传染病在不同地点之间的传播

除了R的对角线外，它在任何地方都是连续可微的，即在R \\{（xA，xB）上∈ R： xA=xB}。然而，由于假设模型保证了系统的对称性，我们可以将分析分为三个不同的部分：对角线、超对角线集和次对角线。这使我们可以使用一种策略来获得一些明确的结果。有两种渐近稳定的平衡状态，（xA，xB）=（1，1）和（0，0），第一种对应于两个国家都被完全感染，而第二种对应于两个国家都没有疾病。有一个第三平衡点，（q，q），它是一个不稳定的鞍点。其分界线曲线将渐近稳定状态的吸引盆地分隔开来，如图4所示。然而，值得注意的是，它们并不是可以明确描述的。为了便于解释，让我们用向量表示法重新编写系统（6），如下所示：ddt（xA，xB）=V（xA，xB），（8）其中V（xA，xB）：=（VA（xA，xB），VB（xA，xB））表示所有（xA，xB）∈ Rand VA、Vb是由（6）的第一行和第二行分别定义的2变量实值函数。让我们也用D来表示对角线：{（xA，xB）∈ R： xA=xB}，对角线上方和下方的集合分别由+:= {（xA，xB）∈ R： xA<xB}和-:= {（xA，xB）∈ R： xA>xB}。引理C.1。向量场V相对于对角线D对称，即对于所有（xA，xB）∈ R： V（xB，xA）≡ （VB（xA，xB），VA（xA，xB））。证据证明直接来自V的定义。即使在简单的动力学系统中，也没有已知的方法来分析确定这些曲线。在数值近似方面取得了进展（Cavoretto等人，2011年）。向量场V可以被视为由三个基本部分组成，所有这些基本部分都在整个Rbut上定义，以便在适当限制集合D时，它们与V本身重合，+和-.

下面的lemma规范化了这个想法。引理C.2.1。当限制在对角线D上时，向量场V与Vd（xA，xB）一致：=νxA（1- xA）（xA- q） νxB（1- xB）（xB- q）,反过来，这在R.2中得到了很好的定义。向量字段V（当限制为on时）-与V一致-（xA，xB）：=ν(1 - xA+xB）hxA（1- xA）（xA- q） （1）- xA+xB）i- xA（xA- xB）νhxB（1- xB）（xB- q） +（xA+xB- 2xAxB）（xA- xB）i.3、向量场V在限制时+与V+（xA，xB）一致：=νhxA（1- xA）（xA- q） +（xA+xB- 2xAxB）（xB- xA）iν（1- xB+xA）hxB（1- xB）（xB- q） （1）- xB+xA）i- xB（xB- xA）.证据何时（xA，xB）∈ D、 那么max{0，xA-xB}=最大值{0，xB-xA}=0。由此，第一点来自（6）中定义的V计算。第二点紧随其后，因为当（xA，XB）∈ -, 那么max{0，xA-xB}=xA- xBwhile最大值{0，xB- xA}=0。与第三点类似。提案C.3。系统（6）相对于对角线对称，并且在R中定义良好。对角线D，集合+和-对于系统（6）定义的动力学而言，都是不变量。证据Rf中系统（6）的对称性与V的对称性不同。这意味着对角线D必须是不变的，因此也+, -必须保持不变。由于不变性，当限制在每一个D，+和-. 从前面的引理C.2可以看出，系统定义得很好，因为VD，V-V+在rand上是光滑的，特别是在D上，-和+分别地提案C.4。单位平方[0，1]对于系统（6）定义的动力学是不变的。证据以下引理C.5表示，在单位正方形的边界上，向量场V指向内部。引理C.5。在段（0，1）×{0}上VB（·，·）>0，在段{1}×（0，1）上VA<0。因此，根据对称性，VB<0 on（0，1）×{1}，VA>0 on{0}×（0，1）。证据

