极限订货簿中的一般复合Hawkes过程

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《General Compound Hawkes Processes in Limit Order Books》
---
作者：
Anatoliy Swishchuk and Aiden Huffman
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  In this paper, we study various new Hawkes processes. Specifically, we construct general compound Hawkes processes and investigate their properties in limit order books. With regards to these general compound Hawkes processes, we prove a Law of Large Numbers (LLN) and a Functional Central Limit Theorems (FCLT) for several specific variations. We apply several of these FCLTs to limit order books to study the link between price volatility and order flow, where the volatility in mid-price changes is expressed in terms of parameters describing the arrival rates and mid-price process.
---
中文摘要：
本文研究了各种新的Hawkes过程。具体来说，我们构造了一般的复合Hawkes过程，并研究了它们在极限序簿中的性质。对于这些一般的复合Hawkes过程，我们证明了几个具体变量的一个大数定律（LLN）和一个泛函中心极限定理（FCLT）。我们将其中几个FCLT应用于限制订单，以研究价格波动与订单流之间的联系，其中中间价变化的波动性用描述到达率和中间价过程的参数表示。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> General_Compound_Hawkes_Processes_in_Limit_Order_Books.pdf (1.74 MB)

2022-6-11 05:56:32 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Hawk Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

提交给内政部的手稿：10.3934/xx。xx。xx。xxMathematics in Science and Industry卷X，编号0X，XX 200X pp.X–xxLimitorder BOOKSAnatoliy Swishchuk中的一般复合HAWKES过程*2500年加拿大西北卡尔加里大学博士2 N 1N4Aiden Huffman2500年加拿大西北卡尔加里大学博士2 N 1N4（由Tony Ware传达）摘要。本文研究了各种新的Hawkes过程。具体而言，我们构造了一般的复合Hawkes过程，并在极限序簿中研究了它们的性质。对于这些一般的复合Hawkes过程，我们证明了几个特定变量的大数定律（LLN）和泛函中心极限定理（FCLT）。我们将其中几个FCLT应用于限制订单，以研究价格波动性和订单流量之间的联系，其中中间价变化的波动性用描述到达率和中间价过程的参数表示。1、简介。霍克斯过程（HP）以其创建者艾伦·霍克斯（1971、1974），[27]、[28]的名字命名。HP是一个简单的点流程，具有自激励特性、群集效应和长期内存。HP通过其对过程历史的依赖性，捕获了事件到达过程的时间和横截面依赖性，以及我们在限价订单簿上的经验数据中观察到的“自激”特性。最近，自激点过程已应用于价格变化的高频数据【54】或订单到达时间【55】。HPs已在许多领域得到应用，如遗传学（2010）[11]、犯罪发生（2010）[50]、银行违约[51]和地震[52]。20世纪50年代和60年代，点过程在统计学中获得了大量关注。

Cox（1955）[16]引入了双随机过程泊松过程（现在称为Cox过程）的概念，Bartlett（1963）[8]研究了基于功率谱密度的点过程统计方法。Lewis（1964）[34]制定了一个点过程模型（用于计算机断电模式），这是朝着HP方向迈出的一步。Daley等人（1988）[17]对点过程理论进行了很好的介绍。2010年数学学科分类。初级：58F15、58F17；次要：53C35。关键词和短语。霍克斯过程，一般复合霍克斯过程，极限序本，函数中心极限定理，龙虾数据。第一和第二作者得到了NSERC的支持。*通讯作者：艾登·胡夫曼。2 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMANtype of point process in the context of market microsulate is the autoregressive conditional duration（ACD）model by Engel et al.（1998）[19]。惠普最近的一个应用是财务分析，尤其是限额订单。本文研究了各种新的Hawkes过程，即广义复合Hawkes过程来模拟限价订单中的价格过程。对于这些过程的特殊情况，我们证明了一个大数定律（LLN）和一个函数中心极限定理（FCLT）。其中一些FCLT被应用于限价订单，我们使用渐近方法来研究模型中价格波动与涨跌之间的联系。价格变化的波动性用描述到达率和价格变化的参数表示。我们也给出了一些数值例子。一般的复合霍克斯过程在【40】中首次引入，以模拟保险中的风险过程，并在【41】中进行了详细研究。

在论文[43]中，我们得到了具有相依序的一般复合Hawkes过程和区域切换复合Hawkes过程的函数clt和lln。Bowsher（2007）[6]是第一个将HP应用于金融数据建模的人。Cartea et al.（2011）[9]将HP应用于市场订单到达模型。Filimonovand Sornette（2012）[25]和Filimonov et al.（2013）[26]应用HPs来估计由内生自生活动而非新闻或新信息的外生影响引起的价格变化百分比。Bauwens和Hautsch（2009）[7]使用五维HP，根据价格强度估计五只股票之间的多元波动性。Hewlett（2006）[29]利用事件发生引起的强度的瞬时跳跃来限定该事件的市场影响，同时考虑到导致进一步事件的二次事件的级联效应。Hewlett（2006）[29]还使用Hawkes模型推导了做市商的最优定价策略和投资者的最优交易策略，因为理性的做市商拥有历史交易数据。Large（2007）[32]运用霍克斯模型调查市场影响，特别关注订单弹性。具体而言，他考虑了买卖双方的限价订单、市场订单和取消，并根据其攻击程度对这些事件进行了进一步分类，形成了一个十维霍克斯过程。其他基于随机强度标记点过程的计量经济模型包括强度取决于历史的自回归条件强度（ACI）模型。Hasbrouck（1999）[30]引入了多变量点过程来模拟订单的不同事件，但没有将强度参数化。我们注意到，Br’emaud et al.（1996）[4]将HP推广到其非线性形式。

