关于混合解的闭式近似

PutBSare的偏导数类似于Black-Scholes希腊语，这是明确的，并在附录B中提供。为了简化Put（2），需要做的是计算命题2.2中的每个期望值，即e（ξT- 1） ，（2.6）EZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt, （2.7）E（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt. （2.8）备注2.2（看涨期权）。在考虑看涨期权的定价时，近似方法基本上与看跌期权的定价相同。很明显，附录A中的混合解决方案方法可以很容易地适用于看涨期权的情况，在这种情况下，我们得到的看涨期权：=e-RTrdtdtE（ST-K） +=Ee-RTrdtdtE（ST- K） +| FBT= E呼叫数SξT，ZTσT（1- ρt）dt,其中callbs（x，y）：=xe-RTrftdtN（d+）- Ke公司-RTrdtdtN（d-).此外，put callbs（x，y）的调用奇偶校验状态- PutBS（x，y）=xe-RTrftdt- Ke公司-RTrdtdt。因此，二阶Call偏导数将与二阶Put偏导数相同。比较看涨期权和看跌期权的混合解表达式，可以看出看涨期权和看跌期权二阶近似值之间的唯一区别是零阶项。因此，在本文中，我们只需要考虑看跌期权的定价。备注2.3（希腊语）。通过对P ut（2）的表达式进行简单的区分，可以获得看跌期权的二阶近似值。附录C中提供了这些表达式。期望值的计算MMA 3.1。Let（Qn）n≥0是一系列等效于Q的概率测度，由Radon-Nikodym导数Dqn+1dQn：=ξ（n）T：=exp定义ZTρu√σudBnu-ZTρuσudu, ξ（0）T：=ξT，n≥ 0，其中Q：=Q，B：=B。在Qn下，Bnt：=Bn-1吨-Rtρu√σudu是布朗运动。证据这是Girsanov定理的一个明显结果。备注3.1。

通过引理3.1，我们有以下关系：ξ（n）T=ξ（n-1） Te公司-RTρuσudu，n≥ 1，（3.1）和qn（X）=等式n-1（Xξ（n-1） T），等式-1（X）=等式nxξ（n-1） T！。（3.2）这些关系允许对Q下的期望值进行替代性且通常更方便的计算。使用Remark3.1，我们现在可以为Q中的期望值给出替代表达式。（2.6）至（2.8）。3.1. E（ξT- 1). 首先，展开式（2.6）给出（ξT- 1） =E（ξT）- 这第二个时刻可以通过一些措施的改变来解决。E（ξT）=EQ（ξT）=EQ（ξ（1）TeRTρTσtdt）=EQ（eRTρTσtdt）。（3.3）在常数参数的假设下，我们可以通过某些过程σ的空间变换显式地计算公式（3.3）。然而，对于我们的kn owledge，当参数与时间相关时，不存在明确的解决方案，请参见【20】。相反，我们通过将tρtσtdt的平均值周围的指数扩展到二阶来近似公式（3.3）。EQ（eRTρtσtdt）≈ EQ（eRTρtEQ（σt）dt“1+ZTρt（σt- 等式（σt））dt+ZTρt（σt- 等式（σt））dt#)= eRTρtEQ（σt）dt（1+等式”ZTρt（σt- 等式（σt））dt#)= eRTρtEQ（σt）dt1+ZTρtZtρsCovQ（σs，σt）dsdt,我们使用的事实是RTf（t）dt= 2RTf（t）Rtf（s）dsdt。3.2. ERT（1-ρt）（σt- E（σt））dt. 为了计算公式（2.7），我们使用第3.1节中的相同方法。EZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt= 2ZT（1- ρt）Zt（1- ρs）Cov（σs，σt）dsdt。3.3. En（ξT- 1)RT（1- ρt）（σt- E（σt））dto、 混合期望公式（2.8）的计算（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt=ZT（1- ρt）E（ξTσT）- E（σt）dt=ZT（1- ρt）EQ（σt）-E（σt）dt。4.

