关于混合解的闭式近似

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英文标题：
《Closed-form approximations with respect to the mixing solution for
  option pricing under stochastic volatility》
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作者：
Kaustav Das and Nicolas Langren\\\'e
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We consider closed-form approximations for European put option prices within the Heston and GARCH diffusion stochastic volatility models with time-dependent parameters. Our methodology involves writing the put option price as an expectation of a Black-Scholes formula and performing a second-order Taylor expansion around the mean of its argument. The difficulties then faced are simplifying a number of expectations induced by the Taylor expansion. Under the assumption of piecewise-constant parameters, we derive closed-form pricing formulas and devise a fast calibration scheme. Furthermore, we perform a numerical error and sensitivity analysis to investigate the quality of our approximation and show that the errors are well within the acceptable range for application purposes. Lastly, we derive bounds on the remainder term generated by the Taylor expansion.
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中文摘要：
我们考虑了具有时间相关参数的Heston和GARCH扩散随机波动率模型中欧式看跌期权价格的闭合形式近似。我们的方法包括将看跌期权价格写成布莱克-斯科尔斯公式的期望值，并围绕其参数的平均值进行二阶泰勒展开。当时面临的困难是简化了泰勒展开式所带来的许多期望。在分段常数参数的假设下，我们推导了闭式定价公式，并设计了一种快速校准方案。此外，我们还进行了数值误差和灵敏度分析，以研究近似值的质量，并表明误差在应用目的的可接受范围内。最后，我们推导了泰勒展开生成的余项的界。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Closed-form_approximations_with_respect_to_the_mixing_solution_for_option_pricin.pdf (379.66 KB)

2022-6-11 07:16:12 上传

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关键词：Mathematical Quantitative Difficulties Expectations mathematica

随机波动下期权定价混合解的闭式近似。我们考虑具有时间相关参数的Heston和GARCH Diffusion随机波动率模型中欧式看跌期权价格的闭合形式近似。我们的方法包括将看跌期权价格写成Black-Scholes公式的期望值，并围绕其参数的平均值进行二阶泰勒展开。当时面临的困难是简化了泰勒展开所带来的许多期望。在分段常数参数的假设下，我们推导了闭合形式的pricingformulas，并设计了一种快速校准方案。此外，我们还进行了数值误差和灵敏度分析，以研究近似值的质量，并表明误差在应用目的的可接受范围内。最后，我们推导了泰勒展开式生成的余项的界。关键词：自律性；封闭式扩展；闭式近似；赫斯顿；GARCH1。简介我们在Heston和GARCHdi ffusionstocstic波动率模型中考虑欧洲看跌期权定价问题，分别参见[18]和[30，36]。我们的目标是研究如何在这些框架中通过扩展所谓的混合解决方案来近似欧式看跌期权价格，这将在本文后面详细介绍。我们发现，通过混合解的二阶泰勒展开，我们可以得出上述模型中欧式看跌期权价格的精确近似值。此外，我们的Methodology可以自然地处理与时间相关的参数。这被视为与其他方法相比的一个主要优势，例如转换方法，它不能很好地处理依赖于时间的参数。

此外，近似公式仅以迭代积分的形式编写，当参数假定为分段常数时，我们证明了迭代积分服从方便的递归性质。这导致近似基本上是闭合形式，并且导致快速校准方案。我们的方法基于[14]，其中赫斯顿+数学学院，莫纳什大学，维多利亚州，3800澳大利亚澳大利亚维多利亚州CSIRO Data61，邮编3008。电子邮件地址：kaustav。das@monash.edu，尼古拉斯。langrene@csiro.au.Research由澳大利亚ZF研究培训计划（RTP）奖学金资助。广义自回归条件异方差。模型考虑常数参数。为了在数值上评估我们的近似值，进行了灵敏度分析。此外，我们根据基本方差过程的高阶矩给出了误差项的数学界。众所周知，波动性在很大程度上取决于欧洲期权合同的执行和到期时间。这种现象被称为波动率微笑或倾斜，这是众所周知的Black-Scholes模型[6]没有考虑到的一个原因，有关这方面的更多信息，请参见示例le[16]。相应地，已经提出了一系列框架来解释市场中观察到的波动率序列和偏斜，例如局部波动率模型、随机波动率模型和局部随机波动率模型。特别是引入了随机波动率模型，其中波动率本身是一个可能与现货相关的随机过程。然而，随着这种复杂性的增加，期权价格往往无法以封闭形式计算。这是有害的，因为封闭式解决方案会导致rap I选项定价，这是快速校准金融模型所必需的属性。

