传染病在不同地点之间的传播

图9还显示，这种优势随着恢复参数Q的变化而变化：这对政策制定至关重要。解决这个问题的一种方法是分析赛德尔（q，q）的分界线曲线C，因为它将感兴趣区域的吸引盆地分开。不幸的是，除了命题C.9，该命题依赖于线性化系统的特征向量在突变点（q，q）附近提供的“局部”信息以及向量场各分量的单调性之外，这些结果类似于在金融网络中获得的结果，代理人（如银行）通过金融依赖性暴露于其他人违约的风险，目标是了解冲击如何在金融网络中传播。正如Acemoglu等人（2015年）所言：“只要影响金融机构的负面冲击的规模足够小，那么一个联系更紧密的金融网络[……]增强财务稳定性。然而，在某一点之外，密集的互联作为冲击传播的机制，导致金融系统更加脆弱。”Cabrales等人（2017年）也取得了同样的结果。定义系统（6）在特定领域，我们必须依赖近似结果，因为不可能用解析的方式明确描述c。具体而言，我们首先在数值上近似分界线C和单位正方形边界[0，1]之间的交点，然后在数值上测量灰色区域并确定其相对比率，正如我们所观察到的，这对于理解全球化系统在相同参数q和ν下是否具有优于自给自足系统的抗冲击性至关重要。（数值）比较静力学让我们首先处理分界线C和对角线下方单位正方形边界之间交点的（数值）计算，即。

段[0，1]×{0}和{1}×[0，1]。根据C是与前一段相交还是与后一段相交，我们遵循命题C.9中使用的旋转，图4分别用（xA，xB）=（η（q，ν），0）或（1，ζ（q，ν））表示该点。该分析如图10所示：o保持固定ν∈ （0，1），每当C穿过点（η（q，ν），0）中的段[q，1]×{0}，那么q 7→ η（q，ν）在q中增加，范围从0到1。此外，η（q，ν）>q；o类似地，当q超过某个阈值时，则C在点（1，ζ（q，ν））处穿过段{1}×[0，q]；此外，q 7→ ζ（q，ν）在增加，从0增加到1，并且始终满足ζ（q，ν）<q。现在让我们来看看自给自足系统相对于全球化系统的相对优势/劣势，尤其是当主要受到一维冲击时。我们已经观察到，图8和图9中浅灰色和深灰色区域衡量了一个自给自足的系统或全球化系统相对而言或多或少能够从这种冲击中恢复的程度。保持不变的传染性ν，随着恢复参数q的增加，浅灰色区域扩大，而深灰色区域缩小。根据我们之前的解释，这意味着更可能的是，1维冲击会导致自给自足系统达到局部地方性平衡，而相应的暗灰色区域的减少意味着全球化系统更能够从冲击中恢复。这反过来意味着检疫q的可用水平越大，相对于自给自足的系统，在全球化系统中就越方便。在这方面，图9显示了随着隔离区q的变化，浅灰色和深灰色区域是如何变化的。该分析也如图11所示，其中我们绘制了矩形[q，1]×[0，q]被深灰色区域占据的百分比。

通过使用上面所做的冲击分析，随着q的增加，我们观察到，与自给自足的2定位系统相比，连接的2定位系统在总体上变得越来越有利和具有抵抗力。这一结论直接体现在政策方面：如果可用的检疫级别q足够大，那么允许跨国进出口对于系统性抵抗感染冲击是有益的和可取的。相反，当只有少量检疫q可用时，两个自给自足的国家构成了一个更具抗感染性的系统。根据对角线对称性，同样的分析也适用于对角线上方单位正方形的边界。图10中q=0.39对应的阈值。主要从单一位置开始的冲击，形式为s=（ε，sB）或（sA，ε），ε≈ 我们认为传染性是一个与所考虑的疾病类型严格相关的参数，因此对决策不感兴趣。因为它对应着白人恢复区的扩大，对于一个全球化的体系来说。虽然传染性ν保持不变，因为我们认为它是一个与疾病相关的参数，不受政策制定的约束。图10：分界线C与[0，1]0.2 0.4 0.6 0.8 1.0q0.20.40.60.81.0左侧边界的交点q 7→ η（q，0.7）（平方）和q 7→ ζ（q，0.7）（三角形），固定ν=0.7。随着q的增加，分界线C首先穿过水平段[q，1]×{0}in（η（q，ν），0），然后当q超过某个阈值（在这种情况下，q=0.39，由虚线垂直线表示），C开始在点（1，ζ（q，ν））处穿过垂直段{1}×[0，q]中的边界。对角线（虚线）显示η>q，而ζ<q。在右侧，交点η（q，ν）作为两个参数（q，ν）的函数∈ (0, 1).

