a中高频专家意见的渐近滤波行为

（4.15）对于最后一项中的期望，（3.1）yieldsE中条件期望的塔式定律和条件协方差的定义(MZ,λt- μt)(MZ,λt- μt)= EE(MZ,λt- μt)(MZ,λt- μt)FZ,λt= EQZ,λt.代入（4.15）得到断言（4.14）。定理4.6。允许KZ, λQ是定理4.3中给出的常数。那么对于每个δ ∈ (0, T ]EMZ,λt- μt≤KZ√λ对于λ ≥ λQ, t ∈ [δ, T ]. （4.16）尤其是MZ,λt- μt→ 0作为λ → ∞ 对于所有人t ∈ (0, T ].证据利用引理4.5中的恒等式（4.14）和定理4.3中的不等式（4.8），我们得到MZ,λt- μt= tr公司EQZ,λt≤KZ√λ对于λ ≥ λ, t ∈ [δ, T ].因为上述不平等对所有人都适用δ ∈ (0, T ] 我们最终获得了滤波器所需的收敛性MZ,λt对于t ∈ (0, T ]) 像λ → ∞, i、 e.eMZ,λt- μt→ 0作为λ → ∞.12 Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波行为》5《连续时间专家意见的渐近滤波》在上一节中，我们已经提到，如果专家意见的方差Γ与到达强度无关，则存在另一个渐近状态λ 但在λ. 我们现在想建立一些与上述常数Γ的关系。假设Γ=Γλ= λσJσJ哪里σJ是连续时间ExpertoPion过程的波动矩阵dJt= μtdt + σJdWJt定义见（2.7）。在那里，我们介绍了J-将股票收益观察与J （而不是离散时间的专家意见）。对于设置Sasset al。

[22]显示以下信息：Z-投资者从观察离散时间专家意见中获得的信息与J-投资者从观察差异过程中获益J 如果专家意见的模型Zk（2.6）使用标准正态分布随机变量εk定义为WJ在表单中εk=√λ(WJk/λ-WJ(k-1)/λ), k ∈ N、 特别是他们证明了滤波过程的均方收敛性MZ, QZ到相应的过滤过程MJ, QJ的J-并提供相应的误差估计。这些极限定理证明了所谓的高频离散时间专家意见滤波器的差分近似是固定的，且专家的方差足够大，即Z-投资者可以通过J-具有波动率矩阵的投资者σJ= σλJ=√λΓ1/2.受前一节结果的启发，我们研究了Z具有固定专家方差的投资者λ → ∞ 我们现在想研究关联扩散近似的渐近性。因此，我们引入了一系列扩散过程(Jλ)λ>0定义人dJλt= μtdt +√λσJdWJt（5.1）具有常数矩阵σJ∈ Rd×d选择使∑J:= σJσJ为正定义。然后它保持∑J= ΣλJ=λΣJ. 自=√λσJ→ 0用于λ → ∞ 文献[22]中的极限定理未涵盖极限情况，且扩散近似退化。然而，从统计角度来看，有一个明确的解释。

在限制内J-投资者可以完美地重建隐藏的漂移μ 通过观察限制过程J∞由（确定性）ODE定义dJ∞t= μtdt 并因此获得了有关此次撤军的全部信息。下面，我们提供了收敛到完整信息的精确数学含义，并证明了滤波过程的相应极限定理，这与第4节中高频离散时间专家的对应极限定理类似。我们还提供了J-投资者事实证明，我们可以从第4节的顶部开发的技术中受益匪浅。起点是条件协方差QJ= QJ,λ. 注意，与随机条件方差相反QZ,λ的Z-投资者QJ,λ是确定性的。根据引理3.5，它满足Riccatidi微分方程（3.5），我们将其改写为dQJ,λt= αJ,λ(QJ,λt) dt, QJ,λ= q, 式中（5.2）αJ,λ(q) = Σμ- κq - qκ- q(Σ-1.R+ λΣ-1.J)q. （5.3）引理5.1。（属性αJ,λ)对于函数αJ,λ（5.3）中给出了存在常数aα, bα> 0独立于λ 对于全对称和正半定义q ∈ Rd×dtr公司αJ,λ(q)≤ aα-√λ bαtr公司(q), 对于λ > 0.（5.4）上述估计适用于aα= tr（∑）μ) + (d tr（∑）J)r)-1和bα= 2(d tr（∑）J)√r)-1（5.5）和r > Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波行为》13附录A.3给出了证明。请注意，与相应的估计相反αZ,λ如表4.2所示αJ,λ不仅对足够大的λ ≥ λ> 0但适用于所有λ > 以下定理提供了与定理4.3类似的结果，并给出了QJ,λ由此可以推断收敛到零。定理5.2。