如果没有封闭形式的解决方案，期权定价必须通过蒙特卡罗方法或偏微分方程方法进行数值计算，这两种方法的计算成本都很高。如果我们假设对数点的特征函数是明确已知的，那么可以准明确地计算出价格（意思是在最多一维复杂积分的项中，其中被积函数是明确的f函数），尽管是在常数或分段常数参数的限制性假设下[8、18、29]。出现这种情况的一类模型是a ffene模型，如Heston和Sch¨obel-Zhu模型。然而，对于非有效模型，对数点的特征函数很少明确知道，这样的过程不会有效果。非有效模型虽然与有效模型相比通常难以处理，但通常更为现实。这一点已经在许多研究中得到了证实，例如参见【10、15、21】。由于这些原因，文献[2，22，34]中已经初步开发了数值程序，如PDE和蒙特卡罗方法。闭式近似是期权定价的另一种方法，其中期权价格由闭式表达式近似。主要优点是期权价格可以快速计算，而且由于不使用转换方法，通常可以很好地处理与时间相关的参数。选择期权定价公式的一个动机是校准，在优化过程中，必须多次计算期权价格。文献中已有大量关于闭式展开的结果。例如，[28]通过偏微分方程方法推导出期权价格的一般闭式表达式，以及相应的隐含波动率。

[17] 在ABRS模型中，使用奇异扰动技术获得期权价格和隐含波动率的显式近似值。[1] 结果表明，从混合解出发，可以通过将看跌期权价格分解为两项之和来近似看跌期权价格，一项与相关性完全无关，另一项与相关性相关。然而，这两个术语都不明确。Fur Themore，与我们的工作类似，[3，4]表明，在小相关性的假设下，可以对混合溶液进行展开，由此产生的期望值可以使用Malliavin演算技术进行计算。类似地，在依赖时间的赫斯顿模型的情况下，[5]考虑混合溶液并围绕vol的vol展开，执行泰勒展开的组合，并通过Malliavin演算技术计算结果项。随机波动率模型通常要么直接建模波动率，要么通过方差过程间接建模波动率。一个关键的假设是，波动率或方差具有某种平均回归行为，这得到了经验证据的支持，例如，参见【16】。具体而言，为了对方差进行建模，一大类随机波动率模型由DST=St（（rdt）给出- rft）dt+pVtdWt），S，dVt=κt（θtV^ut- V|ut）dt+λtVutdBt，V=V，dhW，Bit=ρtdt，而对于挥发性建模，这一类的形式为dst=St（（rdt- rft）dt+VtdWt），S，dVt=κt（θtV^ut- V|ut）dt+λtVutdBt，V=V，dhW，位=ρtdt，对于某些|u、^u和u∈ R、 我们的模型公式用于外汇市场，但可以根据股票和固定收益市场进行简单调整。在本文中，我们将重点讨论这类随机波动率模型。

文献中一些流行的模型包括：V^uuuHeston的模型方差/波动动力学[18]方差dVt=κt（θt- Vt）dt+λt√VtdBt0 1 1/2 Sch-obel/Zhu【33】波动率dVt=κt（θt- Vt）dt+λtdBt0 1 0GARCH[30，36]方差dVt=κt（θt- Vt）dt+λtVtdBt0 1反向伽马波动率dVt=κt（θt- Vt）dt+λtVtdBt0 1 13/2模型【25】方差dVt=κt（θtVt- Vt）dt+λtV3/2tdBt1 2 3/2Verhulst[9，26]挥发性dVt=κt（θtVt- Vt）dt+λtVtdBt1注意，Verhulst模型也被命名为Logistic模型和XGBM模型。本文致力于详细说明具有时间相关参数的随机波动率模型的所谓混合解的s二阶展开如何导致对欧式看跌期权价格的代理。这种近似总是根据某些特定的迭代积分。然后，我们证明了这些迭代积分服从一个方便的递归格式。这不仅导致近似基本上是闭合形式，而且还导致快速校准方案。我们的方法的可操作性在很大程度上取决于潜在方差过程的动态性。我们的方法扩展了[14]中的方法，其中赫斯顿模型考虑了常数参数。我们的贡献如下。我们将扩展方法应用于具有时间依赖性p参数的Heston和GARCH Diffusion随机波动率模型。特别是，GARCH差异模型是从业者更喜欢的非有效模型的一个示例，参见示例【10、15、21】。包括稳健误差分析，设计快速校准方案，并给出广泛的数值结果。