从定义来看，所有xA∈ （0，1），它认为VB（xA，0）=νxA>0。类似地，对于所有xB∈ （0，1），则认为VA（1，xB）=-(1 - xB）<0。现在我们可以证明系统（6）有3个临界点，特别是（q，q）是鞍点，其分界线曲线自然形成渐近稳定点（0，0）和（1，1）的吸引盆边界。提案C.6。系统（6）只有三个平衡：o（xA，xB）=（0，0）和（1，1），它们是渐近稳定状态；o（xA，xB）=（q，q），这是一个不稳定的鞍点。此外，鞍（q，q）的两条分界线曲线是这样的，即不稳定线与正方形{（xA，xB）的对角线重合∈ [0，1]：xA=xB}，而稳定分界线是稳定平衡吸引盆地边界的一部分。证据证明直接遵循使用引理C.2，然后应用引理MAC。8.引理C.7。考虑V-, 如引理C.2所述。然后是JacobianJac-（xA，xB）：=五、-（xA，xB）xA公司|五、-（xA，xB）xB公司计算时：o在（0，0）中，其两个特征值均等于-qν<0，对于所有q，ν∈ (0, 1);o 在（1，1）中，其特征值等于-(1 -q） ν和-1.-(1 -q） ν，对于所有q，ν都是负值∈ (0, 1);o 在（q，q）中，其特征值等于qν（1-q） >0，-q（1+ν（1-q） ）<0且相应的特征向量等于（1，1）和-2(1-q） ν，1.考虑V+。类似地，当在点（0，0）和（1，1）中计算时，其雅可比矩阵具有负特征值。然而，当在（q，q）中计算时，特征值与上述相同，qν（1- q） >0和-q（1+ν（1- q） ）<0，但相应的特征向量为（1，1）和(-2(1 - q） ν，1）。证据

定义V-在引理C.2中，点（q，q）中导数的计算得到：Jac-（q，q）=-q（1- ν(1 - q） ）q2（1）- q） qν-(1 - q） qν.该矩阵的特征值和特征向量易于计算。类似地，点（0，0）和（1，1）的计算得出：Jac-(0, 0) =-qν00-qν, 江淮汽车-(1, 1) =-1.- (1 - q） ν10-(1 - q） ν,从中可以得到上述特征值和特征向量。最后一部分来自于对v+对称进行的相同计算。引理C.8。考虑两个向量场V-引理C.2中定义的V+。然后：1。点（0，0），（1，1）和（q，q）是V-和V+分别位于D区∪ -和D∪ +.2.（0，0）和（1，1）对于V-和V+。（q，q）是两个V的鞍座-和V+。证据对于第一点，考虑V-. 需要验证的是∪-, 五、-（xA，xB）=0，当且仅当（xA，xB）是权利要求中考虑的点之一。类似地，对于V+。第二点和第三点直接来自引理C.7。最后，我们重点讨论了萨德尔（q，q）的稳定分界线曲线所起的关键作用，以下用C表示。根据动力系统理论，C被划分为系统（6）的三个不同轨迹/解的图像：C=C-∪ {q，q}∪ C+。在我们的情况下，C-是马鞍（q，q）相对于向量场V的分界线-, 而C+是作为（q，q）相对于V+的分界线得到的一块。下面的结果形式化了图4所示的内容：根据参数ν和q，随着时间t的增加，解C-沿线段[q，1]×{0}或沿{1}×[0，q]穿过其边界进入单位平方，并最终向{q，q}收敛为t→ ∞. 对称地，C+也会发生同样的情况。提案C.9。

设C表示系统（6）鞍点（q，q）的（唯一）稳定分界线。曲线C可以根据构成曲线C的以下三条不同轨迹进行自然分割：C=C-∪ {q，q}∪ C+。然后是C-∩[0，1]包含在[q，1]×[0，q]中，根据参数q，ν，它要么穿过点（η，0）中的段[q，1]×{0}，要么穿过点（1，ζ）中的段{1}×[0，q]。对称结果适用于C+。证据结果基于以下引理。引理C.10。让C-表示（q，q）的（稳定）分界线曲线相对于V的部分-属于-. 对称地，让C+表示V+属于的（q，q）的（稳定）分界线+. 然后：C- [q，1]×[0，q]和C+[0，q]×[q，1]对于足够大的t倍。证据考虑C的情况-（C+的另一种情况是对称的）。点（q，q）是鞍形的，所以它的稳定分界线收敛到（q，q）为t→ ∞ 此外，它由向量局部线性逼近-2(1-q） ν，1, 这是Jac负特征值对应的IGenvector-（q，q），来自LemmaC。7.引理C.11。向量场定义系统组件的符号（6），在（xA，xB）中计算时∈ （q，1）×（0，q），使得VA（xA，xB）≤ 0和VB（xA，xB）≥ 0、对称，VA≥ 0和VB≤ 0英寸（0，q）×（q，1）。证据考虑V-A（xA，xB），V的第一个分量-（其他情况类似），让我们展示一下-当0<xB<q<xA<1时，A（xA，xB）<0。