对于每个δ ∈ (0, T ] 和λ > 0 it holdstrQJ,λt≤KJ√λ对于t ∈ [δ, T ] 式中（5.6）KJ= KJ(δ) =d tr（∑）J)[tr（σ）μ) + tr公司(q)(e δ)-1]1/2，（5.7）其中e = exp（1）表示欧拉数。特别是，它持有trQJ,λt→ 0作为λ → ∞ 对于所有人t ∈ (0, T ].证据让我们来定义函数g(t) := tr公司(QJ,λt) 对于t ∈ [0, T ]. 然后使用（5.2）和trace运算符的线性得出g(t) = tr公司(q) +ttr公司(αJ,λ(QJ,λs))ds = tr公司(q) +tg(s)ds. 类似于定理4.3中（4.12）的证明，即应用引理5.1和Gronwall引理，我们得到t ∈ [δ, T ] 和λ > 0g(t) ≤√λbα（tr(q)(e δ)-1+ aα). （5.8）回顾（5.5），指出常数aα, bα可以选择为aα= aα(r) = tr（∑）μ) + (d tr（∑）J)r)-1和bα= bα(r) = 2(d tr（∑）J)√r)-1（5.9）对于任何r > 0、我们现在选择r 使（5.8）的r.h.s.达到其最小值。唯一的极小值为r*= (d tr（∑）J)[tr(q)(e δ)-1+tr（∑）μ)])-1最小值为KJ/√λ 具有KJ定义见（5.7）。这证明了第一种说法。因为这种不平等对所有人都适用δ ∈ (0, T ] convergencetr(QZ,λt) → 0用于λ → ∞ 适用于所有人t ∈ (0, T ]. 如第4.1节所述QJ,λ暗示其标准的类似结果。该证明类似于推论4.4的证明。推论5.3。对于每个δ ∈ (0, T ] 任何矩阵范数都存在一个常数C > 0，以便QJ,λtp≤C√λ对于λ > 0, t ∈ [δ, T ] 和p ≥ 1.（5.10）对于Frobenius标准F常量C 可以选择为C = KJCp-1.F哪里KJ见（5.7）和CF表示命题3.4中Frobenius范数的上界‖QJ,λ‖F.尤其是QJ,λtp→ 0作为λ → ∞ 对于所有人t ∈ (0, T ].基于条件方差的极限定理，我们现在可以说明条件均值收敛的相应结果MJ= MJ,λ. 该证明类似于定理4.6的证明。定理5.4。

允许KJ为定理5.2中给出的常数。那么对于每个δ ∈ (0, T ]EMJ,λt- μt≤KJ√λ对于λ > 0, t ∈ [δ, T ]. （5.11）尤其是MJ,λt- μt→ 0作为λ → ∞ 对于所有人t ∈ (0, T ].请注意，与相应的估计相反MZ,λ在定理4.6中给出了MJ,λ不仅对足够大的λ ≥ λQ> 0但适用于所有λ > 0.14 Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波器行为》6数值示例在本节中，我们通过一些数值实验的结果来说明前面章节的理论发现。这些实验基于一个股市模型，其中不可观察的漂移μ followsan-Ornstein-Uhlenbeck过程如（2.4）和（2.5）所示，而波动率是已知的且恒定的。为简单起见，我们假设市场上只有一种风险资产，即。d = 1、对于我们的数值实验，我们使用表1中给出的模型参数。初始值的分布μ漂移过程的极限假定为Ornstein-Uhlenbeck过程的平稳分布，即μt对于t → ∞ 已知为高斯平均值m= μ 和方差q=σμ2.κ.平均回归水平μ 0.1时间范围T 1年平均逆转速度κ 3股票波动性σR0.25波动率σμ1专家方差Γ=∑J0.05初始值μ: 意思是m= μ 0.1过滤器：初始值m= m0.1差异q=σμ2.κ0.16q= q0.16表1。数值实验的模型参数专家意见的到达日期被建模为具有强度的泊松过程的跳跃时间λ. 然后，两个信息日期之间的等待时间随参数呈指数分布λ投资者收到T 平均而言λT 专家意见。

