关于混合解的闭式近似

假设不存在点a∈ （0，1）使Limu→aln（h（u）/K）+RT（rdt- rft）dtph（u）=0和limu→ah（u）=0。则存在有界于R+上的函数Mα，使得SUPU∈(0,1)PutBS公司xαyα（h（u），h（u））= Mα（T，K）。此外，固定K和T的Mα行为分别由函数ζ和η表征，其中ζ（T）=^Ae-RTrftdte-Er（T）E-E▄r（T）nXi=0ci▄ri（T），其中▄r（T）：=RT（rdt-rft）dt和E>0，E∈ R、 ^A∈ R、 n个∈ N和c，cnare常数，η（K）=AK-Dln（K）+DNXi=0Ci(-1） ilni（K），D>0，D∈ R、 A∈ R、 N个∈ N和C，Cn是常量。证据在hand h的假设下，该上确界将以引理5.1的直接应用为界。接下来，我们需要证明Mα在R+上有界，并且对于固定K和T分别表现为ζ和η。在下面的例子中，den是一个任意常数，F是一个任意次数的多项式。它们可能在每次使用上有所不同。（1） T中的行为：将除T外的所有变量固定为常量。然后我们可以把部分导数写成-RTrftdtφ（d+）F（d+，d-).用T展开和收集项，我们可以写出形式的偏导数-RTrftdte-Er（T）E-E▄r（T）nXi=0ci▄ri（T）=ζ（T），其中E>0，E∈ R、 n个∈ N和c，Cn是常量。由于ζ是多项式和▄r（T）的指数的组合，因此它对于不包含0的任何闭合区间是有界的。现在自supt∈[0，T]（| rdt- rft |）=：R<1，然后| R（T）|<RT。因此，ri（T）=o（Ti）和ri（T）=o（Ti）。因此，作为T，ζ趋于0↓ 0或T→ ∞. 因此，ζ在R+上有界。（2） K中的行为：现在将除K外的所有变量固定为常数。偏导数可以写成φ（d+）F（d+，d-).用K展开d集合项，偏导数可以写成K形式-Dln（K）+DF（ln（1/K））=η（K），其中D>0，D∈ R、 然后显式写出多项式η（K）=AK-Dln（K）+DNXi=0Ci(-1） ilni（K），其中N∈ N和C。

，Cn是常量。因此|η（K）|≤ |A | K-Dln（K）+DNXi=0 | lni（K）|。η对于不包含0的任何闭合区间是有界的，因为它是指数和对数的组合。当lni（K）=o（K）和lni（K）=o（lnN+1（K）），η随着K趋于0↓ 0或K→ ∞ . 因此η在R+上有界。提案5.1。存在引理5.2中的函数Mα，因此SUPU∈(0,1)xαyαPutBS（F（u），G（u））≤ Mα（T，K）Q a.s.证明。由于F和G是线性函数，那么从引理5.2来看，如果我们可以证明G对于任何u都严格大于0，那么这个说法立即成立∈ （0，1）Q a.s.重新校准（u）=（1- u）ZT（1- ρt）E（σt）dt+ uZT（1- ρt）σtdt。G对应于rt（1）的线性插值- ρt）E（σt）dt和rt（1- ρt）σtdt。天气晴朗∈[0，T]（1- ρt）>0。由于σ对应于方差过程，根据假设2.1，它是一个非负过程。因此，集合{t∈ [0，T]：σT>0}具有非零勒贝格测度。因此，这些积分是严格正的，因此对于任何u，G都严格大于0∈ （0，1）Q a.s。我们得到以下推论。推论5.2。在Lemma5.2中存在一个函数M，例如SUPU∈(0,1)y yyPutBS公司S、 克（u）≤ M（T，K）Q a.s。证据召回▄G（u）=（1- u）中兴通讯（σt）dt+ uZTσtdt。然后，根据命题5.1证明中的相同论点，G严格大于0 qa.s。因此，根据引理5.2，该主张是正确的。定理5.4（一般σ的误差界）。定价公式中的误差项为| E（E（σ））|≤X |α|=3CαMα（T，K）Tα-SαE（ξT- 1)2α1/2ZT（1- ρu）2αE |σu- E（σu）| 2αdu1/2+CM（T，K）ST5/2eRTρmEQ（σM）dmEQeRT2ρm |σm-等式（σm）| dm1/2·ZTρuEQ |σu- 等式（σu）| du1/2，其中M（T，K）=xxPutBS（^x，^y）在R+上有界，C=1/12，Cα=|α|α！α!是常数，后者取决于α。证据首先，根据命题5.1，我们得到Eα（SξT，RTσT（1- ρt））≤Mα（T，K）。根据定理5.3，误差分解为E（σ）=EBS（σ）+E（σ）。

