最大稳定随机场的随机导数估计

这些导数的分析公式见附录B.1.3.1.2假设的有效性。我们现在表明，定理1和2的假设在（21）的情况下是有效的，分别是Brown-Resnick和Smith随机场。因此，LRM andIPA可用于评估（21）对θ和∑的导数。提案2。将H定义为（25）。i） 假设Yθ是Brown–Resnick随机场，半变异函数由（7）给出。存在θ、Vθ的非随机邻域Vθ和常数α>0，使得（10）和（11）成立。ii）假设Y∑是史密斯随机场。然后存在p>1和∑，V∑的非随机邻域，使得（18）成立。3.2模拟研究我们通过数值评估LRM和IPA的准确性，以计算（21）中依赖性度量R（θ）的灵敏度，其中Y是与半变异函数（7）相关的Brown-Resnick场，以及Smith场。用于接近（12）和（19）中预期的模拟数量用S表示。我们显示了不同配置中100个估计值的相对误差箱线图。我们取β=β=β，β=2，3，S=10，10，我们观察了位点x，x的不同组合。我们记得，可以计算相对误差，因为R（θ）的灵敏度可以通过积分形式解析获得。

（53）和（54）中的积分是使用自适应求积计算的，相对误差为10-7允许精确近似。3.2.1 Brown-Resnick油田的LRM我们检查了三种场地组合：我们设置x=（0，0）和x=（1，1），（3，2），（9，9）。选择这些方法是为了涵盖广泛的敏感性和相对敏感性。此外，我们取θ=（ψ，κ）=（3.05，0.86），η=η=26.11，τ=τ=2.90，ξ=ξ=-0.11，即根据以下应用中使用的数据得出的估计值（第3.3节）。我们使用Ribatet et et al.（2018）的空间探索R软件包的rmaxstab函数模拟了Brown-Resnick油田。表1显示，对于κ和ψ，当β从2增加到3时，R（θ）的理论值、其灵敏度和相对灵敏度变化不大；相对灵敏度的绝对值略有下降，而R（θ）略有上升。对于x=（9，9），灵敏度的绝对值及其相对对应值的绝对值最高；在这种情况下，相对灵敏度非常高（κ约为30%，ψ超过150%），这可能是由于R（θ）值相当低。如此大的值通常解释了正确评估敏感性的实际重要性，例如在保险环境中。κψκψR（θ）hhhhhh xβ2 3 2 3 2 3 2 3（1，1）0.048 0.046 0.131 0.126 0.061 0.058 0.167 0.158 0.784 0.797（3，2）0.074 0.074-0.044 0.122 0.117-0.072-0.070 0 0 0 0.610 0.626（9）0.087 0.089-0.439-0.452 0.306 0.302-1.552-1.529 0.283 0.296表1：左面板给出R（θ）/κ|θ=θ和R（θ）/ψ|θ=各种配置中的θ。中间的一个显示由R（θ）归一化的先前值。右一个给出R（θ）。

所有值均为理论值。当M=2时，Brown–Resnick场的密度是明确已知的，因此scorefunction有一个封闭形式的表达式（可根据要求提供），其中包含少量术语；因此，无需通过上述吉布斯取样器应用MCMC方法。值得注意的是 对数fθ（y，y）/ψ和 对数fθ（y，y）/κ是成比例的（附录B.2），这意味着LRM估计R（θ）/ψ和R（θ）/κ也是比例的。此外，根据（54）和（55），这些导数的真实值与相同的因子成比例，这意味着R（θ）/ψ和R（θ）/κ相等。因此，我们只显示κ的结果。如图1所示，LRM估计器是无偏的。此外，当S从10增加到10时，其变异性显著降低，变得非常小（大多数估计的相对误差小于5%）。x=（9，9）的变异性最低，这可能是因为这种配置对应的是迄今为止最大的灵敏度和相对灵敏度。在某种程度上，我们可以预期估计的准确性是相对灵敏度绝对值的递增函数。然而，这似乎更为复杂：x=（3，2）的变异性低于x=（1，1），并且对于所有站点组合，β=3的变异性低于β=2的变异性。总体而言，无论灵敏度（或相对灵敏度）是低还是高，LRM估计器在所有配置中都非常令人满意。S=104S=105S=104S=105β=2β=3-1-0.50.00.5相对湿度。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-0.50.00.5相对湿度。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-0.50.00.5相对湿度。

