最大稳定随机场的随机导数估计

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Stochastic derivative estimation for max-stable random fields》
---
作者：
Erwan Koch and Christian Y. Robert
---
最新提交年份：
2020
---
英文摘要：
  We consider expected performances based on max-stable random fields and we are interested in their derivatives with respect to the spatial dependence parameters of those fields. Max-stable fields, such as the Brown--Resnick and Smith fields, are very popular in spatial extremes. We focus on the two most popular unbiased stochastic derivative estimation approaches: the likelihood ratio method (LRM) and the infinitesimal perturbation analysis (IPA). LRM requires the multivariate density of the max-stable field to be explicit, and IPA necessitates the computation of the derivative with respect to the parameters for each simulated value. We propose convenient and tractable conditions ensuring the validity of LRM and IPA in the cases of the Brown--Resnick and Smith field, respectively. Obtaining such conditions is intricate owing to the very structure of max-stable fields. Then we focus on risk and dependence measures, which constitute one of the several frameworks where our theoretical results can be useful. We perform a simulation study which shows that both LRM and IPA perform well in various configurations, and provide a real case study that is valuable for the insurance industry.
---
中文摘要：
我们考虑了基于最大稳定随机场的预期性能，并且我们对这些随机场的空间相关参数的导数感兴趣。最大稳定场，如Brown-Resnick和Smith场，在空间极值中非常流行。我们关注两种最流行的无偏随机导数估计方法：似然比法（LRM）和无穷小扰动分析（IPA）。LRM要求最大稳定场的多变量密度是明确的，IPA要求计算每个模拟值的参数导数。我们分别在Brown-Resnick和Smith油田的案例中提出了确保LRM和IPA有效性的方便和易处理的条件。由于最大稳定场的结构，获得这样的条件是复杂的。然后，我们关注风险和依赖性度量，这是我们的理论结果可能有用的几个框架之一。我们进行了一项仿真研究，结果表明LRM和IPA在各种配置下都表现良好，并提供了一个对保险业有价值的真实案例研究。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
--

---
PDF下载：
--> Stochastic_derivative_estimation_for_max-stable_random_fields.pdf (1.5 MB)

2022-6-11 06:35:32 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Multivariate respectively Applications Quantitative Perturbation

最大稳定随机场的随机导数估计*Christian Y.Robert+2020年11月3日摘要我们考虑基于最大稳定随机场的预期性能，我们对这些场的空间依赖参数的导数感兴趣。最大稳定场，如Brown–Resnick和Smith场，在空间极端中非常普遍。我们关注两种最流行的无偏随机导数估计方法：似然比法（LRM）和最小扰动分析（IPA）。LRM要求最大稳定场的多变量密度是明确的，IPA要求计算每个模拟值的参数导数。我们分别在Brown-Resnick和Smith油田的案例中，提出了方便且易于处理的条件来判断LRM和IPA的有效性。由于最大稳定场的结构，获得此类条件非常复杂。然后，我们关注风险和依赖性度量，它们构成了我们的理论结果可能有用的几个框架之一。我们进行了一项模拟研究，表明LRM和IPA在各种配置中都表现良好，并提供了一个对保险业有价值的真实案例研究。关键词：微元摄动分析；似然比法；最大稳定域；蒙特卡罗计算，风险评估。1简介敏感性分析（SA）在许多领域都至关重要，是一个活跃的研究领域。它包括定量评估特定模型参数的变化如何影响所谓的预期绩效。期望性能是对底层随机模型函数的期望，SA旨在计算其对模型参数的导数。

如果预期性能对某些关键参数过于敏感，则警告决策者不要对获得的值过于自信，尤其是在这些参数存在巨大不确定性的情况下。它还告诉他/她，应该投入精力，以找到这些参数更可靠的估计值（例如，通过开发新的推理方法）。通过delta方法，了解预期绩效相对于相关参数的导数，可以将该参数的置信区间转换为预期绩效的置信区间。最后，如果目标是*EPFL，数学研究所，EPFL SB MATH MATH-GE，MA B1 457（马萨诸塞州巴蒂门特），瑞士洛桑81015站。电子邮件：erwan。koch@epfl.ch+金融和保险实验室-LFA CREST-经济和统计研究中心，ENSAE，巴黎，法国。电子邮件：christian yann。robert@ensae.frto最大化某些参数的预期性能，了解其导数通常是必需的，因为大多数优化算法都基于梯度方法。据我们所知，SA从未被考虑用于基于onextreme价值模型的预期性能，尽管这是非常必要的。事实上，这些模型基本上是使用少量数据进行拟合的，这导致了参数估计的很大不确定性。有关极值理论的实用介绍，请参见，例如，Coles（2001）。极值模型在许多应用中都很有价值。最大稳定随机场（例如，de Haan，1984；de Haan和Ferreira，2006）构成了单变量极值理论对有限维（例如，空间）设置的扩展，非常适合于对具有空间范围的变量（如环境变量）的逐点最大值进行建模。