我们将利用众所周知的积分不等式ZT | f（u）| dup≤ Tp-1ZT | f（u）| pdu，p≥ 1.（5.2）对于术语EBS（σ），我们有| EBS（σ）|≤X |α|=3CαMα（T，K）SαξT-1 |αTα-1.ZT（1- ρu）α|σu- E（σu）|α,其中，我们使用了积分不等式公式（5.2）。应用Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了| EBS（σ）|≤X |α|=3CαMα（T，K）SαTα-1.E |ξT- 1|2α1/2（EZT（1- ρu）α|σu- E（σu）|α)1/2≤X |α|=3CαMα（T，K）SαTα-1.E |ξT- 1|2α2月1日·EZT（1- ρu）2α|σu- E（σu）| 2α1/2，其中我们对第二个不等式使用了积分不等式等式（5.2）。对于术语▄E（σ），请注意E（▄E（σ））=等式E（σ）ξ-2TeRTρuσudu=xxPutBS（^x，^y）序列(ZTρu（σu- 等式（σu））du·Z（1- u） eRTρmEQ（σm）dmeuRTρm（σm-公式（σm））dmdu）。现在为u∈ （0，1），euRTρm（σm-等式（σm））dm≤ euRTρm |σm-公式（σm）| dm。图苏普∈（0,1）euRTρm（σm-等式（σm））dm≤ eRTρm |σm-公式（σm）| dm。亨塞兹（1- u） eRTρmEQ（σm）dmeuRTρm（σm-等式（σm））dmdu≤eRTρm（等式（σm）+σm-公式（σm）|）dm。ThusE | E（σ）|≤ CxxPutBS（^x，^y）SeRTρmEQ（σm）dm·EQ(ZTρu（σu- 等式（σu））dueRTρm |σm-公式（σm）| dm）。最后，利用Cauchy-Schwarz不等式和积分不等式等式（5.2），我们得到了| | E（σ）|≤ CxxPutBS（^x，^y）SeRTρmEQ（σm）dmT5/2ZTρuEQ |σu- 等式（σu）| du！1/2·均衡器eRT2ρm |σm-等式（σm）| dm1/2.此外，请注意xxPutBS（^x，^y）=▄M（T，K），其中▄M（T，K）是一个类似于M（T，K）的函数。推论5.3（一般σ的误差界f：ρ=0）。对于ρ=0 a.e.，pricingformula中的误差项有界为| e（e（σ））|≤ CM（T，K）TZTE |σT- E（σt）| dt，其中C=1/6是一个常数。证据根据推论5.1，我们有（σ）=ZT（σt- E（σt））dtZ（1- u）y yyPutBS公司S、 克（u）杜。注意（RT | f（t）| dt）≤ TRT | f（t）| dt并使用推论5.2。那么结果是中间的。备注5.1。定理5.4和推论5.3根据方差过程的高阶矩给出了展开过程产生的误差的界。

请注意，在展开过程中有两个主要导致误差的成分，Putbs的三阶偏导数和方差过程的高阶矩。这是泰勒定理中余项行为的明显结果；也就是说，剩余部分由所选函数以及表达式和评估点的差异决定。命题5.1和推论5.2证明PutBS公司xαyα（F（u），G（u））表示u∈ （0，1）由M（T，K）等函数控制，其本身在R+上有界。固定K和固定T的M（T，K）行为分别由函数ζ（T）和η（K）控制。有趣的是，作为打击K函数的误差界完全由函数η（K）控制，因此对于非常小或非常大的打击，误差界趋于零。然而，误差界的总行为inT不仅取决于ζ（T），还取决于其他项，最显著的是潜在方差过程的时刻。事实上，为了更进一步，我们可以考虑一个方差过程的特定例子，然后尝试约束理论5.4和推论5.3中出现的矩。然而，为了应用的目的，可能更有益的是考虑进行数值敏感性分析，以调查误差在参数调整方面的行为。因此，我们已在第7节中针对Heston和Garch的扩散模型执行了此操作。封闭式公式和快速校准在本节中，在分段常数参数的假设下，我们提供了看跌期权价格的封闭式公式以及快速校准方案。为此，我们参考了第4节关于各种模型中看跌期权价格近似值的结果。我们承认，这些价格是以特定的迭代积分计算的。

