最大稳定随机场的随机导数估计

在这种情况下，预期性能满足度R（θ）=E[H（Yθ）]=Z（0，∞)MH（y）fθ（y）dy.我们假设存在θ，Vθ的一些非随机邻域，因此对于每个θ∈ Vθ，E[| H（Yθ）|]<∞,o 几乎所有y∈ (0, ∞)Mfθ（y）/θ对所有θ都存在∈ Vθ，o有一个可积函数ψ：RM→ R使得| H（y）| supj=1，。。。，M级|fθ（y）/θj |≤ψ（y）表示所有θ∈ Vθ和几乎每个y∈ (0, ∞)M、 然后，通过支配收敛定理，可以互换微分和积分，给出R（θ）θθ=θ=Z（0，∞)MH（y）fθ（y）θdy=E“H（Yθ） 对数fθ（Yθ）θθ=θ#，（6），其中，前提是，对于所有B 我|B | Vθ（y）/yB公司/θ对所有θ都存在∈ Vθ， 对数fθ（y）θ= -Vθ（y）θ+exp(-Vθ（y））fθ（y）Xπ∈Π(-1） |π| XB∈πθ|B类|yBVθ（y）YB∈π、 B6=B|B类|yBVθ（y）。那么LRM就在于计算R（θ）/θ|θ=θ，通过蒙特卡罗估计（6）右侧的期望值。注意，上述假设在极大似然估计理论中非常常见，其中θ7→  对数fθ（y）/θ称为分数函数。2.2.2 Brown-Resnick随机油田的情况我们现在重点关注Brown-Resnick油田的情况。设Wθ为rds上的中心高斯随机场，具有平稳增量和半变异函数γθ，并定义Zθ（x）=exp（Wθ（x）- Var（Wθ（x））/2），x∈ Rd，其中Var表示方差。然后，（2）用Zθ定义的场Yθ被称为与半变异函数γθ相关的Brown–Resnick随机场（Brown and Resnick，1977；Kabluchko et al.，2009）。它是平稳的，其分布仅取决于变异函数（Kabluchko et al.，2009，定理2和命题11）。Wθ是分数布朗运动的情况导致了常用的半变异函数γθ（x，x）=（kx- xk/κ）ψ，x，x∈ Rd，（7）其中κ>0和ψ∈ （0，2）分别是范围和平滑度参数，θ=（ψ，κ）。

通常，ψ=2在（7）中是允许的，但我们在此排除该值，因为它使得在M>d+1的闭合形式表达式下，多变量密度不可用，因此在这种情况下，lr不适用。对于任何半变异函数γθ，设λθ（xi，xj）=（γθ（xi，xj）/2）1/2，xi，xj∈ Rd，i，j=1，M、 设λθ（xi，x-i） =（λθ（xi，xj））j6=i，log（y-i/yi）=（log（yj/yi））j6=i，和Ohm（i） θ是第（j，m）项为2的矩阵[λθ（xi，xj）+λθ（xi，xm）- λθ（xj，xm）]，j，m 6=i。我们表示，对于p∈ N*,通过Φp（·；Ohm) 和Дp（·；Ohm) 具有协方差矩阵的p维高斯分布和密度函数Ohm, 分别地前提是矩阵Ohm（i） θ，i=1，M、 则Brown–Resnick随机场的指数测度函数由（例如Huser和Davidson，2013）Vθ（y）=MXi=1y给出-1iφi（y，θ），（8），其中φi（y，θ）=ΦM-1.λθ（xi，x-i） +对数（y-i/yi）；Ohm（i） θ.结合（3），（8）证明了密度fθ的闭式表达式的存在性。在下面的定理中，我们提供了方便的条件，确保了RM用于估计的适用性R（θ）/θ|θ=θ.在本文中，平稳性是指严格的平稳性。定理1。对于θ，Vθ，letBVθ=infi=1，…，的非随机邻域，。。。，Minfθ∈Vθinfy∈(0,∞)M{φi（y，θ）- φi（y，θ）}。（9） 假设存在一个非随机邻域Vθ和一个常数α>0，使得e“| H（Yθ）| 1+MMXi=1Y-1θ，i！MXi=1年-αθ，i！经验值-BVθMXi=1Y-1θ，i！kYθkα#<∞, （10） 式中，Yθ，i=Yθ（xi）。此外，假设SUPK=1，。。。，Lsup1≤i、 j≤msupθ∈Vθλθ（xi，xj）θk< ∞. （11） 那么R（θ）θθ=θ=E“H（Yθ） 对数fθ（Yθ）θθ=θ#.