此外，Zhu（2013）[49]还获得了非线性Hawkes过程的泛函中心极限定理。Ait Sahalia et al.（2013）[1]引入的“霍克斯扩散模型”试图将以前的股价模型扩展到包括金融传染。查韦斯·德莫林等人。（2012）[12]使用霍克斯过程对高频财务数据进行建模。一点流程对组合信用风险的应用可参见勘误表（2010）[24]。Embrechts et al.（2011）[23]还介绍了Hawkes过程在金融数据中的一些应用。Cohen等人（2014）[14]推导出了马尔可夫调制霍克过程的显式滤波器。Vinkovskaya（2014）[47]考虑了一种政权转换霍克斯过程，以模拟其对限额订单中买卖价差的依赖。Bu ffington et al.（2000）[2]和Bu ffington et al.（2002）[3]分别考虑了欧洲和美国期权定价的制度转换模型。[44]中，半马尔可夫过程被应用于限制订单，以模拟中间价格。LOBS 3中的Wecomponent HAWKES过程还注意到，在[13]中研究了到货率随时间变化λ（t）的一级限额订单，包括价格过程的渐近分布。Bacry等人（2015）[5]的论文概述了最近专门研究霍克斯过程在金融中的应用的学术文献。这是对霍克斯过程在金融领域应用的一次极好的调查。通常，高频金融的主要模型可分为单变量模型、价格模型、影响模型、订单模型和一些系统性风险模型、新闻模型、高维模型和图模型聚类。Cartea等人的书。

（2015）[10]开发了算法交易模型，如执行大额订单、做市、资产集合交易对以及在黑暗池中执行的方法。这本书还包含一个链接，可以从中下载几个数据集，以及帮助进行数据实验的MATLAB代码。Liniger（2009）[33]详细描述了霍克斯过程的数学理论。Laub等人（2015）[35]的论文提供了背景，介绍了现场和历史发展，并涉及了Hawkes过程的所有主要方面。当前论文的结果在[42]中首次发表。论文组织如下。第2节给出了霍克斯过程的定义及其特性描述。第3节介绍了一般复合霍克斯工艺。第4节证明了各种一般复合Hawkes过程的大数定律（LLN）和泛函中心极限定理（FCLT），包括非线性极限序书。第5节对几个数据集的衍生差异限制进行了数值探索，最后第6节总结了本文。霍克斯过程（HPs）的定义。在本节中，我们给出了霍克斯过程的各种定义和一些性质，这些定义和性质可以在现有文献中找到（参见，例如，[27]、[28]、[23]和[48]，仅举几例）。它们尤其包括一维和非线性霍克斯过程。定义2.1（计数过程）。计数过程是一个随机过程N（t）和t≥ 0，其中N（t）取正整数值，满足度N（0）=0。

它几乎肯定是有限的，是一个右连续阶跃函数，增量为大小+1。用FN（t），t表示≥ 0，到达时间t之前的历史记录，即FN（t），t≥ 0表示过滤（σ-代数的递增序列）。计数过程N（t）可以解释为系统中到达次数的累计计数，直到当前时间t。计数过程也可以由随机到达时间序列（t，t，…）来表征此时计数过程N（t）已跳变。这些到达时间定义的过程称为点过程（见【17】）。定义2.2（点过程）。如果随机变量序列（T，T，…），取[0]中的值，∞) 有P（0≤ T≤ T≤ . . . ) = 1，并且有界区域中的点数几乎肯定是有限的，那么（T，T，…）称为点过程。定义2.3（条件强度函数）。考虑一个计数过程N（t）和相关的历史FN（t），t≥ 如果存在λ（t）=limh的非负函数λ（t）→0E【N（t+h）】- N（t）| FN（t）]h（1），则称为N（t）的条件强度函数（见[35]）。我们注意到，最初该函数被称为危险函数（见[16]）。4 ANATOLIY SWISHCHUK和AIDEN HUFFMANDe定义2.4（一维霍克斯过程）。一维霍克斯过程（见[35]、[28]）是一个点过程N（t），其特征是相对于其自然过滤的强度λ（t）：λ（t）=λ+Ztu（t- s） dN（s）（2），其中λ>0，响应函数u（t）是满足esR的正函数∞u（s）ds<1。常数λ称为背景强度，函数u（t）有时称为激发函数。为了避免均匀泊松过程的一般情况，我们假设u（t）6=0。

