0（39），这是一个到达时间为{Tn}n的点进程≥1与部分大跳跃时间相连，这些跳跃称为母跳跃。根据定义，母亲跳跃形成了大跳跃的子集。每一个母跳都会诱发一个从时间tn开始的集群过程v（n），其初始值为VTn=VTn- VTn公司-并由v（n）t=VTn公司- aZtTnv（n）sds+σZtTnZV（y）s+Pni=1v（i）sV（y）s+Pn-1i=1v（i）sW（ds，du）+σZZtTnZV（y）s-+Pni=1v（i）s-V（y）s-+Pn-1i=1v（i）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t∈ [Tn，∞).（40）下一个结果将V分解为基本过程V（y）和一系列集群过程之和。

分解形式的灵感来自Duquesne和Labbe【15】。命题5.2（2）给出的方差过程V具有分解：Vt=V（y）t+J（y）tXn=1u（n）t-Tn，t≥ 0，（41），其中u（n）t=v（n）Tn+v（n）的两倍，由（40）给出。此外，（1）{u（n）：n=1，2，···}是独立同分布过程的序列，对于每个n，u（n）具有与ut=u给出的α-CIR（a，0，σ，σZ，α）过程相同的分布- aZtusds+σZt√usdBs+σNZtα√我们-dZs，（42），其中ud=Vτ及其分布由（37）给出。（2） 对（V（y），J（y））独立于{u（n）}。以V（y）为条件，J（y）是具有强度函数的时间非齐次泊松过程R∞(R)yνα（dζ）V（y）·。注意，每个集群过程与α-平方根跳跃过程具有相同的分布，该过程类似于（4），但参数b=0，即α-CIR（a，0，σ，σZ，α）过程，也称为无移民的CB过程。（Jt，t）给出的跳跃≥ 0）被称为母跳，即每个母跳tn将通过其簇（分支）过程u（n）诱发一簇跳，或所谓的子跳。相反，从RtRVs-V（y）s-R∞\'yN（ds，du，dζ），t≥ 0在（38）中，就是一个大的跳跃而不是母亲的跳跃，是一个孩子跳跃的一些母亲的跳跃。5.2集群过程我们最终关注集群过程，并展示其一些特性。我们对两个数量特别感兴趣。第一个是给定时间t之前的簇数，它等于母跳数。第二个是每个集群进程的持续时间。命题5.3（1）[0，t]isE[J（y）t]=（1）期间的预期集群数量- α） σαZcos（πα/2）Γ（2- α） yαeb（α，y）t+V-eb（α，y）ea（α，y）（1- e-ea（α，y）t）. （43）（2）设θn：=inf{t≥ 0:u（n）t=0}是集群u（n）的持续时间。我们有P（θn<∞) = 1andE[θn]=αyαZ∞dzψα（z）z∞y1级- e-ζzζ1+αdζ。

（44）我们注意到，所有聚类过程的预期持续时间是相等的，这意味着u（i）的初始值，即触发母跳的跳大小对持续时间没有影响。通过（44），我们得到了e[θn]=αZ∞dzψα（z）z∞1.- e-ζyzζ1+αdζ，这意味着E[θn]随着y的增加而增加。这是自然的，因为较大的跳跃会导致更长的时间效应。但通常情况下，持续时间很短，这意味着θn没有长范围特性，因为我们有以下估计：P（θn>t）≤αyα- 1qe-a（t-1） ，t>1，（45）对于某些常数0<q<∞.我们在图4中通过上述命题说明了跳跃集群过程的行为。参数与图2相似，只是我们比较了α=1.2、1.5和1.8的三个不同值。第一张图显示了（43）给出的预期聚类数，作为t=14期间y的函数。我们看到，当跳跃阈值y增大时，会出现更少的簇。换句话说，我们需要等待更长的时间才能有一个非常大的母跳。然而，一旦发生这种情况，在集群持续时间内可能会诱发更多的大的子跳跃，因此持续时间会随着y而增加。对于足够大的y，集群的数量会随着α而减少。在这种情况下，大跳跃起主导作用。对于较小的y值，存在小跳跃和大跳跃的混合影响，这打破了α的单调性。第二个图表说明了一个集群的持续时间，由（44）给出。

