极限订货簿中的一般复合Hawkes过程

我们在表5中提供了这些值。a（1）a（2）AAPL-0.0172 0.0170AMZN-0.0134 0.0133GOOG-0.0302 0.0308表5。a（i）是中间价上涨或下跌的平均值。按照我们之前的约定，第一个状态将与所有向下的中间价格变动的平均值相关联，第二个状态将与所有向上的中间价格变动的平均值相关联。在这一步中，我们只是努力更好地了解数据中的实际价格变动。因此，当我们观察到中间价下跌时，我们继续将其分配给状态一，同样，对于价格上涨，我们继续将其分配给状态二。因此，我们的转移矩阵将保持不变。然后使用这些新的状态值，我们重新计算*和σ，在表6中提供。这些变化的影响如图5所示。请注意，在图5中，我们使用了前面讨论的方差稳定转换，以便更好地可视化数据中的总体趋势。pddpuuσa*AAPL 0.4956 0.4933 0.0169-1.5624e-4AMZN 0.4635 0.4576 0.0123-1.0475e-4GOOG0.4769 0.4461 0.0282-5.5095e-4表6。我们高于s的值*, σ以及3只感兴趣股票向上/向下运动的向上/向下运动的概率。请注意，图5中AAPLand GOOG的财务状况有了显著的质的改善，但我们的模型仍然明显低估了AMZN中间价格变动的可变性。由于额外的转移概率可以解释2态情况下缺失的可变性，因此可以通过研究n态马尔可夫链来捕获无法解释的方差。5.3. GCHPNSDO。我们回顾定义3.2中描述的N态模型。现在的问题是如何最好地选择状态值。我们修改了[45]中基于分位数的方法。

在计算中间价格变动后，我们将数据分为向上和向下的价格变动。然后，我们计算两个数据集的均匀分布分位数。根据数据，几个分位数可能是相同的，我们拒绝任何重复的。因此，我们获得了一个边界列表，如有必要，我们通过添加最小观测值来完成该列表。为了确定状态值a（Xi），我们取两个相邻边界值之间所有中间价格变化的平均值。此外，如果中间价格变化大于或等于（i），我们将其分配给状态i- 1） LOBS 17中的th边界和复合HAWKES过程严格小于ith边界。最大上限例外，允许两端相等。由于我们无法在之前的方法中捕捉到AMZN中间价格变化的全部可变性，因此我们对此案例进行了调查。此外，对于可跟踪性，我们只考虑14个边界值，从中我们可以得到12状态马尔可夫链。我们没有提供转移矩阵，而是在表7中提供了转移矩阵和关联状态的遍历概率。为了比较amzniπ*ia（Xi）1 0.0275-0.05242 0.0281-0.03183 0.0264-0.02504 0.0382-0.02005 0.0576-0.01506 0.3249-0.00647 0.2321 0.00508 0.0923 0.01009 0.0578 0.015010 0.0353 0.020011 0.0412 0.027112 0.0387 0.0476表7。以上我们提供了AMZN的状态、相关遍历概率和状态值a（i），给出了从选择16个量子化方法获得的12状态马尔可夫链。两种状态和N状态方法我们首先采用定性方法，并在图6中绘制两个相互对应的理论和经验标准偏差。当我们比较均方残差时，前面讨论的2状态模型的均方误差为0.0208，而我们的12状态马尔可夫链将其降低到0.0125。

考虑到具有24个状态的更大的马尔可夫链，我们只能得到微乎其微的改善，达到0.0123，这表明我们的模型没有捕捉到中间价格过程中的一些潜在差异。我们在下面的小节中研究这些更定量的度量。首先将模型进行比较，得出一个数值最佳值，然后研究均方误差，以便更好地定量了解随着分位数数量的增加，从每个模型获得的总体改善。5.4. 定量分析。虽然我们的模型在视觉上似乎符合五种情况中四种情况下的预期可变性，但它仍然无法捕捉我们的AMZN数据中所见的中等价格变化的完整动态。我们在表8中研究了我们的模型在不同数量的分位数下的均方误差，这很好地表明了N态模型是否更适合我们的数据。如果我们仔细观察AAPL和GOOG，我们会发现N态情况仍然可以改善两态情况的结果。对于AAPL，我们通过在向下运动和向上运动上分别取16个分位数构建了17态Markovchain。这导致均方误差为0.0036，与均方误差为0.0050.18的两种状态相比，大约提高了28%。ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN Huffman使用25状态马尔可夫链计算GOOG，其构造类似，我们观察到均方误差为0.0046，与均方误差为0.0115的两种状态相比，提高了60%。表8给出了AAPL、AMZN和GOOG的平均残差，以及由不同数量的分位数构建的几个马尔可夫链。

