a中高频专家意见的渐近滤波行为

让这个估计值通过扩散过程给出dJt= μtdt + σJdWJt, （2.7）其中WJ是一个d-带d≥ d 这与模型中的所有其他布朗运动和信息日期无关Tk. 常数矩阵σJ∈ Rd×d假设为∑J:= σJσJ为正定义。2.3投资者筛选我们考虑信息水平不同的各类投资者。投资者可获得的信息由投资者过滤F描述H= (FHt)t∈[0,T ]. 在这里H 表示我们考虑案例的信息区域H = R, Z, J, F , 其中fR= (FRt)t∈[0,T ]具有FRt= σ(Rs, s ≤ t),FZ= (FZt)t∈[0,T ]具有FZt= σ(Rs, s ≤ t, (Tk, Zk), Tk≤ t),FJ= (FJt)t∈[0,T ]具有FJt= σ(Rs, Js, s ≤ t),FF= (FFt)t∈[0,T ]具有FFt= σ(Rs, μs, s ≤ t).我们假设上述σ-代数FHt由P. 我们称投资方为FH= (FHt)t∈[0,T ]这个H-投资者这个R-投资者只观察回报过程R, 这个Z-投资者将收益观察和离散时间专家意见相结合Zk而J-投资者与连续时间专家一起观察返回过程J. 最后F -投资者拥有完整的信息，可以观察漂移过程μ. 对于随机漂移，这种情况并不现实，但我们将ITA作为基准，在下一节中，它将作为高频专家意见的限制情况。我们将用投资者过滤F表示投资者H像H-投资者我们假设t = 0部分知情的投资者从σ-代数FI, 即。，FH= FI FF, H = R, Z, J. 此初始信息FI模型优先了解当时的漂移过程t = 0，例如，在交易期之前观察过去的回报或专家意见[0，T ].

我们假设初始漂移值的条件分布μ鉴于FH是正态分布N(m, q) 平均值m∈ Rd和协方差矩阵q∈ Rd×d假设为对称正半定义。在这种情况下，典型的例子有：a）投资者没有关于漂移初始值的信息μ. 然而，他知道模型参数，尤其是分布N(m, q) 属于μ具有给定参数m和q. 这对应于FI= {, Ω}和m= m, q= q.b） 投资者可以充分观察漂移的初始值μ, 对应于FI= FF和m= μ(ω) 和q= 0.6 Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波行为》c）在上述限制性案例中，我们考虑的是一位拥有一些先前但不完整信息的投资者μ导致{, Ω}  FI FF.3部分信息和过滤投资者的交易决策基于他们对漂移过程的了解μ. 而F 投资者直接观察漂移H-投资者H = R, Z, J 必须对其进行评估。这就导致了隐藏信号处理的滤波问题μ 以及报告中给出的观察结果R 和专家意见(Tk, Zk) 或J. 漂移过滤器μt它在FHt-由给定漂移的条件分布描述的可测随机变量FHt. 漂移时间的均方最优估计t, 给定可用信息为条件平均值MHt:= E类[μt|FHt].该估计器的精度可以用条件协方差矩阵来描述QHt:= E类[(μt- MHt)(μt- MHt)|FHt].

（3.1）由于在我们的滤波问题中μ, 观测值和滤波器的初始值是联合高斯分布的，并且滤波器分布是高斯分布的，完全由条件平均值表征MHt和条件协方差QHt.在第4节中，我们将研究Z-投资者越来越频繁地观察专家观点的到来，如果到达强度λ 趋于完整。第5节专门讨论了一个相关问题，并考虑了J-波动性投资者σJ趋向于零。这些结果基于以下过滤器动态：H = R, Z, J 这已经可以在Sass等人【21，22】中找到。3.1R- 和J-投资方R-投资者只观察回报，无法获得其他专家意见，信息由F提供R. 然后，我们在卡尔曼滤波器的经典情况下，参见Liptser和Shiryaev【16】，定理10.3，得出以下动力学MR和QR.引理3.1。对于R-投资者滤波器为高斯分布，漂移的条件分布μt鉴于FRt是正态分布NMRt, QRt.条件平均数MR遵循动态dMRt= κ(μ - MRt) dt + QRtΣ-1.RdRt- MRtdt. （3.2）条件协方差的动力学QR由Riccati微分方程给出dQRt= (Σμ- κQRt- QRtκ- QRtΣ-1.RQRt) dt. （3.3）初始值为MR= m和QR= q.注意，条件协方差矩阵QRt满足一个普通的微分方程，并且是确定的，而条件平均值MRt是由SDE定义的随机过程，SDE由回归过程驱动R.接下来，我们考虑J-遵守2的投资者d-组件的尺寸扩散过程R和J. 观察过程是由(d+ d)-含分量的二维布朗运动WR和WJ.

