传染病在不同地点之间的传播

参见附录B.4.2相同位置、线性效用和统一成本为了保持分析的可处理性，我们将我们的模型限制为系统的线性规格（4）：o从流行病参数的角度来看，假设两个位置a和B是相同的，所以νa=νB=ν∈ （0，1）和qA=qB=q∈ (0, 1);o 代理商的出口成本约为0∈ A、 在区间[0，1]上均匀分布（类似于b∈ B） ，因此累积分布是相同的，形式为FA=FB=U（0，1）：FA（c）=FB（c）=0，对于c≤ 0c，用于c∈ [0，1]1，用于c≥ 1、特别是，最大和最小成本分别为1和0假设交易产生的总公用设施（pA和pB）与所在地的感染率呈线性关系：pA（xA（t），xB（t））：=1- xA（t），pA（xA（t），xB（t））：=1- xB（t）。然后，可达到的最大和最小总效用分别归一化为1和0。有了这些假设，方程（3）变成：FA{pB- pA}=FA{xA- xB}=0，如果xA- xB<0xA- xB，如果0≤ xA公司- xB公司≤ 11，如果1<xA- xB=最大值{0，xA- xB}，类似地，FB=max{0，xB- xA}。然后，我们可以按如下方式重写系统（4）：ddtxA=ν（1- 最大值{0，xA- xB}）hxA（1- xA）（xA- q） （1）- 最大值{0，xA- xB}）+（xA+xB- 2xAxB）最大{0，xB- xA}i- xAmax{0，xA- xB}ddtxB=ν（1- 最大值{0，xB- xA}）hxB（1- xB）（xB- q） （1）- 最大值{0，xB- xA}）+（xA+xB- 2xAxB）最大{0，xA- xB}i- xBmax{0，xB- xA}。（6） 在附录C中，我们推导了该系统的特性，可总结如下。该系统在单位平方[0，1] R、 它在动力学下是不变的，并且相对于对角质R是对称的（命题C.3和C.4）。

这个系统有三个平衡点（命题6）：o（xA，xB）=（0，0）和（1，1），它们是渐近稳定状态；o（xA，xB）=（q，q），这是一个不稳定的鞍点。有趣的是，研究两个稳定平衡吸引物的盆地，并描述盆地边界，我们称之为分界线C。如图4所示，随着时间t的推移，根据参数ν和q，解进入单位平方，或者沿着[q，1]×{0}段或沿着{1}×[0，q]段穿过边界，最终收敛到{q，q}作为t→ ∞（提案C.9）。在附录D中，我们表明，虽然分界线C无法解析描述，但它可以很好地近似线性。在附录D中，我们还通过广泛的数值模拟网格展示了这种近似的良好精度。这将使我们能够进行比较静力学分析，然后将在下面的第5节中使用。更准确地说，在命题中。1和引理D.2我们给出了C及其与单位平方[0，1]边界相交点的显式近似C。图5显示了安第斯山脉与安第斯山脉之间的异同。根据参数ν和q，曲线E下的面积要么是梯形，要么是三角形，很容易用解析法计算。通过将该面积视为曲线C下面积的近似值，而曲线C下的面积不可能通过解析计算得到。在第5节中，使用此线性近似获得的面积也将用于比较静力学分析。

结果也如图6所示。记住xA，xB∈ [0, 1].图4：无病和完全地方病平衡（0，0）和（1，1）的吸引盆地，用于改变流行病参数ν，q.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0xAXB参数ν=0.7，q=0.2.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0xAXB参数ν=0.7，q=0.4.0.0.2 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0xAXB参数ν=0.4，q=0.2.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0xAXB参数ν=0.4，q=0.4。Mathematica(R)中的模拟绘制向量场定义系统（6）和两个渐近稳定状态（xA，xB）=（0，0）和（1，1）（分别以白色和灰色着色）的吸引力基础。箭头表示每个点（xA、xB）的矢量场定义系统（6）∈ [0，1]并确认单位平方是不变量，对角线、超对角线和次对角线“三角形”也是不变量。此外，从鞍点（q，q）可以识别分界线曲线，不稳定的分界线与对角线重合，而稳定的分界线，即C，构成吸引盆地边界的一部分，从而将它们分开。最后，请注意，随着检疫q的增加，系统呈现出越来越大的无病平衡（0，0）的吸引盆地，这是由于更容易避免感染这一事实。平方点为（η，0）和（0，η），即。