我们还包括用于比较的INTC和MSFT的平均残差。CHPDO 2 8 16 32AAPL 0.2679 0.0050 0.0036 0.0036 0.0036AMZN 0.1122 0.0208 0.0131 0.0124 0.0123GOOG 0.4036 0.0115 0.0048 0.0045 0.0047INTC 1.7917e-5 1.7917e-5 1.7917e-5 1.7917e-5 1.7917e-5MSFT 1.0586e-4 1.0586e-4 1.0586e-4 1.0586e-4 1表8是的。我们列出了几个状态数不同的马尔可夫链的平均残差。这些是使用我们改进的分位数方法生成的，选择从2、8、16或32分位数开始。我们看到，一般来说，平均残差会降低到某个下限，在这个下限下，我们的表现再也不能更好了。需要指出的是，唯一观察到的INTC和MSFT的中间价格变化是半个刻度大小，任何分位数数量的增加都将导致相同的性能。我们的另一个定量测量方法是将其与给定数据的最佳理论值进行比较。请注意，我们的每个模型都假设标准偏差是根据时间步长乘以某些可确定系数的平方根变化的。因此，我们可以通过最小化均方残差来估计可能的最佳系数，我们在图7中提供了这些假设的最佳拟合与经验数据和理论拟合的曲线图。为了进行更定量的比较，我们还提供了表9中的理论系数和假设最佳系数。理论系数回归系数百分比误差AAPL 0.02868 0.02828 1.42%AMZN 0.01450 0.01831 20.8%GOOG 0.02883 0.03023 4.63%INTC 0.00186 0.00193 3.4%MSFT 0.00231 0.00246 6.4%表9。AAPL、AMZN和GOOG的计算系数是使用马尔可夫链生成的，马尔可夫链由16个向上和向下运动的数量组成。

而INTC和MSFT的系数是从CHPDO案例中获得的。我们注意到，在每种情况下，误差都接近或低于百分之五，其中阿姆锌是最大的影响因素。这与我们在整个分析过程中提供的讨论一致，并强调了我们模型的普遍适用性。LOBS 195.5中的复合HAWKES过程。评论。总体而言，N状态模型的表现优于其他模型，五个数据集中有四个数据集的拟合结果合理，均方误差减少了25%以上。虽然无法捕获AMZN中观察到的完整动态，但它似乎是我们数据中观察到的简单价格动态模型的有力候选。有必要进行进一步调查，以确定AMZN中观察到的额外波动性的原因，并可能实施一个更稳健的模型来捕捉这一点。参考文献[1]Ait Sahalia，Y.、Cacho Diaz，J.和Laeven，R.（2010）：利用相互激励的跳跃过程对金融传染进行建模。技术代表，15850，Nat。欧共体局。Res.，USA.【2】Bu ffington，J.，Elliott，R.J.（2000）：制度转换和欧洲选择。劳伦斯，K.S.（ed.）《随机理论与控制》。研讨会记录，73-81。柏林海德堡纽约：斯普林格。(2002).[3] Bu ffington，J.，Elliott，R.J.（2002）：制度转换的美国期权。《国际理论与应用金融杂志》5497-514。[4] Brmaud，P.和Massouli，L.（1996）：非线性Hawkes过程的稳定性。《总统年鉴》。，24(3), 1563.[5] Bacry，E.、Mastromatteo，I.和Muzy，J.-F.（2015）：霍克斯金融过程。arXiv:1502.04592v2【q-fin.TR】2015年5月17日。[6] Bowsher，C.（2007）：连续时间证券市场事件建模：基于强度的多变量点过程模型。J、 《计量经济学》，141（2）：876-912。[7] Bauwens，L.和Hautsch，N。