特定模型的定价我们现在为现货及其基础差异过程引入了特定的动态。从第3节可以看出，简化P ut（2）的表达式在很大程度上取决于α（t，σt）=α（σt），β（t，σt）=β（σt）和ρt=ρ。原始度量值Q下方差过程σ的可跟踪性，以及特殊度量值Q和Q。备注4.1（关键过程的符号）。L et（|κt）0≤t型≤T、 （|θT）0≤t型≤Tand（￠λt）0≤t型≤Tbe时间相关、确定性、三次正且在[0，T]上有界。设B为任意布朗运动。我们将使用以下术语：（1）如果▄V solvesd▄Vt=▄κt（▄θt-~Vt）dt+~λtq▄Vtd▄Bt，▄V=▄V，那么我们称▄V为CIR（▄V；▄κt，▄θt，▄λt）。（2） 如果▄V solvesd▄Vt=▄κt（▄θt-~Vt）dt+~λt▄Vtd▄Bt，▄V=▄V，那么我们称▄V为IGa（▄V；▄κt，▄θt，▄λt）。我们将读者引向附录D，以获取有关这些过程的更多信息。4.1. 赫斯顿模型。以方差V与点S相对应，紧随Heston DynamicSt=St（（rdt- rft）dt+pVtdWt），S，dVt=κt（θt- Vt）dt+λtpVtdBt，V=V，dhW，Bit=ρtdt，（4.1），其中（κt）0≤t型≤T、 （θT）0≤t型≤Tand（λt）0≤t型≤皮重与时间相关、确定性、严格正性，并受[0，T]约束。很明显，等式（4.1）中的方差过程V是一个CIR（V；κt，θt，λt）。备注4.2。请注意，赫斯顿模型满足假设2.2，自上世纪90年代以来∈[0，T]lim supx→∞ρtλt√x个√x+κt（θt- x） x=支持∈[0，T]lim supx→∞ρtλt- κt+κtθtx< ∞.因此，根据引理2.1，ξ是鞅。引理4.1。Let（Qn）n≥0是一系列等效于Q的概率测度，由Radon-Nikodym导数Dqn+1dQn：=ξ（n）T：=exp定义ZTρupVudBnu-ZTρuVudu, ξ（0）T：=ξT，n≥ 0，其中Q：=Q，B：=B。在Qn下，Bnt：=Bn-1吨-Rtρu√Vudu是布朗运动。Forn公司≥ 0，测量值QnaredVt=（κt）下V的动力学- nλtρt）θtκtκt- nλtρt- 及物动词dt+λtpVtdBnt，它是一个CIR（v；κt- nλtρt，θtκtκt-nλtρt，λt）。证据

这个引理简单地由引理3.1得到，然后用新的测度Qn表示V。因此，方差过程V在所考虑的所有度量下都是CIR过程。4.1.1. 赫斯顿框架下的定价。赫斯顿框架下看跌期权价格的二阶近似值由以下定理给出。定理4.1（二阶赫斯顿看跌期权价格）。设^x=砂^y=ZT（1- ρt）E（Vt）dt=ZT（1- ρt）ve公司-Rtκzdz+中兴通讯-Rtuκzdzκuθududt。赫斯顿模型中看跌期权价格的二阶近似值，表示为看跌（2）H，isPut（2）H=看跌期权（^x，^y）+xxPutBS（^x，^y）SE（ξT- 1)+y yPutBS（^x，^y）EZT（1- ρt）（Vt- E（Vt））dt+ xyPutBS（^x，^y）SE（ξT- 1)ZT（1- ρt）（Vt- E（Vt））dt,（4.2）式中（ξT- 1)≈ eRTρtEQ（Vt）dt1+ZTρtZtρsCovQ（Vs，Vt）dsdt- 1，等式（Vt）=ve-Rtκz-2λzρzdz+中兴通讯-Rtuκz-2λzρzdzκuθudu，CovQ（Vs，Vt）=e-Rtsκz-2λzρzdz·Zsλue-2Rsuκz-2λzρzdzve公司-Ruκz-2λzρzdz+Zue-Rupκz-2λzρzdzκpθpdpdu，EZT（1- ρt）（Vt- E（Vt））dt= 2ZT（1- ρt）Zt（1- ρs）·e-RtsκzdzZsλue-2Rsuκzdzve公司-Ruκzdz+Zue-Rupκzdzκpθpdp杜邦ds！dt、andE（ξT- 1)ZT（1- ρt）（Vt- E（Vt））dt=ZT（1- ρt）（ve-Rtκz-λzρzdz- e-Rtκzdz+Zt公司e-Rtuκz-λzρzdz- e-Rtuκzdzκuθudu）dt。证据使用命题2.2并将第3节改编为赫斯顿框架。V的力矩与CIR过程的力矩相对应，见附录D.1。4.2. GARCH扩散模型。假设方差为V的点S遵循GARCHdi ffusion dynamicSt=St（（rdt-rft）dt+pVtdWt），S，dVt=κt（θt- Vt）dt+λtVtdBt，V=V，dhW，Bit=ρtdt，（4.3），其中（κt）0≤t型≤T、 （θT）0≤t型≤Tand（λt）0≤t型≤皮重与时间相关、确定性、严格正且有界于[0，T]。很明显，等式（4.3）中的方差过程V是一个IGa（V；κt，θt，λt）。备注4.3。