我们的目标是证明当参数是分段常数时，这些迭代积分服从一个方便的递归性质。为此，定义积分算子ω（k，l）T：=ZTlueRukzdzdu。（6.1）此外，我们使用以下递推公式确定n次积分算子：ω（k（n），l（n）），（k（n-1） ，l（n-1)),...,（k（1），l（1））T：=ωk（n），l（n）w（k（n-1） ，l（n-1） ），···，（k（1），l（1））·T、 n个∈ N、 （6.2）本节的其余部分致力于在参数分段恒定时使这些积分算子闭合。设T={0=T，T，…，TN-1，TN=T}，其中Ti<Ti+1是[0，T]上到期日的集合，其中Ti：=Ti+1-蒂安T≡ 当虚函数是分段常数时，即l（n）t=l（n）离子t∈ [Ti，Ti+1），类似地，对于k（n），我们可以递归地计算积分算子方程（6.1）和方程（6.2）。定义（k（n），…，k（1））t：=eRtPnj=1k（j）zdz，Д（k，p）Ti，t：=ZtTiγpi（u）Erutikzdu，其中γi（u）：=（u- Ti）/天和p∈ N∪ {0}. 此外，通过φ（k（n），pn）递归定义φ（·，·）Ti的n倍延伸，。。。，（k（2），p），（k（1），p）Ti，t：=ZtTiγpni（u）eRuTik（n）zdzД（k（n-1） ，pn-1),...,（k（2），p），（k（1），p）Ti，udu，其中pn∈ N∪ {0}.

假设伪函数是分段常数，我们可以得到时间为Ti+1的积分算子，用时间为Ti的项表示。ω（k（1），l（1））Ti+1=ω（k（1），l（1））Ti+l（1）ie（k（1））TiД（k（1），0）Ti，Ti+1，ω（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+1=ω（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+l（2）ie（k（2），0）Ti，Ti+1ω（k（1），l（1））Ti+l（2）il（1）ie（k（2），k（1））TiД（k（2），0），（k（1），0）Ti，Ti+1，ω（k（3），l（3）），（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+1=ω（k（3），l（3）），（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+l（3），即（k（3））TiД（k（3），0）Ti，Ti+1ω（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+l（3 3）il（2）ie（k（3），k（2））TiД（k（3），0），（k（2），0）Ti，Ti+1ω（k（1），l（1））Ti+l（3）il（2）il（1）ie（k（3），k（2），k（1））TiД（k（3），0），（k（2），0），（k（1），0）Ti，Ti+1，ω（k（4），l（4）），。。。，（k（1），l（1））Ti+1=ω（k（4），l（4）），（k（3），l（3）），（k（2），l（2）），（k（1，l（1））Ti+l（4）ie（k（4））TiД（k（4），0）Ti，Ti+1ω（k（3），l（3）），（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+l（4）il（3）ie（k（4），0），（k（3），0）Ti，Ti+1ω（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+l（4）il（3）il（2）ie（k（4），k（3），k（2））TiИ（k（4），0），（k（3），0），（k（2），0）Ti，Ti+1ω（k（1），l（1））Ti+l（4）il（3）il（2）il（1）ie（k（4），k（3），k（2），k（1））TiИ（k（4），0），（k（3），0），（k（2），0），（1）k（1），0）Ti，Ti+1，ω（k（5），l（5）），。。。，（k（1），l（1））Ti+1=ω（k（5），l（5）），（k（4），l（4）），（k（3），l（3）），（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+l（5）ie（k（5））TiД（k（5），0）Ti，Ti+1ω（k（4），l（4）），（k（3），l（3）），（k（2），l（2）），（k（1），l（1））Ti+l（5）il（4）ie（k（5），k（5），k（1（4）TiД（k（5），0），（k（4），0）Ti，Ti+1ω（k（3），l（3）），（k（2），l（2）），（k（1，l（1））Ti+l（5）il（4）il（3）ie（k（5），k（4），k（3））TiД（k（5），0），（k（4），0），（k（3），0）Ti，Ti+1ω（k（2），l（1），l（1））Ti+l（5）il（4）il（3）il（2）ie（k（5）、k（4）、k（3），k（2））TiИ（k（5），0），（k（4），0），（k（3），0），（k（2），0）Ti，Ti+1ω（k（1），l（1））Ti+l（5）il（4）il（3）il（2）il（1）ie（k（5），k（4），k（3），k（2），0），（k（4），0），（k（3），0），Ti+1。此处唯一不明确的术语是函数e（·，…，·）·和Д（·，·），。。。，（·，·）Ti，·。要塞∈ （Ti，Ti+1），我们可以得出以下公式：e（k（n），。。。，k（1））t=e（k（n），。。。，k（1））接头Tiγi（t）Pnj=1k（j）i=ePi-1m=0TmPnj=1k（j）meTiγi（t）Pnj=1k（j）i，其中e（k（n），。。。，k（1））=1。