回想一下，专家的观点是由Zk= μTk+ Γεk, k ∈ N、 在哪里(εk)k≥1是一系列独立的标准正态分布随机变量。在初始时间t = 0所有部分知情的投资者都有相同的关于隐藏漂移的信息。对于实验，我们假设他们只知道FH= {, Ω}.然后是过滤过程的初始值MH和QH是高斯分布的参数μ, 即m= m= μ 和q= q=σμ2.κ, 分别地在图1中，我们绘制了条件平均值给出的滤波器MH和条件方差QH的R-投资者（蓝色）Z-投资者和关联方J-投资者争分夺秒。对于Z-投资者我们考虑到达强度λ = 5、20、2000（黄色、橙色、红色）。关联连续时间专家意见的波动性选择为σλJ=Γ/λ. 在上图中可以看到条件变量QR, QZ,λ, QJ,λ我们还突出显示（绿色）与极限过程对应的零级λ → ∞. 下图显示了不可观测漂移过程的实现μ （绿色）及其通过条件平均法给出的估计值MR（蓝色）和MZ,λ（黄色、橙色、红色）。我们省略了绘制MJ,λ.自R- 和Z-投资者从相同的初始值开始，他们的路径是相同的，直到第一个专家意见的到来，导致过滤器更新。这可以很好地看到λ = 5和λ = 20而用于λ = 2000第一次更新几乎就在初始时间之后t = 在信息日期，更新减少了条件方差，并导致条件均值的跳跃。条件平均值的更新通常会减少MZ,λ到隐藏的漂移μ, 当然，这取决于专家观点的实际价值。

注意漂移估计MR的R-投资者非常贫穷，其回报率接近平均回报水平μ. 然而，专家意见明显改善了漂移估计。Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波行为》15图。1、过滤过程模拟QH和MH. 上面的子图显示了条件方差的实现QR, QZ,λ（实心）和QJ,λ（虚线）用于各种强度λ. 连续时间专家意见的波动性选择为σλJ=Γ/λ. 下面的子图显示了相应条件平均数的实现MR和MZ,λ与漂移过程的路径一起μ （绿色）。更新条件方差后QZ,λ如果到下一个informationdate的等待时间足够长，那么它几乎接近QR. 同样，这可以很好地观察到λ = 5、在如此长的时间内，没有新的专家意见Z-投资者MZ,λ倾向于沿着MR.从条件方差的路径可以看出QRt占主导地位QZ,λt和QJ,λt福尔t ∈ (0, T ] 这证实了命题3.4中所述的相应属性，并说明了专家意见提供的额外信息会导致漂移估计的改进。请注意t 条件方差QRt和QJ,λt快速接近一个常数，该常数是t → ∞. 这种融合QR已在Gabih等人的命题4.6中得到证明，适用于单一股票市场，并在Sass等人的定理4.1中得到推广，适用于多股票市场。证明QJ,λisanalogous。比较Z- 和J-提高抵达强度的投资者λ可以观察到，条件方差QZ,λ和QJ,λ任何情况下接近零t ∈ (0, T ].

这一事实说明了我们在定理4.3和5.2中的发现。此外，随着λ 条件平均值的路径MZ,λ接近隐藏漂移的路径μ 这证实了定理4.6中所述的均方收敛性。最后，我们要检查上界的优点KZ/√λ 和KJ/√λ 对于Z- 和J-投资者分别在定理4.3和5.2中给出。请注意，在presentexample中d = 1储存两个常数KZ, KJ不谋而合KZ= KJ=Γ[σμ+ q(e δ)-1]1/2.为了便于直观比较条件方差及其上界，我们将重点放在信息制度上H = J 并将估算（5.6）改写为√λQJ,λt≤ KJ= KJ(δ) 对于t ∈ [δ, T ].图2所示为λ = 5、20、2000（黄色、橙色、红色实线）条件方差QJ,λt按比例缩放√λ以及上界KJ(δ) （绿色）对于两个值δ. 可以看出，上界非常接近上的实际值[δ, T ], 尤其是对于较大的δ.我们还绘制了√λQZ,λt对于关联的Z-投资者（虚线）。请注意，估计值（4.8）确实适用于预期方差E[QZ,λt] 但不是为了实现。16 Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波器行为图》。2、条件方差按√λ 的J-投资者，即。√λ QJ,λ对于λ = 2000年5月20日（实数），以及Z投资者√λ QZ,λ（虚线）用于λ = 5, 20. 连续时间专家意见的波动性选择为σλJ=Γ/λ.绿线表示上限KJ= KJ(δ) 在定理5.2中给出δ = δ= 0.1和δ = δ= 0.5.A证据A。1辅助结果附录A.2中引理4.2的证明基于我们在下一引理中收集的对称和正半限定矩阵的各种性质。引理A.1。