尽管持续时间相对于y增加，但由于（45）给出的有限期望和指数递减概率尾，持续时间总是相对较短。当跳跃阈值y变得非常大时，点过程{J（y）t}渐近于泊松过程，预期的聚类数收敛到固定水平，如下结果所示。图4：对于α的不同值，作为跳跃阈值y的函数，预期簇数（左）和一个簇的持续时间（右）。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2y0123456789E[Jt（y）]=1.2=1.5=1.80 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2y0.260.280.30.320.340.360.380.40.420.44E[i]=1.2=1.5=1.8命题5.4让{yn n}n≥1b yn的正阈值序列~ cn1/α为n→ ∞其中c是某个正常数。然后对于每个t≥ 0，J（yn）ntw-→ Jt，（46）作为n→ ∞, 其中J是泊松过程，参数λ由λ=-σαNbαcos（πα/2）Γ(-α） cα，1<α<2.6附录命题3.2的证明。作为[13]和[33]的直接结果，证明主要用于提供广义Riccati方程的显式形式。通过（1），我们得到DYT=（r-Vt）dt+ρZVtW（dt，du）+p1- ρZVtW（dt，du）。根据Ito的公式，我们得出过程（Yt，Vt，RtVsds）是一个由AF（y，v，u）=（r）生成的有效过程-v） fy（y，v，u）+a（b- v） fv（y，v，u）+vfu（y，v，u）+vfyy（y，v，u）+ρσvfyv（y，v，u）+σvfvv（y，v，u）+σαNvZ∞f（y，v+ζ，u）- f（y、v、u）- fv（y，v，u）ζνα（dζ）。用Xt=（Yt、Vt、RTVSD）表示。我们的目标是找到一些函数（φ，|ψ）∈ C×cw，φ（0，ξ）=0，且|ψ（0，ξ）=ξ，使得以下对偶性保持εξ，XTii=expφ（T，ξ）+h|ψ（T，ξ），Xi. （47）事实上，ifMt=f（t，Xt）=expφ（T- t、 ξ）+h|ψ（t- t、 ξ），Xti是一个鞅，那么我们立即得到E[ehξ，XTi]=E[MT]=M=expφ（T，ξ）+h|ψ（T，ξ），Xi,这意味着（47）。

现在假设（φ，|ψ）是完全不同的，并将Ito公式应用于f（t，Xt），我们得到了mt- M=局部鞅部分-ZTf（t，Xt）˙φ（T- t、 ξ）+hXt，˙Иψ（t- t、 ξ）idt+ZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）（r-Vt）dt+ZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）a（b- Vt）dt+ZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）Vtdt+ZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）Vtdt+ρσZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）~ψ（t）- t、 ξ）Vtdt+σZTf（t，Xt）~ψ（t- t、 ξ）Vtdt+σαNZTf（t，Xt）VtZ∞hexp{ψ（T- t、 ξ）z}- 1.-Иψ（T- t、 ξ）ziνα（dz），其中|ψ=（|ψ，|ψ，|ψ）。那么f（t，Xt）是局部鞅，如果˙φ（t- t、 ξ）=r|ψ（t- t、 ξ）+ab|ψ（t- t、 ξ），˙Иψ（t- t、 ξ）=0，˙Иψ（t- t、 ξ）=0，和˙Иψ（t- t、 ξ）=-Иψ（T- t、 ξ）- a|ψ（T- t、 ξ）+ψ（t- t、 ξ）+ψ（t- t、 ξ）+ρσИψ（t- t、 ξ）~ψ（t）- t、 ξ）+σИψ（t）- t、 ξ）+σαNZ∞ez￠ψ（T-t、 ξ）- 1.- z￠ψ（T- t、 ξ））να（dz）。对于0，我们有|ψ（t，ξ）=ξ和|ψ（t，ξ）=ξ≤ t型≤ T此外，ρψ（t，ξ）解出了ODEρψ（t，ξ）=-ξ- a|ψ（t，ξ）+ξ+ξ+ρσξ|ψ（t，ξ）+σИψ（t，ξ）+σαNZ∞ez￠ψ（t，ξ）- 1.- z|ψ（t，ξ））να（dz）=-ξ- a|ψ（t，ξ）+ξ+ξ+ρσξ|ψ（t，ξ）+σИψ（t，ξ）-σαNcos（πα/2）(-Иψ（t，ξ））α现在让ψ（t，ξ）=ψ（t，ξ），这显然满足ODE（9）和φ（t，ξ）=Zt（rξ+abψ（s，ξ）ds。因此，证明是完整的。引理4.3的证明。考虑（24）。根据Doob不等式，Exhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） PVSDB我≤ 4ExhZTe2asVsdsi≤2x+b2ae2aTwhich表示uαPx（sup0≤t型≤T | Rte-a（t-s）√VsdBs |>u）→ 0作为u→ ∞. 然后，根据（24），vt在（16）意义下的极值行为由σNZte确定-a（t-s） αpVs-dZs=e-at·σNZteasαpVs-dZs：=Xt·Yt。注意E[sup0≤t型≤T（α√Vt）α+δ]<∞ 对于0<δ<α（α- 1） 引理4.7。然后根据[28，定理3.4]，我们得到→ ∞,uαP（Y/u∈ ·)体重-→ B（(R)D（[0，T]），（48）上的δY（·），其中δ由δY（·）=T EhZ给出∞{wt：=σNeaτα√Vτy1[τ，T]（T）∈·}να（dy）i，其中τ均匀分布在[0，T]上，与V无关。