利用分部积分和基本积分性质，我们得到了ν（k，p）Ti，t=ki公司γpi（t）ekiTiγi（t）-pTiИ（k，p-1） Ti，t, ki6=0，p≥ 1，kieki公司Tiγi（t）- 1., ki6=0，p=0，p+1Tiγp+1i（t），ki=0，p≥ 0。此外，f或n≥ 2，Д（k（n），pn），。。。，（k（1），p）Ti，t=k（n）iγpni（t）ek（n）iTiγi（t）Д（k（n-1） ，pn-1),...,（k（1），p）Ti，t-pn编号TiИ（k（n），pn-1） ，（k（n-1） ，pn-1),...,（k（1），p）Ti，t-^1（k（n）+k（n-1） ，pn+pn-1） ，（k（n-2） ，pn-2),...,（k（1），p）Ti，t, k（n）i6=0，pn≥ 1，k（n）iek（n）iTiγi（t）Д（k（n-1） ，pn-1),...,（k（1），p）Ti，t-^1（k（n）+k（n-1） ，pn-1） ，（k（n-2） ，pn-2),...,（k（1），p）Ti，t, k（n）i6=0，pn=0，Tipn+1γpn+1i（t）Д（k（n-1） ，pn-1),...,（k（1），p）Ti，t-^1（k（n-1） ，pn+pn-1+1），（k（n-2） ，pn-2),...,（k（1），p）Ti，t, k（n）i=0，pn≥ 0.6.1. 封闭式价格。现在，我们用积分算子式（6.1）和式（6.2）表示赫斯顿和加什微分模型下的二阶看跌期权价格。这些由以下命题给出。这样，当参数是分段常数时，我们基本上得到了看跌期权价格的闭式表达式。这是本节中导出的关系的结果。由于我们基本上是用新的符号表示第4节的结果，因此我们省略了这些命题的证明。命题6.1（二阶赫斯顿显式看跌期权价格）。

赫斯顿模型中的二阶看跌期权价格可以写为put（2）H=PutBS（^x，^y）+xxPutBS（^x，^y）SE（ξT- 1)+y yPutBS（^x，^y）EZT（1- ρt）（Vt- E（Vt））dt+ xyPutBS（^x，^y）SE（ξT- 1)ZT（1- ρt）（Vt- E（Vt））dt,式中e（ξT- 1)≈exp（vω(-(κ-2λρ），ρ）T+ω(-(κ-2λρ),ρ),(κ-2λρ，κθ）T）·（1+vω）(-(κ-2λρ),ρ),(-(κ-2λρ),ρ),(κ-2λρ，λ）T+ω(-(κ-2λρ),ρ),(-(κ-2λρ),ρ),(κ-2λρ,λ),(κ-2λρ，κθ）T）- 1、EZT（1-ρt）（Vt- E（Vt））dt= 2vΩ(-κ,1-ρ),(-κ,1-ρ） ，（κ，λ）T+2ω(-κ,1-ρ),(-κ,1-ρ） ，（κ，λ），（κ，κθ）T，E（ξT- 1)ZT（1- ρt）（Vt- E（Vt））dt= vω(-(κ-λρ),1-ρ） T型- ω(-κ,1-ρ） T型+ ω(-(κ-λρ),1-ρ),(κ-λρ，κθ）T-ω(-κ,1-ρ） ，（κ，κθ）T。此外，^x=砂^y=vω(-κ,1-ρ） T+ω(-κ,1-ρ） ，（κ，κθ）T.命题6.2（二阶GARCH显式看跌期权价格）。GARCH扩散模型中的二阶看跌期权价格可以写成：ut（2）GARCH=PutBS（^x，^y）+y yPutBS（^x，^y）ZTZtCov（Vs，Vt）dsdt，其中ZTZtCov（Vs，Vt）dsdt公司=vω(-κ,1),(-κ、 1），（λ，λ）T+2vω(-κ,1),(-κ,1),(λ,λ),(-(λ-κ） ，κθ）T+2ω(-κ,1),(-κ,1),(λ,λ),(-(λ-κ） ，κθ），（κ，κθ）T.此外，^x=沙^y=中兴通讯（Vt）dt=vω(-κ、 1）T+ω(-κ、 1），（κ，κθ）T.Remark 6.1（快速校准）。由于积分算子服从递归，我们可以扩展loitdynamic编程来大大加快校准过程。为了实现我们的快速校准方案，执行以下算法。Letut≡ u = (u(1), u(2), . . . , u（n））是参数的任意s集，用ωtan任意积分算子表示。在[0，T）上校准u以获得u。这涉及到计算ωT。在[T，T）上校准u以获得u。这涉及到计算ωT，ωT以ωT为单位，后者已在上一步中计算。重复操作直到时间TN.7。