（对称和正半限定矩阵的性质）LetA, B ∈ Rd×d, d ∈ N、 对称和正半限定矩阵。然后它保持1。A + B 是对称正半定义。2、特征值ρi= ρi(A) 属于A 都是非负的，并且存在一个正交矩阵V 因此A = V DV具有D = 诊断(ρ, ··· , ρd), （A.1）即。，A 是可对角化的。3、如果A 为正定义，则为非奇异且为逆A-1是对称的正定义。4.ρ闵(A) tr公司B≤ tr公司(AB) ≤ ρ最大值(A) tr公司(B) （A.2）其中ρ闵(A) 和ρ最大值(A) 表示的最小和最大特征值A, 分别地5.tr(B)tr公司A-1.tr公司(AB) ≤ tr公司(A) tr公司(B) （A.3）其中，对于第一个不平等A 假设为正定义。6.tr(A) ≥ tr公司A≥dtr公司(A) （A.4）7英寸A‖F=tr公司A) ≤ tr公司(A) （A.5）其中‖A‖F表示的Frobenius范数A.证据前三个属性为标准属性，我们参考Horn和Johnson【13，第7章】。Wang等人[24，引理1]给出了（A.2）的证明。Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波器行为》175。从（A.1）中，我们有A = V DV使用正交矩阵V 和D = 诊断(ρ, ··· , ρd). 如果A 是肯定的那么ρ闵(A) > 0和逆A-1存在，请参阅属性3。它持有tr(A) =di=1.ρi(A) ≥ρ最大值(A) andtrA-1.= tr公司(V D-1.V) = tr公司(D-1.=di=1.ρi(A)≥ρ闵(A).上述不等式加上（A.2）意味着（A.3）。6、如上所述，我们使用A = V DV使用正交矩阵V 并推断A= V DVandtrA= tr公司VV D= tr公司D=di=1.ρi≥ddi=1.ρi=dtr公司A,我们应用了柯西-施瓦兹不等式。（A.4）中的第一个不等式源自（A.3），其中A = B.7、让C = A, 然后Cii=dk=1(Aik)andtr(A) = tr公司(C) =di=1.Cii=di,k=1(Aik)= ‖A‖F产生第一个等式。

这种不平等源自（A.4）。A、 2引理4.2的证明为了方便读者，我们回顾引理4.2的陈述：对于函数αZ,λ（4.2）中给出了存在常数aα, bα> 0独立于λ 而且存在λ> 0使得对于所有对称和正半定义q ∈ Rd×dtr公司αZ,λ(q)≤ aα-√λ bαtr公司(q), 对于λ ≥ λ.上述估计适用于aα> tr（∑）μ), aα> tr（∑）μ),bα< bα= bα(aα) := 2.aα- tr（∑）μ)tr（Γ），λ= λ(aα, βα) :=d(aα- tr（∑）μ))tr（Γ）(aα- tr（∑）μ)) - bαtr（Γ）.证据使用定义αZ,λ在（4.2）中，tr（·）的线性q 和∑R因此∑-1.R对称正定义κ 是我们发现的积极定义αZ,λ(q)= tr公司Σμ- κq - qκ- qΣ-1.Rq - λq(Γ + q)-1.q≤ tr公司αλ(q), （A.6）其中αλ(q) := Σμ- λq(Γ + q)-1.q.该不等式源自对称正定义矩阵的性质，参见（A.2）、（A.3）和（A.4），我们从中推导出(κq + qκ) = tr公司((κ + κ)q) ≥ ρ闵(κ + κ) tr公司(q) ≥ 0，tr(qΣ-1.Rq) = tr公司(qΣ-1.R) ≥tr公司(q)tr（∑）R)≥dtr公司(q)tr（∑）R)≥ 0.18 Gabih、Kondakji和Wunderlich，《高频专家意见的渐近滤波器行为》，见，ρmin（·）表示正有限对称矩阵的最小特征值，均为正。请注意，自κ 为正定义κ + κ是对称的正定义。进一步的qissymmetric和正半定义，并根据引理A.1∑的性质3-1.R是对称的正定义。不等式（A.6）意味着必须证明αλ, i、 e.，tr(αλ(q)) ≤ aα-√λbαtr公司(q) 对于λ ≥ λ. （A.7）为了证明（A.7），我们设置ε =√λ, q = εz, aμ= tr公司Σμ并考虑功能Hε: Rd×d→ R带Hε(z) := -tr公司(α1/ε(εz)) + aα-εbαtr公司(εz)= tr公司(z(Γ + εz)-1.z) - bαtr公司(z) + aα- aμ（A.8）对于aα, bα, ε> 0和对称和正半限定矩阵z. 下面我们显示存在正常数aα, bα, ε这样对于所有人来说z 它保持不变Hε(z) ≥ 0用于ε ≤ ε.