引理C.2中的副定义：V-A（xA，xB）=ν（1- xA+xB）[xA（1- xA）（xA- q） ]- xA（xA- xB）。必须证明，对于0<xB<q<xA<1和q，ν∈ (0, 1)ν(1 - xA+xB）xA（1- xA）（xA- q） ？<xA（xA- xB），即ν（1- xA+xB）（1- xA）（xA- q） ？<xA公司- xB。右侧始终大于xA-q、 所以不等式变成：ν（1- xA+xB）（1- xA）（xA- q） ？<xA公司- q、 然后是ν（1- xA+xB）（1- xA）？<1、取xB左侧的上确界∈ （0，q），在xb=q时获得，得到ν（1- xA+q）（1- xA）？<1、xA的上确界∈ （q，1），对于xA=q，得到ν（1- q+q）（1- q）≡ ν(1 - q） <1，这意味着上述所有不等式都必须成立。附录D分界线曲线的线性化和吸引盆地的近似由于我们已经观察到分界线C无法用解析方法描述，我们首先计算其线性近似值，然后通过数值分析确认结果。这使我们能够近似计算吸引力基础的面积，这是第5节中进行的比较静力学分析的关键。我们使用引理C.7将系统（6）在鞍（q，q）附近线性化。图5显示了C与其线性近似值C之间的异同。提案D.1。分界线C在（q，q）中用两段线EC线性近似，我们分别称之为C+andeC-, EC定义=eC+：xB=-2(1 - q） ν（xA- q） +q，为xA定义≤ q、 欧共体-: xB=-2(1 - q） ν（xA- q） +q，为xA定义≥ q、 证明。让我们考虑一下-（EC+的情况类似）。从引理C.7可以看出，（q，q）的（稳定）分界线与V-是（q，q）的直线，切线由对应于负特征值的特征向量给出，即向量-2(1-q） ν，1.

Ris中的此类线由以下参数描述：猜数字= t型-2(1-q） ν+qq, 对于t≥ 0隐式写为xB=-2(1 - q） ν（xA- q） +q，用于xA≥ q、 引理D.2。之间的交叉点-单位平方[0，1]的次对角线边界，即线段{1}×[0，q]和[0，q]×{0}，是点P-= （P-A、 P-B） 给定byP-=(1.-2ν(1 - q） +q, 如果ν<q2（1-q） ，则，q2ν（1-q） +q，0, 如果ν≥q2（1-q） ，对称地，可以找到一个点P+，作为C+与线段{0}×[q，1]和[0，q]×{1}的交点。评论请注意，如果q∈ （0，1）和ν∈ （0，1），以下两个条件是等效的：ν<q2（1- q）<==>1 + 4ν -√8ν+14ν<q。此外，当q>1/2时，则ν<q2（1-q） 对于所有ν∈ (0, 1). 图12显示了正方形的子区域（q，ν）∈ （0，1）当满足该条件时。图12：参数q和ν0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0qν方子区域的条件（q，ν）∈ （0，1）由曲线ν=q2（1）分隔-q） 。白色区域表示ν<q2（1-q） ，其中灰色区域是相反的不等式成立的地方。尤其是在白色区域（分别为灰色）P-属于垂直段{1}×[0，q]（分别为水平段[q，1]×{0}）和曲线下的区域-是梯形Q-（分别为三角形T-). 最后，虚线位于q=1/2处。根据参数ν和q，曲线下的面积要么是一个三角形，要么是一个三角形，很容易在下面的结果中计算出来。通过将该面积视为曲线C下面积的近似值，这也将允许我们进行比较静力学分析。结果也如图6所示。引理D.3。

