极限订货簿中的一般复合Hawkes过程

假设Xkis是一个遍历连续时间马尔可夫链，独立于N（t），状态空间X={1，2，…，N}，N（t）是定义2.4中定义的一维Hawkes过程，a（x）是x上的任何有界和连续函数。我们通过以下过程定义了具有N状态相关阶数（GCHPnSDO）的一般复合Hawkes过程st=S+N（t）Xi=1a（Xk）（13）。注意，可以通过让h（x）=x从方程（12）中恢复该过程。定义3.3（具有两个状态依赖项的一般复合霍克斯过程（GCHP2SDO））。假设Xkis是一个遍历的连续时间Markovchain，独立于N（t），具有两个状态{1，2}。然后方程（13）变为SST=S+N（t）Xi=1a（Xk）（14），其中a（Xk）仅取值a（1）和a（2）。当然，我们可以将其视为n态情况的特例，其中n=2。该模型在[45]中用于具有非固定勾号δ和两值价格变化的限价订单中的中间价过程。LOBS 7定义3.4中的复合HAWKES过程（具有相关订单的一般复合HAWKES过程（GCHPDO））。假设Xk∈ {-δ、 δ}且a（x）=x，则Stin方程（13）变为SST=S+N（t）Xi=1Xk（15）。这种类型的过程可以是限制订单簿中的中间价格模型，其中δ是固定的勾号大小，N（t）是到时间t的订单到达数。我们将此过程称为具有依赖订单的一般复合霍克斯过程（GCHPDO）。这是之前过程的推广，由lettinga（1）=-δ和a（2）=δ。在定义了几个中间价格过程之后，我们现在在下一节中证明每个价格过程的差异极限理论和LLN。这些差异过程将用于我们探索该模型对现实世界limitorder book数据的适用性。4、扩散限值和LLN。4.1. NLCHPnSDO的扩散极限和LLN。

我们考虑定义3.1中定义的中间价格过程，名称为st=S+NtXi=1a（Xk），其中Xkis是连续时间n状态马尔可夫链，a（x）是状态空间x={1，2，…，n}上的连续有界函数。Ntis是时间t之前价格变化的数量，由方程（11）中给出的非线性霍克斯过程描述。定理4.1（NLCHPnSDO的扩散极限）。设Xkbe是一个遍历Markovchain，具有n个态{1，2，…，n}和遍历概率（π*, π*, ..., π*n） 。请参见定义3.1，然后参见- N（nt）·^a*√nn型→∞----→ ^σ*pE[N[0，1]]Wt（16），其中Wt是一个标准的维纳过程，E[N[0，1]]是平稳和遍历测度下单位区间上的到达数的平均值。此外，0<u：=Z∞u（s）ds<1和z∞su（s）ds<∞ （17） 8 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMAN（σ*): =xi∈Xπ*iv（i）v（i）=b（i）+Xj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）- 2b（i）Xj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）b=（b（1），b（2）。。。，b（n））b（i）：=a（Xi）- 一*:= a（一）- 一*g：=（P+π）*- （一）-1b^a*: =xi∈Xπ*ia（Xi）（18）P是Xk的转移概率矩阵，即P（i，j）=P（Xk+1=j | Xk=i）。Π*表示P的平稳分布矩阵，g（j）是g的第j项。证据从方程（13）中，我们得到了snt=S+NntXi=1a（Xk）（19）和snt=S+NntXi=1（a（Xk）- ^a*) + N（nt）^a*（20） 因此- Nnt^a*√n=S+PNnti=1（a（Xk）- ^a*)√n、 （21）长屁股√nn型→∞----→ 0，我们只需找到a（Xk）的极限- ^a*√n时n→ +∞. 考虑以下总和*n： =nXk=1（a（Xk）- ^a*) （22）和^U*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc））]^R*bntc+（nt- bntc）^R*bntc+1]（23），其中b·c是FLOOR函数。根据[45]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛性（参见[39]）：^U*n（t）n→∞----→ ^σ*W（t）（24）我们注意到，[4]的结果通过遍历定理暗示NTTT→∞---→ E[N[0，1]]（25）或NTNTN→∞----→ tE【N【0，1】】。