这种建模有助于量化自然灾害的影响，这对保险公司和民政部门至关重要，尤其是在气候变化的背景下。然而，由于最大稳定场的复杂结构，其多变量密度通常不适用于两个或三个以上的场地，这使得估计非常不平凡。常用的估计量不是渐近有效的（在Cramér-Rao界的意义上），这与上述数据稀缺导致的不确定性相结合，可能导致估计值远离真实值。因此，有必要根据参数的最大稳定场来评估任何预期性能的敏感性。本文的目的正是为此类评估提供可处理的条件，并在预期绩效是风险或依赖性度量的情况下说明这一点。我们关注的是没有任何封闭式表达式的预期性能，这意味着无法使用基于分析表达式的差异或有限差异来评估其衍生工具，但需要基于模拟的方法。基本上有三种经典的随机导数估计方法。第一个是基于有限的差异。相应的估计量涉及偏差-方差权衡和多参数值下的需求拟合，使得该方法不如其他两种方法强大。第二种方法称为似然比法（LRM），它基于与仿真模型相关的密度函数的导数。第三种方法称为微元摄动分析（IPA），它依赖于计算每个模拟值参数的导数（然后求平均值）；因此，IPA也被称为样本路径差异化方法。

与IPA中的参数被视为纯结构相反，在LRM中，它被视为概率度量的参数。LRM要求密度函数明确且可微分，另一方面，IPA要求样本路径相对于参数的可微分性，这是一个相当长的条件。Glasserman（2003，第7.4节）认为，LRM估计量的方差往往大于IPA估计量，这解释了为什么IPA通常被认为是最好的导数估计量。大量文献致力于LRM和IPA；优秀的一般参考文献尤其是Asmussen和Glynn（2010）第七章和Glasserman（2003）第七章。这两种方法广泛应用于许多领域，例如金融领域，其中许多风险对冲策略涉及计算期权价格对基础资产价格和其他参数（所谓希腊）的敏感性。Broadie和Glasserman（1996）以及Chen和Fu（2001）分别将IPA用于期权定价和抵押贷款支持证券。受金融应用的推动，Glasserman和Liu（2010）研究了仅通过特征函数或Laplacetransforms知道相关密度的情况下的LRM。据我们所知，SA以及LRM和IPA尚未考虑基于极值模型的预期性能，更重要的是最大稳定领域。在这两种方法中，没有一种可以系统地用于所有最大稳定油田。当随机性能涉及两个或三个以上现场的现场值时，通常会排除LRM，因为多变量密度不明确可用。然而，也有明显的例外，如Brown-Resnick随机油田（Brown和Resnick，1977；Kabluchko等人，2009）或极端t随机油田（Opitz，2013）。

应用LRM的主要技术挑战是证明在所考虑的现场，在可能的现场值空间内，导数（关于参数）和积分之间的交换是可行的。另一方面，IPA涉及到表明随机场的路径在空间依赖性参数方面是不同的，这通常是困难的，因为最大稳定场出现在有限数量的潜在随机场上的逐点最大值。然而，当这些潜在场的路径非常平滑时，如史密斯随机场（Smith，1990），这是可能的。Smith油田属于Brown-Resnick油田，但作为一种边界情况，其在封闭形式多元密度可用性和路径平滑度方面的特性与大多数Brown-Resnick油田非常不同。我们的主要理论贡献在于提出方便的条件，确保LRM和IPA的有效性，以分别基于Brown-Resnick油田和Smith油田估计预期业绩的衍生产品。Brown–Resnick油田非常灵活，是目前已知的最大稳定模型中最合适的环境数据模型之一（如Davidson等人，2012）。我们将重点放在与空间相关参数相关的导数上，因为显示LRM或IPA对于估计与边际参数相关的导数（广义极值分布的导数）的有效性很容易（在温和的假设下）。

我们的条件尽可能容易处理；e、 例如，对于史密斯油田的IPA，该条件涉及预期性能相对于油田值的导数，但不涉及空间相关性参数。由于最大稳定场的复杂结构，很难获得此类实际条件。我们的第二个贡献与保险或金融风险评估相关。我们的结果对于研究基于空间范围的极端事件（通常是天气事件）引发的保险损失或与事件相关的证券（如灾难债券）价格的敏感性等风险或依赖性度量的敏感性具有深刻的见解。事实上，许多风险或依赖性度量以及价格都可以写成预期绩效。在进行了一般性讨论之后，我们重点讨论了极端风速导致的保险损失的特定相关性度量。该指标对Brown-Resnick和Smith油田都有分析导数，因此我们可以将LRM andIPA估计值与真实值进行比较。我们实现了LRM和IPA（必要时自适应现有仿真算法），并进行了深入的数值研究，结果表明这两种估计方法都非常精确。最后，我们提出了一个对精算实践有价值的具体应用。利用再分析风速数据，我们研究了上述相关性度量在德国鲁尔地区的敏感性。该应用程序强调了在实际操作中评估风险或依赖性度量的敏感性的重要性。论文的其余部分组织如下。第2节首先回顾了关于最大稳定场的有用结果，并提出了预期性能的概念。