（2009）：使用PointProcess建模金融高频数据。斯普林格。[8] Bartlett，M.（1963）：点过程的谱分析。J、 R.Stat.Soc。，序列号。B、 25（2），264-296。[9] Cartea，A.、Jaimungal，S.和Ricci，J.（2011）：低买高卖：高频交易前景。技术报告。[10] Cartea。，Jaimungal，S.和Penalva，J.（2015）：算法和高频交易。剑桥大学出版社。[11] Cartensen，L.（2010）：霍克斯过程和组合转录调控。哥本哈根大学博士。[12] Chavez Demoulin，V.和McGill，J.（2012）：使用Hawkes过程的高频金融数据建模。J、 《银行与金融》，36（12），3415-3426。[13] Chavez Casillas，J.、Elliott，R.、Remillard，B.和Swishchuk，A.（2017）：具有随时间变化的到货率的一级限额订单。继续IWAP，多伦多，6月20日至25日。也可在ARXIV上获得：https://arxiv.org/submit/1869858[14] Cohen，S.和Elliott，R.（2014）：自激马尔可夫调制计数过程的滤波器和平滑度。IEEE Trans。Aut公司。控制[15] Cont，R.and de Larrard，A.（2013）：限制订单书的马尔可夫模型。暹罗J.Finan。数学[16] Cox，D.（1955）：一些与一系列事件相关的统计方法。J、 R.统计Soc。，序列号。B、 17（2），129-164。[17] Daley，D.J.和Vere Jones，D.（1988）：点过程理论导论。斯普林格。[18] Dassios，A.和Zhao，H.（2011）：动态传染过程。应用概率研究进展。，43(3), 814-846.[19] Engel，R.和Russel，J.（1998）：自回归条件持续时间：不规则间隔事务数据的新模型。《计量经济学》，661127-1162。[20] Engle，R.（2000）：超高频数据的计量经济学。《计量经济学》，68:1-20。[21]Engle，R.和Large，J.（2001）：预测vnet：市场深度动态模型。J、 芬南。

市场，4113-142。[22]Engle，R.和Lunde，A.（2003）：交易和报价：双变量点过程。J、 芬南。经济体。，1 (2), 159-188.[23]Embrechts，P.、Liniger，T.和Lin，L.（2011）：多元霍克斯过程：金融数据的应用。J、 应用程序。问题。，48，A:367-378.20安纳托利·斯威什楚克（ANATOLIY SWISHCHUK）和艾登·赫夫曼（AIDEN HUFFMAN）[24]Errais，E.、Giesecke，K.和Goldberg，L.（2010）：A ffene point流程和投资组合信用风险。暹罗J.Fin。数学1: 642-665.[25]Fillimonov，V.、Sornette，D.、Bichetti，D.和Maystre，N.（2013）：共商品市场中高水平内生性和结构制度转变的量化，2013年。[26]Fillimonov，V.和Sornette，D.（2012）：量化金融市场的流动性：预测金融崩溃。物理复习E，85（5）：056108。[27]Hawkes，A.（1971）：一些自激和互激点过程的光谱。生物特征，58，83-90。[28]Hawkes，A.和Oakes，D.（1974）：自激过程的集群过程表示。J、 应用概率。，11: 493-503.[29]Hewlett，P.（2006）：订单到达的聚类、价格影响和贸易路径优化。[30]Hasbrouch，J.（1999）：快速和慢速交易：实时证券市场事件。技术报告。Korolyuk，V.S.和Swishchuk，A.V.（1995）：半马尔可夫随机演化。KluwerAcademic出版社，荷兰多德雷赫特。[32]Large，J.（2007）：衡量电子限额指令簿的弹性。J、 财务部。市场，10（1）：1-25。[33]Liniger，T.（2009）：多元Hawkes过程。博士论文，瑞士联邦储备银行。苏黎世理工学院。[34]Lewis，P.（1964）：J.R.Stat.Soc。，序列号。B、 26（3），398。[35]Laub，P.、Taimre，T.和Pollett，P.（2015）：霍克斯过程。arXiv:1507.02822v1【数学公共关系】2015年7月10日。【36】McNeil，A.、Frey，R.和Embrechts，P.（2015）：定量风险管理：概念、技术和工具。普林斯顿大学出版社。[37]Mehdad，B.和Zhu，L。