（26）使用时间t的变化→ Nnt/n，我们发现*n（北纬/北纬）n→∞----→ ^σ*LOBS 9or^U中的W（tE[N[0，1]）（27）复合HAWKES过程*n（北纬/北纬）n→∞----→ ^σ*pE[N[0，1]]W（t）（28）现在的结果来自方程式（19）-（21）引理4.2（LLN表示NLCHPnSDO）。过程Sntin方程（19）满足Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）：Sntnn→∞----→ ^a*E[N[0，1]]t（29），其中^a*分别在方程式（18）中定义。证据根据方程式（12），我们得到sntn=Sn+NntXi=1a（Xk）n（30）。当n→ ∞. 在右侧，关于马尔可夫链的强LLN（参见，例如[38]），nnXk=1a（Xk）n→∞----→ ^a*（31）然后考虑方程（26），我们得到nntxi=1a（Xk）n=nntnnnntxi=1a（Xk）n→∞----→ ^a*E[N[0，1]]t（32），由此得出所需结果。4.2. GCHPnSDO的扩散极限和LLN。我们在此考虑定义3.2中定义的中间价格过程St，名称为St=S+N（t）Xi=1a（Xk）（33），其中Xkis是一个连续时间的N状态马尔可夫链，a（x）是状态空间x={1，2，…，N}上的一个连续且有界函数，N（t）是时间t之前价格变化的数量，由一维Hawkes过程定义2.4描述。这可以解释为非固定刻度大小、n值价格变化和相关订单的情况。定理4.3（GCHPnSDO的扩散极限）。

设Xkbe是一个遍历Markovchain，具有n个态{1，2，…，n}和遍历概率（π*, π*, ..., π*n） 。请参见定义3.2，然后参见- N（nt）^a*√nn型→∞----→ ^σ*pλ/（1）- W（t）（34），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z∞u（s）ds<1和z∞su（s）ds<∞ （35）10 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMAN（^σ*): =xi∈Xπ*iv（i）v（i）=b（i）+Xj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）- 2b（i）Xj∈X（g（j）- g（i））P（i，j）b=（b（1），b（2）。。。，b（n））b（i）：=a（Xi）- 一*:= a（一）- 一*g：=（P+π）*- （一）-1b^a*: =xi∈Xπ*ia（Xi）（36）P是Xk的转移概率矩阵，即P（i，j）=P（Xk+1=j | Xk=i）。Π*表示P的平稳分布矩阵，g（j）是g的第j项。证据与前面的定理一样，我们有snt=S+N（nt）Xi=1a（Xk）（37）和snt=S+N（nt）Xi=1（a（Xk）- ^a*) + N（nt）^a*（38）其中^a*如上所述。因此，我们可以得出结论，SNT- N（nt）^a*√n=S+PN（nt）i=1（a（Xk）- ^a*)√n（39）为长驴√nn型→∞----→ 0，我们只需找到pn（nt）i=1（a（Xk）的极限- ^a*)√nas编号→ ∞. 我们考虑以下总和*n=nXk=1（a（Xk）- ^a*) （40）和^U*n（t）：=n-1/2[(1 - （nt- bntc）^R*bntc+（nt- bntc）^R*bntc+1]（41），其中b·c是FLOOR函数。然后，根据[45]中的鞅方法，我们在Skorokhod拓扑中有以下弱收敛（参见[39]）U*nn型→∞----→ ^σ*W（t）（42），其中^σ*如上所述。我们再次注意到，关于霍克斯过程的LLN（参见，例如，[17]），我们有（t）tt→∞---→λ1 - ^u（43）LOBS 11orN（nt）nn中的复合HAWKES过程→∞----→tλ1- ^u（44），其中^u如上文所定义。然后使用之前确定的时间变化→ N（nt）/N我们可以从方程（42）-（44）中找到：^U*nN（nt）Nn→∞----→ ^σ*Wtλ1- ^u或^U*nN（nt）Nn→∞----→ ^σ*sλ1- ^uW（t）现在，方程式（34）中的结果来自方程式（37）-（44）引理4.4（对于GCHPnSDO，LLN）。

定义3.2中定义的过程Sntde满足了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）Sntnn→∞----→ ^a*λ1 - ^ut（45），其中^u和^a*分别在方程式（35）和（36）中定义。证据从方程（13）中，我们得到sntn=Sn+N（nt）Xi=1a（Xk）N.（46）当N→ ∞. 在右侧，关于马尔可夫链的强LLN（参见，例如，[38]），nnXk=1a（XK）n→∞----→ ^a*（47）然后考虑方程（44），我们得到n（nt）Xi=1a（Xk）n=n（nt）nN（nt）n（nt）Xi=1a（Xk）n→∞----→ ^a*λ1 - ^ut（48），由此得出预期结果。4.3. GCHPnSDO特殊情况下的扩散限值和LLN。定理4.3可以简化为我们之前在第3.1节中概述的一些特殊情况。具体而言，在定义3.3和3.4中，我们考虑了a2状态马尔可夫链的情况，我们提供了下面的差异极限和LLN结果汇总表。我们首先考虑3.3中定义的中间价格过程St（GCHP2SD），名称为t=S+N（t）Xi=1a（Xk）（49），其中Xkis是一个连续时间的二态马尔可夫链，a（x）是x={1，2}上的连续且有界函数，N（t）是t上的价格变化数，定义2.4.12中定义的一维霍克斯过程描述了ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN Huffmant这可以解释为非固定刻度大小、二值价格变化和依赖订单的情况。推论1（GCHP2SDO的扩散极限）。设Xkbe是一个具有两个状态{1，2}和遍历概率（π）的遍历马尔可夫链*, π*). 此外，请按照定义3.3进行定义。