与赫斯顿模型不同，GARCH扩散模型不满足假设2.2，因为∈[0，T]lim supx→∞ρtλtx√x+κt（θt- x） x=支持∈[0，T]lim supx→∞ρtλt√x个- κt+κtθtx= ∞.因此，不能保证ξ确实是鞅。相反，我们现在假设ξ是一个鞅，并证明，即使它确实是一个鞅，它也不会给我们的展开过程带来任何好处。引理4.2。Let（Qn）n≥0是一系列等效于Q的概率测度，由Radon-Nikodym导数Dqn+1dQn：=ξ（n）T：=exp定义ZTρupVudBnu-ZTρuVudu, ξ（0）T：=ξT，n≥ 0，其中Q：=Q，B：=B。在Qn下，Bnt：=Bn-1吨-Rtρu√Vudu是布朗运动。Forn公司≥ 0，测量值QnaredVt=κt下V的动力学θt- Vt+nλtρtκtV3/2tdt+λtVtdBnt。证据这个引理简单地由引理3.1得到，然后用新的测度Qn表示V。备注4.4。让Qnbe定义为引理4.2。根据措施Qn，n≥ 1，V的解没有已知的表达式，矩也没有已知的表达式。备注4.4的有效性。引理4.2中的SDE是线性扩散型SDE。从附录E可知，如果存在显式解，则由vt=Yt/Ft给出，其中F是GBM（1；λt，-λt）和Y是积分方程（以微分形式书写）dYt的解=κtθtFt- κtYt+nλtρtκtY3/2tF-1/2吨dt。定义：=κtθtft和Ct：=nλtρtκtF-1/2吨。请注意，At和Ct都是不可区分的int.ThusdYt=在-κtYt+CtY3/2tdt。据我们所知，即使A和C是常数，文献中也没有这类积分方程的显式解。至于明确的时刻，还不清楚如何解决这个问题。文献中似乎没有解决这一问题的方法，尤其是在时间相关参数的情况下，请参见第4.4章，以获取显式可解SDE的综合列表。

此外，由于不存在显式解，我们不能使用通过SDE解逼近矩的方法。4.2.1. GA-RCH差异框架下的定价：ρ=0。在GARCH扩散模型中，违反了假设2.2，因此无法保证ξ是鞅。此外，假设ξ是鞅也没有帮助，因为测量技术的改变给V带来了难以处理的动力学；我们不能求助于它来计算期望值。然而，在ρ=0 a.e.的情况下，这意味着ξT=1 Q a.s.，人们会注意到，需要改变测量值的展开式中的项将消失。当然，成本是额外的限制性假设，即现货和波动率的变动是不相关的。我们希望通过将这种方法与小型相关扩展方法相结合，在未来的工作中缓解这一问题，请参见【3，4】。定理4.2（二阶GARCH看跌期权价格）。假设ρ=0 a.e.Let^x=Sand^y=RTE（Vt）dt。然后，GARCH差异模型中的二阶看跌期权价格，表示为看跌（2）GARCH，isPut（2）GARCH=看跌期权（x，y）+y yPutBS（^x，^y）ZTZtCov（Vs，Vt）dsdt。（4.4）附录D中给出了Cov（Vs，Vt）和E（Vt）。2.证明。在ρ=0 a.e的假设下使用命题2.2，然后注意ZT（Vt- E（Vt））dt= 2ZTZtCov（Vs，Vt）dsdt。误差分析在我们的展开式中，我们根据相应方差过程的高阶矩给出了误差项的显式界。具体地说，这意味着在函数PutBS的二阶展开中限定剩余项，对于ρ6=0的情况，与eRTρuσudu展开相关的错误项。我们需要错误项的显式表达式。这些由泰勒定理给出，我们将在这里给出fix表示法。我们只考虑高达二阶的结果。定理5.1（f:R的泰勒定理→ R） 。