同样，我们可以应用经典的卡尔曼滤波理论，如Liptser和Shiryaev【16】中所述，来推导MJ和QJ. 我们还参考了配套论文[22]中的引理2.2。Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波器行为》第7章引理3.2节。对于J-投资者滤波器为高斯分布，漂移的条件分布μt鉴于FJt是正态分布NMJt, QJt.条件平均数MJ遵循动态dMJt= κ(μ - MJt) dt + QJt(Σ-1.R, Σ-1.J)dRt- MJtdtdJt- MJtdt. （3.4）条件协方差的动力学QJ由Riccati微分方程给出dQJt= (Σμ- κQJt- QJtκ- QJt(Σ-1.R+ Σ-1.J)QJt) dt. （3.5）初始值为MJ= m和QJ= q.请注意，如R-投资者，条件协方差QJ是确定性的。3.2Z-投资我们现在考虑的是Z-将股票收益的连续时间观察结果与在离散时间点收到的专家意见相结合的投资者。引理3.3。对于Z-投资者滤波器为高斯分布，漂移的条件分布μt鉴于FZt是正态分布NMZt, QZt.（i） 两个信息日期之间Tk和Tk+1.k ∈ N、 条件平均数MZt满足SDE（3.2），即：。，dMZt= κ(μ - MZt) dt + QZtΣ-1.RdRt- MZtdt对于t ∈ [Tk, Tk+1).条件协方差QZ满足普通Riccati微分方程（3.3），即：。，dQZt= (Σμ- κQZt- QZtκ- QZtΣ-1.RQZt) dt.初始值为MZTk和QZTk, 分别，带MZ= m和QZ= q.（ii）在信息日期Tk, k ∈ N、 条件均值和协方差MZTk和QZTk从当时的相应值中获取Tk-（在视图到达之前）使用更新公式MZTk= ρkMZTk-+ (Id- ρk)Zk,QZTk= ρkQZTk-,使用更新因子ρk= Γ(QZTk-+ Γ)-1.证明。关于详细的证明，我们参考了文献[21]中的引理2.3和文献[22]中的引理2.3。

请注意MZ和QZ信息之间的日期与R-投资者，见附录3.1。信息日期的值Tk从贝叶斯更新中获得。回想一下R-投资者条件平均值MR是一个分化过程和条件方差QR是确定性的。与此相反，条件平均值MZ的Z-投资者是一个跳跃扩散过程和条件协方差QZ不再具有确定性，因为更新会导致随机到达日期的跳跃Tk专家意见。因此QZ是一个分段确定性随机过程。3.3滤波器的特性下一个引理用数学术语表述了专家意见的附加信息改善漂移估计的直观特性。由于滤波器的精度由条件8 Gabih、Kondakji和Wunderlich测量，因此高频专家意见的渐近滤波器行为预计Z-结合回报观察和专家意见的投资者比R-只观察回报的投资者。从数学上讲，这可以用对称矩阵的偏序来表示。对于对称矩阵A, B ∈ Rd×d我们写作A  B 如果B - A 为正半定义。请注意A  B 表示‖A‖ ≤ ‖B‖.提案3.4。它保持不变QZt QRt和QJt QRt. 特别是，存在一个常数CQ> 0个这样的QZt≤QRt≤ CQ和QJt≤QRt≤ CQ对于所有人t ∈ [0, T ].对于我们参考文献[22]的证明，引理2.4.4高频专家意见的滤波器渐近性，我们考虑Z-提高抵达强度的投资者及其过滤器λ 并研究了λ → ∞.

然后，单位时间内专家意见的平均数量即为完整性，即Z-投资者对隐藏漂移的当前状态有越来越多的噪音估计，可供其使用。这将提高漂移估计器的精度。根据大数定律，我们预计λ → ∞漂移估计器与漂移一致。事实上，我们在定理4.6中证明了漂移估计是由条件均值给出的MZ收敛到隐藏漂移μ 在均方意义下，速率为1/√λ.因此MZ是一致的估计量μ 在极限范围内Z-投资者掌握了有关提款的全部信息。请注意，如果额外的专家意见仅以方差Γ所描述的准确性为代价，则存在另一个渐近机制。假设这种方差在到达强度上呈线性增长，Sass等人[22]表明Z-投资者从观察离散时间专家观点中获得的结果与从观察某个差异过程中获得的结果是渐近相同的。后者可以解释为连续时间专家。[22]中获得的极限定理允许推导出高频离散时间专家意见滤波器的所谓扩散近似值。它们构成了一个函数中心极限定理，而下面针对固定方差Γ得到的极限定理可以被视为一个函数大数定律。在我们的注释中，我们现在要强调过滤过程和投资者过滤对强度的依赖性λ 通过添加上标λ.