各节的组织如下：存在其他类别的随机波动率模型，例如，指数Ornstein-Uhlenbeck模型[35]不是这两类模型的一部分。第2节详细介绍了初步计算，其中我们将看跌期权价格表示为混合溶液。完成后，将执行二阶泰勒展开，根据基础varianceprocess函数的许多期望来表示近似公式。第3节详细介绍了如何通过改变测量技术，为第2节中获得的这些期望推导出更方便的表达式。具体而言，我们重写了spot STas一个方便的表达式，以便构造一个Dol\'eans Dade指数项，从而定义Radon Nikody m导数。这个术语允许我们改变度量，允许更方便的计算。第4节介绍了具体模型。由于假设了精确动力学，目标是根据第3节的预期，推导特定迭代积分的表达式。特别是，我们考虑了Heston和GARCH分歧模型。在第5节中，我们进行了误差分析，根据基础方差过程的高阶矩将误差限定在展开式中。在第6节中，在分段常数参数的假设下，我们得到了定价公式的闭式表达式。此外，我们还设计了一种快速校准方案。具体地说，我们证明了第4节中的定价公式中间的迭代积分满足一些方便的递归性质。第7节专门针对赫斯顿和加什迪扩散模型进行数值误差和敏感性分析。2.

预备阶段在动态St=St（（rdt）之后提供方差σ的点S- rft）dt+√σtdWt），S，dσt=α（t，σt）dt+β（t，σt）dBt，σ，dhW，Bit=ρtdt，其中W和B是具有确定性、依赖时间的瞬时相关（ρt）0的布朗运动≤t型≤T、 确定过滤概率的速度(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 Q）。这里T是一个时间范围，其中（rdt）0≤t型≤Tand（rft）0≤t型≤分别对确定性、时间依赖性的国内和国外利率进行皮重计算。此外，ρt∈ [-1，1]对于任何t∈ [0，T]。此外，（Ft）0≤t型≤（W，B）产生的过滤满足通常的假设。在下文中，E（·）表示Q下的期望值，其中Q是一个国内风险中性指标，我们认为应选择E。假设2.1。σ具有一个非负的路径唯一强解，它在有限时间内不会爆炸。在本文的其余部分，我们将强制执行Assumption2.1。我们注意到，确保解的路径唯一性的有效条件是通常的It^o条件（即漂移和扩散系数上的Lipschitz连续性）或Yamada Watanabe条件（文献[37]中的定理1]）。此外，为了确保溶液不会在瞬间爆炸，漂移和扩散系数上的线性生长条件是足够的。备注2.1（几何布朗运动过程）。设B为任意布朗运动过程。我们称Y为GBM（Y；ut，νt），如果它解出SDEdYt=utYtdt+νtYtdPBt，Y=Y，其中u和ν适用于布朗过滤并满足一些正则性条件（例如，u和ν在[0，t]上有界是有效的）。我们将布朗运动分解为Wt=RtρudBu+Rtp1- ρudZu，其中zi是Q下的布朗运动，使得B和Z是独立的。