分界线C与命题C.9中提到的水平轴和垂直轴的交点。类似地，三角形点是（1，ζ）和（ζ，1）。图5：分隔线C及其线性近似值的比较C0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0xAXB参数ν=0.4，q=0.2.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0xAXB参数ν=0.7，q=0.2。绘制线性化分界线C（虚线）并与实际分界线C（连续黑色曲线）进行比较。eC是鞍（q，q）高拱度中C的一阶近似值。图6：三角形/梯形参数的近似面积ν=0.4，q=0.2。参数ν=0.4，q=0.4。三角形/梯形的近似区域（网格阴影区域），由感兴趣的矩形中的linearapproximationeC（虚线）定义。5关于外部冲击的比较静态我们现在将注意力集中在从第4.2节附录C和附录D中进行的系统分析（6）得出的结论上。我们将比较以下两种情况：o首先，两个地点之间不允许进行跨国贸易，即被视为分离和自给自足；o其次，如前一节所述，允许进行跨国交易。通过比较这两种情况，我们可以分析非常“程式化的全球化”（第二种情况）对感染率中潜在冲击的系统抵抗力的影响。取决于冲击的“强度”和“维度”，“自给自足”或“全球化”可能有利，也可能不利。特别是，相互关联的系统可以更好地吸收小冲击，而不受其维数的影响：直观地说，冲击在更大的系统中更容易稀释。

相反，令人惊讶的是，当这些地点相互关联时，大的冲击可能会或可能不会产生更坏的后果，这取决于用于恢复的资源量（由参数q正式确定）。5.1在美国自给自足的情况下，考虑两个自给自足的地区，在这两个地区之间不可能进行贸易，并且每个地区都受到第3节的单一地区模型描述的疾病传播动态的影响。这两个位置A和B的两个感染率xA（t）和xB（t）随时间的演变可以写成两个（非耦合）微分方程组：ddtxA=νxA（1- xA）（xA- q） ddtxB=νxB（1- xB）（xB- q） 。（7） 动力学和结果如图7（左）所示，并总结在以下命题中。提案5.1。

给定两个自治位置A和B，系统（7）具有以下性质：o它相对于对角线对称，对角线是不变集。R，{（xA，xB）中的超对角集和次对角集∈ R： xA<xB}和{（xA，xB）∈ R： xA>xB}，也是不变的；o单位平方[0，1]不变；odxadt=dxBdt=0的临界点是：–（0，q），（1，q），（q，0），（q，1），它们都是（不稳定）鞍点；–（q，q），这是一个不稳定点（源）；-（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），它们都是渐近稳定的平衡点。此外，鞍点的分界线曲线是直线xA=0，xB=0，xA=q，xB=q，xA=1和xB=1，这也使得描述[0，1]中稳定点的吸引盆地成为可能：为了与类似的全球化2位置模型进行合理比较，这里我们假设相同的对称流行病参数νa=νB=ν和qA=qB=q。当然，我们只考虑它们与单位平方的交集，这是受感染的Xa和Xb的分数有意义的集合。图7：自给自足和互联位置之间的比较0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0xAxBAutarky，参数ν=0.7，q=0.4.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0xAXB全局化，参数ν=0.7，q=0.4。在两个自给自足地点（左）和两个全球化地点（右）的情况下，疾病传播的动力学具有相同的流行病参数。在这两种情况下，（1，1）的吸引盆为深灰色，而（0，0）的吸引盆为白色。