此外，根据[28，Theorem3.1]，我们有→ ∞,uαP（XY/u∈ ·)体重-→ δY（w∈\'D[0，T]：Xw∈ ·) 在B（(R)D（[0，T]）上，一个简单的计算表明δ（·）：=δY（w∈\'D[0，T]：Xw∈ ·) = σαNZTE[Vs]Z∞{wt=e-a（t-s） y1【s，T】（T）∈·}να（dy）ds引理4.7的证明。在（24）中，一个初等不等式表明存在一个局部有界函数C（·），使得exhsup0≤t型≤TVβti≤ C（T）xβ+bβ+σβExhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） PVSDBβi+σβNExhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） V1/αs-dZs公司βi. （49）通过H¨older不等式和Doob鞅不等式，存在一个局部有界函数（·），使得exhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） PVSDBβi≤ 2βExhZTE2SVSDSβ/2i≤ 2βZTEx[e2asVs]dsβ/2≤ C（T）xβ/2eβaT/2+eβaT.此外，根据Long[38，引理2.4]，这是Rosinski和Woyczynski[41，定理3.2]的推广，存在局部有界函数C（·）和C（·），因此exhsup0≤t型≤T中兴通讯-a（t-s） V1/αs-dZs公司βi≤ C（T）排气中兴通讯αasVsdsβ/αi≤ C（T）ZTEx[eαasVs]dsβ/α≤ C（T）xβ/αeβa（1-1/α）T+eβaT.通过组合（49），（50）和（50），我们得到了引理。引理5.1的证明。通过（2），我们注意到{τ>t}=nτ>t，ZtZVs-Z∞yζN（ds，du，dζ）=0o。由于V（y）与V到τ重合，因此（2）和（35）之间的比较表明{τ>t}=nτ>t，ZtZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）=0oa。s、 Ifτ≤ t、 我们马上就有了ZTZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）≥ZτZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）=ZτZVs-Z∞yζN（ds，du，dζ）>0。因此{τ>t}=nZtZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）=0oa。s、 （50）回想一下，1{ζ>y}N（ds，du，dζ）是N（ds，du，dζ）到（0，∞) ×(0, ∞) ×（y，∞),它独立于1{ζ≤y} N（ds，du，dζ）。由（35）我们得到1{ζ>y}N（ds，du，dζ）独立于（V（y）t，t≥ 0). 然后以（V（y）t，t为条件≥ 0），RtRV（y）s-R∞yN（ds，du，dζ）是一个具有强度函数的时间非齐次泊松过程R∞yνα（dζ）V（y）。。注意，τ是σZRtRV（y）s的第一个跳跃时间-R∞yN（ds，du，dζ），和Vτ是σZRtRV（y）s的第一个跳跃大小-R∞yN（ds，du，dζ）。