（12） 这些技术性但易于处理的条件是很自然的，可以保证差异和整合之间交换的有效性。由于Brown–Resnick油田可以在有限数量的现场进行模拟，并且可以计算得分，因此可以获得（12）中预期范围内的项目实现情况。Brown-Resnick油田的模拟方法要么是精确的（如Dombry et al.，2016；Oesting et al.，2018），要么是近似的（Schlather，2002，定理4）。尽管如此，由于总和中的项数等于第M个Bell数，其在维度M中呈超指数增长，因此密度（以及分数）的计算可能具有挑战性。为了避免这个问题，一个解决方案是通过蒙特卡罗模拟近似（3）；i、 e.，对于N≥ 1，^fθ（y）=exp(-Vθ（y））NNXi=1YB∈πi-|B类|yBVθ（y）,其中，分区π，πNform由gθ（π| y）=QB给出的平稳分布的遍历序列∈π-|B类|yBVθ（y）Pπ∈∏QB∈π-|B类|yBVθ（y）∝YB公司∈π-|B类|yBVθ（y）. （13） Dombry等人（2013年）设计了一个Gibbs取样器，以生成近似模拟π，πn无需显式计算（13）分母中的常数因子。我们参考该文件了解有关实际实施的更多详细信息。理论上，由此产生的马尔可夫链的遍历性意味着近似的精度是任意高的asN→ ∞. 实际上，Gibbs采样器的迭代次数N通常比∏的基数小得多，但即使对于N的中等值，近似也是相当好的，因为通常只有几个分区π∈ ∏与数据兼容；例如，见Huser等人（2019）。

对于与半变异函数（7）相关的Brown-Resnick场，他们得出结论，Gibbs采样器收敛速度很快，大约10×M的迭代足以使算法收敛于大量参数配置。使用基于蒙特卡罗的思想，分数函数的近似值如下所示： 对数^fθ（y）θ= -Vθ（y）θ+exp(-Vθ（y））^fθ（y）NNXi=1(-1） |πi | XB∈πiθ|B类|yBVθ（y）YB∈πi，B6=B|B类|yBVθ（y）。的分析表达式(|B | Vθ（y）/yB）/θ为Brown–Resnick随机油田所知（例如，Dombry et al.，2017，第B.4节）。2.3最小摄动分析2.3.1一般方法我们首先将IPA引入基于最大稳定场的预期性能。设Yθ是一个简单的最大稳定随机向量，H是从rm到R的函数，使得e[| H（Yθ）|]<∞, R（θ）=E[H（Yθ）]，θ是参数θ的可能值。IPA要求随机性能H（Yθ）与θ不同。然而，密度fθ不需要显式表示，这使得IPA在LRM无效时成为一个潜在的解决方案。当LRM和IPA都可以应用时，IPA可能更可取，尽管最佳选择取决于随机性能的特定形式。对于随机过程和随机领域，IPA也称为路径导数估计，因为它使用样本路径泛函的微分。IPA的本质是使用R（θ）θθ=θ=E“H（Yθ）θθ=θ#，（14），前提是导数和期望值可以互换。然后，可以通过蒙特卡罗方法估计（14）的右侧来计算导数。Asmussen和Glynn（2010）第七章第2.3条中给出了在一般情况下交换的有效条件。提案1。假设θ7→ H（Yθ）几乎肯定是θ处的（a.s.）可微函数，而a.s。

θ 7→ H（Yθ）满足Lipschitz条件| H（Yθ）- H（Yθ）|≤ kθ- θ的非随机邻域中θ的θkBθ，其中E[Bθ]<∞. 然后（14）保持不变。如果g:I→ R在开集I上可微 Rd和满意度kg（x）/xk公司≤ 对于I中的allx，则g是Lipschitz连续的，Lipschitz常数在I上最多为K。因此，我们立即推断，如果存在满足E[Bθ]<∞ 并使a.s.supθ∈VθH（Yθ）θ≤ Bθ，其中Vθ是θ的非随机邻域，则（14）成立。2.3.2史密斯随机场的情况我们在随机性能基于史密斯随机场的情况下说明了IPA（Smith，1990），对于这种情况，只有当Rd中的站数M小于或等于d+1时，密度的闭合表达式才是已知的（Genton等人，2011）。让（Ui，Ci）i≥1泊松点过程的点位于（0，∞) ×Rd带强度函数U-2du×dc，协方差矩阵∑=（σij）ij由y∑（x）定义的史密斯随机场=∞_i=1UiИM（x- Ci，∑），x∈ Rd，（15），即取Zi（x）=μM（x- （2）中的Ci，∑）。它是平稳的、简单的最大稳定的，对应于与半变异函数γ（x）=x∑相关的Brown-Resnick场-1x/2，x∈ Rd（例如，Huser和Davidson，2013年）。如上所述，这种半变异函数导致无法表征M>d+1的密度。与Brown-Resnick随机场的θ一样，∑完全表征了史密斯场的依赖结构。为了方便起见，向量θ被以下的正定义矩阵∑代替。如（4）所述，在某个正定义矩阵∑下，预期性能R（∑）相对于∑的导数定义如下（例如，Dwyer，1967）R（∑）ΣΣ=Σ=R（∑）σijΣ=Σ!ij。