误差图1：关于κ的导数的每个估计值的相对误差箱线图。每一行对应一组站点：从上到下，x=（1，1），x=（3，2）和x=（9，9）。3.2.2史密斯油田的IPA我们考虑两种场地组合：我们设置x=（0，0）和x=（1，1），（3，2）。此外，我们取∑=0.88 0.070.07 2.43,η=η=26.12，τ=τ=2.92，ξ=ξ=-0.10，即第3.3节中获得的估算值。与第3.2.1节不同，我们不考虑情况x=（9，9），因为在该配置中，R（∑）近似等于0。注意，我们没有显示σ的结果，因为它们与σ的结果完全相同，与理论一致。术语的分析计算Y∑（xj）/∑，j=1，2，这是实施IPA所必需的（见（17）），需要“风暴”中心的坐标（见Smith，1990，以风暴的形式解释Smith场），实现站点xj的最大值（见第A节（29））。2). 据我们所知，这些数量无法从Web上可用的模拟算法中获得（例如，Ribatet et al.（2018）的SpatialExtenres等R软件包或Biometrika网站上的Dombry et al.（2016）代码）。为了克服这一障碍以及其他技术原因，我们采用Schlather（2002，定理4）的方法，自行编制了Smith随机场的模拟算法。关于该方法中出现的数量r，我们采用值r=15，以确保精确模拟。相应的代码将可用。表2显示，当β从2增加到3时，灵敏度和相对灵敏度略有下降，而R（∑）略有增加。

相对灵敏度最高，forx=（3，2）；它们的σ和σ值非常高（σ值约为36%，σ值超过160%），这可能是因为R（σ）值较低。σ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑R（1，但用于R（∑）/σ|Σ=Σ, R（∑）/σ∑=和R（∑）/σ|Σ=Σ.图2-4表明，IPA估计器是无偏的（至少对于足够大的S而言），并且在预期情况下，当S从10增加到10时，可变性减小。在大多数情况下，它达到了一个较低的水平（大多数估计的相对误差小于5%）。在x=（3，2）的情况下，变异性稍低，这可以解释为，在这种情况下，相对灵敏度要大得多。然而，σ系数正好相反，与情况x=（1，1）相比，相对灵敏度的增加低于其他系数。此外，σ的变异性系统地高于其他系数，并且，无论系数和位点组合如何，β=3的变异性往往低于β=2的变异性。我们直觉上希望该方法在相对灵敏度较高的情况下表现最好，但我们看到它似乎更复杂。总的来说，无论灵敏度（或相对灵敏度）是低还是高，IPA在本例中的表现都非常好。S=104S=105S=104S=105β=2β=3-0.50.00.5相对湿度。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-0.50.00.5相对湿度。误差图2：导数相对于σ的每个估计值的相对误差箱线图。每行对应一组站点：从上到下，x=（1，1）和x=（3，2）。S=104S=105S=104S=105β=2β=3-1-0.50.00.5相对湿度。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-1-0.50.00.5相对湿度。

错误图3：与σ的图2相同。S=104S=105S=104S=105β=2β=3-2.-101Rel。误差=104S=105S=104S=105β=2β=3-2.-1012雷尔。错误图4：与σ的图2相同。3.3应用本节致力于计算对保险/再保险行业有价值的区域案例研究中度量值R（θ）（见（21））的敏感性。我们考虑保险/再保险起着重要作用的地区的具体风速数据，对于这些地区，文献中明确记录了极端风速造成的损失的幂律型损害函数。3.3.1数据我们考虑来自欧洲中期天气预报中心（ECMWF）的公开数据，更准确地说是ERA5（ECMWF再分析第五代）数据集的子集。更具体地说，我们研究的数据包括1979年1月1日07:00至2019年6月1日00:00的每小时10米阵风时间序列。我们考虑的区域是从6开始的矩形o至9.75o经度和49.75o至52.25o纬度，分辨率为0.25o纵向和0.25o纬度见图5。因此，矩形包含176个网格点，基本上以德国鲁尔地区为中心。该地区每单位地表的总住宅保险价值较高，根据Prahl等人（2012年，图2），指数约为8的幂律型损害函数似乎适用于该地区住宅建筑的保险损失（由于高风速）。在每个网格点，我们计算41个季节（从10月到3月）的最大值，从而得出我们用于为Yθ建立不同maxstable模型的数据集。

对于第一季，最大值在1月至3月计算。考虑到10月至3月期间，我们可以消除风速时间序列中的季节性非平稳性，并主要关注冬季风暴（而不是强烈夏季雷暴期间发生的高度局部化的右旋风）。47.550.052.555.04 8 12经度（°）纬度（°）图5：考虑区域（由阴影矩形表示）。3.3.2结果我们考虑的最大稳定模型是（7）中规定的具有半变异函数的Brown-Resnick随机场和Smith场。关于位置、比例和形状参数，将其视为整个区域的常数是合理的（在随后的文章中将很快提供的相同数据的更详细分析中显示）。使用趋势面（而不是考虑每个网格点的特定参数）对这些参数进行建模是常见的，因为它可以缩短估计时间，并允许在没有观测的地点进行预测。这两个模型都是使用最大成对似然估计（例如，Padoan et al.，2010；Davison et al.，2012）在SpatialExtremes的Fitmastab函数中实现的（Ribatet et al.，2018）。在一个步骤中估计边际参数和依赖参数。然后通过最小化复合似然信息准则（CLIC）进行模型选择；见Varin和Vidoni（2005）。表3显示，根据CLIC，Brown–Resnick随机场比Smith随机场更符合我们的数据。我们还用各种相关函数（Whittle Matérn、幂指数和Cauchy）对Schlather随机场（Schlather，2002）进行了拟合，根据CLIC，Brown–Resnick随机场更合适。这与Davidson等人获得的结果一致。