然后是SNT- N（nt）a*√nn型→∞----→ σ*pλ/（1）- W（t）（50），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z∞u（s）ds<1和z∞u（s）ds<∞ (51)(σ*): = π*+ π*a+（π*a+π*（a）[-2aπ*- 2aπ*+ (π*a+π*a） （π*+ π*)]+π*(1 - p） +π*(1 - p） （a）- a） （p+p- 2） +2（a- （a）π*a（1- p）- π*a（1- p） p+p- 2+(π*a+π*a） （π*- pπ*- π*+ pπ*)p+p- 2.一*: = aπ*+ aπ*（52）其中（p，p）是马尔可夫链的转移概率。推论2（GCHP2SDO的LLN）。定义3.3中定义的过程Sntde描述了Skorokhod拓扑中的以下弱收敛（见[40]）Sntnn→∞----→ ^a*λ1 - ^ut（53），其中^u和^a*分别在方程式（51）和（52）中定义。现在，让我们考虑定义3.4中定义的流程，具体时间=S+N（t）Xi=1Xk（54），其中Xk∈ {-δ、 δ}是一个连续时间2态马尔可夫链，δ是固定的ticksize，N（t）是截至时刻t的价格变化数，由定义2.4中定义的一维霍克斯过程描述。在这种情况下，我们有一个非常小的规模、两值价格变化和相关订单。推论3（CHPDO的扩散极限）。设Xkbe为两态{δ}的遍历马尔可夫链，-δ} 和遍历概率（π*, 1.- π*), 然后接受定义3.4中定义的人员，然后- N（nt）a*√nn型→∞----→ σsλ1- uW（t）（55），其中W（t）是标准维纳过程，0<u：=Z∞u（s）ds<1和z∞u（s）ds<∞ （56）LOBS 13a中的复合HAWKES过程*: = δ(2π*- 1)σ: = 4δ1.- p+π*（p- p） （p+p- 2)- π*(1 - π*)（57）和（p，p）是马尔可夫链Xk的转移概率。我们注意到λ和u（t）在方程式（2）中定义。我们注意到，经过一些简化后，GCHP2SDO和CHPDO的LLN与引理4.4中给出的结果相同。5、实证结果。为了测试我们模型的有效性并确定哪一个最适合实证数据，我们考虑了2012年6月21日苹果、亚马逊、谷歌、微软和英特尔的1级LOB数据【53】。

我们首先通过检查流动性来验证数据对于我们的模型是否合理，如表1所示。1天内平均每秒订单价格变化股票代码AAPL 51 64350AmZn 25 27557Goog 21 24084Msft 173 3217Intc 176 4060表1。2012年6月21日，AAPL、AMZN、GOOG、MSFT和NTC的股票流动性。每日价格变动的数量之多激发了这样一种想法，即我们可以使用渐进分析，通过确定价格过程的差异极限，使用订单流量来近似长期波动性。因为我们不想包括开始和结束拍卖，所以我们省略了第一分钟和最后一分钟的数据。我们通过分析到达时间间隔和聚类来激励到达过程，以确保到达过程不是泊松过程，并表现出aHawkes过程的特征，如图1和图2所示。此外，我们的差异系数和到达过程之间的关系仅限于单位时间间隔内的预期到达数量。这意味着简单指数模型的结果可以很容易地推广到非线性模型。这使得我们可以使用霍克斯过程的简化模型，该模型仍然足够丰富，可以捕捉我们的观察结果。记住这一点，我们将自己限制为指数核，并使用极大似然估计（MLE）估计参数[35]。我们在表2中提供了这些估计值，并将经验预期到达次数与表3中的MLE估计值进行了比较。显然，MLE方法准确地估计了单位间隔上的预期到达次数。这意味着我们可以间接地说，对于我们的数据，我们的参数将合理地与我们的模型配合使用。我们在表25.1中提供了估计参数。CHPDO。