数值测试和敏感性分析在本节中，我们将通过考虑我们的近似公式的敏感性，同时每次改变一个参数，而其他参数都是固定的，从而对Heston和GARCH微分模型（分别为命题6.1和命题6.2）中我们的闭式近似公式的准确性进行数值研究。即，对于任意一组分段常数参数（κt，θt，λt，ρt）≡ （κ，θ，λ，ρ）=：u，我们在一段时间内只改变κ，θ，λ，ρ中的一个，其余的保持不变。然后，我们将通过近似公式以及到期时间t的蒙特卡罗计算隐含波动率的差异（符号误差）∈ {1/12, 3/12, 6/12, 1} ≡ {1M、3M、6M、1Y}和走向对应于Put 10、25和andATM三角洲。因此，给定参数集u、到期日T和罢工K的隐含波动率的符号误差i误差（u、T、K）=σIM近似值（u、T、K）- σIM Monte（u，T，K）。蒙特卡罗模拟是通过利用附录a中混合解决方案方法的变化来实现的。即，考虑对数点Xt=ln标准对数走向k=ln k。L etσ是方差过程。然后输入=e-RTrdtdtE（ek- eXT）+=Ee-RTrdtdtE（埃克）- 外部）+FBT= E美国公共广播电视公司x个-ZTρtσtdt+ZTρt√σtdBt，ZTσt（1- ρt）dt,其中PBS（x，y）：=eke-RTrdtdtN(-dln公司-) - exe文件-RTrftdtN(-dln+，dln±：=dln±（x，y）：=x- k+RT（rdt-rft）dt√y±√y、 （7.1）我们不会对此结果提供证明，因为它可以通过修改TheoremA的证明得出。1以str-aightforward方式模拟测井点的情况。利用这种关系进行蒙特卡罗模拟，不需要模拟S，只需模拟σ。这减少了程序的运行时间和标准错误。我们将使用常用的Euler Maruyama方法来模拟方差过程。

在我们的所有模拟中，我们使用2000000条蒙特卡罗路径，每天24个时间步，其中一年包含252个交易日。这是为了有效地减少蒙特卡罗和离散化误差。备注7.1。本节中用于获得数值结果的代码可从Github获取【13】。具体而言，提供的是：一个例程，用于计算heston模型和GARCH扩散模型（ρ=0 A.e.的GARCH扩散模型）的看跌期权价格的闭合形式近似值，并使用分段常数参数输入。通过混合解决方案方法对赫斯顿模型和GARCH扩散模型中的看跌期权价格进行蒙特卡罗模拟，并使用分段常数参数输入的例程。比较上述方法的准确性和运行时的路由。7.1. 赫斯顿敏感性分析。备注7.2。在n个区间上分段常数的分段常数参数称为n个参数或n个参数。我们从一个“安全”参数集开始，这是由彭博社美元/日元外汇期权价格数据校准的常数参数[7]。安全参数集isSvrdrf100 0.36%0.02 0，tκθλρ1M 5.00 1.90%0.414-0.3913M 5.00 1.10%0.414-0.3916M 5.00 0.90%0.414-0.3911Y 5.00 0.90%0.414-0.391然而，我们希望考虑分段常数参数，因为我们设计了闭合形式近似方法以利用分段常数参数输入。为此，我们将使参数在三个时间间隔内分段恒定，第一、第二和第三个时间间隔的长度分别为自然时间T的1/4、1/4和1/2。例如，如果T=1/12，则三段参数在时间间隔[0，1/48]、[1/48，2/48]、[2/48，4/48]上是分段常数。