（2012）在降雨的情况下。Brown–Resnick CLICκψητξ6020169 3.05（0.98）0.86（0.06）26.11（0.41）2.90（0.24）-0.11（0.03）Smith-CLICσσσητξ6084169 0.88（0.17）0.07（0.03）2.43（0.47）26.12（0.38）2.92（0.22）-0.10（0.01）表3：Brown–Resnick和Smith max stablerandom油田的CLIC值和拟合参数。括号内的值为标准误差。图6显示，修正后的Brown-Resnick模型的理论极值系数函数（如Schlather和Tawn，2003）与经验极值系数相当吻合，但略高于其组合估计值。这种对空间相关性的低低估可能来自于对位置、尺度和形状参数选择非常简洁的趋势面。图6中所做的比较构成了最大稳定模型的经典图形拟合优度诊断，并且在此表明，所提议的模型能够很好地满足本应用的数据要求。0 1 2 3 41.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0距离（°）图6：拟合模型的理论极值系数函数（红线）和经验极值系数（点）。灰点和黑点分别是成对和分格（1000个分格）估计值。最终相关性度量isR（θ）=CorrXθ（X），Xθ（X）, x、 x个∈ R、 （26）其中，Xθ是一个普通的棕色-雷斯尼克油田，其边际参数如表3所示，我们旨在提供θ=（3.05，0.86）的导数。由于Brown–Resnick随机场是风速最大值的合适模型，而幂律8是合适的损伤函数的指数，因此这种依赖性度量非常适合考虑地区的（再保险）保险公司。对于第3.2.1节中相同的场地组合，表4给出了由Rm获得的灵敏度值及其相对应值。

如果我们将原点（0，0）分别放在矩形的左侧和左下角，则组合x=（0，0），x=（1，1）和x=（0，0），x=（3，2）对应于我们感兴趣区域内的成对站点；根据场的平稳性，可以任意选择理论原点。即使我们将矩形的左下角作为原点，站点x=（9，9）也远位于我们区域的东部，但我们选择它是为了强调，对于距离很远的站点，灵敏度可能非常高。相对灵敏度在绝对值上略低于β=2和β=3的情况（见表1）。然而，它们可以是非常基本的（例如，对于ψ，在x=（1，1）的情况下，对于κ，在x=（3，2）的情况下），或者非常高（对于κ和ψ，在x=（9，9）的情况下），这突出了在具体的风险评估研究中强烈建议关注敏感性。xκψκψR（θ）（1，1）0.039 0.106 0.046 0.126 0.840（3，2）0.068-0.041 0.100-0.059 0.685（9，9）0.096-0.486 0.278-1.409 0.345表4：左面板给出了R（θ）/κ|θ=θ和R（θ）/ψ|θ=θ，用于不同的场地组合。中间的一个显示由R（θ）归一化的先前值。右图给出R（θ）。灵敏度和归一化灵敏度已使用LRM方法计算，S=10.4讨论最大稳定随机场特别适用于极端空间（如环境）事件的建模，如果适用，LRM和IPA是估计模型参数预期性能偏差的强大技术。在本文中，我们将这两种方法引入极值理论，并将其应用于基于Brown-Resnick和Smith最大稳定随机场的预期性能。在第一部分中，我们为这些领域提供了方便和可处理的条件，以确保RM和IPA的有效性。

由于最大稳定场的复杂结构，获得此类可处理条件并非易事。然后，我们将重点放在我们的理论结果有价值的几个框架中的一个，更准确地说是风险评估的背景。我们将LRM andIPA应用于一个特定的相关性度量示例，该示例适用于评估两个站点极端风速造成的损害之间的相关性，因此值得进行精算实践。我们通过模拟研究表明，这两种方法在各种配置中都表现得很好。最后，我们给出了一个涉及再分析风速数据的具体应用；它强调了在使用最大稳定油田时，在风险评估背景下考虑敏感性的重要性。了解LRM和IPA估计员在其他配置中的表现会很有趣。在某些情况下（例如，导数非常接近0），可以考虑对经典蒙特卡罗方法进行适当的改进（例如重要性抽样），以减少估计量的可变性。未来有吸引力的工作还包括将我们的条件扩展到其他最大稳定的随机领域，甚至可能提出其他不适用LRMand IPA的最大稳定领域的方法（例如，Peng等人，2018年提出的方法）。致谢两位作者感谢安东尼·C·戴维森（AnthonyC.Davidson）和匿名推荐人的深刻评论。Erwan Koch感谢瑞士国家科学基金会（项目编号200021\\U 178824）的财政支持。A主要结果的证明A。1定理1的证明。从Dombry et al.（2017）的第4.4节中，我们知道Yθ具有Hüsler-Reiss分布，严格条件负定义矩阵由∧θ=（λθ（xi，xj））1给出≤i、 j≤m、 引理B.4。在Dombry等人。