那么我们有τ∈ dt，Vτ∈ dζ| V（y）。=Z∞yνα（dx）V（y）tdtαyα{ζ>y}ζ1+αdζ,这意味着Vτ与τ和V（y）无关。5.2步骤1的提案证明。回想一下，τ=inf{t>0：Vt>y}，这是pointprocess{Jt:t的第一个跳转时间≥ 0}由（39）给出。通过（50），我们立即得到τ=Ta。s因此，通过引理5.1，我们得到V（y）与V一致，直到TandVTI独立于V（y）。注意V（y）T=VT-andV（y）t=VT-+ZtTea（α，y）eb（α，y）- V（y）sds+σZtTZV（y）sW（ds，du）+σNZtTZV（y）s-ZyζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （51）取k=1 in（40），v（1）T=及物动词- aZtTv（1）sds+σZtTZV（y）s+v（1）sV（y）sW（ds，du）+σNZtTZV（y）s-+v（1）s-V（y）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （52）如上所述，独立于VT-. 利用W和N的独立和平稳增量的性质，我们得到v（1）和v（y）彼此独立且{u（1）t：=v（1）t+t，t≥ 0}是一个CB过程，其分布与（42）给出的u相同；参见例如，【12，定理3.2，3.3】）。现在设置V（1）t=VT-+ZtTa公司b-五（1）秒ds+σZtTZ'V（1）sW（ds，du）+σNZtTZ'V（1）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （53）很容易看出V（1）与V的类型相同，但具有初始值VT-从timeT开始。定义？τ：=inf{t>t：\'V（1）t>y}，这是跳跃大小大于y的\'V（1）的第一次跳跃时间。然后（51）和（56）的比较表明，t的\'V（1）t=V（y）t∈ 此外，引理5.1的类似证明表明，对于任何T>0，{τ- T> T}=nZT+tTZV（y）s-Z∞yζN（ds，du，dζ）=0oa。s、 ，这意味着？τ=Ta。s、 因此\'V（1）\'τ=VTandVTI独立于V（y）和此外，V（1）t=t的V（y）t∈ 我们得到v（y）T+v（1）T=(R)v（1）T+v（1）T=Vt，a.s.T∈ （54）第三个等式来自（56）、（52）和（2）。步骤2。

取k=2 in（40），v（2）t=及物动词- aZtTv（2）sds+σZtTZV（y）s+v（1）s+v（2）sV（y）s+v（1）sW（ds，du）+σNZtTZV（y）s-+v（1）s-+v（2）s-V（y）s-+v（1）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （55）自VTI独立于V（y）TandVT，仍然利用W和N的独立和平稳增量的性质，我们得到v（2）独立于v（y）和v（1），并且{u（2）t：=v（2）t+t，t≥ 0}也是一个CB进程，它与u具有相同的分布。现在设置'V（2）t=V（y）t+ZtTab-五（2）秒ds+σZtTZ'V（2）sW（ds，du）+σNZtTZ'V（2）s-ZR+ζeN（ds，du，dζ），t≥ T、 （56）定义τ：=inf{T>T：\'V（2）t>y}，如步骤2中所证明的，我们得到了\'τ=Ta。s、 对于t，V（2）t=V（y）t∈ 注意，vt-= V（y）T+r（1）待定（54）。我们得到v（y）t+v（1）t+v（2）=v（2）t+v（1）t+v（2）t=Vt，a.s.t∈ 第3步，通过归纳，不难证明对于任何T，Vt=V（y）T+Pnk=1v（k）tholds∈[总氮，总氮+1）和氮≥ i.i.d过程的序列与u具有相同的分布。此外{u（n）}与V（y）无关。那么我们有了这个提议。提案证明5.3（1）注意J（y）td=RtRV（y）s-RDM（ds，du，dω）。ThenE[J（y）t]=中兴通讯[V（y）s]dsZ∞(R)yνα（dζ）。一个简单的计算显示（43）。（2） 根据命题5.2，u（n）是一个没有移民的亚临界CB过程，即分支机制为ψα（q）=aq+σq-σαNcos（πα/2）qα。移民率Φ（q）=0。那么0是θ的吸收点，θnis是CB过程u（n）的熄灭时间。SinceR公司∞1/ψα（u）du<∞, 所谓的格雷条件是满足的，它由格雷[24，定理1]得出，p（θn<∞) =Z∞Px（θn<∞)P(VTn公司∈ dx）=1。此外，仍然根据[24，定理1]，我们得到p（θn>t）=E[1- e-VTnqt]=αyαZ∞y（1- e-xqt）x-（1+α）dx，（57），其中qt是ODEddtqt的最小解=-ψα（qt），t>0，q0+=∞. 在这种情况下，0<qt<∞ 对于t∈ (0, ∞). ThenE[θn]=αyαZ∞Z∞y（1- e-xqs）x-（1+α）dxds，由（57）得出（44）。