如果ν≥q2（1-q） ，考虑三角形T- {（xA，xB）∈ [0，1]：xA≥ xB}定义为以下顶点集的凸包-= 卷积和多项式相乘{（q，q），（q，0），P-}.相反，如果ν<q2（1-q） ，考虑梯形q- {（xA，xB）∈ [0，1]：xA≥xB}由Q定义-= 卷积和多项式相乘{（q，q），（q，0），（1，0），P-}.其面积的测量值为：A（T-) =q×（P-A.- q） =q4ν（1- q） ，无论何时定义≥q2（1- q） ，A（q-) =(1 - q） ×（q+P-B） =（1）- q）q- ν(1 - q）, 当ν<q2（1- q） 。无论何时定义，q 7→ [A（T-)] （q，ν）对于所有ν总是增加的。此外，其对q的导数为：A（T-)q=q（2- q） 4ν（1- q） >0， q、 ν∈ (0, 1) : ν ≥q2（1- q） 。A（Q）的导数-) 是A（Q-)q=1- 2q+3ν（1- q） ，当ν<q2（1）时定义- q） ，且当且仅当以下条件成立时为正值< q∧1.- 第2季度（1- q） <ν<q2（1- q）∨q<∧ν<q2（1- q）∨ ν >1 - 第2季度（1- q）.类似地，对于P+和相应的T+，Q+及其面积和导数。证据三角形T面积的度量-或梯形Q-使用P的坐标轻松计算-引理D.2中获得。然后计算导数就很简单了。现在让我们计算曲线下面积的比率-和整个矩形[q，1- q] ×[0，q]，如图6所示。引理D.4。删除器-（q，ν）是曲线下面积之间的比率-矩形[q，1]×[0，q] [0, 1]. 塞纳-（q，ν）由er给出-（q，ν）：=[A（T-)] （q，ν）q（1- q） =q4ν（1- q） ，如果ν≥q2（1- q） [A（T-)] （q，ν）q（1- q）≡[A（Q-)] （q，ν）q（1- q） =，如果ν=q2（1- q） [A（q-)] （q，ν）q（1- q） =q- ν(1 - q） q，如果ν≤q2（1- q） 。以类似的方式，线EC+以上的比率用er+（q，ν）表示，并等于toeR-（q，ν）的对称性。证据er的分子-由前面引理D.3给出的三角形或梯形的面积给出，即分别为A（T-) 或A（Q-).

取而代之的是，Denominator只是R中矩形[q，1]×[0，q]的面积。er（q，ν）的行为作为参数q和ν的函数，由以下结果描述。引理D.5（近似比率（q，ν）上的比较静力学）。考虑人-（q，ν）如上所述。它在[0，1]及其截面q 7中有界→呃-（q，ν）都在增加∈ （0，1），而ν7→呃-（q，ν）对所有q都是递减的∈ (0, 1). 此外，无论何时定义，其衍生产品为：qeR-（q，ν）=1+q4ν（1- q） >0，如果ν>q2（1- q）q- 1.ν>0，如果ν<q2（1- q）νeR-（q，ν）=-q4（1- q） ν<0，如果ν>q2（1- q）-(1 - q） q<0，如果ν<q2（1- q） 。证据导数的计算直接遵循公式definger-在前面的引理中。此外，很容易检查分母是否总是大于分子，从而保证-（q，ν）≤ 1、复杂的情况源于以下事实：-第2季度（1-q） 正在减少，同时Q2（1-q） isincreasing，当q∈ （0，1），它们在q=2/7时相交。图13：吸引盆地面积及其近似图显示：吸引盆地面积（0，0）作为q和ν的函数，数值计算（蓝色），使用近似值C计算面积（黄色，与蓝色几乎没有区别），最后是它们的差异（几乎平坦的表面，红色）。评论给定q和ν，R-（q，ν）仅表示矩形[q，1]×[0，q]内吸引盆的部分（0，0）。因此，（0，0）的基本吸引的确切总面积很容易计算为：2·R-（q，ν）+q。类似地，对于其近似值，威瑟尔-. 这些区域（及其差异）如图13所示。