关于混合解的闭式近似

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混合溶液在本附录中，我们对【19】中称为混合溶液的结果进行了推导。这一结果对于第2节中实施的扩展方法至关重要。Hull和White首先建立了独立布朗运动W和B的表达式。Lateron对相关布朗运动进行了扩展，参见[32，36]。在国内风险中性度量Q下，假设方差σ为的点S遵循动态St=St（（rdt- rft）dt+√σtdWt），S，dσt=α（t，σt）dt+β（t，σt）dBt，σ，dhW，Bit=ρtdt。定理A.1（混合溶液）。Let Put=e-RTrdtdtE（K- ST）+。然后输入=Ee-RTrdtdtE（K）-ST）+FBT= EPutBS公司SξT，ZTσT（1-ρt）dt,式中，Putbs在等式（2.4）中给出。证据通过将光斑的驱动布朗运动写为Wt=RtρudBu+Rtp1- ρudZu，其中Z是Q下的布朗运动，与B无关，这给出了S asST=SξTexp的显式路径唯一强解ZT（rdt- rft）dt-ZTσt（1- ρt）dt+ZTqσt（1- ρt）dZt,ξt：=经验值Ztρu√σudBu-Ztρuσudu.首先，请注意σ和ξ都适用于过滤（FBt）0≤t型≤T、 因此，很明显St | FBTwill具有对数正态分布，即St | FBT~ 液态氮u（T），￠σ（T）,u（T）：=ln（SξT）+ZT（rdt- rft）dt-ZTσt（1- ρt）dt，￠σ（t）：=ZTσt（1- ρt）dt。因此，计算e-RTrdtdtE（K）-ST）+FBT将产生一个布莱克-斯科尔斯式的公式。e-RTrdtdtE（K）- ST）+FBT= Ke公司-RTrdtdtNln（K）- Иu（T）~σ（T）- e-RTrdtdte￠u（T）+￠σ（T）Nln（K）- u（T）- σ（T）σ（T）= Ke公司-RTrdtdtNln（K）- u（T）-σ（T）σ（T）+σ（T）！- SξTe-RTrftdtNln（K）- u（T）-σ（T）σ（T）-σ（T）！=Ke公司-RTrdtdtNln（K/SξT）-RT（rdt- rft）dt▄σ（T）+▄σ（T）！- SξTe-RTrftdtNln（K/SξT）-RT（rdt- rft）dt￠σ（T）-σ（T）！。e立即-RTrdtdtE（K）- ST）+FBT= PutBS公司SξT，|σ（T）. 附录B.PutbPartial derivatives该附录包含Black-Scholes看跌期权公式PutBS的一些偏导数，见等式。

(2.4). 人们可以认为这些偏导数类似于布莱克-斯科尔斯希腊语。然而，这些略有不同，因为我们的Black-Scholes公式是针对综合方差而非波动率进行参数化的。B、 1。一阶PUTB。xPutBS=e-RTrfudu（N（d+）- 1) ,yPutBS=xe-RTrfuduφ（d+）√y、 B.2。二阶PUTB。xxPutBS=e-RTrfuduφ（d+）x√yy yPutBS=xe-RTrfuduφ（d+）4y3/2（d-d+- 1),xyPutBS=(-1） e类-RTrfuduφ（d+）d-2年。B、 3。三阶PUTB。xxxPUTB=(-1） e类-RTrfuduφ（d+）xy（d++√y） ，则，xxyPutBS=e-RTrfuduφ（d+）2y（d-d+- 1),xyyPutBS=(-1） e类-RTrfuduφ（d+）2yd-d+-d+- d-,y yyPutBS=xe-RTrfuduφ（d+）8y5/2（d）-d+- 1)- （d）-+ d++2.B、 4。四阶PUTB。xxxxPutBS=e-RTrfuduφ（d+）xy3/2（d++3d）+√y+2y+1），xxxyPutBS=e-RTrfuduφ（d+）2xy3/2（d-(1 - d+），xxyyPutBS=(-1） e类-RTrfuduφ（d+）2xy5/2（d）-+ d++d-d+1.-d-d+-,xyyyPutBS=e-RTrfuduφ（d+）8y(√y- d+）（d）-d+- 1)- （d）-+ d++2+ 4[d+（d-- d+）- d--d+],y yyyyputbs=xe-RTrfuduφ（d+）8y7/2（d-d+- 1） （d）-d+- 5) -（d）-d+- 1） （d）-+ d+）-（d）-+ d+（d-d+- 7） +（d-d+- 1)!.附录C.希腊看跌期权二阶近似值的Greeksexpression可通过看跌期权（2）的简单部分微分获得（等式（2.5））。Pu t Delta近似值是通过Put（2）相对于基础S的部分微分获得的。SPut（2）=xPutBS（^x，^y）+2秒xxPutBS（^x，^y）+SxxxPUTB（^x，^y）E（ξT- 1)+xyyPutBS（^x，^y）EZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt+ [xyPutBS（^x，^y）+SxxyPutBS（^x，^y）]E（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt.Put-Gamma近似值是通过对Put-Delta近似值相对于底层S的部分微分获得的。SSPut（2）=xxPutBS（^x，^y）+2.xxPutBS（^x，^y）+2SXXxPUTB（^x，^y）+SxxxxPutBS（^x，^y）E（ξT- 1)+xxyyPutBS（^x，^y）EZT（1-ρt）（σt- E（σt））dt+ [2XXYPUTB（^x，^y）+SxxxyPutBS（^x，^y）]·E（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt.请注意，上述期望值与等式中的期望值相同。