然后介绍了LRM和IPA及其相关的最大稳定场示例（分别为Brown-Resnick和Smith），并说明了我们保证这两种方法在这些情况下有效的条件。第3节专门讨论风险评估应用。在一般性讨论之后，我们介绍了上述特定的依赖性度量，我们介绍了模拟研究，并最终展示了我们的真实案例研究。第4节简要总结了我们的贡献并提出了一些观点。在本文中，我们将使用以下符号。Let表示换位。对于x=（x，…，xd）∈ Rd，kxk=xx=Pdi=1xi，对于矩阵∈ Rd×d，kAk=sup{kAxk:x∈ Rd使得kxk=1}，对于正定义的对称矩阵∑∈ Rd×d，kxk∑-1=x∑-1x。此外，当上确界位于可数集上时，Wdenotes是上确界。最后，d=表示分布相等。对于随机场，分布指的是所有有限维分布的集合。所有证据都可以在附录中找到。2随机导数估计2.1最大稳定随机域和相关预期性能如果Rd上存在连续函数an（·）>0和bn（·），则称Rd上具有非退化边缘的随机域X为最大稳定，如果X，X的独立副本，n\\u i=1Xi- b与=X，n=1，2，（点方向最大值）。具有标准Fréchet边距的随机字段Y（即P（Y（x））≤y） =经验值(-1/y），y>0，x∈ Rd）是最大稳定的ifn\\u i=1n-1Yid=Y，n=1，2，其中Y，Y是Y的独立副本；这样的场被称为简单的最大稳定场。众所周知，Rd上存在连续函数η（·）、τ（·）>0和ξ（·），称为位置、尺度和形状函数，如x（x）d=（η（x）- τ（x）/ξ（x））+τ（x）Y（x）ξ（x）/ξ（x），ξ（x）6=0η（x）+τ（x）log（Y（x）），ξ（x）=0。

（1） Rd上任何简单的最大稳定随机场Y都可以写成asYd（例如，de Haan，1984）=∞_i=1 Izi，（2），其中（Ui）i≥1是（0，∞) 具有强度功能U-2du和Zi，i≥ 1，是非负随机字段Z的独立副本，因此，对于所有x∈ Rd，E[Z（x）]=1。相反，形式（2）的任何字段都是简单的最大稳定字段。假设Z的分布取决于空间相关参数θ∈ RL和wenow用Zθ表示Z（以及用Yθ表示Y）。Zθ相对于θ的依赖关系将在下文中明确描述。我们考虑M个站点x，xM公司∈ 设Yθ=（Yθ（x），Yθ（xM））。已知YθisFθ（Y）=exp的分布函数(-Vθ（y）），y∈ (0, ∞)M、 其中，Vθ是所谓的指数度量函数，由Vθ（y）=E“M\\u i=1Zθ（xi）yi#，y给出∈ (0, ∞)M、 如果存在Vθ的M阶偏导数，则Yθ的密度函数可由多元函数的Faádi Bruno公式导出。设I={1，…，M}。我们用∏表示I的所有分区的集合，对于分区π∈ π，B∈ π表示B是分区π的一个块。此外，对于任何集合B I和y∈ (0, ∞)M、 我们让yB=（yj）j∈B、 然后，Yθ的密度函数由fθ（Y）=exp给出(-Vθ（y））Xπ∈Π(-1） |π| YB∈π|B类|yBVθ（y），（3），其中|π|表示分区π的块数，| B |集B的基数，以及|B类|/yB关于yB的偏导数。随机性能（有时也称为模型输出）由H（Yθ）定义，其中H是RMto R的函数，预期性能是其预期，即R（θ）=e【H（Yθ）】，（4）前提是e[| H（Yθ）|]<∞. 下面我们给出了确保LRMand IPA适用于估算的条件R（θ）/特定θ下的θ∈ RL表示分别由Brown–Resnick和Smith菲尔德建造的Yθ。

（4）中的数量相当普遍，因此本节中得出的结果可用于各种目的。其中之一，尤其重要的是金融和保险，是估计风险和依赖性度量的敏感性；这在第3节中完成。当符合数据时，最大稳定场并不简单，而是如（1）所示，其位置、比例和形状函数并不一致等于单位。因此，用Xθ表示这样一个领域，并让Xθ=（Xθ（X），Xθ（xM）），预期性能应为writene[G（Xθ）]，（5）其中，G是从rm到R的函数，使得E[| G（Xθ）|]<∞. 然而，我们从（1）中看到，表示（4）包含了（5）的情况，通过让H依赖于M个位置处Xθ的位置、比例和形状参数。由于衍生工具仅涉及空间相关参数的技术问题，我们不考虑边际参数的差异（尽管这是实际利益），为了方便起见，我们将重点放在（4）。2.2似然比方法2.2.1一般方法我们首先将LRM引入基于最大稳定领域的预期绩效背景。设Yθ是一个简单的最大稳定随机向量，H是从rm到R的函数，使得e[| H（Yθ）|]<∞, R（θ）=E[H（Yθ）]，θ是参数θ的可能值。LRM要求Yθ具有密度函数fθ，密度函数fθ可以相对于θ进行微分。