（16） 请注意，关于标量或向量微分的结果也适用于矩阵微分的情况。假设y 7→ H（y）是可区分的。函数∑7的可微性→ 在∑附近的Y∑将显示在定理3的证明中（附录a.2）。然后链法则给出H（Y∑）∑=MXj=1H（Y∑）yj公司Y∑（xj）Σ. （17） 我们将证明（附录A.2中的定理4），∑，V∑存在一些非随机邻域，因此，对于任何q>1，存在满足A.s.sup∑的随机变量C∑（x，q）∈V∑ 对数Y∑（x）Σq≤ C∑（x，q）和E[C∑（x，q）]<∞.这一技术成果将使我们能够得出主要结果。定理2。假设y 7→ H（y）是一个可微分函数，存在p>1，即supj=1，。。。，ME“sup∑”∈V∑Y∑（xj）H（Y∑）yj公司p#<∞, （18） 其中V∑是∑的非随机邻域。然后R（∑）Σ∑=∑=E“H（Y∑）ΣΣ=Σ#. （19） 这个非平凡定理为使用IPA计算R（∑）的导数提供了一个充分条件。这个条件比命题1中的条件更容易处理和检查。这种简化源于这样一个事实，即我们在（17）的引入项的定理3和4中注意到了这一点，Y∑（xj）/∑，涉及史密斯随机场微分的样本路径属性。由于最大稳定场的固有结构，定理3和4很难精确建立。在实践中，我们必须在预期中模拟随机矩阵的实现（19），这可以通过模拟史密斯场和使用（17）来完成。的表达式Y∑（xj）/∑（17）中出现的值在（29）中给出（附录A.2）。

作为Brown-Resnick油田，Smith油田可以精确模拟（如Oesting et al.，2018；Dombry et al.，2016）或近似模拟（Schlather，2002，定理4）；后一种方法非常准确。3风险评估的应用我们现在关注一个框架（除其他几个框架外），其中第2节的结果很有用，这是风险和依赖性度量的背景。在详细说明了与（4）的联系之后，我们考虑了一种相关性度量，它特别适用于极端风速引发的损坏保险。我们证明了定理1和2的条件在这种情况下成立，并通过模拟研究证实了LRM和IPA都表现得很好。最后，我们考虑了具体数据，并表明依赖性度量的敏感性可能非常高，这突出了在风险评估背景下研究最大稳定场函数敏感性的实际重要性。3.1基于最大稳定场的风险度量我们表明，（4）中定义的数量包括许多风险和依赖性度量，我们的重点主要是精算应用。单变量风险度量是从一组随机变量到实数的映射。相关性度量总结了这样一组随机变量的几个元素之间的相关性强度。在金融领域，这些随机变量通常代表投资组合回报，在保险领域，它们可能是与保单相关的索赔。当索赔由环境事件引发时，保险成本领域的可能模型为（Koch，2017，第2.3节）C（x）=E（x）Dx（x（x）），x∈ Rd，（20）其中E是（确定性）保险风险敞口（即保险价值）字段，Dx是现场x的损伤函数，x是产生风险的环境变量的随机字段。

应用损害函数dx到X（X）得出现场X的保险成本比率（即保险成本除以保险价值），乘以保险风险，得出相应的保险成本。在如（4）所示的风险度量中，可以找到许多复杂的例子，例如保险/再保险定价或监管。对于j=1，M、 让CJ表示XJAN保险公司的索赔，并假设CJ可以写为最大稳定字段的函数（例如，如（20）的右侧）。与两个或多个营业点的Cjat之和的特定时刻成比例的保费负荷构成保险定价的优秀样本。在再保险中，保费有时基于索赔的顺序统计，如“excédent du co"yt moyen relatif”（ECOMOR）或大额索赔再保险（LCR）条约。让我们考虑一下，例如，M≥ 3个站点，并假设其中每个站点都与相应索赔为Cjas的保单相关。我们考虑这些权利要求的有序值C（1:M）≥ C（2:M）≥ ··· ≥ C（米：米）。例如，风险度量E[（C（1:M））-C（3:M））+（C（2:M）-C（3:M））]将参与以第三大索赔为优先权的anECOMOR再保险条约的定价。这些量可以写在形式（4）下，但表现为非线性，没有任何分析表达式。下一节将介绍一个有价值的依赖性度量示例，该示例将一直考虑到最后。3.1.1风速的特定相关性度量我们在本节中提出了因高风速而产生的成本的相关性度量，如（4）所示。在d=2的情况下，我们通过（20）对成本进行建模，其中假设风速极限值Xθ为最大稳定值。