只有孤独症患者（左）表现出两种部分地方病渐近稳定状态，（0，1）和（1，0），其吸引基为浅灰色[0，q）是（0，0）的吸引盆；o[0，q）×（q，1）是（0，1）的吸引盆；o（q，1）×[0，q）是（1，0）的吸引盆地；o（q，1）是（1，1）的吸引盆地。证据见附录B。如图7（左）所示，点（1，0）和（0，1）起着特殊的作用：它们代表了两个位置中只有一个完全感染，而另一个没有疾病的情况。如果是自给自足，当t=0时的感染起始点属于[0，q）×（q，1]或（q，1）]×[0，q]时，可能会发生这种情况，这将导致动力学分别向（0，1）或（1，0）收敛。图7（右）这也表明，当这两个地区相互联系并全球化时，情况就不可能如此。这一特性将是有关冲击分析的下一节的关键内容。5.2冲击分析根据第3节所述，假设冲击在单位平方[0，1]上随机均匀，并用初始条件向量表示：s=（sA，sB）：=（xA（0），xB（0））。图7和图8显示了当位置被视为自给自足或相连时，点（1，1）吸引盆地的比较。由于这些吸引盆地的形状，我们得到了以下结果。为了简化说明，我们假设冲击均匀分布。对于我们的分析来说，重要的是，我们随机冲击的支持度是单位平方[0，1]，因此我们可以比较atarky和全球化两种制度下的支持度区域。如图8所示：通过将图7中获得的区域并置，以相同的参数ν=0.7，q=0.4，对小冲击和大冲击的系统阻力进行比较。

白色区域，[0，q）和栅格阴影区域（q，1]，描述打击冲击将在何处产生相同的结果，独立于自给自足或全球化的地点。浅灰色区域是指在自给自足的地区，冲击导致局部流行状态的地方，或者在全球化的地区，冲击导致完全恢复的地方。相反，如果全球化，深灰色区域是冲击导致系统完全感染的区域，而如果自给自足，则只有部分感染。给定一个冲击s=（sA，sB），如果它在两个组成部分中都足够大，或者在两个组成部分中都足够小，那么对于自给自足系统和全球化系统，结果是相同的。

特别是：o如果sA<q和sB<q，那么自给自足系统和全球化系统都将能够完全恢复（图8中的白色区域）；o如果sA>q和sB>q，那么这两个系统都将收敛到完全感染的状态（图8中的网格阴影区域）。相反，当两个地点处于自给自足状态或相互连接状态时，主要冲击一个地点所产生的结果是完全不同的。实际上，考虑一个主要针对位置A的“几乎”一维冲击s，即iss=（sA，ε），ε<q<sA。在自给自足的情况下，动力学将收敛到部分流行病平衡：命题5.1和图7（左）表明，a将收敛到完全感染，而B将独立恢复。相反，当A和B像以前一样面对相同的岩石s=（sA，ε）连接时会发生什么？可能会出现两种不同的情况：o如果SAI足够大，并且s=（sA，ε）属于（1，1）的吸引盆地（图8中的深灰色区域），那么全球化的系统将最终被完全感染；o相反，如果SAI仍然大于q但不够大，则（sA，ε）属于（0，0）的盆地（图8中为浅灰色），因此全球化系统将设法从这场冲击中恢复。这一分析表明，两个位置的自给自足系统和两个位置的全球化系统对大型一维冲击的反应非常不同。图8中的深灰色区域由所有可能导致感染传播到两个位置（当它们连接时）或一个位置（当自给自足时）的电击组成。

假设冲击分布均匀，支撑区域内的均匀冲击区域与概率成正比，但以下所有结果也可适用于任何其他冲击分布，记住在更一般的情况下，区域应转化为概率。请注意，假设激波分布是均匀的或连续的，因此没有原子，可以保证一个分量达到0、q或1的概率为零。对称地，主要集中在B的冲击的论点是相同的。图9：比较静态SQ=0.1 q=0.2 q=0.3q=0.4 q=0.5 q=0.6当传染度ν=0.7保持不变时，感兴趣的区域，而隔离q，政策参数，在（0，1）中增加。因此，面积准确地衡量了该体系在这种主要是一维冲击方面的弱点，此外，它还捕捉到了自给自足体系相对于全球化体系的优势。类似地，但以相反的方式，图8中的浅灰色区域显示了全球化系统相对于自给自足系统的优势：属于这些区域的冲击通过连接系统恢复，而在自给自足的情况下，它们会导致局部均衡。5.3系统性阻力与政策了解图8中深灰色区域和浅灰色区域之间的关系是必要的，因为它表明了自给自足系统相对于全球化系统的相对（非）优势。