所有截面η（·，ν）和η（q，·）都在增加。6结论从一个非常简单的同质病原体间流行病扩散模型出发，我们考虑了两个相同国家居住着此类病原体的情况。这些代理人（随机）成对地相互作用和交易，以获得利益，并通过这种方式在他们之间传播传染病，从而降低了可获得的贸易收益。作为对感染风险的回应，代理商可以选择承担（异质）成本，与其他国家的代理商进行互动，从而建立一种风格化的跨国进出口贸易形式。通过假设两国都有（有限且固定的）资源来干预感染，我们也能够引入恢复的可能性，即降低感染率。考虑到流行病参数，我们比较了“自给自足”体系（假设两国不进行贸易）和“全球化”体系（允许跨国贸易）的抗外来冲击感染率。总的来说，全球化的制度导致其对自给自足制度冲击的反应更加“极端”。这是两国相互联系的结果：一方面，全球化体系在面临相对较小的冲击时具有更大的“恢复能力”，但另一方面，它有一个更大的领域，两国最终都会被完全感染。特别是，相对于自给自足的制度，全球化制度所排除的主要可能性是，只有一个国家受到感染，而另一个国家没有受到感染。

相反，“自给自足”系统提供了由感染冲击引起的更广泛的可能结果，特别是，它们表现出局部地方病平衡，其中只有一个地方完全感染，而另一个地方没有疾病。通过比较自给自足制度和全球化制度在应对冲击时的表现，我们能够理解它们的异同。抗冲击性分析的主要结果是，这两个系统的行为有很大不同，尤其是当它们受到“一维大冲击”时：当感染冲击主要冲击一个位置（仅轻微冲击另一个位置）时，全球化的系统要么完全恢复，要么完全受到感染，而无人值守系统可能表现出局部地方性平衡，如果暴露于相同的图11：左侧灰色区域之间的比率0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0q0.00.20.40.60.81.0比率，深灰色区域与深灰色加浅灰色区域之和之间的比率（即[q，1]×[0，q]∪ 【0，q】×【q，1】）作为q的函数数值获得∈ （0，1），保持fixν=0.7。在右边，比率是两个参数（q，ν）的函数∈ (0, 1).随着隔离q的增加，全球化的系统相对于自给自足的系统变得越来越方便。震惊根据分配给恢复的资源量，如我们框架中隔离级别q所衡量的，当有大量隔离资源可用时，全球化系统可能更可取，而在资源较低时，则可参考自给自足系统。参考Acemoglu，D.、A.Ozdaglar和A.Tahbaz Salehi（2015年2月）。金融网络的系统风险和稳定性。《美国经济评论》105（2），564–608。Allen，L.J.、F.Brauer、P.Van den Driessche和J.Wu（2008年）。数学流行病学。斯普林格。Bass，F.M.（1969年）。新型耐用消费品的新产品增长。

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斑块环境中的流行病模型。数学生物科学190（1），97–112。附录A关于计量经济分析的更多信息在本节中，我们调查表2中观察到的伪阳性的显著影响是否可能是选择过程的结果。为此，我们用最大似然估计估计了一个二元选择模型，其中主要方程是一个以距离为因变量的Tobit模型。参与方程是一个问题，它估计了在第四季度t活跃（即至少发送一头牛）的概率。虽然主方程中的因变量是连续的（未经审查时），但模型的识别只能取决于分布假设。因此，我们使用意大利空军提供的降雨数据（CentroOperativo Dati per la Meteoria），在参与等式中添加了排除限制。对于每个城市，我们通过平均三个最近的气象站来估算降雨量水平及其与季度平均值的偏差。因此，我们在参与方程中加入了降雨量与四分之一年降雨量偏差的滞后值作为回归量。由于t的降雨量减少-1–通过对用于动物饲料的作物（干草、玉米等）的生产产生负面影响，降低该市牛的流入量，这反过来又会减少t时的流出量。已使用David Roodman开发的Stata(R)命令CMPD对双变量模型进行了估计。虚拟正系数i，t-1表明农场里有一头病牛-1在时间t不太可能处于活动状态-1、降雨量与季度平均值的偏差对时间t发送牛的概率具有预期的积极和统计意义。