因此，我们写道MZ,λt, QZ,λt和FZ,λ.4.1条件方差我们现在表明，条件方差过程的期望QZ,λt对于λ → ∞ 归零。为此，表达QZ,λ引理3.3中给出了一种统一的方式，包括信息日期之间的行为和时间跳跃Tk. 因此，我们在Cont和Tankov【5，第2.6节】中使用了泊松随机测度。允许E = [0, T ] ×Rd然后让Uk,k = 1, 2, . . . , 是R上独立的多元标准高斯随机变量序列d. Forany公司I ∈ B([0, T ]) 和B ∈ B（R）d) 允许N(I × B) =k : Tk∈I{Uk∈B}表示中的跳转次数I 哪里Uk在中获取值B. 然后N 定义具有相应补偿测度的泊松随机测度Nλ(ds, du) = N(ds, du) -λ ds φ(u) du, 哪里φ 是R上的多变量标准正态密度d, 见Cont和Tankov【5，第2.6.3节】。下一个引理重写了QZ,λ引理3.3中给出，并提供了由鞅驱动的半鞅表示Nλ. 有关详细的证据和进一步的解释，请参考威斯特伐尔法案【25，第8.14款】和Kondakji法案【14，第3.1节】。Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波器行为》引理4.1。条件协方差矩阵的动力学QZ,λ由给出dQZ,λt= αZ,λ(QZ,λt) dt +Rdγ(QZ,λs-)Nλ(ds, du), QZ,λ= q, （4.1）其中αZ,λ(q) = Σμ- κq - qκ- qΣ-1.Rq - λq (q + Γ)-1.q, (4.2)γ(q) = -q (q + Γ)-1.q. （4.3）我们重写了上述FZ,λ-的半鞅分解QZ,λ以积分形式获得QZ,λt= Aλt+ Kλt对于t ∈ [0, T ], （4.4）带Aλt:= q+tαZ,λ(QZ,λs) ds 和Kλt:=tRdγ(QZ,λs-)Nλ(ds, du).根据命题3.4，条件协方差QZ,λs在[0]上有界，t] 而且γ 有界和跳跃过程Kλ是FZ-鞅和E[Kλt] = 0安第斯[QZ,λt] = E类[Aλt].

（4.5）用于研究条件协方差的渐近行为QZ,λ我们研究了过程的漂移Aλ由非线性矩阵值函数给出αZ,λ. 下面的引理给出了αZ,λ(q) 用一个线性函数表示q. 该估计对于推导定理4.3中的收敛结果起着至关重要的作用。引理4.2。（属性αZ,λ)对于函数αZ,λ（4.2）中给出了存在常数aα, bα> 0独立于λ 而且存在λ> 0使得对于所有对称和正半定义q ∈ Rd×dtr公司αZ,λ(q)≤ aα-√λ bαtr公司(q), 对于λ ≥ λ. （4.6）上述估算适用于aα> tr（∑）μ),bα< bα= bα(aα) := 2.aα- tr（∑）μ)tr（Γ），（4.7）λ= λ(aα, βα) :=d(aα- tr（∑）μ))tr（Γ）(aα- tr（∑）μ)) - bαtr（Γ）.附录A.2给出了相当技术性的证明。下面的主要定理给出了QZ,λ由此可以推断收敛到零。定理4.3。对于每个δ ∈ (0, T ] 存在λQ> 0这样tr公司QZ,λt≤KZ√λ对于λ ≥ λQ, t ∈ [δ, T ] 和（4.8）KZ= KZ(δ) =tr（Γ）[tr（σμ) + tr公司(q)(e δ)-1]1/2，（4.9）其中e = exp（1）表示欧拉数。特别是，它持有Etr公司QZ,λt→ 0作为λ → ∞ 对于所有人t ∈ (0, T ].10 Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波器行为》。让我们来定义函数g(t) := Etr公司(QZ,λt)对于t ∈ [0, T ]. 然后使用（4.4），（4.5）以及期望和跟踪运算符的线性度得出g(t) = tr（E[QZ,λt]) = tr公司(q) +tEtr公司(αZ,λ(QZ,λs))ds.根据命题3.4，条件协方差QZ,λ函数有界且分段连续g 是分段可微的，对于其导数g′(t) = Etr公司(αZ,λ(QZ,λt)). 此外，我们有g（0）=tr(q).