（2.6）至（2.8）。第3节明确了这些期望。附录D.动量的计算在本附录中，我们推导了本文中使用的CIR和IGa过程的一些矩、混合矩和协方差的表达式。CIR过程的结果是众所周知的，然而，我们在文献中没有找到具有时间相关参数的IGa矩的来源。D、 1。CIR过程的时刻。设V为CIR（V；κt，θt，λt）。满足SDEdVt=κt（θt- Vt）dt+λtpVtdBt，V=V，其中我们假设e（κt）0≤t型≤T、 （θT）0≤t型≤Tand（λt）0≤t型≤皮重随时间变化，密度恒定，结构正且有界于[0，T]。对于s<t，可将其积分以获得Vt=Vse-Rtsκzdz+Ztse-Rtuκzdzκuθudu+Ztse-RtuκzdzλupVudBu。（D.1）特别是，对于s=0，Vt=ve-Rtκzdz+中兴通讯-Rtuκzdzκuθudu+中兴通讯-RtuκzdzλupVudBu。（D.2）提案D.1。V具有以下力矩：E（Vnt）=E-Rtnκzdzvn+ZteRunκzdznκuθu+n（n- 1） λuE（Vn-1u）du,Var（Vt）=Ztλue-2Rtuκzdzve公司-Ruκzdz+Zue-Rupκzdzκpθpdpdu，Cov（Vs，Vt）=e-RtsκzdzZsλue-2Rsuκzdzve公司-Ruκzdz+Zue-Rupκzdzκpθpdpdu，E（VmsVnt）=E-RtnκzdzE（Vm+ns）+ZtseRunκzdznκuθu+n（n- 1） λuE（VmsVn-1u）du,Cov（Vms，Vnt）=E（VmsVnt）- E（Vms）E（Vnt），全部为f或m，n≥ 1和s<t证明。我们给出了获取Var（Vt）和Cov（Vs，Vt）的概要。其他术语遵循类似的方法。注意Var（Vt）=E（Vt- E（Vt））。然后使用等式（D.2）和E（Vt），Var（Vt）=E中兴通讯-RtuκzdzλupVudBu=中兴通讯-2RtuκzdzλuE（Vu）du。假设s<t。使用Vtin项s表示Vseq。（D.1），我们有Cov（Vs，Vt）=CovVs，Vse-Rtsκzdz+Ztse-Rtuκzdzκuθudu+Ztse-RtuκzdzλupVudBu= e-RtsκuduVar（Vs），其中我们使用了独立于It^o integralRtse的VSI-Rtuκzdzλu√VudBu。D、 2。IGa过程的时刻。设V为IGa（V；κt，θt，λt）。

满足SDEdVt=κt（θt- Vt）dt+λtVtdBt，V=V，其中我们假设e（κt）0≤t型≤T、 （θT）0≤t型≤Tand（λt）0≤t型≤皮重随时间变化，密度恒定，结构正且有界于[0，T]。当s<T时，V有显式强解vt=VsYtYsv+Rtκuθu/Yuduv+Rsκuθu/Yudu！。特别是，对于s=0，Vt=Ytv+ZtκuθuYudu.提案D.2。V具有以下力矩：E（Vnt）=eRtn（n-1） λz-nκzdzvn+nZtκuθue-运行（n-1） λz-nκzdzE（Vn-1u）du,Var（Vt）=e-2RtκzdzZtλuE（Vu）eRuκzddu，Cov（Vs，Vt）=Var（Vs）e-Rtsκzdz，E（VmsVnt）=eRtn（n-1） λz-nκzdzE（Vm+ns）E-Rsn（n-1） λz-nκzdz+nZtsκuθue-运行（n-1） λz-nκzdzE（VmsVn-1u）du,Cov（Vms，Vnt）=E（VmsVnt）- E（Vms）E（Vnt），全部为f或m，n≥ 1和s<t证明。我们展示了如何获得E（VnsVmt）。其他术语遵循类似的方法。我们考虑Vn的差异。d（Vnt）=nκtθtVn-1吨+n（n- 1） λt- nκtVnt公司dt+nλtVntdBt==> Vnt=Vns+ZtsnκuθuVn-1u+n（n- 1） λu- nκuVnudu+ZtsnλuVnudBu。将两边乘以vms，取期望收益率（VmsVnt）=E（Vn+ms）+ZtsnκuθuE（VmsVn-1u）+n（n- 1） λu- nκuE（VmsVnu）du。在t中区分两侧，让Mm，ns（t）：=E（VmsVnt），然后是ddtmm，ns（t）=nκtθtMm，n-1s（t）+n（n- 1） λt- nκtMm，ns（t）。这是一个一阶常微分方程，可以通过从s到t的积分，用积分因子法求解。附录E.具有线性扩散的SDE解决方案补充微分U解决SDEdUt=f（t，Ut）dt+νtUtdBt，U=U，（E.1），其中（νt）0≤t型≤它适应于布朗过滤，f和ν满足一些正则条件，从而存在U的路径唯一强解。例如，f Lipschitz inx在t中是一致的，在[0，t]上有界的dν是有效的。提案E.1。式（E.1）的解可以表示为asUt=Yt/Ft，其中F是GBM（1；νt，-νt），Th at is，dFt=νtFtdt- νtFtdBt，F=1==> Ft=expZtνudu-ZtνudBu,Y求解积分方程（以微分形式书写）dYt=Ftft、 YtFt公司dt，Y=u。

（E.2）证明。我们基本上验证了这种形式的U满足SDE等式（E.1）。dYtFt公司= d（1/Ft）Yt+FtdYt+d（1/Ft）dYt=νtFtdBt-νtFtdt+νtFtdtYt+f（t，Yt/Ft）dt+0=YtFtνtdBt+f（t，Yt/Ft）dt=νtUtdBt+f（t，Ut）dt。