（2014）：关于霍克斯过程，具有不同的激动人心的功能。arXiv:1403.0994。[38]Norris，J.R.（1997）：马尔可夫链。在剑桥统计和概率数学系列中。英国：剑桥大学出版社。【39】Skorokhod，A.（1965）：随机过程理论研究，Addison Wesley，Reading，Mass。，（纽约多佛出版社再版）。【40】Swishchuk，A.（2017a）：基于复合霍克斯过程的风险模型。摘要，IME 2017，维也纳(https://fam.tuwien.ac.at/ime2017/program.php).【41】Swishchuk，A.（2017b）：基于复合霍克斯过程的风险模型。arXiv：http://arxiv.org/abs/1706.09038【42】Swishchuk，A.（2017c）：限制订单簿中的一般复合Hawkes流程。工作文件，卡尔加里大学，32页，2017年6月。arXiv上提供：http://arxiv.org/abs/1706.【43】Swishchuk，A.、Chavez Casillas，J.、Elliott，R.和Remillard，B.（2017）：限制订单簿中的复合鹰牌流程。SSRN上提供：https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2987943【44】Swishchuk，A.和Vadori，N.（2017）：限价订单市场的半马尔可夫模型。暹罗J.Finan。数学v、 8240-273。【45】Swishchuk，A.、Cera，K.、Hofmeister，T.和Schmidt，J.（2017）：限价订单簿的一般半马尔可夫模型。实习生J、 Theoret。《应用金融》，第20卷，1750019页。【46】Swishchuk，A.和Vadori，N.（2015）：非齐次半马尔可夫过程泛函的强大数定律和中心极限定理。随机分析与应用，13（2），213-243。[47]Vinkovskaya，E.（2014）：LOB动力学的点过程模型。哥伦比亚大学（Columbia University）[48]Zheng，B.、Roue ff，F.和Abergel，F.（2014）博士论文：约束多变量Hawkes过程的遍历性和标度极限。暹罗J.Finan。数学5, 2014.朱，L.（2013）：非线性Hawkes过程的中心极限定理。J、 应用程序。问题。，50(3),760-771.【50】G.O.Mohler，M.B.Short，P.J。

Brantingham，F.P.Schoenberg，G.E.Tita，《美国统计协会杂志》106（493），100（2011）[51]S.Azizpour，K.Giesecke，G.Schwenkler。探索默认集群的来源。http://web.stanford.edu/dept/MSandE/cgi-bin/people/faculty/giesecke/pdfs/exploring.pdf(2010).【52】Y.Ogata，《美国统计协会杂志》83（401），9（1988）【53】LOBSTER，限额订单数据。https://lobsterdata.com/COMPOUNDLOBS 21【54】E.Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.F.Muzy中的霍克斯过程。用相互激励点过程模拟微观结构噪声。《定量金融》，13（1）：65-772013年。【55】Paul Embrechts、Thomas Liniger和Lu Lin.多元霍克斯过程：财务数据的应用。《应用概率杂志》，48（A）：367-3782011。AAPL AMZNGOOG Intcmsft图1。以上我们提供了每个投资股票的经验到达时间与泊松过程的分位数-分位数图。我们发现，到达间数据并不符合预期曲线，这证明了潜在的到达过程不是泊松过程。22安纳托利·斯威什楚克和艾登·赫夫马纳普·阿姆兹古格国际金融服务公司图2。每个图显示一分钟移动窗口的到达次数。由此我们可以得出结论，在中等价格变动的到来过程中，存在大量的集群，这推动了我们的到来过程的霍克斯模型。电子邮件地址：aiden。huffman@ucalgary.caE-邮件地址：aswish@ucalgary.caCOMPOUNDLOBS 23AAPL AMZNGOOG Intcmsft中的HAWKES流程图3。每个图将固定窗口大小的经验标准偏差与理论标准偏差进行比较。我们绘制了10秒到20分钟的所有n的经验标准偏差，步长为10秒。

每个经验标准偏差对应于散点图中的一个点，绘制的曲线对应于预测的理论值。24安纳托利·斯威什楚克和艾登·赫夫马纳普·阿姆兹尼·古格图4。我们可以清楚地看到，中间价的变动幅度超过了半个百分点。这些中间价变动构成了实际数据的重要部分，与CHPDO模型所需的假设相矛盾，即中间价变动平均发生在半个刻度上。LOBS 25AAPL Amzngoogfigfigure 5中的复合HAWKES过程。使用2状态相关顺序模型，将固定窗口大小n的经验标准偏差与AAPL、AMZN和GOOG的理论标准偏差进行比较。我们绘制了10秒到20分钟内所有n的经验标准偏差，步长为10秒。每个经验标准偏差对应于散点图中的一个点，绘制的曲线对应于预测的理论值。尽管AMZN的理论标准差仍然低估了经验可变性，但从视觉上看，所有股票都有显著改善。26 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN Huffmanamzn图6。我们考虑了前面讨论过的AMZN的N态模型。虽然原始数据略有改善，但该模型仍难以完美预测我们数据中间价变化的可变性。LOBS 27AAPL AMZNGOOG Intcmsft中的复合HAWKES流程图7。回归与理论模型的定性比较。对于APPL、AMZN和GOOG，我们使用了由16个分位数生成的阿马尔科夫链，分位数分别向上和向下移动。对于INTC和MSFT，我们采用了CHPDO系数，因为其他模型不可能有不同的系数。