因此，霍克斯过程是泊松过程的非马尔可夫扩展。关于2.3中λ（t）和2.4中N（t）的定义，遵循P（N（t+h）- N（t）=m | FN（t））=λ（t）h+o（h）m=1o（h）m>11- λ（t）h+o（h）m=0方程式（2）的解释是，事件根据背景强度λ的强度发生，背景强度λ在每个新事件时增加u（0），最终根据函数u（t）的演变衰减回背景强度值。选择u（0）>0会导致每次新事件的强度发生波动，此功能通常称为自激功能。换句话说，如果到达导致方程（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）增加，则该过程称为自激。我们想提到的是，方程（1）-（2）中的条件强度函数λ（t）可以与计数过程N（t）的补偿器∧（t）相关联，即∧（t）=Ztλ（s）ds（3）。我们注意到∧（t）是唯一的非递减函数FN（t），t≥ 0，可预测函数，其中∧（0）=0，使得n（t）=M（t）+∧（t）a.s。其中M（t）是FN（t），t≥ 0，局部鞅（其存在性由Doob-Meyer分解保证）。方程（2）中函数u（t）的常见选择是指数decay（见【27】）u（t）=αe-βt（4），其中参数α，β>0。

在这种情况下，霍克斯过程被称为强度呈指数衰减的霍克斯过程。在方程（4）的情况下，方程（2）变为λ（t）=λ+Ztαe-β（t-s） dN（s）（5）LOBS 5中的复合HAWKES过程我们注意到，在方程（4）的情况下，过程（N（t），λ（t））是一个连续时间马尔可夫过程，而不是方程（1）中激励函数的一般选择情况。当初始条件λ（0）=λ时，方程（5）中的条件强度λ（t）与方程（4）中的指数衰减满足SDEdλ（t）=β（λ- λ（t））dt+αdN（t），t≥ 0（6），可使用随机演算作为λ（t）=e来求解-βt（λ- λ） +λ+Ztαe-β（t-s） dN（s），（7），是式（5）的推广。u（t）的另一个选择是幂律函数λ（t）=λ+Ztk（c+（t- s） pdN（s）（8），具有正参数（c，k，p）。方程式（8）中λ（t）的幂律形式应用于称为Omori定律的地质模型中，并用于预测地震引起的余震率。定义2.5（D维霍克斯过程）。D维霍克斯过程（见[23]）是一个点过程N（t）=（Ni（t））Di=1，其特征是其强度向量t=（λi（t））Di=1，即：λi（t）=λi+Ztuij（t- s） dNj（s）（9），其中λi>0，且M（t）=（uij（t））是矩阵值核，因此：1。它是成分非负的：（uij（t））≥ 每个1 0≤ i、 j≤ D2、它是矩阵卷积形式的分量式L-可积，方程（9）可以写成~λ（t）=~λ+M* d~N（t）（10），其中λ（t）=（λi）Di=1。定义2.6（非线性霍克斯过程）。非线性霍克斯过程（参见，例如，[48]）由强度函数定义，其形式如下：λ（t）=hλ+Ztu（t- s） dN（s）（11） 其中，h（·）是一个非线性函数，支持度为R+。h（·）的典型示例为h（x）=1x∈R+和h（x）=例如备注1。

霍克斯过程的许多其他推广已被提出。其中包括混合差分霍克斯模型【24】、具有散粒噪声异源事件的霍克斯模型【18】和具有世代相关核的霍克斯过程【37】，仅举几例。6安纳托利·斯威什楚克和艾登·赫夫曼3。复合霍克斯过程。在本节中，我们定义了具有N态相关阶数的非线性复合霍克斯过程。我们还考虑了一般复合霍克斯过程的特殊情况。定义3.1（限制订单簿中具有n态依赖项（NLCHPnSDO）的非线性复合霍克斯过程）。考虑中间价格过程StSt=S+NtXi=1a（Xk）（12），其中Xkis是一个连续时间n状态马尔可夫链，a（x）是状态空间x上的一个连续且有界的函数：={1，2，…，n}，n（t）是非线性霍克斯过程（参见，例如，[48]由以下形式的强度函数定义（参见等式（11））：λ（t）=hλ+Ztu（t- s） dN（s）式中，h（·）是一个非线性递增函数，支持向量为R+。我们注意到，在[4]中，证明了如果h（·）是α-Lipschitz（见[4]），使得α| | h | | L<1，则存在唯一的平稳遍历Hawkes过程，满足方程（11）的动力学。我们将方程（12）中的过程称为具有n态相关阶数的非线性复合霍克斯过程（NLCHPnSDO）。这一非线性复合霍克斯过程将是本文研究的基础。在以下小节中，我们将介绍四个具体示例，用于我们对中间价过程的实证调查。3.1. 极限订单簿中复合Hawkes过程的特例。定义3.2（具有N态相关序的一般复合霍克斯过程（GCHPnSDO））。