ρ系数估计误差项之间的相关性为负，显著为10%，因此表明存在微弱的负选择效应。估计的积极影响I，t-然而，在Tobit主方程中，与表2第3列所示的结果非常接近。meteo站约有115个，每日数据覆盖整个意大利领土。详见Roodman（2011）。表3：在时间tPositivei，t激活的双变量选择模型-119.462***-0.881***-5.591（0.047）库存0.0845***0.0004***（0.001）（0.000）平均降雨量-10.002***（0.001）常数13.444***1.753***-1.104（0.012）σ90.523***（0.0528）ρ-0.0077*（0.0047）观测值2267463 2267463对数似然-10207407使用Stata(R)命令cmp估计了双变量Tobit/Probit模型。回归包括时间和区域影响。在农场级别聚集的标准错误显示在括号中。星号表示：**显著值为1%，**显著值为5%，*显著值为10%。附录B提案3.1第3、4和5节的证明。导数xdt是x的一个三次函数，只有三个根x=0、x=q和x=1，其中x等于0。此外，当x∈ （0，q）且当x∈ （q，1）。命题4.1的证明。我们想证明，在系统（3）定义的动力学下，单位平方[0，1]是一个不变集。为了做到这一点，我们需要向量场来定义方程组，即（3）的右侧作为（xA，xB）的二维函数是“指向正方形的内部”，同时限制在正方形的边界上。更正式地说：o假设xA=0。然后˙xA=νA（1- FA）xBFB≥ 0，对于任何xB∈ [0，1]，根据需要。o相反，假设xA=1。

通过假设，当nxa=1时，我们得到FA=1，然后˙xA=νA（1- FA）（1- xB）FB- xAFA=-1<0，如我们所愿。类比和对称推理表明˙xB≥ 0，当xB=0时，且˙xB≤ 0，当xB=1时。命题5.1的证明。向量场定义系统（7）的形式为F（xA，xB）=（FA（xA），FB（xB）），其中FA（x）=FB（x）=F（x）：=νx（1- x） （十）- q） 。然后，很明显，系统相对于对角线是对称的，即F（xB，xA）=（FB（xA，xB），FA（xA，xB））。由于f（x）=0当且仅当x=0或x=q或x=1，则系统（7）的平衡为：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（q，q），（0，q），（1，q），（q，0）和（q，1）。此外，由于当xA=0时˙xA=0，这意味着RCA中的线xA=0不能与系统的轨迹相交。类似地，直线xA=q，xA=1，xB=0，xB=q，xB=1不能交叉，这意味着它们是不变量，并且单位平方[0，1]在系统（7）定义的动力学下也是不变量。为了评估此类平衡点的稳定性，必须研究系统的雅可比矩阵。现在，因为雅可比矩阵的形式是f（xA）00 f（xB）,式中，f（x）=ν[（2- 3x）x+q（2x- 1） ，且f（0）=-νq<0，f（q）=νq（1- q） >0且f（1）=-ν(1 - q） 当ν，q∈ （0，1），那么对其特征值的研究简单地说：（0，0），（0，1），（1，0）和（1，1）是渐近稳定的，因为特征值都是负的。点（0，q），（q，0），（1，q），（q，1）是鞍点，因为它们具有不同符号的特征值。最后，（q，q）是一个不稳定的源点，因为它的两个特征值都是正的。附录C线性案例分析我们在这里研究的系统（6），它来自于代理的线性性和统一成本分布的假设。原则上，该系统在R中定义良好，但我们将把分析限制在单位平方（xA，xB）∈ [0，1]，其中感染病原体的分数是有意义的。