让A R、 B类 R和f：A→ B是关于点a的闭区间中的C函数∈ A、 Thenf（x）=f（A）+f′（A）（x- a） +f′（a）（x）- a） +R（x），其中余数R由R（x）=Zxa（x）给出- u） f′（u）du=（x）- a） Z（1-u） f′′（a+u（x- a） ）du。我们希望积分边界是从0到1，而不是从a到x，因为a和x将对应于随机变量。定理5.2（g:R的泰勒定理→ R） 。让A R、 B类 R和g：A→ B是关于点（a，B）的封闭球中的C函数∈ A、 Theng（x，y）=g（A，b）+gx（A，b）（x- a） +gy（a，b）（y）- b） +gxx（a，b）（x）- a） +gy y（a，b）（y）- b） +gxy（a，b）（x）- a） （y）- b） +R（x，y），其中余数R由R（x，y）=x |α|=3 |α|α！α!Eα（x，y）（x- a） α（y- b） α，Eα（x，y）=Z（1-u）xαyαg（a+u（x- a） ，b+u（y- b） ）du，α：=（α，α）和|α|：=α+α。5.1. 错误项的表达式。由展开产生的总误差的表示可由以下定理总结。定理5.3（总展开误差）。作为基本方差过程σ的函数，让EBS（σ）和▄E（σ）分别对应于putbs和eRTρuσudu展开所引起的误差。一般方差过程σ的泰勒表达式产生的误差为（σ）=EBS（σ）+e（σ），其中EBS（σ）=X |α|=3 |α|α！α!EαSξT，ZTσT（1- ρt）dtSα（ξT- 1)αZT（1- ρu）（σu- E（σu））duα、 EαSξT，ZTσT（1- ρt）dt=Z（1- u）xαyαPutBS（F（u），G（u））du，F（u）：=S+uS（ξT- 1） ，G（u）：=ZT（1- ρt）E（σt）dt+uZT（1- ρt）（σt-E（σt））dt,和▄E（σ）=xxPutBS（^x，^y）SξTe-RTρuσuduZTρu（σu- 等式（σu））du·Z（1- u） eRTρmEQ（σm）dmeuRTρm（σm-方程式（σm））dmdu。证据

首先，我们处理与函数PutBS相关的错误项，即EBS（σ）。回想一下PutBSaround the point（^x，^y）的扩展：=（S，RTE（σt）（1- ρt）dt）在（Sξt，RTσt（1）处评估- ρt）dt）对于一般方差过程σ：PutBSSξT，ZTσT（1- ρt）dt= PutBS（^x，^y）+xPutBS（^x，^y）S（ξT- 1) + yPutBS（^x，^y）ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt+xxPutBS（^x，^y）S（ξT- 1)+y yPutBS（^x，^y）ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt+ xyPutBS（^x，^y）S（ξT- 1)ZT（1- ρt）（σt- E（σt））dt+ EBS（σ）。使用函数P utBS的定理5.2，这给出了误差项asEBS（σ）=X |α|=3 |α|α！α!EαSξT，ZTσT（1- ρt）dtSα（ξT- 1)αZT（1- ρu）（σu- E（σu））duα、 EαSξT，ZTσT（1- ρt）dt=Z（1- u）xαyαPutBS（F（u），G（u））du，F（u）：=S+uS（ξT- 1） ，G（u）：=ZT（1- ρt）E（σt）dt+uZT（1- ρt）（σt-E（σt））dt.现在我们研究与EξT计算相关的误差项，即|E（σ）。让我们毫无期待地看一下这个术语。ξT=ξTe-RTρuσudueRTρuσudu。我们围绕Q下指数参数的期望展开eRTρuσuduar。注意ξTe-RTρuσudui是将测量值从Q变为Q的Radon-Nikodym导数。扩展到二阶给定RTρuσudu=eRTρuEQ（σu）du1+ZTρu（σu- 等式（σu））du+ZTρu（σu- 等式（σu））du!+ZTρu（σu- 等式（σu）duZ（1- u） eRTρmEQ（σm）dmeuRTρm（σm-方程式（σm））dmdu。最后，定价公式中ξTin前面的系数为xxPutBS（^x，^y）S。因此，错误项▄E（σ）可以写成▄E（σ）=xxPutBS（^x，^y）SξTe-RTρuσuduZTρu（σu- 等式（σu））du·Z（1- u） eRTρmEQ（σm）dmeuRTρm（σm-方程式（σm））dmdu。推论5.1（总展开误差：ρ=0）。ρ=0的广义变分过程σ的泰勒展开所引起的误差，用e（σ）表示，由（σ）给出=ZT（σt- E（σt））dtZ（1- u）y yyPutBS公司S、 克（u）du，~G（u）：=中兴通讯（σt）dt+uZT（σt- E（σt））dt,当ρ=0 a.e.5.2时，这就是EBS（σ）。边界错误项。现在的希望是能够根据方差过程σ的高阶矩来限制E（E（σ））。