引理4.2表示存在常数aα, bα, λ> 0，以便g′(t) ≤ Eaα-√λ bαtr公司(QZ,λt)= aα-√λ bαEtr公司(QZ,λt)= aα-√λ bαg(t) 对于λ ≥ λ. （4.10）我们现在用不同形式的Gronwall引理来获得t ∈ [δ, T] 和λ ≥ λg(t) ≤ g(0)e-√λ bαt+aα√λ bα(1 - e-√λ bαt) ≤√λh(δ, λ, bα) +aαbα, （4.11）其中h(δ, λ, bα) := tr公司(q)√λ e-√λ bαδ. 接下来，我们将展示如何δ ∈ (0, T ] 我们可以选择常数aα, bα, λQ> 0，以便h(δ, λ, bα) + aα/bα≤ KZ(δ) 对于λ ≥ λQ使用常量KZ(δ) 见（4.9）。考虑λ ≥ 0函数λ → f(λ) = h(δ, λ, bα) 对于固定δ ∈ (0, T ] 和bα∈ (0, bα), 哪里bα见（4.7）。功能f 是非负的，它成立f （0）=0和f(λ) → 0用于λ → ∞. 最大值为λ*= (bαδ)-2带f(λ*) = (e bαδ)-1tr(q). 因此，对于（4.11）的r.h.s.的最后一项，我们得到h(δ, λ, bα) +aαbα≤bα（tr(q)(e δ)-1+ aα) 对于λ ≥ λ. （4.12）后一种表达在bα最小值为（0，bα] 已获得bα= bα. 根据（4.7），该选择导致λ= ∞ 这是不可行的，我们必须限制价值观bα< bα.然而，我们可以通过选择bα= bα- η 使用su fficientlysmallη > 0和λQ≥ 闵(λ, λ*) 因此h(δ, λ, bα) +aαbα= h(δ, λ, bα- η) +aαbα- η≤bα（tr(q)(e δ)-1+ aα) 对于λ ≥ λQ.为了了解这一估计，我们注意到f(λ) 正在减少(λ*, ∞) 对于λ → ∞. 因此h(δ, λ, bα- η) 可通过选择λ 足够大。最后，我们研究了上述估计与aα并考虑以下定义：bα如（4.7）所示，即我们考虑函数aα→bα（tr(q)(e δ)-1+ aα) =tr（Γ）aα- tr（∑）μ)（tr(q)(e δ)-1+ aα)对于aα> tr（∑）μ). 在a*α= 2 tr（∑）μ) + tr公司(q)(e δ)-1最小值由下式给出：KZ定义见（4.9）。

这证明了第一种说法。因为这种不平等对所有人都适用δ ∈ (0, T ], 收敛Etr公司QZ,λt→ 0用于λ → ∞ 适用于所有t ∈ (0, T ]. 根据上述渐近性质，得到了QZ,λ我们可以很容易地推导出范数期望的类似结果‖QZ,λ‖ 条件协方差。推论4.4。对于每个δ ∈ (0, T ] 任何矩阵范数都存在常数C, λQ> 0这样QZ,λtp≤C√λ对于λ ≥ λQ, t ∈ [δ, T ] 和p ≥ 1.（4.13）Gabih、Kondakji和Wunderlich，Frobenius范数的高频专家意见渐近滤波行为11F常量C 可以选择为C = KZCp-1.F哪里KZ见（4.9）和CF表示命题3.4中Frobenius范数的上界‖QZ,λ‖F.特别是，它持有EQZ,λtp→ 0作为λ → ∞ 对于所有人t ∈ (0, T ].证据对称正半定矩阵的Frobenius范数A 可容纳‖A‖F≤ tr公司(A)（见引理A.1，不等式（A.5））。此外，提案3.4意味着‖A‖F≤ CF. 因此‖QZ,λ‖pF≤ Cp-1.F‖QZ,λ‖F≤ Cp-1.Ftr公司(QZ,λ)定理4.3和不等式（4.8）证明了这一主张。矩阵范数的等价性意味着对其他范数的评价。4.2条件平均我们现在可以说明并证明滤波器渐近行为的类似收敛结果M. 证明基于以下等式，该等式将滤波估计的均方误差与条件协方差联系起来。引理4.5。它保持不变MZ,λt- μt= tr公司EQZ,λt. （4.14）证明。对于（4.14）中的均方标准，它适用于MZ,λt- μt= E(MZ,λt- μt)(MZ,λt- μt)= tr公司E(MZ,λt- μt)(MZ,λt- μt).