然后，注意S是aGBM（S；rdt- rft，√σt），我们得到表达式st=SξTexpZT（rdt- rft）dt-ZTσt（1- ρt）dt+ZTqσt（1- ρt）dZt,式中ξt：=expZtρu√σudBu-Ztρuσudu.假设2.2。支持∈[0，T]lim supx→∞ρtβ（t，x）√x+α（t，x）x<∞.在本文的其余部分，我们将强制执行Assumption2.2。引理2.1。ξ是鞅。证据该证明受[27]定理2.4（i）的启发。首先注意dξt=ρt√σtξtdBt，ξ=1。（2.1）设τn：=inf{t≥ 0：σt>n}是第一次σ穿过n级。然后是τn↑ ∞ Q a.s.定义ξnt：=ξt∧τn。然后通过求解方程（2.1）直至τn，这将产生路径唯一强解ξnt=expZtρu√σu{u≤τn}dBu-Ztρuσu{u≤τn}du.由于上述It^o积分的被积函数是有界的，（ξnt）是每个n的鞅∈ N、 此外，ξ是一个非负局部鞅。因此，通过Fatou引理，我们得到ξ是非负上鞅。我们现在的目标是显示supne（ξnTlog（ξnT））<∞此后，根据Vall'ee-Poussin定理，（ξnT）是一致可积的，因此E（ξT）=1。结合ξ是非负上鞅的事实，这就意味着ξ是鞅。现在，ξnTlog（ξnT）=ξnTZTρt√σt{t≤τn}dBt-ZTρtσt{t≤τn}dt.很明显，ξnTis是一个氡-尼科德姆导数，它定义了一个测度^Q。因此，根据Girsanov\'stheorem，^Bt=Bt-Rtρu√σu{u≤τn}du是^Q下的布朗运动。用^E表示^Q下的期望。ThenE（ξnTlog（ξnT））=EξnTZTρt√σt{t≤τn}dBt-ZTρtσt{t≤τn}dt=^EZTρt√σt{t≤τn}d^Bt+ZTρtσt{t≤τn}dt=ZT^E（ρtσt{t≤τn}）dt≤ZT^E（σt）dt。因此，有必要为t确定^e（σt）上的界≤ T在^Q下，我们有σt=hρtβ（t，σt）√σt{t≤τn}+α（t，σt）idt+β（t，σt）d^Bt。现在，作为假设2.2的结果，这意味着存在一些常数M>0，使得ρtβ（t，x）√x+α（t，x）≤ M（1+x），（2.2）表示所有x≥ 0，在t中均匀≤ T利用等式。

（2.2）屈服强度σt≤ M（1+σt）dt+β（t，σt）d^Bt。因此^E（σt）≤^Eσ+MZt（1+σu）du+Ztβ（u，σu）d^Bu= σ+MZt（1+^E（σu））du。定义mt：=^E（σt）。重新定义常数后，我们得到以下积分不等式mt≤ c（1+t）+cZtmudu。然后通过Gronwall不等式，我们得到≤ c（1+t）等。出租：=e-RTrdtdtE（K- ST）+是S上看跌期权的价格。用（FBt）0表示≤t型≤t由布朗运动B产生的过滤，以及N（·）和φ（·）分别为标准正态分布和密度函数。提案2.1。Put可以表示为Put=Ee-RTrdtdtE（K）-ST）+FBT= EPutBS公司SξT，ZTσT（1-ρt）dt,（2.3）其中putbs（x，y）：=Ke-RTrdtdtN(-d-) - xe公司-RTrftdtN(-d+，d±（x，y）：=d±：=ln（x/K）+RT（rdt- rft）dt√y±√y、 （2.4）证明。这是混合溶液法的结果，详见附录a。命题2.2（二阶看跌期权价格近似）。二阶看跌期权价格近似值，由看跌期权（2）表示，由看跌期权（2）=看跌期权（^x，^y）给出+xxPutBS（^x，^y）SE（ξT- 1)+y yPutBS（^x，^y）EZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt+ xyPutBS（^x，^y）SE（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt,（2.5）式中（^x，^y）：=（S，RT（1- ρt）E（σt）dt）。证据请注意，Putbs是平滑函数的组合。因此，PutBSis在（R+；R+）上光滑。我们泰勒展开P utBSaround平均值SξT，RTσT（1- ρt）dt最多二次订单。根据引理2.1，膨胀点为（^x，^y）=（S，RT（1- ρt）E（σt）dt）。ThusPutBS公司SξT，ZTσT（1- ρt）dt≈ PutBS（^x，^y）+xPutBS（^x，^y）S（ξT- 1) + yPutBS（^x，^y）ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt+xxPutBS（^x，^y）S（ξT- 1)+y yPutBS（^x，^y）ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt+ xyPutBS（^x，^y）S（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt.取期望值得到看跌期权价格的二阶近似值，即看跌（2）。注意，PutBS（^x，^y）处的th是一个确定性量，因此一阶项将消失。