此外，对于任何站点x∈ R、 我们选择损伤函数Dx（x）=（x/u）β（x），x≤ u、 其中u>0和β（x）∈ N*, 这在风的情况下是完全合适的。事实上，由于风力和相应的工作速率分别与风速的二次方和三次方成正比，预计特定结构的总成本将随着最大风速的平方或立方而增加。关于支持使用正方形的研究，请参见Simiu和Scanlan（1996，方程式（4.7.1）、（8.1.1）和（8.1.8）），关于立方体，请参见Lamb和Frydendahl（1991，第2章，第7页）、Emanuel（2005）和Kantha（2008）。然而，就保险成本而言，几位作者最近发现幂律的指数要高得多；e、 g.，Prahl et al.（2012）获得了德国住宅建筑保险损失指数，范围从8到12。事实上，保险合同中的免赔额将指数从2或3增加到更大的值，具体取决于免赔额（例如，Prahl et al.，2015；Koch，2019）。u级对应于风速值，该风速值触发了相等于统一的保险成本比率，因此假设大于实际观察到的风速。有关风损害功能的更多详细审查，请参见，例如Koch（2019）。我们考虑两个站点（M=2），x，x∈ R、 回想一下，Xθ和关联的简单最大稳定场Yθ之间的联系由（1）给出，让ηi=η（xi），τi=τ（xi），ξi=ξ（xi）和βi=β（xi），i=1，2，这样βiξi<1/2。风速最大值的形状参数为略负，这意味着事件Xθ（xi）<0发生时可能不完全为0（尽管由于位置和比例参数的值非常接近）。无论如何，这不是βi的问题∈ N*.

此外，我们将Yθ作为Brown-Resnick或Smithrandom油田，并将两个现场极端风引起的成本之间的相关性作为相关性度量，即R（θ）=Corr（C（x），C（x））=CorrXβθ（X），Xβθ（X）, （21）其中，当考虑史密斯场时，θ必须替换为∑。条件βiξi<1/2，i=1，2，确保（21）中存在相关性。金融/保险行业的从业人员经常使用相关性，对于任何处理极端风速造成的损害风险的保险/再保险公司来说，度量R（θ）都具有实际意义；除其他外，它提供了有关潜在空间多样性的见解。有关详细信息，请参阅Koch（2019），其中（21）进行了深入研究。我们现在解释为什么（21）中的度量值是形式（4），M=2。众所周知，如果Y是一个遵循标准Fréchet分布的随机变量，那么E[Y|β]=Γ（1-β）对于任何￠β<1的函数，其中Γ表示伽马函数。我们现在还假设ξi6=0，对于i=1，2。因此，使用（1）和二项式定理，我们得到，对于i=1，2，EhXβiθ（xi）i=Cβi，ηi，τi，ξi，（22），其中Cβi，ηi，τi，ξi=βiXk=0βikηi-τiξikτiξiβi-kΓ（1- [βi- k] ξi）。此外，Koch（2019）的推论1给出了arhxβiθ（xi）i=Dβi，ηi，τi，ξi，（23），其中Dβi，ηi，τi，ξi=βiXk=0βiXk=0Bk，k，βi，ηi，τi{1- ξi[2βi- k- k] （）- Γ(1 - [βi- k] ξi）Γ（1）- [βi- k] ξi）}，（24）带bk，k，βi，ηi，τi，ξi=βikβikηi-τiξik+kτiξi2βi-（k+k）。因此，（22）和（23）yieldR（θ）=E[H（Yθ）]，其中H（Y，Y）=xβ（Y）xβ（Y）- Cβ，η，τ，ξCβ，η，τ，ξpDβ，η，τ，ξDβ，η，τ，ξ（25），其中xi（yi）=（ηi- τi/ξi）+τiyξii/ξisinceξi6=0，i=1，2。除了对精算应用有用之外，度量值（21）还有一个关于最大稳定域依赖参数的闭式导数，允许我们比较R（θ）/θ|θ=使用LRM或IPA及其真值获得的θ。