为此，我们将显示partialderivativesPutBS公司xαyα（F（u），G（u））表示u∈ （0，1），其中α+α=3，是T和k的函数，其有界于R+。引理5.1。考虑PUTB的三阶偏导数，PutBS公司xαyα，其中α+α=3。设^f（x）：=ln（x/K）+RTrdt公司- rft公司dt。然后利米↓0PutBS公司xαyα^f（x）=0=∞.此外，这是偏导数爆炸的唯一情况。证据在下面，我们将重复地让f是一个任意阶多项式，也让A是一个任意常数。也就是说，它们在每次使用上可能不同。从omAppendixB可以看出，作为x和y的函数，三阶偏导数是形式φ（d+）xnym/2F（d+，d-,√y） ，n∈ Z、 m级∈ N、 （5.1）式中，我们重新调用d±=d±（x，y）=ln（x/K）+RTrdt公司- rft公司dt公司√y±√y、 φ（x）=√2πe-x/2。以公式（5.1）的形式书写，很明显，只有当x或y趋向于0或不完整时，偏导数才能爆炸。我们只需要独立于其他变量查看这些限制。在下面，我们要说f=o（g）当且仅当limx→∞f（x）g（x）=0且f=o（g）i且仅当limx↓0f（x）g（x）=0。（1） 对于固定x：根据公式（5.1），偏导数的形式为Aφ（d+）F（d+，d-,√y） ym/2。可以表明φ（d+）=Ae-Dy公司-Dy，其中D=（^f（x））和D=1/8。因此，两者都是非负的。然而，当D>0或D=0时，需要考虑两种情况。（a） 假设D>0，则^f（x）6=0。因为F是d+中的多项式，所以d-, 和√y、 我们可以说F（d+，d-,√y） =o（1/yM/2）和F（d+，d-,√y） =o（yM/2），对于某些M，M∈ N、 因此φ（d+）F（d+，d-,√y） ym/2= |A | e-Dy公司-Dyo（1/yM/2）yM/2以及φ（d+）F（d+，d-,√y） ym/2= |A | e-Dy公司-Dyo（yM/2）yM/2。然后作为y↓ 0或y→ ∞, 偏导数趋于0。（b） 假设D=0，则^f（x）=0。因此d+=√y和φ（d+）=Ae-显然，F（d+，d-,√y） =PNi=0Ciyi/2对于某些N∈ N和常数C，中国。

因此φ（d+）F（d+，d-,√y） ym/2= |A | e-Dy | PNi=0Ciyi/2 | ym/2。此数量趋向于0（y）→ ∞, 因为指数衰减使得多项式增长/衰减不相关。但是，当y↓ 0，则该极限取决于多项式F的ds。如果N>m并且如果C，C，Cmare非零，那么这个量趋向于∞ 作为y↓ 如果N<m，则该量趋于∞ 作为y↓ 对于每一个偏导数，可以证明这两种情况中的任何一种都是令人满意的。因此，部分偏导数往往∞ 当y↓ 总之，对于固定的x，如果^f（x）=0，则如果y，则偏导数趋向于0→ ∞, Ando公司∞ 如果y↓ 当^f（x）6=0时，如果y，偏导数趋于0↓ 0或y→ ∞.（2） 对于固定的y：根据公式（5.1），偏导数的形式为φ（d+）F（d+，d-)xn。可以看出φ（d+）=Ax-Eln（x）-E、 其中E>0和E∈ R、 此外，因为F是d+和d中的多项式-, 然后| F（d+，d-)| ≤NXi=0 | Ci|lni（x）,对于某些N∈ N和常数C。中国。很明显F=o（x）和F=o（lnN+1（x））。因此φ（d+）F（d+，d-)xn公司= |A | x-Eln（x）-E-否（x）。然后作为x→ ∞, 该数量趋于0。此外φ（d+）F（d+，d-)xn公司= |A | x-Eln（x）-E-否（lnN+1（x））。然后作为x↓ 0此数量趋向于0。因此，对于固定y，偏导数趋向于0 asx↓ 0或x→ ∞.然而，我们将关注u 7的行为→xαyαPutBS（F（u），G（u）），这意味着我们必须同时考虑这两个参数，因为它们都是u引理5.2的线性函数。考虑PUTB的三阶偏导数，PutBS公司xαyα，其中α+α=3as以及线性函数h，h：[0，1]→ R+，使得h（u）=u（d- c） +烛光（u）=u（d- c） +c。