我们首先考虑具有定义3.4中定义的依赖顺序的复合霍克斯过程，名称为t=S+N（t）Xk=1Xk（58）14 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMANλαβAAPL 1.4683 1045.2676 2556.1844AMZN 0.6443 653.7524 1556.1702GOOG 0.4985 865.8553 1980.4409MSFT 0.0659 479.3482 908.0032 NTC 0.0471 399.6389 760.4991表2。为了全局优化负对数似然函数，使用粒子群优化方法估计每个参数。每个数据集的λ、α和β值如下所示。Emp。E[N（[0，1]）]MLEAAPL 2.4840 2.4841AMZN 1.1110 1.1110GOOG 0.8857 0.8857MSFT 0.1395 0.1396INTC 0.0991 0.0992表3。使用MLE方法的估计参数，将单位间隔上的预期到达数与经验到达数进行比较。其中Xk∈ {+δ, -δ} 是一个连续时间的两状态马尔可夫链，δ的大小固定，N（t）是Hawkesprocess描述的截至时间t的中间价格变动数。我们选择研究我们模型的中间价格变化。因此，ST可以通过平均最佳出价和要价来计算。注意到价格记录为美分，中间价格的最小可能涨幅为半美分，我们将使用它作为δ。此外，为了估计马尔可夫链的转移矩阵，我们计算了价格向上和向下运动的绝对频率，并由此计算出相对频率，从而对价格和PDD进行估计，从而给出了价格向上/向下运动的条件概率。稍后，我们将考虑几种不同规模的中间价变动，并将按照惯例，即每个变动将根据其在reals中的订单分配一个基于状态的变动。在这种情况下，-δ为状态1，δ为状态2。

这将导致下面给出的转移矩阵P。P=pdd1- pdd1- 普普乌在确定参数和转移概率后，我们计算*表4中的σ以及Puuan和pdd。如果提供这些值，我们可以检验我们的说法，即我们的模型准确地描述了中等价格过程的满意度，我们将使用以前证明的差异极限，即- N（nt）a*√nn型→∞----→ σsλ1- α/βW（t）。（59）如果数据满足我们提出的模型，那么在考虑大时间窗（5min、10min、20min）时，我们预计在LOBS 15pddpuuσa中会看到经验和复合HAWKES过程*AAPL 0.4956 0.4933 0.0049-1.1463e-5AMZN 0.4635 0.4576 0.0046-2.7373e-5GOOG 0.4769 0.4461 0.0046-1.4301e-4MSFT 0.6269 0.5827 0.0062-2.7956e-4INTC 0.6106 0.5588 0.0059-3.1185e-4表4。以上是s的值*, σ以及上述5只股票中每只股票向上/向下移动的向上/向下移动的概率。理论标准差密切相关。为了验证这一点，我们比较了等效过程，该过程通过将LHS和RHS乘以√n、 然后将我们的数据切割成大小为n的不相交窗口，特别是[in，（i+1）n]，t=1，通过设置左边界作为我们的开始时间，我们可以计算Snt- N（nt）a*对于每个单独的窗口，请在下面给出一个通用公式。S*i=S（i+1）nt- 信- （N（（i+1）nt）- N（int））a*（60）这给出了一组值{S*i} 在此基础上，我们计算标准偏差。如果我们的模型是准确的，那么*i}≈√ntσsλ1- α/β，其中t=1。（61）我们绘制了不同窗口大小的经验标准偏差与理论标准偏差的曲线图，从10秒开始，以10秒为单位递增，直到每20分钟，如图3所示。在这一点上，应该提出几点重要意见。

很明显，虽然该模型准确预测了MSFT和INTC的总体趋势，但我们严重低估了APPL、AMZN和GOOG的中间价格过程的可变性。此外，随着窗口大小的增加，数据的总体分布也会增加。我们将此归因于随着窗口大小的增加，样本量不断减少。例如，当我们考虑一个20分钟的窗口时，我们只能在9小时的交易日内构建27个不相交的窗口，这迫使我们处理从越来越小的样本中预测“总体”标准偏差的问题。我们在后面的部分中使用方差稳定变换来解决这个问题。具体而言，泊松过程的一种流行方法是取经验和理论标准偏差的平方根。这使得定性地查看数据中的总体趋势成为可能，从而更清楚地了解数据的好坏。5.2. GCHP2SDO。到目前为止，我们已经考虑了与交易刻度大小相关的固定三角洲。然而，如果我们考虑APPL、Amzn和GOOG的中间价格变化，则违反了固定刻度大小的假设。事实上，我们观察到大约61%、53%和71%的所有中间价变化都大于半个刻度大小，这与我们观察到的MSFT相反，在这里，所有中间价变化都发生在半个刻度大小，我们在图4中为AAPL、AMZN和GOOG说明了这一点。图4清楚地表明，还需要考虑其他因素。在我们的模型中包含中间价变动的一种简单方法是引入定义3.3中所述的A（Xi）。当然，有必要为马尔可夫链的每个状态确定16个安纳托利·斯威什楚克（AnatoliySwishchuk）和艾登·赫夫马纳（AidenHuffmana）（·）的值。一种简单的方法是取向下和向上中间价格变动的平均值，并将其分别分配给A（1）和A（2）。