通过（39）证明命题5.4，我们有j（yn）nt=ZntZV（yn）s-Z∞\'ynN（ds，du，dζ），其中\'yn=yn/σN。根据命题5.2-（2），对于任何θ>0，Ehe-θJ（yn）nti=E经验值Z∞(R)ynνα（dξ）ZntV（yn）sdse-θ- 1.= E经验值新西兰∞(R)ynνα（dξ）nZntV（yn）sdse-θ- 1.. （58）基于（35），对于固定yn，{V（yn）t:t≥ 0}是CBI进程。根据[30，备注5.3]，对于θ>0，Ee-θnRntV（yn）sds= 经验值- vn（θ，nt）V- abZntvn（θ，s）ds（59）其中vn（θ，t）是vn（θ，t）dt=θn的唯一解- ψn（vn（θ，t）），（60），其中vn（θ，0）=0，和ψn（q）=a+σαNZ∞ynξνα（dξ）q+σq+σαNZyn（e-qξ- 1+qξ）να（dξ）。那么我们有-ψn（vn（θ，t））≤dvn（θ，t）dt≤θn- avn（θ，t），这意味着0≤ vn（θ，t）≤θan（1- e-位于）。乘以（60），nvn（θ，nt）=θan（1- e-南特）-Znte-an（nt-s） nbψn（vn（θ，s））ds，（61），其中n=a+σαNZ∞ynξνα（dξ），bψn（q）=σq+σαNZyn（e-qξ- 1+qξ）να（dξ）。请注意→ a、 对于所有t≥ 0和n≥ 1,0 ≤ nvn（θ，t）≤θa，nbψn（vn（θ，t））≤σθ2an-σαNθαcos（πα/2）aαNα-根据（61），我们得到了nvn（θ，nt）→θa和thenZntvn（θ，s）ds=Ztnvn（θ，ns）ds→θta。因此，在（59）中，对于任何t≥ 0，RntV（yn）sdsnp→ bt.回想一下yn~ cn1/α。然后nR∞(R)ynνα（dξ）→ -σαNαcos（πα/2）Γ(-α） cα。作者（58），Ehe-θJ（yn）nti→ 经验值-σαNbtαcos（πα/2）Γ(-α） cα（e-θ- 1).我们完成了。参考文献[1]Abi Jaber，E.、Larsson，M.和Pulido，S.（2017）：A ffene Volterra过程。工作文件【2】Avellaneda，M.和Papanicolaou，A.（2018）：波动率指数期货统计数据和波动率交易产品的应用。《投资策略杂志》，7（2），1-33。[3] Asmussen，S.和Rosinski，J.：《利用aview逼近模拟的L'evy过程小跳跃的近似》，应用概率杂志，38482-493（2001）。[4] Barndorff-Nielsen，E.和Shephard，N.（2001）：基于非高斯Ornstein-Uhlenbeck的模型及其在金融经济学中的一些应用，《皇家统计学会杂志》，B辑，63（2），167-241。[5] 贝茨，D。

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